列联表确切概率计算法_苏炳华

基础应用列举法的步骤
首先，确定事件的可能结果；其次， 将每种可能的结果一一列出；最后， 根据每种结果的出现次数计算概率。
进阶应用
进阶应用列举法求概率
在进阶应用中，列举法用于复杂事件的概率计算。这些事件 可能涉及多个因素和条件，例如多个骰子的组合、多个选项 的选择等。
进阶应用列举法的步骤
首先，分析事件的组成和影响因素；其次，将每个影响因素 的可能结果一一列出；最后，根据每个影响因素的结果组合 计算概率。
04保所有可能的结果都已列出， 没有遗漏任何一种可能性。
对所有可能的结果进行分类和 分组，确保每种结果都明确列 出。
在列举时，要特别注意那些容 易被忽视或遗漏的可能性。
注意无序性
在列举时，要注意结果的顺序不 影响概率，因此要确保列举的结
果是无序的。
在列举时，要避免将结果按照某 种顺序排列，以免影响概率的正
古典概型
基于等可能性和互斥性，计算概率时 只需考虑基本事件的数量。
列举法
总结
古典概型适用于大规模样本空间，而 列举法适用于样本空间较小的情况。 列举法可以看作是古典概型的一种简 化计算方法。
通过一一列举所有可能的结果来计算 概率，适用于样本空间较小的情况。
与几何概型比较
01
02
03
几何概型
基于几何形状的面积或体 积来计算概率，常用于连 续随机试验。
高级应用
高级应用列举法求概率
在高级应用中，列举法用于非常复杂事件的概率计算。这些事件可能涉及大量 的数据和复杂的逻辑关系，例如市场调查、风险评估等。
高级应用列举法的步骤
首先，收集和分析事件的相关数据；其次，建立事件的逻辑模型；最后，通过 逻辑模型和数据计算概率。

2.卡方检验的基本原理
若检验假设H0:π1=π2成立，四个格子的实际频 数A与理论频数T相差不应该很大，即统计量 该很大。如果
2
不应
2值很大，即相对应的 P 值很小，
若 P ，则反过来推断A与T相差太大，超出了抽样
误差允许的范围，从而怀疑 H0的正确性，继而拒绝
H0，接受其对立假设H1，即π1≠π2。
f
(1) 2.65 | 2.95 | 3.25 | 3.55 | 3.85 | 4.15 | 4.45 | 4.75 | 5.05 | 5.35 | 5.65
(2) 5 5 4 19 12 12 24 10 5 4 100
(3) -1.85 -1.41 -0.96 -0.51 -0.07 0.38 0.82 1.27 1.71
医 学 生 ， 测 定 空 腹 血 糖 值 (mmol/L)， 其 频 数 分 布 如 表 6-1 中 第 (1)栏 和 第 (2)栏 所 示 ， 试 用 2 检 验 判 断 该 资料是否符合正态分布。
H0： 空 腹 血 糖 的 实 际 频 数 与 正 态 分 布 的 理 论 频 数 符 合
H1 ： … 不 符 合
15
18
性质:若 (1 ), ( 2 ) 互相独立,
2 2
则
(1 ) ( 2 ) 服从 分布, 自由度 1 2
2 2 2
( 1 ) ( 2 ) 服从 分布, 自由度 1 2
2 2 2
第二节 拟合优度检验
类别或组段 观察频数 理论频数
一、四格表（2×2表）卡方检验
二、行×列表卡方检验 三、配对四格表卡方检验
一 、 四 格 表 (fourfold table)资 料 的 2 检 验 (两 个 样 本 率 的 比 较 )

