高三数学一轮复习---高中数学人教A版必修2《空间中的平行关系》复习课教学设计

城东蜊市阳光实验学校空间中的平行关系α=，A线面平行的断定定理：假设不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，aα．//b β=⇒．两个平面的位置关系有两种：两平面相交〔有一条公一一共直线〕、两平面平行〕两个平面平行的断定定理：假设一个平面内有两条相交直线都平行////b P a b αα⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：假设一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

论,,,,,//b P a b a b P a b ααβαβ'''''=⊂⊂=⊂⊂⇒〔2〕两个平面平行的性质〔1〕假设两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；〔2〕假设两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

cb典例解析题型1：一一共线、一一共点和一一共面问题例1．〔1〕如下列图，平面ABD 平面BCD ＝直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形。

试证明三直线BD 、MQ 、NP 一一共点。

证明：∵四边形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰， ∴直线MQ 、NP 必相交于某一点O 。

∵O ∈直线MQ ；直线MQ ⊂平面ABD ， ∴O ∈平面ABD 。

同理，O ∈平面BCD ，又两平面ABD 、BCD 的交线为BD ，故由公理二知，O ∈直线BD ，从而三直线BD 、MQ 、NP 一一共点。

点评：由条件，直线MQ 、NP 必相交于一点O ，因此，问题转化为求证点O 在直线BD 上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD 是这两个平面的交线，同时点O 是这两个平面的公一一共点即可．“三点一一共线〞及“三线一一共点〞的问题都可以转化为证明“点在直线上〞的问题。

〔2〕如下列图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定一一共线。

8.5 空间直线、平面的平行-人教A版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.了解空间直线与空间平面的平行的概念，掌握平行的判定方法。

2.掌握平面与平面、直线与平面平行的判定方法。

3.能够运用平行的概念和判定方法解决相关数学问题。

二、教学重点1.空间直线与空间平面的平行的概念。

2.平行的判定方法。

3.平面与平面、直线与平面平行的判定方法。

三、教学难点1.掌握平面与平面、直线与平面平行的判定方法。

2.能够灵活运用平行的概念和判定方法解决相关数学问题。

四、教学过程1. 导入环节请同学们在笔记本上用自己的话简要概括一下“平行”的概念。

2. 讲解与练习2.1 空间直线与空间平面的平行•平行的概念：在同一个平面内，两条直线不相交，称这两条直线平行；在空间中，一条直线和一个平面不相交，称这条直线和这个平面平行。

•平行的判定方法：方法1：两条直线平行的充要条件是它们的方向向量成比例。

方法2：一条直线和一个平面平行的充要条件是它们的方向向量分别平行。

•练习：请同学们画出一条直线与一个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。

2.2 平面与平面的平行•平面与平面平行的判定方法：方法1：两个平面如果有公共的一条直线与它们的法向量垂直，则这两个平面平行。

方法2：两个平面如果它们的法向量成比例，则这两个平面平行。

•练习：请同学们画出两个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。

2.3 直线与平面的平行•直线与平面平行的判定方法：方法1：如果一条直线在一个平面上，它的方向向量与这个平面的法向量平行，则这条直线与这个平面平行。

方法2：如果一条直线在一个平面上，这个平面的法向量与直线方向向量的矢量积为零，则这条直线与这个平面平行。

•练习：请同学们画出一条直线与一个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。

3. 思考与讨论请同学们思考以下问题：1.为什么平面和平面的平行可以用法向量来判断？2.同一个平面内的两条直线平行的充要条件是什么？4. 总结与拓展请同学们用自己的话总结本节课讲解的所有内容，并想想还有哪些与这次课程相关的问题可以探讨。

