十字相乘法分资料

因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。

交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。

从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。

2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。

右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。

十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。

但是，如果使用不对，就会犯错。

（一）原理介绍通过一个例题来说明原理。

某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。

求该班男生和女生的比例。

方法一：搞笑（也是高效）的方法。

男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。

男生和女生的比例是1：1。

方法二：假设男生有A，女生有B。

（A*75+B85）/（A+B）=80整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。

方法三：男生：75 580女生：85 5男生：女生=1：1。

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。

平均值为C。

求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。

假设A有X，B有（1-X）。

AX+B（1-X）=CX=（C-B）/（A-B）1-X=（A-C）/A-B因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为：A C-BCB A-C这就是所谓的十字相乘法。

十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5答案：C分析：男教练：90% 2%82%男运动员：80% 8%男教练：男运动员=2%：8%=1：42.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2答案：B分析：职工平均工资15000/25=600男职工工资：580 30600女职工工资：630 20男职工：女职工=30：20=3：23．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。

十字相乘法知识点总结1. “哎呀，十字相乘法就是把二次项系数分解成两个数相乘，常数项也分解成两个数相乘，然后交叉相乘再相加，看是不是等于一次项系数呀！”就像妈妈切菜一样，把一个大的任务分成小块来处理。

比如算2x^2+5x+3，2 可以分成 1 和 2，3 可以分成 1 和 3，交叉相乘1×3+2×1 不就正好等于 5 嘛！2. “嘿，用十字相乘法可得细心点哟！要像找宝藏一样仔细去找那些能凑对的数！”就好像在一堆玩具里找自己最喜欢的那个。

比如3x^2+7x+2，3 只能分成 1 和 3，2 只能分成 1 和 2，很快就能发现1×2+3×1 等于 5 啦！3. “你们知道吗，十字相乘法可有意思啦！就像是拼图游戏，要把合适的部分拼在一起。

”比如解 4x^2+8x-5，4 可以分成 2 和 2，-5 可以分成1 和-5，试试就知道怎么组合啦！4. “哇塞，十字相乘法不难呀，就是找对搭配嘛！这多像我们搭配衣服呀，要好看就得搭对。

”像算 5x^2-6x+1，5 分成 1 和 5，1 还是 1，找找就能发现搭配的窍门啦！5. “哈哈，十字相乘法其实很简单呀，只要多试试就能掌握啦，就像骑自行车一样，一开始难，后来就熟练啦！”比如面对 6x^2+5x-6，6 可以有很多分法，慢慢试就找到合适的啦！6. “哎呀呀，十字相乘法不就是那么回事嘛，把数字拆来拆去，总能找到合适的组合呀！”就好像搭积木，要找到合适的那块放上去。

比如算3x^2-4x-4，3 分成 1 和 3，-4 可以分成 2 和-2，找找规律呀！7. “十字相乘法呀，可别小瞧它哦，这可是解决好多问题的好办法呢！就像我们的秘密武器！”就像碰到 2x^2+3x-2，2 分成 1 和 2，-2 分成 1 和-2，动动脑筋就能搞定啦！8. “嘿，学十字相乘法得有点耐心哦，就像钓鱼一样，得等鱼儿上钩。

”比如解 6x^2-7x+2，6 有多种分法，耐心点就能找到啦！9. “哇，十字相乘法可神奇啦，能让那些复杂的式子变简单呢，就像魔法一样！”比如算 4x^2-9x+2，4 分成 2 和 2，2 还是 2，是不是很神奇呀！10. “十字相乘法真的很有用呀，学会了它就像有了一把钥匙，能打开好多难题的大门呢！”就像面对 5x^2+6x-8，5 分成 1 和 5，-8 分成 2 和-4，用十字相乘法不就解开啦！。

一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式方法叫做十字相乘法。

即对于二次三项式x²+bx+c，若存在p+q=b，pq=c ，则x²+bx+c=(x+p)(x+q)
1.在对x²+bx+c分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c>0，则p、q同号，若c<0，则p、q异号，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q的符号。

2.若x²+bx+c中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止。

二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax²+bx+c (a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a₁a₂，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c₁c₂，
把a₁，a₂，c₁，c₂排列如下：
若a₁c₂+a₂c₁=b，即ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。

（1）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”。

（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。

三、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分组处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解即先对题目进行分组，然后再分解因式。

十字相乘法十字相乘法数学公式十字相乘法（Cross Multiplication）是因式分解中十四种方法之一，主要用于对多项式的因式分解，基本式子：x² (p q)x pq=(x p)(x q)。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，其实就是运用乘法公式(x a)(x b)=x² (a b)x ab的逆运算来进行因式分解。

中文名十字相乘法外文名Cross multiplication适用领域范围因式分解、数学应用学科数学别称十字相乘表达式x² (a b)x ab=(x a)(x b)适用领域范围二次多项式原理十字相乘法一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。

平均值为C。

求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。

假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。

则：[A*M B*(S－M）]/S=CA*M/S B*(S-M)/S=CM/S=(C-B)/(A-B)1-M/S=(A-C)/(A-B)因此：M/S∶(1-M/S）=(C-B）∶(A-C)上面的计算过程可以抽象为：A ^C-B^CB^ A-C这就是所谓的十字分解法。

X增加，平均数C向A偏，A-C(每个A给B的值）变小，C-B(每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。

判定对于形如ax² bx c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b²-4ac进行判定。

当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。

运算举例a² a-42首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a ？）×(a -？），然后我们再看第二项，a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。

再看最后一项是-42 ，（-42）是-6×7 或者6×（-7）也可以分解成 -21×2 或者21×（-2）。

高中化学的十字相乘法十字交叉法又称图解法，应用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题，表现出实用性强，能准确、简便、迅速求解的特点。

适用范围：“十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。

例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。

可知其中乙烯的质量分数为（ ）A.25.0%B.27.6%C.72.4%D.75.0%解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。

这样，乙烯的质量分数是：ω（C 2H 4）=321283283⨯+⨯⨯×100％=72.4% 答案：C 。

（解毕）二、十字交叉法的解法探讨：1.十字交叉法的依据：对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c(a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。

如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b解之，得： ba c a xb a bc x --=---=1, 即：ca b c x x --=-1 2.十字交叉法的常见形式：为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为：3.解法关健和难点所在：十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。

究其原因，无外乎乱用平均量（即上述a 、b 、c 不知何物）、交叉相减后其差值之比不知为何量之比。

关于上述a 、b 、c 这些化学平均量，在这里是指其量纲为（化学量1 ÷化学量2）的一些比值，如摩尔质量（g/mol ）、溶液中溶质的质量分数(溶质质量÷溶液质量)或关于物质组成、变化的其它化学量等等。