2 0.01(1)
6.63
(2.5758)2
Z2 0.01/ 2
χ2分布（chi-square distribution）
纵高
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0
f
( 2)
1
2( / 2)
2
2
( / 21)
e2 / 2
自由度＝1 自由度＝2 自由度＝3 自由度＝6 P＝0.05的临界值
-
bc
|
-
n 2
)2
n
(a +b)(c + d )(a + c)(b+
d
)
四格表资料 2 检验公式选择条件：
n 40, T 5，专用公式或基本公式
n
40,
1
T
5
，校正接计算概率
或 P 时，
(Fisher确切概率)。
2 连续性校正仅用于 1 的四格表资料，当 2
382 112 68
322 112 51
d)2 d
(a b)(a c)
(a b)(b d)
(c d)(b d)
abcd
abcd
abcd
(ad bc)2 n
(a b)(c d)(a c)(b d)
1 ; （四格表专用公式）
4.四格表资料检验的连续性校正公式
c2
( A T 0.5)2 T
c2
=
(|
ad
57.84
27.16
57.16
26.84
(行数-1)(列数1) (21)(21) 1
因
2
4.13
2 0.05,1
3.84,所以P
0.05，拒绝H0

第八章 c2检验
四、列联表资料的确切概率法
表 8­11 两种药物治疗精神抑郁症的效果
治疗效果
分组
合计 有效率%
有效 无效
甲药
7
5
12
58.3
乙药
3
8
11
27.3
合计
10
13
23
43.5
H0成立时所有可能结局有哪些？ 本研究的“更极端状况”是哪些？
2
2
表 8­12 各种组合的四格表计算的确切概率
甲药有效率 P甲
1
10
0.0909
10
2
0.8333
11
0.8333
0.0001
0
11
5
0.0000
5
四格表序号 i
有效
无效
P甲 - P 乙
Pi
乙药有效率 P乙
0
12
0.0000
1
0.9091
0.0000
10
1
0.9091
1
11
0.0833
2
0.7349
0.0006
9
2
0.8182
2
10
0.1667
3
0.5606
0.0095
8
3
0.7273
3
9
0.2500
4
0.3864
0.0635
7
4
0.6364
4
乙药有效率 P 乙
P甲 - P乙
0
12
0.0000
1
0.9091
10
1
0.9091
Pi 0.0000
1
11

)
(+)(+)(+)(+)

+
( + )( + )

( −
讲
课
人
：
邢
启
强
9
统计学家建议,用随机变量2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据,当它
比较大时推断H0不成立,否则认为H0成立.
那么,究竟2大到什么程度,可以推断H0不成立呢?或者说,怎样确定判断2大小的
以接受H0,推断出两校学生的数学优秀率没有显著差异的结论,
这个检验结果意味着,抽样数据中两个频率的差异很有可能是由样本随机性导
致的,因此,只根据频率的差异得出两校学生的数学成绩优秀率有差异的结论是不
可靠的。
由此可见,相对于简单比较两个频率的推断,用 独立性检验得到的结果更理
性、更全面,理论依据也更充分。
成立，否则认为H0成立。这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法
称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
12
例2：依据小概率值=0.1的 独立性检验，分析上节课例1中的抽样数据，能否据
此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
例1：为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.
P(Y=1|X=0)表示从{X=0}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=0,Y=1}的概率;
P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=1,Y=1}的概率。
(=0,=1) (=1,=1)
由条件概率的定义可知,零假设H0等价于
=
(=0)
(=1)
或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0). ①

25.2用列举法求概率
1
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现 的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可 能的结果,通常采用列表法.
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
另一 个因素 所包含 的可能 情况
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
当一次试 验中涉及3个 因素或更多 的因素时,怎 么办?
当试验包含两步时,列表法比较方便,当然, 此时也可以用树形图法;
当试验在三步或三步以上时,用树形图法 方便.
9
1. 在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机的抽取一张 后放回,再随机的抽取一张,那么,第2次取出的数字能 够整除第1次取出的数字的概率是多少?
2.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左 转或向右转,如果这三种可能性大小相同,当有三辆汽车 经过这个十字路口时,求下列事件的概率:
所以穿相同一双袜子的概率 P 4 1
12 3
17
A1
A2
B1 B2
A1 A2 B1 B2
18
A1
A2
B1 B2
A1
(A1,A2) (A1,B1) (A1,B2)
A2
(A2,A1)
(A2,B1) (A2,B2)
B1
（B1，A1（）B1，A2）
（B1，B2）
B2
（B2，A1）（B2，A2）（B2，B1）
∴ P(C)= 4 1
82
4
例2.甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;乙口袋中装有3个 相同的小球,它们分别写有字母C. D和E;丙口袋中装有2个相同的小球,它们分 别写有字母H和I,从3个口袋中各随机地取出1个小球.
(1)取出的3个小球上,恰好有1个,2个和3个元音字母 的概率分别是多少?

