空间向量的加减数乘运算练习题集

课时作业(十四)[学业水平层次]一、选择题1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →，∴BD →与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A3．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P 、A 、B 、C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1，∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→的结果为( )图3-1-9＝AB →－AD →＋AA 1→ ＝AD →＋AA 1→－AB → ＝AB →＋AD →－AA 1→ ＝AB →＋AD →＋AA 1→【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD →.故选B. 【答案】 B 二、填空题5．如图3-1-10，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF →＝________(用向量a ，b ，c 表示)．图3-1-10【解析】 设G 为BC 的中点，连接EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →＝12AB →＋12CD →＝12(a －2c ))＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c . 【答案】 3a ＋3b －5c6．(2014·哈尔滨高二检测)已知O 为空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________．【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此，2x ＋3y ＋4z ＝－1.【答案】 －17．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋ke 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8. 【答案】 －8 三、解答题8．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x 、y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】 如图所示，(1)∵OQ →＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(PA →＋PC →) ＝PQ →－12PA →－12PC →，∴x ＝y ＝－12. (2)∵PA →＋PC →＝2PO →， ∴PA →＝2PO →－PC →. 又∵PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PC →＝2PQ →－PD →.从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.9. 如图3-1-11，四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．图3-1-11【解】 ∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点， 又四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)，∴CE →＝2MN →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．[能力提升层次]1．(2014·郑州高二检测)若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则PA →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然，A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．(2014·雅礼高二月考)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PA 1→＋6(PA 1→－PB →)－4(PD 1→－PA 1→)＝11PA 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C.【答案】 C3．已知两非零向量e 1、e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1、e 2共面．【答案】 ①②③4. 如图3-1-12所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．图3-1-12试判断向量MN →与向量AD →，BC →是否共面． 【解】由图形可得：MN →＝MA →＋AD →＋DN →，① ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →， ②又MA →＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得， 2MN →＝AD →＋BC →，即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面．。

卓越个性化教案 GFJW09011学生姓名 年级 授课时间 教师姓名 课时04-空间向量的加减法、数乘、数量积【知识点】1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算1.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)等于( A )(A) (B) (C) (D)解析:+(+)=+×(2)=+=.故选A.2.下列命题中正确的个数是( A )①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面;③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;②中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内,故②错误;③当b 为零向量,a不为零向量时,λ不存在.故选A.3.在平行六面体ABCD EFGH中,若=x-2y+3z,则x+y+z等于( C )(A) (B) (C) (D)1解析:=++,则x=1,y=-,z=,故选C.4.