列联表确切概率计算法_苏炳华
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高考数学公式：排列组合公式页数:4
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用列举法求概率第1课时
基础应用列举法的步骤
首先，确定事件的可能结果；其次， 将每种可能的结果一一列出；最后， 根据每种结果的出现次数计算概率。
进阶应用
进阶应用列举法求概率
在进阶应用中，列举法用于复杂事件的概率计算。这些事件 可能涉及多个因素和条件，例如多个骰子的组合、多个选项 的选择等。
进阶应用列举法的步骤
首先，分析事件的组成和影响因素；其次，将每个影响因素 的可能结果一一列出；最后，根据每个影响因素的结果组合 计算概率。
04保所有可能的结果都已列出， 没有遗漏任何一种可能性。
对所有可能的结果进行分类和 分组，确保每种结果都明确列 出。
在列举时，要特别注意那些容 易被忽视或遗漏的可能性。
注意无序性
在列举时，要注意结果的顺序不 影响概率，因此要确保列举的结
果是无序的。
在列举时，要避免将结果按照某 种顺序排列，以免影响概率的正
古典概型
基于等可能性和互斥性，计算概率时 只需考虑基本事件的数量。
列举法
总结
古典概型适用于大规模样本空间，而 列举法适用于样本空间较小的情况。 列举法可以看作是古典概型的一种简 化计算方法。
通过一一列举所有可能的结果来计算 概率，适用于样本空间较小的情况。
与几何概型比较
01
02
03
几何概型
基于几何形状的面积或体 积来计算概率，常用于连 续随机试验。
高级应用
高级应用列举法求概率
在高级应用中，列举法用于非常复杂事件的概率计算。这些事件可能涉及大量 的数据和复杂的逻辑关系，例如市场调查、风险评估等。
高级应用列举法的步骤
首先，收集和分析事件的相关数据；其次，建立事件的逻辑模型；最后，通过 逻辑模型和数据计算概率。
首先，确定事件的可能结果；其次， 将每种可能的结果一一列出；最后， 根据每种结果的出现次数计算概率。
进阶应用
进阶应用列举法求概率
在进阶应用中，列举法用于复杂事件的概率计算。这些事件 可能涉及多个因素和条件，例如多个骰子的组合、多个选项 的选择等。
进阶应用列举法的步骤
首先，分析事件的组成和影响因素；其次，将每个影响因素 的可能结果一一列出；最后，根据每个影响因素的结果组合 计算概率。
04保所有可能的结果都已列出， 没有遗漏任何一种可能性。
对所有可能的结果进行分类和 分组，确保每种结果都明确列 出。
在列举时，要特别注意那些容 易被忽视或遗漏的可能性。
注意无序性
在列举时，要注意结果的顺序不 影响概率，因此要确保列举的结
果是无序的。
在列举时，要避免将结果按照某 种顺序排列，以免影响概率的正
古典概型
基于等可能性和互斥性，计算概率时 只需考虑基本事件的数量。
列举法
总结
古典概型适用于大规模样本空间，而 列举法适用于样本空间较小的情况。 列举法可以看作是古典概型的一种简 化计算方法。
通过一一列举所有可能的结果来计算 概率，适用于样本空间较小的情况。
与几何概型比较
01
02
03
几何概型
基于几何形状的面积或体 积来计算概率，常用于连 续随机试验。
高级应用
高级应用列举法求概率
在高级应用中，列举法用于非常复杂事件的概率计算。这些事件可能涉及大量 的数据和复杂的逻辑关系，例如市场调查、风险评估等。
高级应用列举法的步骤
首先，收集和分析事件的相关数据；其次，建立事件的逻辑模型；最后，通过 逻辑模型和数据计算概率。
第六节 四格表资料的确切概率法
2.卡方检验的基本原理
若检验假设H0:π1=π2成立，四个格子的实际频 数A与理论频数T相差不应该很大，即统计量 该很大。如果
2
不应
2值很大，即相对应的 P 值很小，
若 P ，则反过来推断A与T相差太大，超出了抽样
误差允许的范围，从而怀疑 H0的正确性，继而拒绝
H0，接受其对立假设H1，即π1≠π2。
f
(1) 2.65 | 2.95 | 3.25 | 3.55 | 3.85 | 4.15 | 4.45 | 4.75 | 5.05 | 5.35 | 5.65
(2) 5 5 4 19 12 12 24 10 5 4 100
(3) -1.85 -1.41 -0.96 -0.51 -0.07 0.38 0.82 1.27 1.71
医 学 生 ， 测 定 空 腹 血 糖 值 (mmol/L)， 其 频 数 分 布 如 表 6-1 中 第 (1)栏 和 第 (2)栏 所 示 ， 试 用 2 检 验 判 断 该 资料是否符合正态分布。
H0： 空 腹 血 糖 的 实 际 频 数 与 正 态 分 布 的 理 论 频 数 符 合
