H1N1传播的数学模型

H1N1传播的数学模型探究

指导教员：

组员：

摘要

本文是一篇关于建立解决甲型H1N1流感传播感染的数学模型探究的文章。

对于问题一，我们通过从各大网站上获得的大量数据，以我国为探讨对象，

并结合疫情在我国传播的实际情况，将疫情的传播阶段分为了蔓延发展、高峰感

染和控制衰退三个时期。依据改进的SIR传染病传播模型，在对不同时期的相关

参数进行合理的设定的前提下，对模型进行了求解。通过将模型所得的预测数据

与实际观察数据进行对比分析后发现，模型的预测效果十分理想。基于此，我们

利用改进的传染病模型对我国未来疫情的发展趋势进行了预测，得到了H1N1疫

情在我国将持续160天左右，即从5月12日到11月底左右结束，最终累计患者

达到了2523人的结论。

对于问题二，我们选取了08年1月份到09年7月份中国入境旅游外汇收入

作为时间序列分析的数据，利用一次指数平滑对处于疫情期间的五、六、七月份

收入在无H1N1的假定下进行了预测，通过与实际数据进行对比后发现H1N1在六

月份对我国旅游外汇收入影响比较严重，在七月份有所回升。对这三个月的旅游

收入共造成了1.739亿元的损失。然后又对能反映世界经济晴雨表的标准普尔指

数进行了分析，得出了在疫情高峰期的六月，H1N1对全球经济有一定得影响。

综合这些分析，可以看出H1N1对全球经济有一定影响，在疫情高峰期的六月影

响比较显著。

对于问题四，结合问题一中模型的求解和问题二中H1N1对全球经济影响，

给世界动物卫生组织（OIE）写了一份建议报告，提出了合理化的建议。

关键词：H1N1传染病 改进SIR 时间序列 指数平滑 标准普尔指数

一、问题的重述

甲型H1N1（猪流感）成为21世纪继SARS（非典型肺炎）之后又一个在世界

范围内广泛传播的传染病。 这一新病毒，最早发现于北美的墨西哥，所以又将

其命名为“北美流感”。

目前从“北美流感”（甲型H1N1）的蔓延趋势可以看出，其传播速度和影响

力较SARS更严重，且正直全世界金融危机，因此有人认为它是全球金融危机的并

发症。

为了更好地预测和控制这种传染病。提出以下问题（其中问题2和问题3选做

一题）：

问题1、针对源发性甲型H1N1，建立自己的模型，为预测及为预防和控制提

供可靠、足够的信息的模型。

问题2、试建立“北美流感”（甲型H1N1）对全球经济影响的数学模型，并

进行预测。

问题3、在第一问的基础上进一步考虑：甲型H1N1流感病毒与禽流感病毒杂

交后的情况，建立改进的模型。假若甲型H1N1流感病毒与禽流感病毒杂交，给出

你的应对方案。

问题4、给世界动物卫生组织（OIE）写一篇建议报告，说明建立“北美流感”

