部分课后作业答案2-8． 标称电阻为100Ω的应变计贴在弹性试件上。
设试件的截面积 S=1×10-5m 2，弹性模量E=2×1011 N ／m 2，若由1．0×104N 的拉力作用，使应变计的电阻相对变化为1％，试求此应变计的灵敏度系数。
解：∵灵敏度系数εRR K /∆=，又已知%1=∆RR，F=1.0×104 N ，S=1×10-5m 2，∴ )/(101101100.129254m N mN S F ⨯=⨯⨯==-σ 由εσ⋅=E ，可得321129105)/(102)/(101-⨯=⨯⨯==m N m N E σε 所以，灵敏度系数2105%1/3=⨯=∆=-εRR K2-9． 将4片相同的金属丝应变片贴在实心圆柱形测力弹性元件上，如题2.9图所示。
设应变片的灵敏度系数K=2，作用力F=1 000kg 。
圆柱形横截面半径r=1cm ，弹性元件的杨氏模量E=2×107N ／cm 2，泊松比μ＝0.285。
求：(1)画出应变片贴在圆柱上的位置图及相应测量电桥的原理图； (2)各应变片的应变ε；(3)若测量电路采用电桥电路，设供电桥电压E ＝6V ，桥路输出电压U o 为多少?(4)这种测量方法对环境温度的变化能否具有补偿作用?试说明原因。
解：⑴将R 1～R 4四片应变片按图2－9（a ）所示粘贴，其中R 1、R 3沿轴向粘贴，测量轴向应变，R 2、R 4沿径向粘贴，测量径向应变。
测量电桥为全桥测量电路， R 1与R 3置于电桥的一对角线上，R 2与R 4置于电桥的另一对角线上，如右图2－9（b ）所示。
题2.9 图⑵∵)(1500105.1)/(102)01.0(14.3/8.9100032722μεπσε=⨯=⨯⨯⨯====-cm N m N Er FE A FE∴εK R R R R =∆=∆3311， R 1与R 3的纵向应变（轴向应变）ε为1500με；μεεK K R R R R r -==∆=∆4422 ，式中μ为泊松比，μ＝0.285。
∴R 2与R 4的横向应变（径向应变）εr 为εr = －με＝－0.285×1500με＝－426（με） ⑶桥路的输出电压为[])(6.11)(106.1112141344332211mV V E K ER R R R R R R R U o =⨯=+=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-∆+∆-∆=-εμ⑷能具有温度补偿作用。
因为四个相同的电阻应变片在同样的环境条件下，所以，由于温度的变化而产生的电阻相对变化量是相同的。
这样就不会对全桥电路的输出电压产生影响。
3-1 有一只螺管形差动式电感传感器，已知电源电压U =4V ，f =400Hz ，传感器线圈铜电阻和电感量分别为Ω=40R ，L =30mH ，用两只匹配电阻设计成4臂等阻抗电桥，如习题图3-10所示，试求：习题图3-10（1）匹配电阻R 1和R 2的值为多大才能使电压灵敏度达到最大； （2）当△Z =10Ω时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值。
解：（1）34Z=Z 2Z R j fL π==+阻抗的幅值为85.4A ===Ω4臂阻抗相等时电压灵敏度最大，于是有：1285.4R R ===Ω（2） 单臂情况o 11040.117V 4485.4Z U U Z ∆⨯====⨯差动o 11040.234V 2285.4Z U U Z ∆⨯====⨯3-2试推导如习题图3-11所示差动型电感传感器电桥的输出特性()L f U ∆=0，已知电源角频率为ω，Z 1、Z 2为传感器两线圈的阻抗，零位时Z 1=Z 2=L j r ω+，若以变间隙式传感器接入该电桥，求灵敏度表达式δ∆=0U k 多大（本题用有效值表示）。
习题图3-11解：Z 2Z 2o U U r j LU r jLωω∆∆+∆==+o U =≈220m rN SN L R l μδμ==+ N 是线圈的匝数，l 是磁路总的长度。
工作时，衔铁移动使总气隙长度减少δ∆，则电感增加1L ∆，所以201rN SL L l μδδμ+∆=-∆+1rrL L l L l δμδδμ+∆+=-∆+ 电感的相对变化1111111rr L L l l δδδμδδδμ∆∆=⋅⋅+⎛⎫∆-⎪+⎝⎭因为111r l δδδμ⎛⎫∆ ⎪+⎝⎭，所以上式可展开成级数形式，即211111111r r r L L l l l δδδδδμδδμδδμ⎡⎤⎛⎫∆∆∆∆⎢⎥=⋅+⋅+⋅+⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦同理，当总气隙长度增加δ∆，电感减小2L ∆，即221111-111r r r L L l l l δδδδδμδδμδδμ⎡⎤⎛⎫∆∆∆∆⎢⎥=⋅⋅+⋅- ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦对于差动式电感传感器，当磁路总气隙改变δ∆，电感相对变化为 212112111r r L L L L L l l δδδδμδδμ⎡⎤⎛⎫∆+∆∆∆∆⎢⎥==⋅+⋅+⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦忽略高次项，则电感变化灵敏度为121L rL L K l δδδμ∆==⋅∆+ 其灵敏度o U K δ==∆3-3如习题图3-12为气隙型电感传感器，衔铁截面积2=44mm S ⨯，气隙总长度=0.8mm δ，衔铁最大位移=0.08mm δ∆±，激励线圈匝数2500W =匝。
导线直径=0.06mm d ，电阻率6=1.7510cm ρ-⨯Ω⋅，当激励电源频率4000Hz f =时，忽略漏磁及铁损，求：（1）线圈的电感值；（2）电感的最大变化量；（3）线圈的直流电阻值；（4）线圈的品质因数；（5）当线圈存在200pF 分布电容与之并联后其等效电感值。