必修2第二章§2-5空间平行关系（1）【课前预习】阅读教材P54-57达成下边填空1．直线与平面平行判断定理：（1）定义：，则直线和平面平行（2）判断定理：.，则该直线与此平面平行.图形语言：符号语言为：.2．平面与平面平行判断定理（ 1）定义：（ 2）判断定理：：，则平面和平面平行.，则这两个平面平行.图形语言：符号语言为：.【课初 5 分钟】课前达成以下练习，课前1．已知直线l1、 l 2 ,平面α ,l1∥ l 2 ,5 分钟回答以下问题l1∥α ,那么l2与平面α的关系是（） .A. l1∥α C.l2∥α或l 2B.α D.l2αl 2与α订交2．以下说法（此中a, b 表示直线，表示平面）①若 a∥b， b，则a∥②若 a∥， b∥，则 a∥b③若 a∥b， b∥，则 a∥④若 a∥， b，则a∥ b此中正确说法的个数是（） .个个个个3．以下说法正确的选项是（）.A.一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B.平行于同一平面的两条直线平行C.假如一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行D.假如一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行4．在以下条件中，可判断平面α与β平行的是（）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l 、m是α内两条直线，且 l ∥β， m∥βD.l 、m是两条异面直线，且 l ∥α， m∥α， l ∥β， m∥β重申（笔录）：【课中 35 分钟】边听边练边落实5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F 分别为棱 BC、 C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D.6．如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的中点ABCD AB、PC（ 1）求证：MN// 平面PAD；（ 2）若MN BC 4，PA 4 3 ，求异面直线PA与 MN所成的角的大小.7．在正方体ABCD— A1B1C1D1中， M、 N、 P 分别是 C1C、 B1C1、 C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面 A1BD.8．直四棱柱 ABCD A1 B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2, 侧棱 A1A 3 ，M、N分别为 A1B1、A1D1的中点， E、 F 分别是 B1C1、 C1D1的中点.（ 1）求证：平面AMN∥平面 EFDB；（ 2）求平面与平面的距离 .AMN EFDB重申（笔录）：【课末 5 分钟】知识整理、理解记忆重点1.2.3.4.【课后 15 分钟】自主落实，未懂则问1．已知a，b是两条订交直线，a∥，则A.b∥B. b 与订交b与的地点关系是（） .C. bαD.b∥或b 与订交2．假如平面是（） . A. 平行C. 平行或订交外有两点 A、B，它们到平面B.订交D.AB的距离都是a，则直线AB和平面的地点关系必定3．假如点M是两条异面直线外的一点，则过点A. 只有一个 B.恰有两个C. 或没有，或只有一个 D.有无数个M且与a， b 都平行的平面（）.4．已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，以下说法中：⑴ a∥ c，b∥ c a∥ b；⑵ a∥ ，b∥a∥b；⑶ c∥， c∥∥；⑷∥，∥∥；⑸ a∥c，∥ c a∥；⑹ a∥ ，∥a∥.此中正确的说法挨次是.5．P是平行四边形ABCD所在平面外一点， E为 PB的中点， O为 AC，BD的交点.（1）求证：EO‖平面PCD；（2）图中EO还与哪个平面平行？6．已知四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD为平行四边形.点 M、N、Q分别在 PA、BD、PD上,且PM： MA=BN： ND=PQ： QD.求证：面 MNQ∥面 PBC.PQMCDNB A。

专题课：空间中的平行关系班级 姓名 号数一、知识回顾：1.线面平行：（1）定义（2）线面平行的判定定理：（3）线面平行的性质定理：2面面平行：（1）定义：性质：（2）面面平行的判定定理：（3）面面平行的性质定理：二、课前自测：1.已知不重合的直线a,b 和平面,αβ，试判断下列命题的正误。

(1),;a b b a a α⊂⇒ (2),,,a b a b αααβαβ⊂⊂⇒点评：熟记定理，条件缺一不可。

如：线面平行的判定必须指出线不在平面内，等。

2.下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是___ _____(写出所有符合要求的图形序号)．点评：要掌握平行关系的转化，挖掘几何体内线面的几何性质，注意辅助线面的添加。

二、知识梳理：1.平行转化体系：线线平行 线面平行 面面平行2.线线平行的判定方法：线面平行的判定方法：面面平行的判定方法：三、典型例题例.如图，已知在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是BC ，B 1C 1的中点， 求证：A 1E //平面ADC 1当堂检测： 1111111//.ABC A B C AB AC D BC B BCC A B AC D -=如图，在直三棱柱中，，为中点，四边形是正方形，求证：平面变式（一题多法）：如图，已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面为正三角形，侧棱与底面垂直，点E ，F A B D CA 1 EB 1 C1分别是CC1，BB1上的点，点M是棱AC上的动点，且EC=2FB，当M在何位置时，BM//平面AEF？四、作业：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．测评练习：《空间中的平行关系》。