52 用列举法计算概率
中考 试题
例1 在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球，它们除颜
色不同外都相同.随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分
摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（C ）.
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
解 列表或画树状图可知，摸球共有16种等可能的结
果，其中两次都摸到黄球有4种， P = 146,=故14选C.
（3）记下的数字是12．
不可能事件
图5-2
52 用列举法计算概率
2. 小明和小亮做掷一枚硬币两次的游戏.他们商定： 如果两次朝上的面相同，那么小明获胜；如果两 次朝上的面不同，那么小亮获胜.这个游戏公平吗？ 即小明和小亮获胜的概率相等吗？ 答：公平. 因为获胜的概率是一样的.
52 用列举法计算概率
3 4
.
52 用列举法计算概率
在随机现象中，出现的各种可能的结果共有n种.
如果出现其中每一种结果的可能性大小是一样的，
那么出现每一种结果的概率都是
.
1 n
在随机现象中，如果事件A包含m种可能的结果，
那么出现这个事件的概率记作P(A).
P ( A ) n 1 n 1 n 1 m n
m个
结果，所以 P(和为5)=
1 4
，故选C.
52 用列举法计算概率
结束
52 用列举法计算概率
我们可以利用下述“树状图”来表示所有可 能出现的结果：
第一次
第二次
开始
正面 反面
正面 反面 正面 反面
52 用列举法计算概率
（1）掷一枚硬币两次，出现上述每一种结果的概率 是多少？ 掷一枚硬币两次，第一次出现正面与出现反 面的可能性大小是一样的； 无论第一次出现的结果是什么，第二次出现 正面与出现反面的可能性大小也是一样的.

les
22.14.
H0:“方法”与“疗效”独立,H1:“方法”与“疗效”不独立
双向有序表的检验
1.双向有序且属性相同表（配对四格表）的检验
两个分类变量的标志完全一样且有序排列相同，是相关样本 数据构成的列联表。
例: 用甲乙两种方法检查鼻咽癌患者93例,两法都是阳性的 45例,都是阴性的20例,甲法阳性但乙法阴性的22例,甲法阴 性但乙法阳性的6例。
（3）列联表分析
菜单 “Analyze”|“ Descriptive Statistics”|“ Crosstabs ” 命令
1
将“结果[result]”
点入“Row(s)”
框，将“吸烟情
况[smoke]”点
入“Cloumn(s)”
框。
点击“Statistics”
钮。
2
【Statistics钮】 用于定义所需计 算的统计量。
1
.010
Likelihood Ratio 7.925
1
.005
Fisher's Exact Test
.007
.004
N of Valid Cases 339
a. Computed only for a 2x2 table
b. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expec 22.14.
独立。
疗法
不加牛黄 加牛黄 合计
疗效 治愈 未愈
合计
32
46
78
76
50
126
108
96
204
. 四格表独立性 检验
例1:某医院收得乙型脑 炎重症病人204例,随机 分成两组,分别用同样的 中草药方剂治疗,但其中 一组加一定量的人工牛 黄,每个病人根据治疗方 法和治疗效果进行分类, 得出如下表格:

()
(3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断
一定是正确的．
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
4．在吸烟与患肺癌是否相关的研究中，下列说法正确的 是( )
A．若χ2＞6.635，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟 与患肺癌有关，则在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌
第八章 成对数据的统计分析
8.3 列联表与独立性检验
1．基于2×2列联表，通过实例了解独立性检验的基本思想． 2．掌握独立性检验的基本步骤．(重点) 3．能利用条形图、列联表探讨两个分类变量的关系．(易混点) 4．了解χ2的含义及其应用．(重点) 5．会用独立性检验解决简单的实际问题．(难点)
1．通过学习独立性检验的基本思想，提升逻辑推理素养． 2．借助χ2公式，培养数学运算素养． 3．借助条形图，培养直观想象素养． 4．通过利用独立性检验解决实际问题，提升数据分析能力．
(2)观察等高条形图发现
a a＋b
和
c c＋d
相差很大，就判断两个分类
变量之间有关系．
2．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年， 为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区 初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人， 这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及 格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？
合计
30
75
105
试用等高堆积条形图分析服用药和患病之间是否有关系．
[解] 根据列联表所给的数据可得出服用药患病的频率为
10 55
≈0.18，未服用药患病的频率为
20 50
＝0.4，作出等高堆积条形图如图