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )(A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A.5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( A )(A)P∈AB (B)P∉AB(C)点P可能在直线AB上 (D)以上都不对解析:因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,即-=n(-),即=n,所以与共线.又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.故选A.6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( D )(A)m,n,p共线(B)m与p共线(C)n与p共线(D)m,n,p共面解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.7.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于( D )(A) (B)9 (C) (D)解析:因为a,b,c三向量共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).所以所以λ=.8.给出下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若,共线,则AB∥CD;④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:显然①正确;若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若,共线,则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.故选C.9.下列命题:①空间向量就是空间中的一条有向线段;②不相等的两个空间向量的模必不相等;③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;④向量与向量的长度相等.其中真命题有.解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来.②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可.③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.④真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的.答案:①10.在直三棱柱ABC A 1B1C1中,若=a,=b,=c,则= .解析:如图,=-=-=--(-)=-c-(a-b)=-c-a+b.答案:-c-a+b11.已知点G是△ABC的重心,O是空间任一点,若++=λ,则λ的值为. 解析:连接CG并延长交AB于D,则=2,所以-=2(-),即3=2+.又2=+,所以3=++.因此,λ的值为3.答案:312.有下列命题:①若∥,则A,B,C,D四点共线;②若∥,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).解析:根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且AB,AC有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2= -4·(-e1+e2)=-4b,所以a∥b.故③正确;易知④也正确.答案:②③④13.如图所示,已知几何体ABCD A 1B1C1D1是平行六面体.(1)化简++,并在图中标出其结果;(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=α+β+γ,求α,β,γ的值.解:(1)取DD1的中点G,过点G作DC的平行线GH,使GH=DC,连接AH (如图),则++=.(2)因为M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,所以=+=+=(-)+(+)=++,所以α=,β=,γ=.14.如图,H为四棱锥P ABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC,点G在AH上,AG=mAH.四边形ABCD 为平行四边形,若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.解:连接BD,BG.因为=-且=,所以=-.因为=+,所以=+-=-++.因为=,所以==(-++)=-++.又因为=-,所以=-++.因为=m,所以=m=-++.因为=-+=-+,所以=(1-)+(-1)+.又因为B,G,P,D四点共面,所以1-=0,即m=.15.求证:四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分.已知:如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G,H,P,Q分别是所在棱的中点.求证:EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.证明:因为E,G分别为AB,AC的中点,所以EG BC.同时,HF BC,所以EG HF.从而四边形EGFH为平行四边形,故其对角线EF,GH相交于一点O,且O为它们的中点.只要能证明向量=-,就可以说明P,O,Q三点共线且O为PQ的中点.事实上,=+,=+.因为O为GH的中点,所以+=0.又因为GP CD,QH CD,所以=,=.所以+=+++=0.所以=-.故PQ经过O点,且O为PQ的中点.所以EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.16.已知正方体ABCD A 1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有( C )①+与+是一对相反向量;②-与-是一对相反向量;③+++与+++是一对相反向量;④-与-是一对相反向量.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:利用图形及向量的运算可知②是相等向量,①③④是相反向量.故选C.17.若P,A,B,C 为空间四点,且有=α+β,则α+β=1是A,B,C 三点共线的( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若α+β=1,则-=β(-),即=β,显然A,B,C 三点共线;若A,B,C 三点共线,则存在实数λ,使=λ,故-=λ(-),整理得=(1+λ)-λ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1.