必修2 第二章§2-6 空间平行关系（2）【课前预习】阅读教材P58-61完成下面填空1．直线与平面平行性质定理：性质定理：一条直线与一个平面平行， .图形语言：符号语言为： .2．平面与平面平行性质定理：（1）性质定理： .图形语言：符号语言为： .（2）其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒；②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等.【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．已知直线l //平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（）. A. 平行 B. 异面C. 相交D. 平行或异面2．下列说法错误的是（ ）A.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的平行.B.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面C. 若直线a 、b 均平行于平面α，则a 与b 平行D. 夹在两个平行平面间的平行线段相等3．下列说法正确的是（ ）.A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行4．下列说法正确的是（ ）.A. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B6．已知正三棱柱的棱长都是a，过底面一边和上、下底面中心连线的中点作截面，求此截面的面积..7．如图，设平面α//平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C ∈α，B、D∈β. 求证：MN//α.αβ，直线AB，CA交于点S，A，C在平面α内，B，D在平面β内，且线段8．已知平面//AS=2cm，BS=4cm，CD=8cm，求线段CS的长度.强调（笔记）：【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点1.2.3.4.【课后15分钟】自主落实，未懂则问1．梯形ABCD中AB//CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）.A. 平行B. 平行和异面C. 平行和相交D. 异面和相交2．如图：已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（）.A. D1B1∥lB. BD//平面AD1B1C. l∥平面A1D1B1D. l⊥B1 C13．设不同的直线a,b和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法：①a∥α，b∥α，则a∥b；②a∥α, a∥β, 则α∥β；③α∥γ，β∥γ，则α∥β；④a∥b,b⊂α,则a∥α.其中说法正确的序号依次是 .4．在正方体''''-中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（）.ABCD A B C DA. '''A BC ACD与与 B. '''BDC B D CC. '''A DC AD C与与 D. '''B D D BDA5．已知在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E、F在PC上，且PE：EF：FC=1：1：1，问在PB上是否存在一点M，使平面AEM∥平面BFD，并请说明理由。

第二课时平面的基本性质和空间两条直线的位置关系【学习目标】①掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系。

②掌握两条直线平行和垂直关系的有关概念。

【考纲要求】平面及其基本性质为A级要求【自主学习】1．公理1：2．公理2：3．公理3：4．推论1：5．推论2：6 推论3：7 公理4：8 等角定理：9 异面直线定义：[课前热身]1给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行；④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 .2对于平面α和直线l，α内至少有一条直线与直线l （用“垂直”，“平行”或“异面”填空）.3若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分.4若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c 的位置关系是 .[典型例析]例1 如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线.别为CC1、AA1的中点，画出平面BED1F 与平面ABCD的交线.例3如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点.F四点共面；求证：（1）E，C，D Array 1，（2）CE，D1F，DA三线共点.[当堂检测]1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是 .2. 给出下列命题：①若平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面α和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是 .3. 已知a，b是异面直线，直线c∥直线a,则c与b的位置关系 .①一定是异面直线②一定是相交直线③不可能是平行直线④不可能是相交直线4．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有（填序号）.①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[学后反思]____________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________。

