专题07 方程与方程组的解法
一、知识点精讲 一元一次方程
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a
=； ②当0a =，0b ≠时，方程无解
③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 二元一次方程
在一个方程中，含有两个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫二元一次方程。 二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法③整体消元法，。 二、典例精析 ①一元高次方程的解法 思想：降次
方法：换元、因式分解等 【典例1】解方程. （1）4213360x x -+= （2）63980x x -+= 【答案】见解析 【解析】
（1）4222
13360(4)(9)02 3.x x x x x x -+=⇔--=⇔=±=±或
（2）6333
980(1)(8)1 2.x x x x x x -+=⇔--⇔==或
【典例2】解方程.
（1）32+340x x x -= （2）3210x x -+= 【答案】见解析 【解析】
（1）322
+340(34)0(4)(1)04 1.x x x x x x x x x x x -=⇔+-=⇔+-⇔==-=或或
（2
）33221010(1)(1)1x x x x x x x x x x -+=⇔--+=⇔-+-⇔==或 ②方程组的解法 解方程组的思想：消元
解方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法，③整体消元法等。 【典例3】解方程组.
347(1)295978x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 3(2)45x y y z z x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
【答案】见解析 【解析】
5
3471(1)29359782x x z x y z y x y z z =⎧+=⎧⎪⎪⎪
++=⇒=⎨⎨⎪⎪
-+=⎩⎪=-⎩
3(2)45x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩213x y z =⎧⎪
⇒=⎨⎪=⎩
【典例4】解方程组22
210
4310x y x y x y --=⎧⎨-++-=⎩
【答案】见解析 【解析】
22
2104310x y x y x y --=⎧⎨-++-=⎩8115
1115x x y y ⎧
=
⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=
⎪⎩
或 【典例5】解方程组.
7(1)10x y xy +=⎧⎨=⎩
225(2)2x y xy ⎧+=⎨=⎩
【答案】见解析 【解析】
7(1)10x y xy +=⎧⎨=⎩2552x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩
或
225(2)2x y xy ⎧+=⎨=⎩
12-1-2
21-2-1x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或
【典例6】解方程组. 22
10
(1)341xy x y x y --+=⎧⎨+=⎩
2222
34340(2)25x xy y x y x y ⎧---+=⎪⎨+=⎪⎩
【答案】见解析 【解析】
22
10(1)341xy x y x y --+=⎧⎨+=⎩
由①得11x ==或y 分别带入②式可得没有这样的,x y 满足条件，∴该方程组无解。 2222
34340(2)25x xy y x y x y ⎧---+=⎪⎨+=⎪⎩
44433334x x x x y y y y ==-==-⎧⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩或或或 【典例7】解方程组. 2222
315(1)331545x xy y x xy y ⎧++=⎪
⎨-+=-⎪⎩
22
22
4
41(2),(0,0)1611a b a b a b ⎧+=⎪⎪>>⎨⎪+=⎪⎩
【答案】见解析 【解析】
2222
315(1)331545x xy y x xy y ⎧++=⎪⎨-+=-⎪⎩
11223311x x x x y y y y ==-==-⎧⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨⎨==-==-⎩⎩⎩⎩或或或 22
224
41(2),(0,0)1611a b a b a
b ⎧+=⎪⎪>>⎨⎪+=⎪
⎩a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩
【典例8】已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过(1,3),(2,7),(3,13)A B C 三点，求该二次函数的表达式.
【答案】见解析 【解析】
由题意得2
31
4271193131a b c a a b c b y x x a b c c ++==⎧⎧⎪⎪++=⇒=⇒=++⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩
三.对点精练
1.已知二次函数的图像的对称轴为1x =且过(1,2),(2,4)A B ，求该二次函数的表达式. 【答案】见解析
【解析】由题意得2
122242444244
b
a a a
b
c b y x x a b c c ⎧-=⎪=⎧⎪⎪++=⇒=-⇒=-+⎨⎨⎪⎪++==⎩⎪
⎩
2.解方程
（1）3520x x --= （2）323460x x x +--= 【答案】见解析 【解析】
（1
）332520420(2)(21)021x x x x x x x x x x --=⇔---=⇔+--=⇔=-=±或（2
）
3232222
3460(246)0.(1)2(1)(3)0(1)(26)011x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⇔++--=⇔+++-=⇔++-=⇔=-=-±或
3.解方程组.
15(1)239540x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩
(2)34524x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩
