部分课后作业答案
2-8． 标称电阻为100Ω的应变计贴在弹性试件上。设试件的截面积 S=1×10-5m 2，弹性模量E=2×1011 N ／m 2，若由1．0×104N 的拉力作用，使应变计的电阻相对变化为1％，试求此应变计的灵敏度系数。 解：∵灵敏度系数ε
R
R K /∆=
，又已知
%1=∆R
R
，F=1.0×104 N ，S=1×10-5m 2，
∴ )/(101101100.129254m N m
N S F ⨯=⨯⨯==-σ 由εσ⋅=E ，可得3
2
1129105)
/(102)/(101-⨯=⨯⨯==m N m N E σ
ε 所以，灵敏度系数2105%
1/3
=⨯=
∆=
-ε
R
R K
2-9． 将4片相同的金属丝应变片贴在实心圆柱形测力弹性元件上，如题2.9图所示。设应变片的灵敏度系数K=2，作用力F=1 000kg 。圆柱形横截面半径r=1cm ，弹性元件的杨氏模量E=2×107N ／cm 2，泊松比μ＝0.285。求：
(1)画出应变片贴在圆柱上的位置图及相应测量电桥的原理图； (2)各应变片的应变ε；
(3)若测量电路采用电桥电路，设供电桥电压E ＝6V ，桥路输出电压U o 为多少?
(4)这种测量方法对环境温度的变化能否具有补偿作用?试说明原因。
解：⑴将R 1～R 4四片应变片按图2－9（a ）所示粘贴，其中R 1、R 3沿轴向粘贴，测量轴向应变，R 2、R 4沿径向粘贴，测量径向应变。
测量电桥为全桥测量电路， R 1与R 3置于电桥的一对角线上，R 2与R 4置于电桥的另一对角线上，如右图2－9（b ）所示。
题2.9 图
⑵∵
)
(1500105.1)
/(102)01.0(14.3/8.9100032
722
μεπσ
ε=⨯=⨯⨯⨯===
=
-cm N m N E
r F
E A F
E
∴
εK R R R R =∆=∆3
3
11， R 1与R 3的纵向应变（轴向应变）ε为1500με；
μεεK K R R R R r -==∆=∆4
4
22 ，式中μ为泊松比，μ＝0.285。 ∴R 2与R 4的横向应变（径向应变）εr 为
εr = －με＝－0.285×1500με＝－426（με） ⑶桥路的输出电压为
[])(6.11)(106.1112
1
41344332211mV V E K E
R R R R R R R R U o =⨯=+=⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∆-∆+∆-∆=
-εμ
⑷能具有温度补偿作用。因为四个相同的电阻应变片在同样的环境条件下，所以，由于温度的变化而产生的电阻相对变化量是相同的。这样就不会对全桥电路的输出电压产生影响。
3-1 有一只螺管形差动式电感传感器，已知电源电压U =4V ，f =400Hz ，传感器线圈铜电阻
和电感量分别为Ω=40R ，L =30mH ，用两只匹配电阻设计成4臂等阻抗电桥，如习题图3-10所示，试求：
习题图3-10
（1）匹配电阻R 1和R 2的值为多大才能使电压灵敏度达到最大； （2）当△Z =10Ω时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值。 解：
（1）
34Z=Z 2Z R j fL π==+
阻抗的幅值为
85.4A =
==Ω
4臂阻抗相等时电压灵敏度最大，于是有：
1285.4R R ===Ω
（2） 单臂情况
o 11040.117V 4485.4
Z U U Z ∆⨯====⨯
差动
o 1104
0.234V 2285.4
Z U U Z ∆⨯====⨯
3-2
试推导如习题图3-11所示差动型电感传感器电桥的输出特性()L f U ∆=0，已知电源
角频率为ω，Z 1、Z 2为传感器两线圈的阻抗，零位时Z 1=Z 2=L j r ω+，若以变间隙式传感器接入该电桥，求灵敏度表达式δ∆=0U k 多大（本题用有效值表示）。
习题图3-11
解：
Z 2Z 2o U U r j L
U r j
L
ωω∆∆+∆=
=+
o U =≈
220m r
N S
N L R l μδμ==
+ N 是线圈的匝数，l 是磁路总的长度。
工作时，衔铁移动使总气隙长度减少δ∆，则电感增加1L ∆，所以
201r
N S
L L l μδδμ+∆=
-∆+
1r
r
L L l L l δμδδμ+∆+=
-∆+ 电感的相对变化
111
11
11r
r L L l l δδδμδδδμ∆∆=⋅⋅+⎛⎫∆-
⎪+⎝⎭
因为
1
11r l δδδμ⎛⎫∆ ⎪+⎝⎭
，所以上式可展开成级数形式，即
2
11111111r r r L L l l l δδδδδμδδμδδμ⎡⎤⎛⎫∆∆∆∆⎢⎥=⋅+⋅+⋅+
⎪+++⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
同理，当总气隙长度增加δ∆，电感减小2L ∆，即
2
21111-111r r r L L l l l δδδδδμδδμδδμ⎡⎤⎛⎫∆∆∆∆⎢⎥=⋅⋅+⋅- ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦
对于差动式电感传感器，当磁路总气隙改变δ∆，电感相对变化为 2
12112111r r L L L L L l l δδδδμδδμ⎡⎤⎛⎫∆+∆∆∆∆⎢⎥==⋅+⋅+
⎪++⎢⎥⎝⎭
⎣
⎦
忽略高次项，则电感变化灵敏度为
1
21L r
L L K l δδδμ∆=
=⋅
∆+ 其灵敏度
o U K δ=
=∆
3-3
如习题图
3-12为气隙型电感传感器，衔铁截面积2
=44mm S ⨯，气隙总长度
=0.8mm δ，衔铁最大位移=0.08mm δ∆±，激励线圈匝数2500W =匝。导线直径
=0.06mm d ，电阻率6=1.7510cm ρ-⨯Ω⋅，当激励电源频率4000Hz f =时，忽略漏
磁及铁损，求：（1）线圈的电感值；（2）电感的最大变化量；（3）线圈的直流电阻值；（4）线圈的品质因数；（5）当线圈存在200pF 分布电容与之并联后其等效电感值。