H1 ： … 不 符 合
15
18
性质:若 (1 ), ( 2 ) 互相独立,
2 2
则
(1 ) ( 2 ) 服从 分布, 自由度 1 2
2 2 2
( 1 ) ( 2 ) 服从 分布, 自由度 1 2
2 2 2
第二节 拟合优度检验
类别或组段 观察频数 理论频数
一、四格表（2×2表）卡方检验
二、行×列表卡方检验 三、配对四格表卡方检验
一 、 四 格 表 (fourfold table)资 料 的 2 检 验 (两 个 样 本 率 的 比 较 )
第六节四格表资料的确切概率法精品PPT课件
2 0.01(1)
6.63
(2.5758)2
Z2 0.01/ 2
χ2分布（chi-square distribution）
纵高
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0
f
( 2)
1
2( / 2)
2
2
( / 21)
e2 / 2
自由度＝1 自由度＝2 自由度＝3 自由度＝6 P＝0.05的临界值
-
bc
|
-
n 2
)2
n
(a +b)(c + d )(a + c)(b+
d
)
四格表资料 2 检验公式选择条件：
n 40, T 5，专用公式或基本公式
n
40,
1
T
5
，校正接计算概率
或 P 时，
(Fisher确切概率)。
2 连续性校正仅用于 1 的四格表资料，当 2
382 112 68
322 112 51
d)2 d
(a b)(a c)
(a b)(b d)
(c d)(b d)
abcd
abcd
abcd
(ad bc)2 n
(a b)(c d)(a c)(b d)
1 ; （四格表专用公式）
4.四格表资料检验的连续性校正公式
c2
( A T 0.5)2 T
c2
=
(|
ad
57.84
27.16
57.16
26.84
(行数-1)(列数1) (21)(21) 1
因
2
4.13
2 0.05,1
3.84,所以P
0.05，拒绝H0
8.4 列联表资料的确切概率法
第八章 c2检验
四、列联表资料的确切概率法
表 811 两种药物治疗精神抑郁症的效果
治疗效果
分组
合计 有效率%
有效 无效
甲药
7
5
12
58.3
乙药
3
8
11
27.3
合计
10
13
23
43.5
H0成立时所有可能结局有哪些？ 本研究的“更极端状况”是哪些？
2
2
表 812 各种组合的四格表计算的确切概率
甲药有效率 P甲
1
10
0.0909
10
2
0.8333
11
0.8333
0.0001
0
11
5
0.0000
5
四格表序号 i
有效
无效
P甲 - P 乙
Pi
乙药有效率 P乙
0
12
0.0000
1
0.9091
0.0000
10
1
0.9091
1
11
0.0833
2
0.7349
0.0006
9
2
0.8182
2
10
0.1667
3
0.5606
0.0095
8
3
0.7273
3
9
0.2500
4
0.3864
0.0635
7
4
0.6364
4
乙药有效率 P 乙
P甲 - P乙
0
12
0.0000
1
0.9091
10
1
0.9091
Pi 0.0000
1
11
四、列联表资料的确切概率法
表 811 两种药物治疗精神抑郁症的效果
治疗效果
分组
合计 有效率%
有效 无效
甲药
7
5
12
58.3
乙药
3
8
11
27.3
合计
10
13
23
43.5
H0成立时所有可能结局有哪些？ 本研究的“更极端状况”是哪些？
2
2
表 812 各种组合的四格表计算的确切概率
甲药有效率 P甲
1
10
0.0909
10
2
0.8333
11
0.8333
0.0001
0
11
5
0.0000
5
四格表序号 i
有效
无效
P甲 - P 乙
Pi
乙药有效率 P乙
0
12
0.0000
1
0.9091
0.0000
10
1
0.9091
1
11
0.0833
2
0.7349
0.0006
9
2
0.8182
2
10
0.1667
3
0.5606
0.0095
8
3
0.7273
3
9
0.2500
4
0.3864
0.0635
7
4
0.6364
4
乙药有效率 P 乙
P甲 - P乙
0
12
0.0000
1
0.9091
10
1
0.9091
Pi 0.0000
1
11
高中数学新教材《8.3.2独立性检验》公开课优秀课件(好用)
)
(+)(+)(+)(+)
+
( + )( + )
( −
讲
课
人
：
邢
启
强
9
统计学家建议,用随机变量2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据,当它
比较大时推断H0不成立,否则认为H0成立.
