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(完整)倒立摆MATLAB建模

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(完整)倒立摆MATLAB建模

Matlab程序设计

上交作业要求：

1）纸质文档：设计分析报告一份（包括系统建模、系统分析、系统设计思路、程序及其执行结果）.

2)Matlab程序：按班级统一上交后备查。

题目一：

考虑如图所示的倒立摆系统.图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题.

图 倒立摆系统

假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量:m=0.1g

摆杆的长度:2l=1m

小车的质量：M=1kg

重力加速度：g=10/s2

摆杆惯量:I=0.003kgm2

摆杆的质量在摆杆的中心.

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量 ％≤10%,

调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0）。

要求：1、建立倒立摆系统的数学模型

2、分析系统的性能指标—-能控性、能观性、稳定性

3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点,这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定

4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。

题目二：

根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象,按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。 (完整)倒立摆MATLAB建模

题目一：

考虑如图所示的倒立摆系统.图中,倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题.

图 倒立摆系统

假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g

摆杆的长度:2l=1m

小车的质量：M=1kg

重力加速度：g=10/s2

摆杆惯量：I=0。003kgm2

摆杆的质量在摆杆的中心。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量 ％≤10%，

调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置,并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求:1、建立倒立摆系统的数学模型

2、分析系统的性能指标—-能控性、能观性、稳定性

3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定

4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图.

设计分析报告 (完整)倒立摆MATLAB建模

1 系统建模

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如下如所示.

图 一级倒立摆模型

其中：

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下)

图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意:在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向.

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

NxbFxM

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

)sin(22lxdtdmN

即:

sincos2mlmlxmN

把这个等式代入式（3-1）中,就得到系统的第一个运动方程：

FmlmlxbxmMsincos)(2

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： (完整)倒立摆MATLAB建模

)cos(22ldtdmmgP

cossin2mlmlmgP

力矩平衡方程如下:

INlPlcossin

注意:此方程中力矩的方向,由于sinsin,coscos,，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

cossin)(2xmlmglmlI

设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角）,假设与1（单位是弧度）相比很小,即1，则可以进行近似处理:0)(,sin,1cos2dtd.用u来代表被控对象的输入力F,线性化后两个运动方程如下：

2(+)()ImlmglmlxMmxbxmlu

对式（3—9)进行拉普拉斯变换，得到

)()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssmlXsmglssmlI

注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到：

)(])([)(22ssgmlmlIsX

或 mglsmlImlssXs222)()()(

如果令xv，则有：

mglsmlImlsVs22)()()(

把上式代入方程组的第二个方程，得到：

)()()()()()(2222sUssmlsssgmlmlIbsgmlmlImM

整理后得到传递函数：

sqbmglsqmglmMsqmlIbssqmlsUs23242)()()()( (完整)倒立摆MATLAB建模

其中 22)())((mlmlImMq

设系统状态空间方程为：

DuCXyBuAXX

方程组 对,x解代数方程，得到解如下:

uMmlmMImlMmlmMImMmglxMmlmMImlbuMmlmMImlIMmlmMIglmxMmlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(

整理后得到系统状态空间方程：

uMmlmMImlMmlmMImlIxxMmlmMImMmglMmlmMImlbMmlmMIglmMmlmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010

uxxxy0001000001

代入倒立摆系统的参数。

摆杆的质量：m=0.1g

摆杆的长度：2l=1m

小车的质量：M=1kg

重力加速度：g=10/s2

摆杆惯量：I=0.003kgm2

010000010100010001101xxxxu

uxxxy0001000001

另外，也可以利用 MATLAB 中 tf2ss 命令对(3—13)式进行转化，求得上述状态方程. (完整)倒立摆MATLAB建模

2 系统分析

2。1 判断系统能控性和能观性

在MATLAB中，可以利用ctrb(）和obsv(）函数直接求出能控性和能观性矩阵

A=［0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1；0 0 11 0］;

B=[0;1;0；1]；

C=[1 0 0 0;0 0 1 0];

D=[0;0];

Uc=ctrb（A，B）；rc=rank(Uc);

n=size(A）；

if rc==n

disp(’system is controlled。')

elseif rc

disp（'system is uncontrolled。’）

end

Vo=obsv（A,C)；

ro=rank（Vo);

if ro==n

disp('system is observable.’)

elseif ro～=n

disp（’system is no observable.'）

End

运行情况如下： (完整)倒立摆MATLAB建模

2.2 系统稳定性

A=[0 1 0 0；0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 11 0];

B=[0；1；0;1］;

C=[1 0 0 0；0 0 1 0];

D=［0;0];

P=poly(A）,v=roots（P）

运行结果如下: (完整)倒立摆MATLAB建模

特征值为0（二重），3。3166,-3.3166,显然,其中一个极点在右半平面,该系统不稳定.

