17.2-等腰三角形与勾股定理

2009年中考数学试题汇编之17.2-等腰三角形与勾股定理

11．（2009年衡阳市）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．

（1）求证：DA⊥AE；

（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．

【关键词】等腰三角形、矩形

【答案】解：（1）证明：

AEDADAEBAFBAC909018021)(21BAEBAD180BAFBAC BAF21BAEBAFAEBAC21BADBACAD＝＝平分＝平分

（2）AB＝DE，理由是：

DEABDAEDAEAEBAEBEADBBCADBACADACAB是矩形四边形平分B90 90 90

12．（山东省临沂市）

如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45方向上．

（1）求出A，B两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）． A B

C D E

F

解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得45AB°．

ACO△和BDO△都是等腰直角三角形．

2AO，22BO．

AB，两村的距离为22232ABAOBO（km）．

方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E．

易证四边形CDBE是矩形，

2CEBD．

在RtAEB△中，由45A°，可得3BEEA．

223332AB（km）

AB，两村的距离为32km．

（2）作图准确，痕迹清晰．

作法：①分别以点AB，为圆心，以大于12AB的长为

半径作弧，两弧交于两点MN，，

作直线MN；

②直线MN交l于点P，点P即为所求． （7分

13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A．在如图8所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，北

东

B A

C D

l

B A

C D

l N

M O

P AO为其中的一段．

(1)求点B和点C的坐标；

(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：7.13)

(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?

解：在RtΔAOB中，OA＝100,∠BAO＝60°

所以OB＝OA·tan∠BAO＝1003．

RtΔAOC中,∠CAO＝45°

所以OC＝OA＝100,

所以B(-1003,0),C（100，0）

（2）BC＝BO+CO＝1003+100,10031001815

18>503,

所以这辆车超速了。

（3）高大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽四行驶 了2x米，且两车的距离为

22y(100x)(1002x)＝25(x60)2000

当x＝60时，y有最小值是2000205米，

答：两四相距的最近距离为205米．

14．（2009年重庆）作图，请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边ABC△．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）

已知：

求作：

【关键词】等边三角形, 尺规作图

【答案】

解：已知：线段AB．

求作：等边ABC△．

作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段ACBC、各1分） A B 19题图 15．（2009年重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AEAC．

（1）求证：BGFG；

（2）若2ADDC，求AB的长．

【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法

【答案】（1）证明：90ABCDEAC°，⊥于点F，

ABCAFE．

ACAEEAFCAB，，

ABCAFE△≌△

ABAF．

连接AG，

AG＝AG,AB＝AF，

RtRtABGAFG△≌△．

BGFG．

（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，

1122AFACAE．

30E°．

30FADE°，

3AF．

3ABAF．

16．（2009年广西钦州）已知：如图2，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为5．求⊙O1的半径． D

C

E B G A F A B

C

D

C

E B G A

F 【关键词】垂径定理、勾股定理

【答案】

解：过点O1作O1C⊥AB，垂足为C，

则有AC＝BC．

B

A

O

图2 xyABO1OC

由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．

在1RtAOC△中，∵O1的纵坐标为5，

∴O1C＝5．

∴⊙O1的半径O1A＝22221(5)2OCAC＝3．

17．(2009年甘肃定西)如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：（1）ACEBCD△≌△；（2）222ADDBDE．

【关键词】全等三角形、勾股定理

【答案】证明:（1） ∵ ACBECD，

∴ ACEACDBCDACD．

即 ACEBCD．

∵ ECDCACBC,，

∴ △ACE≌△BCD．

（2）∵ ACB是等腰直角三角形，

∴ 45BACB．

∵ △ACE≌△BCD， ∴ 45CAEB．

∴ 904545BACCAEDAE．

∴ 222DEAEAD．

由（1）知AE＝DB，

∴ 222ADDBDE．

18．（2009年莆田）已知：等边ABC△的边长为a．

探究（1）：如图１，过等边ABC△的顶点ABC、、依次作ABBCCA、、的垂线围成MNG△，求证：MNG△是等边三角形且．3MNa；

探究（2）：在等边ABC△内取一点O，过点O分别作ODABOEBCOFCA、、，垂足分别为点DEF、、． ①如图2，若点O是ABC△的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．32ODOEOFa；结论2．32ADBECFa；

②如图3，若点O是等边ABC△内任意一点，则上述结论12、是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

【关键词】等边三角形

证明：如图1，ABC△为等边三角形

60ABC°

BCMNBAMG，

∴90CBMBAM°

9030ABMABC°-

9060MABM-

同理：60NG

MNG△为等边三角形．

在RtABM△中，23sinsin603ABaBMaM

在RtBCN△中，3tantan603BCaBNaN

3MNBMBNa

（2）②：结论1成立． N M

A

G

C B

（图1） N M

A

G

C B A

F

C E B D A

F

C E B D

（图1） （图2） （图3）

O A

F

C E B D

（图4） O O 证明；方法一：如图2，连接AOBOCO、、

由ABCAOBBOCAOCSSSS△△△△＝12aODOEOF

作AHBC，垂足为H，

则3sinsin602AHACACBaa

113222ABCSBCAHaa△··

113222aODOEOFaa·

32ODOEOFa

方法二：如图3，过点O作GHBC∥，分别交ABAC、于点GH、，过点

H作HMBC⊥于点M，

6060DGOBOHFC°，°

AGH△是等边三角形

GHAH

OEBC⊥

OEHM∥

四边形OEMH是矩形

HMOE

在RtODG△中，3sinsin602ODOGDGOOGOG··

在RtOFH△中，3sinsin602OFOHOHFOHOH··

在RtHMC△中，3sinsin602HMHCCHCHC·· A

F

C E B D

（图2） O

H

A

F

C E B D

O

M H G