不等式的性质教案

8.1不等式的基本性质（2）

教学目标

知识与能力：1、理解不等式的实际背景，掌握不等式的基本性质。

2、会用不等式的基本性质证明简单的不等式。

过程与方法：

通过解决具体问题，提炼、理解不等式的基本性质。

情感态度价值观：

1、通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

2、通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。

重点难点

重点：理解不等式的基本性质。

难点：理解不等式的基本性质3，用不等式的基本性质证明简单的不等式。

教学互动过程

一、探索

1.不等式的定义

学生阅读课本P86第一自然段，然后让学生回答：什么叫做不等式。

2不等式的基本性质1

问题（1） 甲的年龄为a岁，乙的年龄为b岁，如果甲的年龄比乙的年龄大，请你用不等式表示a与b的大小关系。C年后，他们二人的年龄谁大？你能用不等式表示出来吗？C年前呢？

问题（2） 如图

在数轴上，点A与点B分别对应实数a、b，并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a、b之间的大小关系，如果同时将点A、B向右（或向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A'、B',你能用不等式表示点A'、B'所对应的数的大小关系吗？

问题（3） 由（1）、（2）你发现了不等式的什么结论？你能用不等式表示出来吗？

多让几个同学说，最后师生共同总结归纳得出不等式的基本性质1，并让同学对照等式的基本性质1，有什么发现，交流。

3不等式的基本性质2

问题（1）： 将不等式6>-3和-4>-2的两边都乘3，不等号的方向是否改变？两边都除以2呢？

6×3 （-3)×3 (-4)×3 （-2)×3

6÷2 （-3)÷2 (-4)÷2 （-2)÷2

§2.2 不等式及其基本性质

预备知识

数与式的基本运算

数轴

重点

比较两个实数的大小

不等式的解集

难点

不等式的基本性质

比较式的大小

学习要求

了解不等式的概念，

熟练应用不等式的基本性质解题

1. 不等式及其基本性质

我们先用天平来做两个实验．

实验1：

在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g的砝码，观察天平平衡的情况．

当天平处在平衡状态，说明两端的

重量是相等的；当天平处在不平衡状态，

则两端的重量不等．在实验中你可以观

察到：

(1)天平平衡是可能的；

(2)天平不平衡状态是经常发生的，

所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡

状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系．

在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“”或“<()”、“>()”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“<()”、“>()”表示的不等量关系．用符号“<()”、“>()”表示量之间不等关系的式子，称为不等式．

用x表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x>1，读作x大于1；图2-11(2)表示x<2，读作x小于2．

课内练习1

1.请你用“>()”、“<()”表示你在实验中出现的不等量关系．

2.字母a,b,c,d,e,f所表示的数如图所示．用“>()” 、“<()”连接任意两

个字母．

实验2：

选图2-11中天平一种不平衡态．

(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如

 7+3>5+3(即10>8)；

 7+(33-3)>5+(33-3)(即13>11)；

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▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 第六章 不等式

在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到这样一些问题：

1．小丽的家离学校a km，如果步行速度为b km / h ，为了保证上午八点钟以前到校，小丽最晚什么时候出发？

2．为什么用相同材料做成圆柱型的容器比做成棱柱型的容器的容积大？

在这两个问题中，前者是解不等式问题，后者是证明不等式问题，但它们的解决都离不开不等式知识和方法的系统掌握。

自然界中的等量关系是相对的，而不等量关系是绝对的，不等量关系比等量关系的存在更具有普遍性，所以不等关系的研究具有重要的意义，在中学数学中是重要的内容。本章将在前面学过的一元一次不等式、一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法的基础上，进一步学习不等式的概念、不等式的性质、不等式的证明和一些简单不等式的解法。

§6.1不等式的性质

【学习目标要求】

1． 运用数形结合的观点，认识实数顺序的规定，掌握判断两个实数大小的充要条件。

2． 理解不等式的重要性质，掌握这些性质的证明方法。

3． 会用不等式的性质解决一些简单问题。

【基础知识导学】

1． 不等式的定义

用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式。

说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠。

（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）

（3）不等式研究的范围是实数集R。

2．判断两个实数大小的充要条件

对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立。判断两个实数大小的充要条件是

a＞b  a  b＞0

a= b  a  b = 0

a＜b  a  b＜0

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了。 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

3.1 不等式的基本性质

学 习 目 标 核 心 素 养

1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点)

2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点)

3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围．(难点) 通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．

和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？

1．不等式

(1)不等式的定义

用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，这些含有这些不等号的式子叫做不等式．

(2)关于a≥b和a≤b的含义

①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．

②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a

(3)不等式中常用符号语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于

> < ≥

≤ ≤ ≥ ≥ ≤

2．两个实数的大小比较

(1)如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；

(2)如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；

(3)如果a－b是负数，那么a

3．不等式的基本性质

性质1: 若a>b，则bb⇔b

性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性)

性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性)

性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)

若a>b，c<0，则ac

性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性)

性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性)

性质7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N*)．(拓展)

提醒：不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．