高三数学(理)二轮专题复习文档：专题三立体几何第3讲立体几何中的向量方法(1)

1专题七附加题（必做部分）第1讲立体几何中的向量方法练习理

1.(2016·南通调研)如图，在四棱锥S

－ABCD

中，底面ABCD

为矩形，

SA

⊥平面ABCD

，AB

＝1，AD

＝AS

＝2，P

是棱SD

上一点，且SP

＝1

2PD

.

(1)求直线AB

与CP

所成角的余弦值；

(2)求二面角A

－PC

－D

的余弦值.

解(1)如图，以A

为坐标原点，分别以AB

，AD

，AS

所在直线为

x

，y

，z

轴建立空间直角坐标系，

则A

(0，0，0)，B

(1，0，0)，C

(1，2，0)，D

(0，2，0)，S

(0，0，

2).

设P

(x

0，y

0，z

0)，由SP→

＝1

3SD→

得(x

0，y

0，z

0－2)＝1

3(0，2，－2)，

所以x

0＝0，y

0＝2

3，z

0＝4

3，点P

坐标为0，2

3

，4

3.

CP→

＝－1，－4

3

，4

3，AB→

＝(1，0，0).

设直线AB

与CP

所成的角为α

，由图可知，α

为锐角，则cosα

＝AB→

·CP→

|AB→

||CP→

|

＝|

－1×1＋－4

3×0＋4

3×0|

1＋－432

＋4

32

×1＝341

41.

(2)设平面APC

的法向量为m

＝(x1，y

1，z1)，

由于AC→

＝(1，2，0)，AP→

＝0，2

3，4

3，

所以m

·AC→

＝x

1＋2y

1＝0，

m

·AP→

＝2

3y

1＋4

3z

1＝0.令y

1＝－2，则x

1＝4，z

1＝1，m

＝(4，－2，1).

设平面DPC

的法向量为n

＝(x2，y

2，z2)，

由于DC→

＝(1，0，0)，CP→

＝

－1，－4

3，4

3，

所以n

·DC→

＝x

2＝0，

n

·CP→

＝－x

2－4

3y

2＋4

3z

2＝0，

令y

2＝1，则z

2＝1，n

＝(0，1，1).

2设二面角A

－PC

－D

的大小为θ

，

由于cos〈m

，n〉＝0×4＋1×（－2）＋1×1

2×21＝－42

42，

由于θ

为钝角，所以

cosθ

＝cos〈m

，n

〉＝－42

42.

2.(2015·山东卷)如图，在三棱台DEF

－ABC

中，AB

＝2DE

，G

，H

分别

为AC

，BC

的中点.

(1)求证：BD

∥平面FGH

；

(2)若CF

⊥平面ABC

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直易错点

主标题：立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直易错点

副标题：从考点分析立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：向量证平行，向量证垂直，向量求角，易错点

难度：2

重要程度：4

【易错点】

1．平行关系

(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)

(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(√)

2．垂直关系

(3)已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±13，－23，23.(√)

(4)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．(√)

剖析：

1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨．

2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等.

第一部分 一 13(文)

一、选择题

1．(2015·东北三校二模)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( )

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

[答案] B

[解析] 当l、m是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A的条件，故A错误；对于C，过l作平面与平面α相交于直线l1，则l∥l1，在α内作直线m与l1相交，满足C的条件，但l与m不平行，故C错误；对于D，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l、m，满足D的条件，故D错误；对于B，由线面垂直的性质定理知B正确．

2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

[答案] C

[解析] 若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.

3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A.13＋2π B.13π6

C.7π3 D.5π2

[答案] B

[解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2；半圆锥的底面半径为1，高也为1，故其体积为π×12×2＋16×π×12×1＝13π6；故选B.

4.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不成立的是( )

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

学必求其心得，业必贵于专精

第3讲 立体几何中的向量方法

[真题再现]

1．（2018·课标Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD，BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起，

使点C到达点P的位置，且PF⊥BF。

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

[解］ (1）证明：由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.

又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD。

（2)解：如图，作PH⊥EF，垂足为H.

由（1)得，PH⊥平面ABFD。

以H为坐标原点，错误!的方向为y轴正方向,|错误!｜为单位长，学必求其心得，业必贵于专精

建立如图所示的空间直角坐标系H.xyz.

由（1)可得，DE⊥PE.

又DP＝2，DE＝1,所以PE＝错误!.

又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.

所以PH＝错误!，EH＝错误!.

则H（0，0,0），P错误!，D错误!，

错误!＝错误!,错误!＝错误!.

又错误!为平面ABFD的法向量，

设DP与平面ABFD所成角为θ，

则sin θ＝错误!＝错误!＝错误!。

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为错误!.

2．（2018·课标Ⅱ）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明:PO⊥平面ABC；

(2）若点M在棱BC上，且二面角M。PA-C为30°，求PC与学必求其心得，业必贵于专精

平面PAM所成角的正弦值.

[解］ (1）证明：因为PA＝PC＝AC＝4,O为AC的中点,

所以OP⊥AC，且OP＝2错误!.

如图，连接OB.

因为AB＝BC＝错误!AC,所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC,OB＝错误!AC＝2。

由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.

由OP⊥OB，OP⊥AC,OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.

（2）解:如图，以O为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O。xyz。