如何迅速计算概率问题在数学和统计学中，概率是研究随机现象的理论基础。

在实际问题中，计算概率常常需要耗费大量的时间和精力。

然而，通过一些快速计算的技巧和方法，我们可以简化计算过程，并迅速得出答案。

本文将介绍一些可以帮助你迅速计算概率问题的方法。

一、事件的基本原理在计算概率问题时，首先需要理解事件的基本原理。

事件是指某一结果或一系列结果的集合，而概率是指某个事件发生的可能性。

在计算概率问题时，需要明确定义事件和样本空间，并根据事件中元素的数量和样本空间中元素的数量来计算概率。

二、排列和组合排列和组合是计算概率问题中常用的技巧。

排列指的是从一组对象中选择出一部分对象，并按照一定的顺序进行排列。

组合指的是从一组对象中选择出一部分对象，而不考虑顺序。

在计算概率问题中，排列和组合的公式可以帮助我们快速计算出事件的可能性。

三、加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理是计算概率问题中常用的原理。

加法原理指的是计算多个事件同时发生的概率时，可以将各个事件的概率相加。

乘法原理指的是计算多个事件依次发生的概率时，可以将各个事件的概率相乘。

通过运用加法原理和乘法原理，我们可以迅速计算出复杂问题的概率。

四、条件概率和独立事件条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。

在计算条件概率时，可以利用乘法原理和独立事件的概念来简化计算过程。

独立事件指的是两个事件互不影响，一个事件的发生不会影响另一个事件的概率。

通过将条件概率和独立事件的概念结合起来，我们可以迅速计算出复杂问题的概率。

五、贝叶斯公式贝叶斯公式是计算条件概率的重要工具。

在计算条件概率时，我们经常需要根据某个事件的后验概率和先验概率来计算另一个事件的条件概率。

贝叶斯公式提供了一种有效的方法来计算条件概率，并在统计学和机器学习中得到广泛应用。

六、近似计算在面对复杂问题时，有时候我们无法直接计算出精确的概率。

这时，可以利用近似计算方法来估计概率的范围。

常用的近似计算方法包括蒙特卡洛模拟和中心极限定理。

研题型 ·融会贯通
分类解析
独立性检验
某高中学校为了解高二年级学生在 2021 年高考和中考期间居家学习的自制
力，随机抽取了 100 名学生，请他们的家长(每名学生请一位家长)对学生打分，满分为
10 分．下表是家长所打分数 x 的频数统计：
分数 x
5
6
7
8
9
10
频数
5
15
20
25
20
15
(1) 求家长所打分数的平均值 x ；
0.001
xα
3.841
以下结论中正确的是( C )
6.635
10.828
A. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C. 有 99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D. 有 99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了 100 位育龄妇女，结果如下表：
非一线
一线
总计
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
总计
58
42
100
由 χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，
得 χ2＝100×65×453×5×225－8×204×2132≈9.616.
参照下表，
α
0.050
0.010
男性
30
15
45
女性
45
10
55
总计
75
25
100
附：
α
0.15

用列举法求概率ppt课件制作及使用说明设计思想本课件通过幻灯片的演示，让学生从中掌握、学习并运用列举法、画树形图法对某随机事件发生的结果无遗漏列举，从而运用列举法求出该事件的概率。

本课件利用PowerPoint 2003制作，是演示性课件，有一个主幻灯片上的7个动作按钮，通过超链接的方式链接12张辅幻灯片，每张辅幻灯片上相对应的文本内容、表格、图形、艺术字，利用自定义动画使他们协调统一，学生对本节知识易理解、易接受、易掌握、易运用，教师轻松讲，学生愉快学。

