北京市石景山区2013-2014学年高三年级第一学期期末数学(文)试题(WORD精校版)
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石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}31M x x =∈-≤≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么M N = （ ）A ．{101}-，，B ．{321}---，，C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（ ） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i --3．已知向量1)=a ，(1)c =，b .若⋅a b 0=，则实数c 的值为（ ）A ．BC ．3D ．3-4．已知数列}{n a 为等差数列，4724a a ==-，，那么数列}{n a 的通项公式为（ ）A ．210n a n =-+B ．25n a n =-+C ．1102n a n =-+ D ．152n a n =-+5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2， 则输出的x 的值为（ ） A ．3 B ．126 C ．127 D ．1286．已知直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A B ，两点，那么弦AB 的长等于 （ ）A． B． CD ．17．设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()()1xf x x x=-∈+R ，区间[]()M a b a b =<，，集合{}()N y y f x x M ==∈，，则使M N =成立的实数对()a b ，有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知3sin =5α，且()2παπ∈，，则cos α= ． 10．函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值为 ．11．二元一次不等式组1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，所表示的平面区域的面积为 ，z x y =+的最大值为 ．12．某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的侧面积为 ．13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o150，则||PF =______． 14．已知三角形ABC ，2AB =，AC =，那么三角形ABC 面积的最大值为 ．俯视图主视图左视图三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 21()f x x x x x =++∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值，并写出()f x 取最小值时相应的x 值．16．（本小题满分13分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）求选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率．M APEBDCF17.（本小题满分14分）如图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =点E ，F 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求三棱锥P ADE -的体积； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面PBC ；（Ⅲ）若点M 为线段AD 中点，求证：PM ∥平面AEF ．18．（本小题满分13分）已知函数()2xf x e x =-（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若存在．．122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()f x mx <成立，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(20)，，且椭圆C 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M N ，两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合{101}A =-，，，对于数列{}n a 中(123)i a A i n ∈= ，，，，. （Ⅰ）若三项数列{}n a 满足1230a a a ++=，则这样的数列{}n a 有多少个？ （Ⅱ）若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足首项10b =，11i i i b b a ---=（23i n = ，，，），且末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值．石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(两空的题目第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 2cos 2+1x x =+ …………2分 2sin2+16x π=+（）， ……………4分所以函数)(x f 的最小正周期π ……………6分 （Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363xπππ-≤+≤， ……………8分 sin(2)126x π-≤+≤， ……………10分 12sin 2+136x π≤+≤（）， ……………11分所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f 取得最小值1+．……………13分所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为3535⨯=，从体质为优秀的学生中抽取的人数为2525⨯=． ……………6分 （ⅰ）设在抽取的5名学生中体质为良好的学生为1a ，2a ，3a ，体质为优秀的学生为1b ，2b ．则从5名学生中任选3人的基本事件有123()a a a ，，，121()a a b ，，，122()a a b ，，，131()a a b ，，，132()a a b ，，，231()a a b ，，，232()a a b ，，，112()a b b ，，，212()a b b ，，，312()a b b ，，10个，其中“至少有1名学生体质为优秀”的事件有121()a a b ，，，122()a a b ，，，131()a a b ，，，132()a a b ，，，231()a a b ，，，232()a a b ，，，112()a b b ，，， 212()a b b ，，，312()a b b ，，9个． 所以在选出的3名学生中至少有1名学生体质为优秀的概率为910． ……………10分 （ⅱ）“选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数”的事件有112()a b b ，，，212()a b b ，，，312()a b b ，，3个．（Ⅰ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为三棱锥P ADE -的高． ……………2分1122ADE S ∆==，所以113P ADE V -==……………4分 （Ⅱ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A = ， 所以BC ⊥平面PAB 因为AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥． ……………6分 因为PA AB =，点F 是PB 的中点， 所以PB AF ⊥ 又因为BC PB B = ，所以AF ⊥平面PBC ． ……………8分 （Ⅲ）证明：连结BM 交AE 于N ，连结PM ，FN ． 因为四边形ABCD 是矩形， 所以//AD BC ，且=AD BC ， 又M ，E 分别为AD ，BC 的中点， 所以四边形AMEB 是平行四边形， 所以N 为BM 的中点， 又因为F 是PB 的中点，所以PM ∥FN ， ……………13分因为PM ⊄平面AEF ，NF ⊂平面AEF ，所以PM ∥平面AEF . ……………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）(0)1f =. ……………1分()2x f x e '=-得(0)1f '=-， ……………2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分M A PEB DCFN（Ⅱ）()2xf x e '=-.令()0f x '=，即2=0xe -，解得ln 2x =. ……………5分(ln 2)x ∈-∞，时，()0f x '<，(ln 2)x ∈+∞，时，()0f x '>，此时()f x 的单调递减区间为(ln 2)-∞，，单调递增区间为(ln 2)+∞，. ……………7分（Ⅲ）由题意知1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立，即1[2]2x ∃∈，使2x e x m x ->成立； ……………8分所以min 2x e xm x ->（） ……………9分令()2x e g x x =-，2(1)()xx e g x x -'=， 所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增， 则min ()(1)2g x g e ==-， ……………12分 所以(2)m e ∈-+∞，. ……………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点(20)，在椭圆C 上，所以22401a b +=， 所以24a =， ……………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以12c a =，即22214a b a -= ， ……………2分 解得23b =， ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）设0(1)P y -，，033()22y ∈-，， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11()M x y ，，22()N x y ，，由2203412(1)x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩，，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， ……………7分 所以2012288+34ky k x x k+=-+， ……………8分 因为P 为MN 中点， 所以12=12x x +-，即20288=234ky k k +--+. 所以003(0)4MN k y y =≠， ……………9分 因为直线l MN ⊥，所以043l y k =-， 所以直线l 的方程为004(1)3y y y x -=-+， 即041()34y y x =-+ ， 显然直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………11分 ②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-，此时直线l 为x 轴，也过点1(0)4-，. ……………13分综上所述直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………14分 20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）满足1230a a a ++=有两种情形：0000++=，这样的数列只有1个；1(1)00+-+=，这样的数列有6个，所以符合题意的数列{}n a 有7个． ……………3分 （Ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以1211(23)i i b a a a b i n -=++++= ，，，， ……………5分 因为首项10b =，所以121(23)i i b a a a i n -=+++= ，，，． 根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++= ， ……………6分而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a - ，，，中有12n -个1和12n -个1-． ……………8分 121121210()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=++++++++121(1)(2)n n a n a a -=-+-++要求n S 的最大值，则要求121n a a a - ，，，的前12n -项取1，后12n -项取1-． ……………11分 所以max ()(1)(2)(3)(3)(2)(1)n S n n n =-+-+-++-+-+-2(1)(2)(4)(6)14n n n n -=-+-+-++= ． 所以2max (1)()4n n S -= （n 为正奇数）． ……………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