故选C.18.已知A,B,C 三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为零的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n 的值为 .解析:因为A,B,C 三点共线, 所以存在惟一实数k,使=k,即-=k(-), 所以(k-1)+-k =0,又λ+m+n =0, 令λ=k-1,m=1,n=-k,则λ+m+n=0. 答案:019.如图所示,在四面体O ABC 中,=a,=b,=c,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则=(用a,b,c 表示).解析:=+=a+=a+(-)=a+=a+×(+)=a+b+ c.答案:a+b+ c20.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平面外的一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心.(1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.(1)证明:分别连接PE,PF,PG,PH并延长,交对边于点M,N,Q,R,连接MN,NQ,QR,RM,因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R是所在边的中点,且=,=,=,=.由题意知四边形MNQR是平行四边形,所以=+=(-)+(-)=(-)+(-)=(+).又=-=-=.所以=+,由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.(2)解:平行.证明如下:由(1)得=,所以∥,所以∥平面ABCD.又=-=-=,所以∥.即EF∥平面ABCD.又因为EG∩EF=E,所以平面EFGH与平面ABCD平行.。

第三章 空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1AB AD AA ++= A ．1AC B ．1CA C ．1BCD ．1CB2．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若2CP CA CB =+，则下列结论正确的是 A ．22OP OA OB OC =+- B ．23OP OA OB OC =--+ C ．23OP OA OB OC =+-D ．22OP OA OB OC =+-3．若OA ，OB ，OC 是空间不共面的三个向量，则与向量OA OB +和OA OB -不共面的向量是 A ．BA B ．OA C ．OBD ．OC4．如图，已知AB =c ，AC =b ，若点D 满足2BD DC =，则AD =A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 5．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++=A ．BCB ．CGC ．12BC D ．AG 6．如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,是与的交点,若,则下列向量中与相等的向量是A ．1122-++a b c B ．1122++a b c C ．1122-+a b c D ．1122--+a b c 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量，，是A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(),OP xOA yOB x C z zO y ∈=++R ,，则1x y z ++=是P ，A ，B ，C 四点共面的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．给出下列命题： ①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同、终点也相同； ③若空间向量a ，b 满足=|a ||b |，则=a b ；④若空间向量a ，b ，c 满足=a b ，=b c ，则=a c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题为________________（填序号）． 10．在四面体O-ABC 中，=a ，=b ，=c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则= .(用a ,b ,c表示)11．在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ,若BCD △是正三角形，且E 为其中心，则的化简结果为________．12．在长方体1111ABCD A B C D ﹣中，下列各式运算结果为向量1BD 的是________________．（填序号）①111()A D A A AB --；②111()BC BB DC +-；③1()AD AB DD --；④1111()B D A A DD -+． 13．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1243OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A ，B ，C 共面，则λ=________________．14．已知两非零向量12,e e ,且1e 与2e 不共线，若12λμ=+a e e (λ,μ∈R ,且λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正确的是_______.①a 与1e 共线；②a 与2e 共线；③a 与12,e e 共面. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知a =3m -2n -4p ,b =(x+1)m +8n +2y p ,且a ≠0,b ≠0,若a ∥b ,求实数x ,y 的值.16．如图，在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，E ，F 分别是边AC ，BD 的中点，设2AB =-a c ，568CD =+-a b c ，试用a ，b ，c 表示向量EF ．17．如图所示的多面体是以长方形ABCD 为底面的长方体的一部分,其中AB =4,BC =2,BE =2,CF =3,DG =1,求证:A ,E ,F ,G 四点共面..18．（1）已知向量1e ，2e 不共线，122=+a e e ，122=+b e e ，试判断a 与b 是否共线；（2）如图所示，已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且2CF FB =，2CG GD =．求证：四边形EFGH 是梯形．19．如图所示，已知几何体1111ABCD A B C D ﹣是平行六面体． （1）化简11223AA BC AB ++，并在图上标出结果； （2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N =14C 1B ，设1MN AB AD AA αβγ=++，求α，β，γ的值．。