习题图3-12 气隙型电感传感器解： （1）227-330-3W S2500410410410125.6L mH 157mH 0.8100.8μπδ--⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯ （2）2200125.6125.665mH 220.80.160.8+0.16W S W S L μμδδδδ∆=-=-=-∆+∆- （3）()3-38223441044102500=1.7510247.70.03102l W R S d ρρππ---⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=Ω⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭（4）-322 3.1440001571015.9247.7LfL Q R R ωπ⨯⨯⨯⨯==== （5）等效电容为L p()-3p 2231215710160mH 11240001571020010L L LCωπ--⨯===--⨯⨯⨯⨯⨯4．当差动式变极距型电容传感器动极板相对于定极板移动了d ∆=0.75mm 时，若初始电容量8021==C C pF,初始距离d =4mm ，试计算其非线性误差。
若改为单组式平板电容，初始值不变，其非线性误差为多少？解：对于差动式变极距型电容传感器，使用时由于是两电容并联，总输出为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆ 4212d d d d d d C C 差 忽略非线性项后，其输出的线性表达式为d d C C ∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆2'差忽略高阶非线性项后，其输出的非线性表达式为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆2"12d d d d C C 差所以非线性误差为 ()()()22''"475.0///⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆∆-∆=d d C C C C C Ce L 差差差=0.035=3.5%若改为单平板电容，其输出为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆ 21d d d d d d C C 单 忽略非线性项后，其输出的线性表达式为d d C C ∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆'单忽略高阶非线性项后，其输出的非线性表达式为⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆d d d d C C 1"单所以非线性误差为 ()()()%1919.0475.0///''"===∆=∆∆-∆=d d C C C C C Ce L 单单单 6．已知圆盘形电容极板直径D =50mm ，极板间距0d =0.2mm ，在电极间置一块厚度g d =0.1mm 的云母片，其相对介电常数1r ε=7，空气的相对介电常数2r ε=1。
（1）求无云母片及有云母片两种情况下的电容值1C 、2C 各为多少？（2）当间距变化d ∆=0.025mm 时，电容相对变化量11/C C ∆与22/C C ∆各为多少？ 解：（1）当无云母片时，电容值为 123621202201109.86102.0410*******.84/----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==ππεεd D C r F=86.9pF 当有云母片时，相当于两个电容串联，其电容值为 ()()=⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯=-+=----1/101.02.07/101.04/10501085.8//4/336212201202πεεπεr g r g d d d D C 152×10-12F=152pF(2)根据上面所给的电容量表达式可求得，当间距减小d ∆=0.025mm 且无云母片时%1414.0025.02.0025.0011==-=∆-∆=∆d d d C C 当间距减小d ∆=0.025mm 且有云母片时()()()()025.02.071.071025.070112122-⨯+⨯-⨯=∆-+-∆=∆d d d d C C r g r r r εεεε =0.28=28%9．如题4-9图所示，在压力比指示系统中采用差动式变极距型电容式传感器作为敏感元件，采用电桥电路作为其转换电路。
已知原始极距1δ=2δ=0.25mm ；极板直径D =38.2mm ； 电阻R =5.1k Ω；两固定电容C =0.001μF ；电源电压U =60V,其频率f =400Hz 。
试求：（1）该电容传感器的电压灵敏度；（2）若电容传感器的活动极板位移δ∆=10μm 时，求输出电压的有效值。
题4-9图解：根据题4-9图所示的桥路连接方法，可得()()()∙∙∙-++++=U U C j R C j R C j R U 211112120ωωω22212121∙++-=UR C C j C C C C ω由于原始极距1δ=2δ=δ=0.25mm ，所以初始时36212200211025.04102.3811085.84/---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====πδπεεD C C C r111006.4-⨯=F=40.6Pf当极板移动时，在线性近似条件下，即当0C C ∆<<1时，两电容的改变量大小相等，符号相反，若1C 增大C ∆，则2C 减小C ∆，反之亦然。