高考数学第一轮复习精讲（课前准备+课堂活动小结+课后练习）空间的平行关系导学案文新人教A版导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系．自主梳理1．直线a和平面α的位置关系有________、________、__________，其中________与________统称直线在平面外．2．直线和平面平行的判定：(1)定义：直线和平面没有____________，则称直线和平面平行．(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒________；(3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒________.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒________.4．两个平面的位置关系有________、________.5．两个平面平行的判定：(1)定义：两个平面没有________，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α；(3)推论：a∩b＝P，a，b⊂α，a′∩b′＝P′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒________.6．两个平面平行的性质定理：α∥β，a⊂α⇒________；α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒________.7．与垂直相关的平行的判定：(1)a⊥α，b⊥α⇒________；(2)a⊥α，a⊥β⇒________.自我检测1．(2011·湖南四县调研)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α2．(2011·烟台模拟)一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥α B．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α3．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是()A．1 B．2 C．3 D．44．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作()A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或2个5．(2011·南京模拟)在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________.探究点一线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1(2011·长沙调研)在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.探究点二面面平行的判定例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.变式迁移2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．(1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC；(2)求S△G1G2G3∶S△ABC.探究点三平行中的探索性问题例3(2011·惠州月考)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD ＝DC ＝12AB ，BC ⊥PC.(1)求证：PA ⊥BC ；(2)试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面PAD ，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?转化与化归思想综合应用例 (12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、SC 的中点，P 是SD 上的一动点．(1)求证：BP ⊥AC ；(2)当点P 落在什么位置时，AP ∥平面SMC? (3)求三棱锥B —NMC 的体积．多角度审题 第(1)问的关键是根据三视图得到SD ⊥平面ABCD ，第(2)问是一个开放型问题，可有两种思维方式：一是猜想P 是SD 的中点，二是从结论“AP 平行于平面SMC ”出发找P 满足的条件．【答题模板】(1)证明 连接BD ，∵ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ，又SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC ，∵BD ∩SD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，∵BP ⊂平面SDB ， ∴AC ⊥BP ，即BP ⊥AC.[4分](2)解 取SD 的中点P ，连接PN ，AP ，MN.则PN ∥DC 且PN ＝12DC.[6分]∵底面ABCD 为正方形，∴AM ∥DC 且AM ＝12DC ，∴四边形AMNP 为平行四边形，∴AP ∥MN.又AP ⊄平面SMC ，MN ⊂平面SMC ，∴AP ∥平面SMC.[8分](3)解 V B —NMC ＝V N —MBC ＝13S △MBC ·12SD ＝13·12·BC·MB·12SD ＝16×1×12×12×2＝112.[12分]【突破思维障碍】1．本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系，首先要根据三视图想象直观图，尤其是其中的平行、垂直及长度关系，第(1)问的关键是根据三视图得到SD ⊥平面ABCD ，第(2)问是一个开放型问题，开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题目．结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向．2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法．1.直线与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理．2.平面与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2011·开封月考)下列命题中真命题的个数为()①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．A.1 B．2 C．3 D．42.已知直线a、b、c和平面m，则直线a∥直线b的一个必要不充分的条件是()A.a⊥m且b⊥m B．a∥m且b∥mC.a∥c且b∥c D．a，b与m所成的角相等3.在空间中，下列命题正确的是()A.若a∥α，b∥a，则b∥αB.若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC.若α∥β，b∥α，则b∥βD.若α∥β，a⊂α，则a∥β4.设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是()①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线；②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；③若l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；④若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β.A.0 B．1 C．2 D．35.若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有()A.1对B．2对C.无数对D．1或2对二、填空题(每小题4分，共12分)6.(2011·秦皇岛月考)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．,7.(2011·大连模拟)过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有______条．8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1C.10．(12分)(2010·湖南改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．11．(14分)(2011·济宁模拟)如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，BF ⊥平面ACE ，且点F 在CE 上．(1)求证：AE ⊥BE ；(2)求三棱锥D —AEC 的体积；(3)设点M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.学案43 空间的平行关系自主梳理1．平行 相交 在平面内 平行 相交 2.(1)公共点 (2)a ∥α (3)a ∥β 3.a ∥l 4.平行 相交 5.(1)公共点(3)α∥β 6.a ∥β a ∥b 7.(1)a ∥b (2)α∥β 自我检测1．D 2.D 3.A 4.C 5．面ABC 和面ABD 课堂活动区例1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．