3 系统设计 极点配置与控制器设计

极点配置的方法就是通过一个适当的状态反馈增益矩阵的状态反馈方法 ，将闭环系统的极点配置到任意期望的位置.

()()()XtAxtBut，其中x是状态变量(n维），u是控制信号,这里选取控制信号为uKx，

()()()xtABKxt，该方程的解为()()(0)ABKtxtex，

系统的稳态响应和瞬态响应特性由矩阵 A — B K的特征决定。

1234KKKKKx,闭环系统的方程为

()xAxBfABKx,选取所希望的极点值为，1234pppp

设计状态反馈阵时，要使系统的极点设计成具有两个主导极点，两个非主导极点,这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定.

最大超调量小于等于10％，调节时间为4S，

运用超调量的计算公式，

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(完整版)一级倒立摆系统分析

(完整版)一级倒立摆系统分析

一级倒立摆的系统分析

一、 倒立摆系统的模型建立

如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型

图1-1 一级倒立摆物理模型

对于上图的物理模型我们做以下假设：

M：小车质量

m：摆杆质量

b：小车摩擦系数

l：摆杆转动轴心到杆质心的长度

I：摆杆惯量

F：加在小车上的力

x：小车位置

ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角

θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆

小 车 导 轨

x l

F 摆杆 ɸ

杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

图1-2 小车及摆杆受力分析

分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：

Mẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：

N=md2dt2(x+lsinθ) (1-2)

即： N=mẍ+mlθcosθ−mlθ2sinθ (1-3)

将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程：

(M+m)ẍ+bẋ+mlθcosθ−mlθ2sinθ=F (1-4)

为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程：

P−mg=md2dt2(lcosθ) (1-5)

P−mg=− mlθsinθ−mlθ2cosθ (1-6)

利用力矩平衡方程可以有： mg N P

θ Iθ’’ F N P

M

X Bx’

X’’

−Plsinθ−Nlcosθ=Iθ (1-7)

注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。

基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计

基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计

基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计

一级倒立摆是一个经典的控制系统问题，它由一根杆子和一个在杆子顶端平衡的质点组成。杆子通过一个固定的轴连接到一个电机，电机可以通过施加力来控制杆子的平衡。设计一个控制系统来实现对一级倒立摆的稳定控制是一个重要的研究课题。

在这篇文章中，我们将介绍基于MATLAB的一级倒立摆控制系统仿真与设计。我们将首先介绍一级倒立摆的数学模型，并根据模型设计一个反馈控制器。然后，我们将使用MATLAB来进行仿真，评估控制系统的性能。

一级倒立摆的数学模型可以通过牛顿第二定律得到。假设杆子是一个质点，其运动方程可以表示为：

ml²θ''(t) = mgl sin(θ(t)) - T(t)

其中m是质点的质量，l是杆子的长度，g是重力加速度，θ(t)是杆子相对于竖直方向的偏角，T(t)是电机施加的瞬时力。

为了设计一个稳定的控制系统，我们可以使用PID控制器，其控制输入可以表示为：

T(t) = Kp(θd(t) - θ(t)) + Ki∫(θd(t) - θ(t))dt +

Kd(θd'(t) - θ'(t))

其中Kp，Ki和Kd分别是比例，积分和微分增益，θd(t)是我们期望的杆子偏角，θ'(t)是杆子的角速度。

在MATLAB中，我们可以使用Simulink来建模和仿真一级倒立摆的控制系统。我们可以进行以下步骤来进行仿真： 1. 建立一级倒立摆的模型。在Simulink中，我们可以使用Mass-Spring-Damper模块来建立质点的运动模型，并使用Rotational Motion库提供的Block来建立杆子的旋转模型。