那么,究竟2大到什么程度,可以推断H0不成立呢?或者说,怎样确定判断2大小的
以接受H0,推断出两校学生的数学优秀率没有显著差异的结论,
这个检验结果意味着,抽样数据中两个频率的差异很有可能是由样本随机性导
致的,因此,只根据频率的差异得出两校学生的数学成绩优秀率有差异的结论是不
可靠的。
由此可见,相对于简单比较两个频率的推断,用 独立性检验得到的结果更理
性、更全面,理论依据也更充分。
成立，否则认为H0成立。这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法
称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
12
例2：依据小概率值=0.1的 独立性检验，分析上节课例1中的抽样数据，能否据
此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
例1：为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.
P(Y=1|X=0)表示从{X=0}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=0,Y=1}的概率;
P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=1,Y=1}的概率。
(=0,=1) (=1,=1)
由条件概率的定义可知,零假设H0等价于
=
(=0)
(=1)
或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0). ①
(+)(+)(+)(+)
+
( + )( + )
( −
讲
课
人
：
邢
启
强
9
统计学家建议,用随机变量2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据,当它
比较大时推断H0不成立,否则认为H0成立.
那么,究竟2大到什么程度,可以推断H0不成立呢?或者说,怎样确定判断2大小的
以接受H0,推断出两校学生的数学优秀率没有显著差异的结论,
这个检验结果意味着,抽样数据中两个频率的差异很有可能是由样本随机性导
致的,因此,只根据频率的差异得出两校学生的数学成绩优秀率有差异的结论是不
可靠的。
由此可见,相对于简单比较两个频率的推断,用 独立性检验得到的结果更理
性、更全面,理论依据也更充分。
成立，否则认为H0成立。这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法
称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
12
例2：依据小概率值=0.1的 独立性检验，分析上节课例1中的抽样数据，能否据
此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
例1：为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.
P(Y=1|X=0)表示从{X=0}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=0,Y=1}的概率;
P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=1,Y=1}的概率。
(=0,=1) (=1,=1)
由条件概率的定义可知,零假设H0等价于
=
(=0)
(=1)
或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0). ①
用列举法求概率树状图法ppt课件
25.2用列举法求概率
1
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现 的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可 能的结果,通常采用列表法.
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
另一 个因素 所包含 的可能 情况
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
当一次试 验中涉及3个 因素或更多 的因素时,怎 么办?
当试验包含两步时,列表法比较方便,当然, 此时也可以用树形图法;
当试验在三步或三步以上时,用树形图法 方便.
9
1. 在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机的抽取一张 后放回,再随机的抽取一张,那么,第2次取出的数字能 够整除第1次取出的数字的概率是多少?
2.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左 转或向右转,如果这三种可能性大小相同,当有三辆汽车 经过这个十字路口时,求下列事件的概率:
所以穿相同一双袜子的概率 P 4 1
12 3
17
A1
A2
B1 B2
A1 A2 B1 B2
18
A1
A2
B1 B2
A1
(A1,A2) (A1,B1) (A1,B2)
A2
(A2,A1)
(A2,B1) (A2,B2)
B1
（B1，A1（）B1，A2）
（B1，B2）
B2
（B2，A1）（B2，A2）（B2，B1）
∴ P(C)= 4 1
82
4
例2.甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;乙口袋中装有3个 相同的小球,它们分别写有字母C. D和E;丙口袋中装有2个相同的小球,它们分 别写有字母H和I,从3个口袋中各随机地取出1个小球.
(1)取出的3个小球上,恰好有1个,2个和3个元音字母 的概率分别是多少?
1
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现 的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可 能的结果,通常采用列表法.
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
另一 个因素 所包含 的可能 情况
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
当一次试 验中涉及3个 因素或更多 的因素时,怎 么办?
当试验包含两步时,列表法比较方便,当然, 此时也可以用树形图法;
当试验在三步或三步以上时,用树形图法 方便.
9
1. 在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机的抽取一张 后放回,再随机的抽取一张,那么,第2次取出的数字能 够整除第1次取出的数字的概率是多少?