1.1.1空间向量及其加减运算同步练习一、单项选择题1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )A. OCB. OAC. A§D. AC【答案】A【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()A. AD + BE + CF=OB. BD-CF + DF = Oc. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6【答案】A【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()A. EB+BF + EH+GH=6B. EB + FC + EH+GE =6c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6【答案】B【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,故而+丽？=6应选B.4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c【答案】D【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,应选D.5 .以下命题中是真命题的是〔〕A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量B.假设|矶=同,那么无5的长度相等而方向相同或相反C.假设向量瓯函,满足|四且AB与前同向,那么血〉而D.假设两个非零向量血与丽满足荏+①=0,那么福〃前【答案】D【解析】由于空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共而,选项A错误；由于|4 = |可仅表示不与B的模相等,与方向无关,选项5错误：由于空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比拟,因此也就没有1月＞6这种写法,选项C错误：•;通+①=6,・・・福=—函,,而与丽共线,故而〃访,选项.正确.应选D.6 .在平行六面体ABCD--ABCD中,各条棱所在的向量中,模与向量痔的模相等的向量有〔〕A. 7个B. 3个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】画出平行六面体结构如以下图所示所以与H9的模相等的向量有肮不,无反而,CD,DC,W,ZTb共7个.应选A7 .空间任意四个点A、B、C、D,那么丽+在一曲等于〔〕A. ~DBB. ADC. DAD. AC【答案】c【解析】如图zU + CB-COnCZ + OCnO/C应选C.8 .在三棱柱ABC-A5G中,假设A月=£,4j=反4<=3,那么G^=〔〕A・a + h - c B・a — b + c C・—a+b — c D・.一 b - c【答案】D【解析】如下图：根据向量线性运算的加法法那么有./=£4 + 4乂 + 4月=—〃—〔：+4,整理顺序得：C月=4一〃—2应选D9,P是正六边形A8COEE外一点,.为正六边形A8COEE的中央,那么尸A + P8 + PC + PO + P石+尸产等于〔〕【答案】c【解析】l^ + l^ + PC + l^b + PE + PF = 6Pd + (OA + OB + OC + OD + OE + OF) = 6PO.应选c10 .如图,直三棱柱ABC -AMG 中,假设cX = £, cB = I ；,co =c ＞那么还等于〔〕【答案】C【解析】丽=而一丽=〔屈一夕〕一直,・・・菊=西=2,二质=B —应选c.11 .如下图,在正方体A8C .-44Gq 中,以下各式中运算结果为向量4G 的是〔〕(^)(AB + BC) + CC [：②(明+4Z)]) + /)G ： (AB + 881) +AG ；④(AAj+A£) + AG ・【答案】D【解析】对于①,原式=A C+CC ； = AC ；,符合题意,对于②,原式=AZ X+AG =A C ］,符合题意对于③,原式= A8I+8C = AC ；,符合题意.对于④,原式= A3|+4C ； = AC ；,符合题意.综上所述.A. POB. 3P6 D.d A ・ a + h-cD ・ b-a + cA.①③B. @@C.③④ D . CD@③④C. 6PO B.a应选D.12 .在空间假设把平行于同一平而且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A. 一个球B. 一个圆C.半圆D. 一个点【答案】B【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量,把它们的起点放在同一点,那么终点在同一平面内,又这些向量的长度相等,那么终点到起点的距离为定值.故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是一个圆.应选3.二、填空题13 .直三棱柱ABC —A筋G中,假设CA = d,CB=6,CC[=^ ,那么朋|=.【答案】a—b +c【解析】直三棱柱ABC —A心G中,假设c4 = qc月= 6,CC； = 1BA^ =BA + AA i =CA-CB + CCi =a-b+c故填〃一〃十,14 .在正方体ABC.—中,点M是HA1的中点,丽=Z,AD = b » A\=c,用Z,/；,2表示函,那么函=.___ _ 1【答案】CM =-a-b+-c2【解析】-CM =CB + BA + AM =-BC-AB + Mf •又・.・M是A4 的中点,/. AA/= ；A4；, 乙CM ——BC — AB 4—, •； AB = ci,AD—b > AAy = c, : .CM ——a — b H—c ,故填2 2CM = _a _ b + _ c .215 .在正方体以3C力-月6GP中,给出以下向量表达式：①〔4.；-m〕-A月：②西+竭〕-DC：③〔A D-A Q〕-DD；：④区〞+4小十.〞.其中能够化简为向量8a的是_________ .【答案】①②【解析】①中,〔A.；一=②中,〔B〔j+BB；〕 - D£； = BC； - DC = BD；；③中,〔Ab-AB〕-DD； = BD-D*BD：：④中,〔而'+而+函=而+函=瓦帝国.