函数求导数

第１１卷第４期　２０１１年８月　泰州职业技术学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔａｉｚｈｏｕ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖ０１．１ｌ　Ｎｏ．４　Ａｕｇ．２０１　１　

对求多元复合函数偏导数问题的探讨　

廖为鲲，崔靖　

（泰州职业技术学院基础科学部，江苏泰州２２５３００）　

摘要：对多元复合函数求偏导数既是高等数学教学重点又是教学难点，文章归纳了多　

元复合函数偏导数公式的三个规律，并探讨了求多元复合函数偏导数的方法。　

关键词：多元复合函数；偏导数　

中图分类号：０１７　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７　１—０１４２（２０１０）０４—００５５—０２　

在学习如何对多元复合函数求偏导数过程　

中，由于多元复合函数的复合关系比较复杂，如　

果仅仅去记忆求偏导数公式，往往会引起混淆，　

因此，就要去寻找多元复合函数求偏导数公式的　

规律。下面从中间变量均是二元函数的多元复合　

函数偏导数公式…中寻找规律。　

｛殳ｚ－－ｆ（甜，　，　＝（ｐ　Ｊ，），ｖ＝　），　

：　—　刚　出ｄ　ｄＶ出　～　：　＋Ｏ　ｚ　ｏｙ　ｄｕ　Ｏｖｏｙ　从上述公式中可以推得下面三个规律：　

（１）有几个自变量就有几个求导公式；　

（２）有几个中问变量，每个公式中就有几　

项相加；　

（３）公式中的每一项都是函数对中间变量　

的（偏）导数乘以中间变量对自变量的（偏）导　

数。　

利用这三个规律可以写出任何形式的多元　

复合函数的偏导数公式，在写出公式之前要先弄　

清楚什么是中间变量，什么是自变量。　

设ｚ＿－ｆ（“，　ｗ），甜＝（ｐ　），ｖ＝　），Ｗ＝Ｗ　）　

分析：（１）有两个自变量Ｘ，Ｙ，则有两个偏　

导数公式；　

（２）有三个中间变量　，ｖ，ｗ，则每个公式有　

三项相加；　

（３）公式中每一项都是函数对中间变量的　

（偏）导数乘以中间变量对自变量的（偏）导　

数。　则褰＝毫　—　ｄ　ｗ，其中ｗ　ｗ　）是关　

作者简介：廖为鲲（１９８０一），男，江苏盐城人，硕士，讲师　的一元函数，所以用　表示导数；　

第２４卷第６期　２０１１年ｌ２月　高等函授学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｄｅｃ．２４　Ｎｏ．６　２０１１　

・高职高专教学・　

利用全微分求函数的偏导数的技巧　

张学茂　

（泰州师范高等专科学校，江苏泰州２２５３００）　

摘要：本文试利用全微分求隐函数（组）、复合函数、参数方程、抽象函数的（偏）导数，摒弃了　弄清中问变量的关系，在形式与方法上作了统一，提供了通俗易懂的思路与技巧。　关键词：全微分；变量；偏导数　中图分类号：Ｏ１７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００６—７３５３（２０１１）０６一Ｏ０５８—０３　

求函数的（偏）导数是高等数学的重要内容。　

而求导数题型杂，公式多，涉及到一元隐函数、参　

数方程、一元复合函数、多复合函数、隐函数组、抽　象函数等。不少复合函数变量间的关系错综复杂，　

是学生学习的一大难点，也成了不少专家学者关　注的热点问题［１ｑ］。“链式法则”、“树状图”、“变式　

求导”等一个个新颖的方法应运而生。但这些方　

法都是建立在理清各变量关系的基础上的，稍有　不慎就易出错。笔者在教学中发现不少教材［４　］　

都有这样的表述：对一元函数而言，可微与可导本　

质上是一致的；不论　、　是自变量，还是函数，ｚ—　ｆ（ｕ，　）的全微分总保持同一形式，即ｄｚ—ｆ　。ｄｕ　

＋厂　……巧用全微分，求隐函数、参数方程、抽　

象函数的（偏）导数乃至高阶（偏）导数，更容易让　

学生理解与掌握。本文所涉及的函数都是可导的，　

多元函数存在连续的偏导数。　

１相关引理　引理１［５］若函数Ｙ＝厂（　）可导，则　

一ｆ（ｘ）ｄｘ　

引理２［。］若函数Ｙ＝，（“），　一ｇ（口）在对应　

的点处可导，则ｄｙ＝＝＝／　ｇ　ｄｖ　

引理３［６　设｛　会：　（　为参数），Ａ（ｚ）、　Ｉ　１，＝Ｈｌ，，　

Ｂ（￡）都可导，且Ｂ　（￡）≠０则ｄｙ一鲁　ｄｘ　

求函数的导数

例 求下列函数的导数．

1．43)12(xxxy；2．2211xy；

3．)32(sin2xy；4．21xxy。

分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

解：1．解法一：设43,12uyxxxu，则

).116()12(4)116(42233223xxxxxxxuuyyxux

解法二：xxxxxxxxxy121241233343

.116124223xxxxx

2．解法一：设22121,xuuy，则

.21)21(2 212 42121 4212223223223xxxxxxxxuuyyxux＝

解法二：212221211xxy .21)21(2)21(2)4()21(2121)21(21222322322232xxxxxxxxx

3．解法一：设32,sin,2xvvuuy，则

.324sin2 232cos32sin2 2cos2xxxvuvuyyxvux

解法二：32sin32sin232sin2xxxy

1、求下列函数的导数

(1)xxxf)( (2)4)31(1xy (3)xy23 (4)y=cos(1+x2)

(5))1ln(xy2x (6)32)12(1xy (7)131xy (8)y=sin(3x－6)

2、(1)函数xxyln的单调递减区间是__________________.

(2)函数y＝x＋xln x的单调递减区间是__________________.

(3)求23()()2xfxxxe的单调增区间为__________________.

(4) 221xfxx的增区间______________减区间_______________a

3、已知函数xf,(Rx)上任一点(0x ,0xf)处的切线斜率为k=20012xx，则该函数的单调递减区间为__________________.

4、函数32fxxax在区间1,内是增函数，则a取值范围是

5、若函数123mxxxy是R上的单调增函数，则实数m的取值范围是 。

6、若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 。

7、若32133fxxxmx在R上不是单调函数，则m的取值范围是 。

8、设axxxfa3)(,0函数在),1[上是单调函数. 求实数a的取值范围是 。

9、已知二次函数2()fxaxbxc的导数为()fx，(0)0f，对于任意实数x，有()0fx≥，则(1)(0)ff的最小值为 。

10、已知函数32()(1)48(2)fxaxaxaxb的图象关于原点成中心对称, 试判断()fx在区间4,4上的单调性,并证明你的结论.