证明如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN . ∵矩形ABCD 和矩形ABEF 全等且有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ， 又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴PM AB ＝EP EA ，QN DC ＝BQ BD ，∴PM AB ＝QN DC. ∴PM 綊QN ，∴四边形PQNM 为平行四边形， ∴PQ ∥MN又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .变式迁移1 证明 取PD 中点F ，连接AF 、NF 、NM . ∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD ，∴AM 綊NF .∴四边形AMNF为平行四边形，∴MN∥AF.又AF⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.例2解题导引面面平行的常用判断方法有：(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．证明方法一如图所示，连接B1D1、B1C.∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.方法二如图所示，连接AC1、AC.∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD.又CC1⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴CC1⊥BD，∴BD⊥面ACC1，又∵AC1⊂面ACC1，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.变式迁移2(1)证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD ＝2∶3，PG 2∶PE ＝2∶3，∴G 1G 2∥DE .又G 1G 2不在平面ABC 内，DE 在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC . 同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3＝G 2，∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC .(2)解 由(1)知PG 1PD ＝PG 2PE ＝23，∴G 1G 2＝23DE .又DE ＝12AC ，∴G 1G 2＝13AC .同理G 2G 3＝13AB ，G 1G 3＝13BC .∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △G 1G 2G 3∶S △ABC ＝1∶9.例3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．(1)证明 连接AC ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E . 在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AD ＝DC ， ∴四边形ADCE 为正方形．∴∠ACD ＝∠ACE ＝45°. ∵AE ＝CD ＝12AB ，∴BE ＝AE ＝CE .∴∠BCE ＝45°.∴∠ACB ＝∠ACE ＋∠BCE ＝45°＋45°＝90°. ∴AC ⊥BC .又∵BC ⊥PC ，AC ⊂平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，AC ∩PC ＝C ， ∴BC ⊥平面P AC .∵P A ⊂平面P AC ，∴P A ⊥BC . (2)解 当M 为PB 的中点时，CM ∥平面P AD .取AP 的中点F ，连接CM ，FM ，DF .则FM綊12AB.∵CD∥AB，CD＝12AB，∴FM綊CD.∴四边形CDFM为平行四边形．∴CM∥DF.∵DF⊂平面P AD，CM⊄平面P AD，∴CM∥平面P AD.变式迁移3解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥P A.∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩P A＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，∴平面D1BQ∥平面P AO.课后练习区1．A[①、②、③错，④对．]2．D[注意命题之间的相互推出关系；易知选项D中，若两直线平行，则其与m所成的角相等，反之却不一定成立，故a、b与m所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件．] 3．D[A不正确，由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件b⊄α；B不正确，由两个平面平行的判定定理的条件，因a、b未必相交，而可能为两条平行直线，则α、β未必平行；C不正确，因有可能b⊂β；D正确，由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确．]4．A[①错，l1⊂α，l2∩α＝A，l1与l2可能相交．②错，l2有可能在平面α内．③错，α有可能与β相交．④错，l1有可能与平面β相交或平行或在平面内．]5．A[如图，a，b为异面直线，过b上一点作a′∥a，直线a′，b确定一个平面β，过a上一点作b′∥b，b与b′确定一个平面α，则α∥β.因为α，β是惟一的，所以相互平行的平面仅有一对．]6．①③解析①∵面AB∥面MNP，∴AB∥面MNP，②过N作AB的平行线交于底面正方形的中心O，NO⊄面MNP，∴AB与面MNP不平行．③易知AB∥MP，∴AB∥面MNP；④过点P作PC∥AB，∵PC ⊄面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行． 7.6 解析 如图，EF ∥E 1F 1∥AB ，EE 1∥FF 1∥BB 1，F 1E ∥A 1D ，E 1F ∥B 1D ， ∴EF 、E 1F 1、EE 1、FF 1、F 1E 、E 1F 都平行于平面ABB 1A 1，共6条．8.223a解析如图所示，连接AC ， 易知MN ∥平面ABCD ，又∵PQ 为平面ABCD 与平面MNQP 的交线，∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ，又∵AP ＝a3，∴DPAD ＝DQCD ＝PQAC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a .9．证明 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ，∵N 为A 1B 1中点，∴NF ∥B 1C 1，且NF ＝12B 1C 1，又由棱柱性质知B 1C 1綊BC ，(4分)又M 是BC 的中点，∴NF 綊MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形．∴MN ∥CF ，(8分)又CF ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ，∴MN ∥平面AA 1C 1C .(12分)10．解 在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .证明如下：如图所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG .因为A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 四点共面，所以BG ⊂平面A 1BE .(6分)因为四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1都是正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 是平行四边形，所以B 1F ∥BG .而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .(12分)11．(1)证明 由AD ⊥平面ABE 及AD ∥BC ，得BC ⊥平面ABE ，BC ⊥AE ，(1分)而BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE ，(2分)又BC ∩BF ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，故AE ⊥BE .(4分)(2)解 在△ABE 中，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，则EH ⊥平面ACD .由已知及(1)得EH ＝12AB ＝2，S △ADC ＝2 2. (6分)故V D —AEC ＝V E —ADC ＝13×22×2＝43.(8分)(3)解 在△ABE 中，过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G ，在△BEC 中过点G 作GN ∥BC 交EC 于点N ，连接MN ，则由CN CE ＝BG BE ＝MB AB ＝13，得CN ＝13CE . 由MG ∥AE ，AE ⊂平面ADE ，MG ⊄平面ADE ，则MG ∥平面ADE .(10分)再由GN ∥BC ，BC ∥AD ，AD ⊂平面ADE ，GN ⊄平面ADE ，得GN ∥平面ADE ，所以平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，则MN ∥平面ADE .(12分)故当点N 为线段CE 上靠近点C 的一个三等分点时，MN∥平面ADE.(14分)。