故填①②16 .给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共而的：②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量：③空间向量的加法满足结合律：〔〃+5〕+5="+0+^〕：④首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上：.【答案】①©©【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,那么3点共面,可知两向量共而,①正确：②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误；③中,空间向量加法满足结合律,③正确：④中,由向量加法的三角形法那么可知④正确.故填①③④17 .如图,在长方体A8CO — A4G2中,长、宽、高分别为48 = 3, AD = 2, M = 1»以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：〔1〕单位向量共有个；〔2〕模为"的向量共有个；〔3〕与4区相等的向量共有个;〔4〕eq.的相反向量共有个.Dx GA B【答案】(1)8： (2) 8： (3) 3： (4) 4.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量分别为4乂,BB；, B岛 cc r cQ,西,印,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为、回,故模为6的向量有, A A 4.以,BC；CB,共8个.(3)与向量AR相等的所有向量(除它自身)有AR D C D G,共3个.(4)向量eq.的相反向量为A A4A C Q,〃力,共4个.故填(1) 8； (2) 8； (3) 3； (4) 4.18 .对于空间中的非零向量而,BC,AC,有以下各式：®AB + BC = AC^ ®AB-AC = BCi③网+|明=1码：④网码=|罔.其中一定不成立的是________ (填序号).【答案】②【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①而+沅二/恒成立：对于③当而,或方向相同时,有口回+|比卜|才4；对于④当人后,衣方向相同且|而上时,^-I|/I5|-|AC|=|BC|,对于②由向量减法可知而-/=屈,所以②一定不成立.故填②三、解做题19 .如图,己知一点.到平行四边形A8C.的三个顶点A,B, C的向量分别为小号不,求功.DO【解析】由于而= OC + C.,CD = BA = OA-OB所以而= 4 + 4—5.20 .如下图,棱长为1的正三棱柱A8C-A/1G.〔1〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出与向量AB相等的向量: 〔2〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出向量4?的相反向量：〔3〕假设E是3所的中点,列举出与向量A百平行的向量.【解析】〔1〕由正三棱柱的结构特征知,与向量A月相等的向量只有AR：〔2〕向量就的相反向量为C4G4.〔3〕诲是与AE平行的向量.21 .如下图,在三棱柱ABC-45G中,M是8片的中点,化简以下各式：〔1〕万+砒；〔2〕 4月+ 4G+GC；⑶戒-的-屈；〔4〕A4〕+ AB-AM .【解析】(1) AB + B\= A\.(2)4+照+束=隔+照+汞=4d⑶ Mf-BM-CB = AM+MB + BC = AC-(4) ^A4j +AB-AM = BM + AB +MA = AB +BM +AM = O .22.如图,在空间四边形S48c中,AC,BS为其对角线,.为3c的重心.(1)证实：OA + OB + OC = 0^(2)证实：SO = L(SX + SB +元).S【解析】〔1〕由于.为△A5C的重心,所以〕=_.〔砺+ *〕①,OB=--〔BA + BC〕②,OC=-1〔CA + CB〕③.©+②+③可得9+砺+配=」印+硝」〔丽+硝」〔而+阚=0,即砺+元=0.〔2〕由于例=玄 +而®,SO = SB + BO ®^SO = SC + CO⑥,由〔1〕知〕+砺 + 反=0,所以④+⑤+⑥可得3而=〔玄+而〕+ 〔况+旃〕+ 〔豆+初〕=中+况+豆,即SO = ；〔SZ + S8 +豆〕.。

1 12月10日 空间向量的加减运算与数乘运算
高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是底面A B C D ''''的中心，12AA '
=a ，12AB =b ，13AD =c ，AE x y z =++a b c ，则
A ．32,1,2x y z ===
B ．111,,22x y z ==
= C ．11,,122x y z === D ．112,,223x y z === 【参考答案】A
【试题解析】连接A C ''，B D ''，如下图所示：
因为1113()2(23)22222AE AA A E AA A C AA AB AD ''''''=+=+
=++=+=+a +b c a +b c ， 所以32,1,2
x y z ===．故选A ． 【名师点睛】（1）进行向量的线性运算，就是根据数乘运算律进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
（2）对于空间向量问题，应明确以下几个特殊的空间向量：①零向量，即长度为0的向量叫做零向量，记。

3.1.2 空间向量的数乘运算基础巩固类一、选择题1．如图，在平行六面体ABCD ­EFGH 中，若AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.56D.12．已知在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( ) A.AA 1→＋12AB →＋12AD →B.12AA 1→＋12AB →＋12AD →C.12AA 1→＋16AB →＋16AD → D.13AA 1→＋16AB →＋16AD → 3．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量4．已知空间向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D5．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝146．下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝07．