2.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左 转或向右转,如果这三种可能性大小相同,当有三辆汽车 经过这个十字路口时,求下列事件的概率:
所以穿相同一双袜子的概率 P 4 1
12 3
17
A1
A2
B1 B2
A1 A2 B1 B2
18
A1
A2
B1 B2
A1
(A1,A2) (A1,B1) (A1,B2)
A2
(A2,A1)
(A2,B1) (A2,B2)
B1
（B1，A1（）B1，A2）
（B1，B2）
B2
（B2，A1）（B2，A2）（B2，B1）
∴ P(C)= 4 1
82
4
例2.甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;乙口袋中装有3个 相同的小球,它们分别写有字母C. D和E;丙口袋中装有2个相同的小球,它们分 别写有字母H和I,从3个口袋中各随机地取出1个小球.
(1)取出的3个小球上,恰好有1个,2个和3个元音字母 的概率分别是多少?
52用列举法计算概率课件
52 用列举法计算概率
中考 试题
例1 在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球，它们除颜
色不同外都相同.随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分
摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（C ）.
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
解 列表或画树状图可知，摸球共有16种等可能的结
果，其中两次都摸到黄球有4种， P = 146,=故14选C.
（3）记下的数字是12．
不可能事件
图5-2
52 用列举法计算概率
2. 小明和小亮做掷一枚硬币两次的游戏.他们商定： 如果两次朝上的面相同，那么小明获胜；如果两 次朝上的面不同，那么小亮获胜.这个游戏公平吗？ 即小明和小亮获胜的概率相等吗？ 答：公平. 因为获胜的概率是一样的.
52 用列举法计算概率
3 4
.
52 用列举法计算概率
在随机现象中，出现的各种可能的结果共有n种.
如果出现其中每一种结果的可能性大小是一样的，
那么出现每一种结果的概率都是
.
1 n
在随机现象中，如果事件A包含m种可能的结果，
那么出现这个事件的概率记作P(A).
P ( A ) n 1 n 1 n 1 m n
m个
结果，所以 P(和为5)=
1 4
，故选C.
52 用列举法计算概率
结束
52 用列举法计算概率
我们可以利用下述“树状图”来表示所有可 能出现的结果：
第一次
第二次
开始
正面 反面
正面 反面 正面 反面
52 用列举法计算概率
（1）掷一枚硬币两次，出现上述每一种结果的概率 是多少？ 掷一枚硬币两次，第一次出现正面与出现反 面的可能性大小是一样的； 无论第一次出现的结果是什么，第二次出现 正面与出现反面的可能性大小也是一样的.
中考 试题
例1 在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球，它们除颜
色不同外都相同.随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分
摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（C ）.
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
解 列表或画树状图可知，摸球共有16种等可能的结
果，其中两次都摸到黄球有4种， P = 146,=故14选C.
（3）记下的数字是12．
不可能事件
图5-2
52 用列举法计算概率
2. 小明和小亮做掷一枚硬币两次的游戏.他们商定： 如果两次朝上的面相同，那么小明获胜；如果两 次朝上的面不同，那么小亮获胜.这个游戏公平吗？ 即小明和小亮获胜的概率相等吗？ 答：公平. 因为获胜的概率是一样的.
52 用列举法计算概率
3 4
.
52 用列举法计算概率
在随机现象中，出现的各种可能的结果共有n种.
如果出现其中每一种结果的可能性大小是一样的，
那么出现每一种结果的概率都是
.
1 n
在随机现象中，如果事件A包含m种可能的结果，
那么出现这个事件的概率记作P(A).
P ( A ) n 1 n 1 n 1 m n
m个
结果，所以 P(和为5)=
1 4
，故选C.
52 用列举法计算概率
结束
52 用列举法计算概率
我们可以利用下述“树状图”来表示所有可 能出现的结果：
第一次
第二次
开始
正面 反面
正面 反面 正面 反面
52 用列举法计算概率
（1）掷一枚硬币两次，出现上述每一种结果的概率 是多少？ 掷一枚硬币两次，第一次出现正面与出现反 面的可能性大小是一样的； 无论第一次出现的结果是什么，第二次出现 正面与出现反面的可能性大小也是一样的.
医学统计学列联表检验
les
22.14.