使用说明1、使用本课件，需要在电脑中安装Microsoft Office PowerPoint 2003软件。

2、双击课件进入演示主界面。

3、分别依照主界面的动作按钮进行演示。

课件构成五、制作步骤（一）目的：辅助教师的课堂教学，使讲授知识部分展示更为详细，生动有趣，增强教学的趣味性和生动性，吸引学生注意力，调动学生的学习积极性，激发起学习兴趣。

工具：采用Microsoft Office PowerPoint 2003软件程序：选题设计教学流程收集数据和素材绘制、编辑整合（二）主片①启动Microsoft Office PowerPoint 2003，建立一张内容空白的幻灯片。

②套用吉祥如意幻灯片设计③插入图片，并拖放至整个幻灯片大小，叠放次序为底层。

④插入艺术字“用列举法求概率”，调整其大小合适。

⑤插入艺术字“武安教育”。

⑥插入动作按钮，并设置其填充颜色为金色，填充效果为单色平行，调整大小。

⑦按住ctrl键，用鼠标拖动动作按钮复制出6个动作按钮，并称对称式摆放。

⑧ 分别对每一个动作按钮添加文本“复习”“例1”“思考1”“例2”“思考2”“总结”“巩固练习” 设置为华文行楷36号黑颜色字体。

以上效果如图所示：辅片1① 建立一张内容空白的幻灯片。

② 插入图片，并拖放至整个幻灯片大小，叠放次序为底层。

③ 插入艺术字“武安教育”，设置同上一张幻灯片，调整其大小。

解概率问题的图表化方法对于某些概率问题，若能通过构造图表来处理，可使抽象问题具体化、直观化，有助于更好地理解问题、解决问题。

一、树形图法树形图的优点是能够直观地把某些随机现象既无重复又无遗漏地表示出来。

这种图也称之为概率树。

例1. 有两组牌每组3张，牌面数字分别是1，2，3，现从每组牌中各摸出1张，请计算两张牌的牌面数字之和等于4的概率。

解：画出图1所示的树形图：图1不难发现，总共有9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌面数字和为4的情形最多出现了3次，因而所求概率为39。

观察图1，还可以得出数字之和分别为2，3，5，6的概率分别为19292919，，，。

例2. 4个人排队抽签，4个标签中只有1个中奖标签，求第三个人中奖的概率。

解：将4张标签制作成4个外形完全相同编号分别为1，2，3，4的密封签，由4人按顺序抽签，有树形图如图2。

显然共有24种抽法。

图2不妨设第3号标签为中将标签，从图2中不难发现3号标签在第3个位置的情形有6种，故所求概率为62414。

二、列表法列表法就是将所有可能情形用表格形式一一列举出来，从中找到事件发生的可能情形数，然后利用公式P（A）=mn计算出概率。

例3. 某车站每天有3辆开往省城的客车，车分为上、中、下三个等级。

某天胡先生准备乘车去省城办事，但他不知道客车的状况，也不知发车的顺序。

为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：如果第一辆车是上等车，则乘坐，否则就先放过；如果第二辆车比第一辆车好，则乘坐第二辆，否则乘第三辆。

胡先生能乘坐上等车的概率是多少？胡先生能乘坐上等车的情形有：情形1，情形2，情形3，情形4，情形5，故m=5。

胡先生乘车的情形总数n=6，所以胡先生能乘坐上等车的概率为56。

例4. 有一个均匀的正方形玩具，各个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，将它先后抛掷两次。

（1）计算向上数字之和为5的概率；（2）向上数字之和为多少时概率最大？解：（1从表中你可以看出，所有情况共36种，数字之和为5的情形出现了4次，故所求概率为43619=。

概率图基础：概率基本概念、条件独⽴性、图求解联合概率的规则合理性推理来源：B站up主Shuhuai008：板书概率图框架：概率图可分为有向（Bayes Network）和⽆向（Markov Netwrok），其中从（随机变量服从离散或者连续概率分布）的分类⾓度可分为⾼斯图（连续）和其他（离散）。