在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若P A →＝a →，PB →＝b →，PC →＝c →，则BE →＝( )A.12a →－12b →＋12c →B.12a →－12b →－12c →C.12a →－32b →＋12c →D.12a →－12b →＋32c → 8．如图是一平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，E 为BC 延长线上一点，BC →＝2CE →，则D 1E →＝( )A.AB →＋AD →＋AA 1→B.AB →＋12AD →－AA 1→C.AB →＋AD →－AA 1→D.AB →＋13AD →－AA 1→二、填空题9．化简12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝_____________. 10．如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 边上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →＝____________ (用a ，b ，c 表示)．11．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝ . 三、解答题12．如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．13．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是线段AC 的中点，N 是线段A 1B 上的点，若MN ∥平面B 1BCC 1，试确定点N 的位置，并说明理由．能力提升类14．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面． 其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．415．如图，H 为四棱锥P ­ABCD 的棱PC 的三等分点，且PH ＝12HC ，点G 在AH 上，且AG＝mAH ，四边形ABCD 为平行四边形，若B ，G ，P ，D 四点共面，求实数m 的值．参考答案基础巩固类一、选择题1．【答案】C【解析】易知AG →＝AB →＋AD →＋CG →＝AB →＋BC →＋DH →，则x ＝1，y ＝－12，z ＝13，故x ＋y ＋z ＝56.2．【答案】D【解析】如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13(AA 1→＋12A 1C 1→)＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.3．【答案】A【解析】∵2a －b ＝2·a ＋(－1)·b ， ∴2a －b 与a ，b 共面． 4．【答案】A【解析】∵BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ， BA →＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴A ，B ，D 三点共线，故选A. 5．【答案】D【解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1，y ＝14.6．【答案】C【解析】C 选项中MA →＝－MB →－MC →， ∴点M 、A 、B 、C 共面，故选C. 7．【答案】C【解析】BE →＝12(BP →＋BD →)＝－12PB →＋12(BA →＋BC →)＝－12PB →＋12BA →＋12BC →＝－12PB →＋12(P A →－PB →)＋12(PC →－PB →)＝－32PB →＋12P A →＋12PC →＝12a →－32b →＋12c →.故选C. 8．【答案】B【解析】取BC 的中点F ，连接A 1F ，则A 1D 1綊FE ，所以四边形A 1D 1EF 是平行四边形，所以A 1F 綊D 1E ，所以A 1F →＝D 1E →.又A 1F →＝A 1A →＋AB →＋BF →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →，所以D 1E →＝AB →＋12AD →－AA 1→，故选B. 二、填空题9．【答案】56a ＋92b －76c .【解析】原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c＝⎝⎛⎭⎫12＋103－3a ＋⎝⎛⎭⎫1－52＋6b ＋⎝⎛⎭⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c . 10．【答案】－23a ＋12b ＋12c【解析】MN →＝MO →＋ON →＝23AO →＋12(OB →＋OC →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .11．【答案】215【解析】根据P ，A ，B ，C 四点共面的条件，知存在实数x ，y ，z ，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立，其中x ＋y ＋z ＝1，于是15＋23＋λ＝1，所以λ＝215.三、解答题12．解：∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．13．解：设BN →＝λBA 1→，因为MN ∥平面B 1BCC 1，所以存在实数x ，y ， 使得MN →＝xBC →＋yBB 1→. ①又MN →＝BN →－BM →＝λBA 1→－12(BC →＋BA →)＝λ(BB 1→＋BA →)－12(BC →＋BA →)＝－12BC →＋λBB 1→＋(λ－12)BA →. ②比较①②，可得λ＝12，即点N 是线段A 1B 的中点．能力提升类14．【答案】C【解析】显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.15．解：∵AB →＝PB →－P A →，且AB →＝DC →，∴DC →＝PB →－P A →. ∵PC →＝PD →＋DC →，∴PC →＝PD →＋PB →－P A →＝－P A →＋PB →＋PD →. ∵PH HC ＝12，∴PH →＝13PC →＝13(－P A →＋PB →＋PD →)＝－13P A →＋13PB →＋13PD →. 又AH →＝PH →－P A →，∴AH →＝－43P A →＋13PB →＋13PD →.∵AG AH ＝m ，∴AG →＝mAH →＝－4m 3P A →＋m 3PB →＋m 3PD →. ∵BG →＝－AB →＋AG →＝P A →－PB →＋AG →， ∴BG →＝(1－4m 3)P A →＋(m 3－1)PB →＋m3PD →.又B ，G ，P ，D 四点共面， ∴1－4m 3＝0，解得m ＝34.。