H0:“方法”与“疗效”独立,H1:“方法”与“疗效”不独立
双向有序表的检验
1.双向有序且属性相同表（配对四格表）的检验
两个分类变量的标志完全一样且有序排列相同，是相关样本 数据构成的列联表。
例: 用甲乙两种方法检查鼻咽癌患者93例,两法都是阳性的 45例,都是阴性的20例,甲法阳性但乙法阴性的22例,甲法阴 性但乙法阳性的6例。
（3）列联表分析
菜单 “Analyze”|“ Descriptive Statistics”|“ Crosstabs ” 命令
1
将“结果[result]”
点入“Row(s)”
框，将“吸烟情
况[smoke]”点
入“Cloumn(s)”
框。
点击“Statistics”
钮。
2
【Statistics钮】 用于定义所需计 算的统计量。
1
.010
Likelihood Ratio 7.925
1
.005
Fisher's Exact Test
.007
.004
N of Valid Cases 339
a. Computed only for a 2x2 table
b. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expec 22.14.
独立。
疗法
不加牛黄 加牛黄 合计
疗效 治愈 未愈
合计
32
46
78
76
50
126
108
96
204
. 四格表独立性 检验
例1:某医院收得乙型脑 炎重症病人204例,随机 分成两组,分别用同样的 中草药方剂治疗,但其中 一组加一定量的人工牛 黄,每个病人根据治疗方 法和治疗效果进行分类, 得出如下表格:
2023新教材高中数学第8章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验课件新人教A版选择性必修第三册
()
(3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断
一定是正确的．
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
4．在吸烟与患肺癌是否相关的研究中，下列说法正确的 是( )
A．若χ2＞6.635，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟 与患肺癌有关，则在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌
第八章 成对数据的统计分析
8.3 列联表与独立性检验
1．基于2×2列联表，通过实例了解独立性检验的基本思想． 2．掌握独立性检验的基本步骤．(重点) 3．能利用条形图、列联表探讨两个分类变量的关系．(易混点) 4．了解χ2的含义及其应用．(重点) 5．会用独立性检验解决简单的实际问题．(难点)
1．通过学习独立性检验的基本思想，提升逻辑推理素养． 2．借助χ2公式，培养数学运算素养． 3．借助条形图，培养直观想象素养． 4．通过利用独立性检验解决实际问题，提升数据分析能力．
(2)观察等高条形图发现
a a＋b
和
c c＋d
相差很大，就判断两个分类
变量之间有关系．
2．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年， 为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区 初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人， 这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及 格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？
合计
30
75
105
试用等高堆积条形图分析服用药和患病之间是否有关系．
[解] 根据列联表所给的数据可得出服用药患病的频率为
10 55
≈0.18，未服用药患病的频率为
20 50
＝0.4，作出等高堆积条形图如图
如何迅速计算概率问题
如何迅速计算概率问题在数学和统计学中，概率是研究随机现象的理论基础。
在实际问题中，计算概率常常需要耗费大量的时间和精力。
然而，通过一些快速计算的技巧和方法，我们可以简化计算过程，并迅速得出答案。
本文将介绍一些可以帮助你迅速计算概率问题的方法。
一、事件的基本原理在计算概率问题时，首先需要理解事件的基本原理。
事件是指某一结果或一系列结果的集合，而概率是指某个事件发生的可能性。
在计算概率问题时，需要明确定义事件和样本空间，并根据事件中元素的数量和样本空间中元素的数量来计算概率。
二、排列和组合排列和组合是计算概率问题中常用的技巧。
排列指的是从一组对象中选择出一部分对象，并按照一定的顺序进行排列。
组合指的是从一组对象中选择出一部分对象，而不考虑顺序。
在计算概率问题中，排列和组合的公式可以帮助我们快速计算出事件的可能性。
三、加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理是计算概率问题中常用的原理。
加法原理指的是计算多个事件同时发生的概率时，可以将各个事件的概率相加。
乘法原理指的是计算多个事件依次发生的概率时，可以将各个事件的概率相乘。
通过运用加法原理和乘法原理，我们可以迅速计算出复杂问题的概率。
四、条件概率和独立事件条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
在计算条件概率时，可以利用乘法原理和独立事件的概念来简化计算过程。
独立事件指的是两个事件互不影响，一个事件的发生不会影响另一个事件的概率。
通过将条件概率和独立事件的概念结合起来，我们可以迅速计算出复杂问题的概率。
五、贝叶斯公式贝叶斯公式是计算条件概率的重要工具。
在计算条件概率时，我们经常需要根据某个事件的后验概率和先验概率来计算另一个事件的条件概率。
贝叶斯公式提供了一种有效的方法来计算条件概率，并在统计学和机器学习中得到广泛应用。
六、近似计算在面对复杂问题时，有时候我们无法直接计算出精确的概率。
这时，可以利用近似计算方法来估计概率的范围。
常用的近似计算方法包括蒙特卡洛模拟和中心极限定理。