概率基本概念：Bayes是⼀个概率的概念，可从基本的规则推导⽽来。

边缘概率：p(xi);条件概率：p(xj | xi);联合概率：p(x1,x2);基本规则有如下两个规则：sum规则：p(x1)=∫p(x1,x2)dx2 【涉及联合概率；边缘概率】Product规则：p(x1,x2)=p(x1)p(x2|x1)=p(x2)p(x2|x1); 【涉及条件概率；边缘概率】Chain规则：p(x1,x2,x3)=p(x1)p(x2|x1)p(x3|x1,x2);p(x1,x2,…xi)=product(i=1~p)(p(xi|x1,x2,x i-1)); （1）Bayes规则：p(x2|x1)=p(x1,x2)/p(x1)=p(x1,x2)/∫p(x1,x2)dx2=p(x2)p(x1|x2)/∫p(x1,x2)dx2概率模型求解问题时存在的⾼维困局：⽤概率模型解决问题的时候，求解联合概率是关键的⼀步，但由于求解复杂问题时，往往随机变量均为⾼维数据，从chain公式的推导可以看出每⼀个随机变量的计算，都与它之前的随机变量有关，运算量⾮常⼤，那么就存在⼀个⾼维困境的问题，这个问题可以通过以下⽅法解决。

⾼维困局解决⽅法（Naive Bayes; Markov;条件独⽴性）：⾸先分析得出，由于随机变量间的条件概率计算繁琐，那么可以假设所有随机变量均为相互独⽴的变量，达到简化计算的⽬的，这就是朴素Bayes的思想，那么p(x1,x2,…xi)=product(i=1~p)(p(xi));。

但是这个假设假设得太“过”了，计算出的结果与实际相差甚远，那么就需要想出折中的办法，由此引出了Markov假设（这⾥只介绍⼀阶Markov假设）：xj⊥x i+1 | xi，j<I，在当前状态xi可以被观测的情况下，过去状态xj与未来状态x i+1条件独⽴。

陈林华25.2用列举法求概率1用列举法求概率必然事件:不可能事件:随机事件:用列举法求概率在一定条件下必然发生的事件一定条件下不可能发生的事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件概率的定义:一般地对于一个随机事件A把刻画其发生可能性大小的数值称之为随机事件A发生的概率,记为P(A)必然事件的概率:不可能事件的概率:随机事件的概率:事件A发生的概率:*必然事件:不可能事件:随机事件:用列举法求概率在一定条件下必然发生的事件一定条件下不可能发生的事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件概率的定义:一般地对于一个随机事件A把刻画其发生可能性大小的数值称之为随机事件A发生的概率,记为P(A)必然事件的概率:不可能事件的概率:随机事件的概率:事件A发生的概率:*口袋中一红三黑共个小球一次从中取出两个小球求“取出的小球都是黑球”的概率用列举法求概率解：一次从口袋中取出两个小球时所有可能出现的结果共个即（红黑）（红黑）（红黑）（黑黑）（黑黑）（黑黑）且它们出现的可能性相等。

满足取出的小球都是黑球（记为事件A）的结果有个即（黑黑）（黑黑）（黑黑）则P（A）==直接列举P例：同时抛掷两枚质地均匀的硬币求下列事件的概率：()两枚硬币全部正面朝上。

()两枚硬币全部反面朝上。

()一枚硬币正面朝上一枚反面朝上。

用列举法求概率解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举出来。

它们是：正正正反反正反反。

所有的结果共有个并且这个结果出现的可能性相等。

（）所有结果中满足两枚硬币全部向上（记为事件A）的结果只有一个即“正正”所以P（A）=。

（）满足两枚硬币全部反面向上（记为事件B）的结果只有个即“反反”所以P（B）=。

（）满足一枚硬币正面向上一枚反面向上（记为事件C）的结果共有个即“反正”“正反”所以P（C）=。

例：掷两枚硬币求下列事件的概率：()两枚硬币全部正面朝上。

（）两枚硬币全部反面朝上。

（)一枚硬币正面朝上一枚反面朝上。

统计与概率的解题方法：
（二）列举法求概率
(1) 列举法求概率
①一次试验中，可能出现的结果只有有限个.
②一次试验中，各种结果出现的可能性大小相等.
(2)列表法
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率.
(3)树形图法
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图来求事件发生的概率.
（三）用频率估计概率
1.频率的稳定性
在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定稳定性.
2.用频率估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率
会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=p.。