2. 设计反馈控制器。我们可以使用PID Controller模块来设计PID控制器，并调整增益参数以实现系统的稳定性和性能要求。

3. 对控制系统进行仿真。通过在MATLAB中运行Simulink模型，我们可以观察控制系统的响应，并评估系统的稳定性和性能。

基于MATLAB的二阶倒立摆控制分析

基于MATLAB的二阶倒立摆控制分析

基于MATLAB的二阶倒立摆控制分析

工作原理

倒立摆的工作原理可简述为：用一种强有力的控制方法使小车以一定的规律来回跑动，从而使全部摆杆在垂直平面内稳定，这就是倒立摆控制系统。若小车不动，摆杆会由于重力倒下；若在水平方向给小车一个力，则摆杆朝与小车运动方向相反的方向运行，通过有规律性地改变小车的受力方向,使摆杆在竖直方向左右摆动，从而实现摆杆在竖直方向的动态平衡。

为了简化系统分析，假设：1)二级摆体视为刚体； 2)各部分的摩擦力(力矩)与相对速度(角速度)成正比； 3)施加在小车上的驱动力与加在功率放大器上的输入电压成正比，并无延时地施加到小车上；4)皮带轮与传送带之间无滑动，转送带无伸长现象。所以，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统，二阶倒立摆的系统模型如图1所示。

图1 二阶倒立摆系统模型图

数学模型的建立

系统模型参数如下：下摆与小车驱动系统的等效质量M=1.328 kg；小车质量m3=0.208 kg；下摆杆质量m1= 0.220 kg；上摆杆质量m2=0.187 kg；下摆杆质心到轴心距离l1=0.304 m；上摆杆质心到轴心距离l2=0.226 m；加在小车上的力为F；下摆杆与垂直方向夹角为θ1；上摆杆与垂直方向夹角为θ2。

为了简化系统模型，建立系统的拉格朗日方程：

L(,)(,)(,)qqTqqVqq 其中L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统动能，V为系统势能。拉格朗日方程由q和L表示为：

iiidLLfdtqq

其中fi为系统沿该广义坐标方向的外力。

由于在广义坐标系下，θ1,θ2没有外力作用，所以

110dLLdt

220dLLdt

解此方程组并在平衡点12 0x和120x附近对方程进行线性化处理,即设sin，cos1，线性化后得：

直线一级倒立摆MATLAB仿真报告

直线一级倒立摆MATLAB仿真报告

1 便携式倒立摆实验简介

倒立摆装置被公认为是自动控制理论中的典型试验设备，是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。本实验基于便携式直线一级倒立摆试验系统研究其稳摆控制原理。

1.1主要实验设备及仪器

便携式直线一级倒立摆实验箱一套

控制计算机一台

便携式直线一级倒立摆实验软件一套

1.2便携式倒立摆系统结构及工作原理

便携式直线一级倒立摆试验系统总体结构如图1所示：

图1 便携式一级倒立摆试验系统总体结构图

主体结构包括摆杆、小车、便携支架、导轨、直流伺服电机等。主体、驱动器、电源和数据采集卡都置于实验箱内，实验箱通过一条USB数据线与上位机进行数据交换，另有一条线接220v交流电源。

便携式直线一级倒立摆的工作原理如图2所示：

图2 便携式一级倒立摆工作原理图

数据采集卡采集到旋转编码器数据和电机尾部编码器数据，旋转编码器与摆杆同轴，电机与小车通过皮带连接，所以通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根据自动控制中的各种理论转化的算法计算出控制量。控制量由计算机通过USB数据线下发给伺服驱动器，由驱动器实现对电机控制，电机尾部编码器连接到驱动器形成闭环，从而可以实现摆杆直立不倒以及自摆起。

2 便携式倒立摆控制原理方框图

便携式倒立摆是具有反馈功能的闭环系统，其控制目标是实现在静态和动态下的稳摆。当输入量为理想摆角，即∅∅=0时，偏差为0，控制器不工作；当输入量不为理想摆角时，偏差存在，控制器做出决策，驱动电机，使小车摆杆系统发生相应位移，输出的摆角通过角位移传感器作用于输出量，达到减小偏差的目的。根据控制原理绘制出控制方框图如图3所示：

图3 便携式一级倒立摆控制原理方框图

3 建立小车-摆杆数学模型

便携式倒立摆系统主要由小车、摆杆等组成，它们之间自由连接。小车可以在导轨上自由移动，摆杆可以在铅垂的平面内自由地摆动。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将便携式倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的刚体系统，在惯性坐标内应用经典力学理论建立系统的动力学方程，采用力学分析方法建立小车-摆杆的数学模型。将其置于平面坐标系后其结构图如图4所示，规定逆时针方向的转角和力矩均为正。