（甲型H1N1）数学模型的重要性。

二、模型的假设

1假定疫情开始阶段中，国内所有人口均为易感人群。

2 H1N1的持续期不太长，可以忽略在H1N1持续期内人口的自然出生率和自然死

亡率。

3被H1N1感染后经治疗康复的人群在H1N1流行期不会被再次感染。

4病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用。

5不考虑人口的流动，仅仅在一个国家范围内研究H1N1疫情的发展过程。

6假定在H1N1发展消亡的全过程中经济危机对全球经济的影响保持不变。

7从各大网站获得的资料及相关数据真实可靠。

8假定在这段时间内，中国总人口数保持不变。

三、符号的说明

)(tS: 易感类人群占我国人口总数的比例。

)(tI: 传染类人群占我国人口总数的比例。

)(tR: 排除类人群占我国人口总数的比例。

λ： 单位时间内一个传染者与他人的接触率。

L： 平均传染期。 α： 时间序列中的加权系数。

1 )(tω: H1N1患者的就诊率患者总数时刻全社会患者数时刻被隔离的

H1N1H1N1

tt=。

:)(tμ H1N1患者日发病率=时刻易感人数总数数时刻易感人中被传染人

tt。

四、问题的分析

4.1 问题一的分析

问题一中我们结合了经典的SIR传染病模型，考虑到我国H1N1流感的传播

的自身特点，把人群分为易感类（S类）、传染类（I类）和移出类（R类），按

照三个不同传播阶段（蔓延期、高峰感染期和控制衰退期）对模型的相关参数进

行求解设定，将SIR传染病模型进行了改进，建立分段微分方程，然后结合我国

疫情的具体时期对模型进行了求解，并结合实际数据对模型的可行性进行验证，

进而对所建模型能否为预测及为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型加以检

验。

4.2 问题二的分析

对于问题二，题目中要求分析H1N1对全球经济的影响，考虑到在这个特殊

时期，全球金融受到经济危机的影响比较大，为了简化模型，我们在假设5的前

提下，选取了旅游业，利用时间序列预测出在四、五、六、七、八月份在仅有金

融危机影响的情况下这个行业的发展情况，并与实际数据进行对比，通过分析预

测数据与实际数据的差异，从而可以得出H1N1对这个行业的影响程度。

4.3 问题四的分析

通过对前两问中相关模型的求解和问题的分析，结合疫情传播的实际情况从

而提出针对H1N1传染病建立数学模型对控制疫情传播的重要性。

五、问题一模型的建立与求解

5.1 H1N1传播过程的分析

要建立为预测及为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，应该首先对整

个传播过程有一个全面而详尽的分析。

根据我国H1N1的传播在国内蔓延和传播的实际情况，我们把H1N1的整个过

程大致经历了3个过程，即发展蔓延期、高峰稳定期和控制衰退期。

第一阶段是发展蔓延期。我国第一例H1N1感染者为输入性患者，时下在国

外的一些国家疫情已表现的相当严重，当公众发现国内出现感染者并不断增加

时，开始出现了一定的恐慌情绪，政府立即采取多种措施，但由于对病毒传播的

特点不清楚，并未收到预期效果。在这个时期，传播源的平均传播期较长，整个

社会的发病率出现了猛增的情况。

第二个阶段是高峰稳定期。当高强度的措施实施后，病毒扩散速度实际已经

被控制，发病人数保持稳定，处在一个高平台阶段。在这个时期，有效隔离措施

的产生，大大缩短了平均传染期，但由于病患基数较大，社会发病率依然很高。

第三个阶段是控制衰退期。在高平台阶段以后，控制措施的作用开始显现，

同时医疗手段已经成熟，患病人数开始下降，进入控制时期。在这个时期，平均

感染期最短，社会发病率低。疫情进入了第3个阶段的直至疫情完全控制。

有了以上的分析，建立的模型就应该体现3个不同时期下疫情的发展过程，

并能够在此基础上准确预测疫情变化情况，提出切实可行的控制措施。考虑在经

2 典传染病SIR模型基础上，通过机理分析，加入合理的实际因素，建立适合H1N1

的分段微分方程模型，称为H1N1传播的SIR改进模型。

5.2 传播机理分析

5.2.1 传播机理

针对早期模型的不足，需要在模型的合理性和实用性方面进行改进。考虑在

经典传染病模型SIR的基础上，通过机理分析，用实际因素来描述H1N1的传播

过程。

为了简化模型，这里不考虑人口的流动带来的影响，仅仅在一个国家中研究

H1N1的传播机理。因而我们可以把整个社会人群分为3类：

第一类S类，称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫能力，可

能被染上传染病；

第二类I类，称为传染类，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给S

类成员。

第三类R类,称为移出类，R类成员或者是I类成员被严格隔离、治愈或者

死亡等。I类成员转化为R类后，不具有传染能力。

S(t)、I(t)、R(t)分别表示t时刻上述3类成员占城市人口总数的比例。

5.2.2 传播过程的三点说明

（1）：人口总数为常数N，由于N足够大，可以把变量S(t)、I(t)、R(t)

视为连续变量，还可进一步假定为连续可微变量。 1A

（2）：人群中3类成员均匀分布，传播方式为接触性传播。单位时间内

一个传染者与他人的接触率为2A

λ，则一个传播者在单位时间内与S类成员的接触

率为)(tSλ，因此，单位时间内I类成员与S类成员的接触总数为:

=总P)()(tItSN⋅⋅λ

这就是单位时间内I类成员增加的数量，称为发病率，它是S(t)和I(t)的

双线性函数。

（3）：传播者的被控制数正比于传染者的数量，比例系数为v，v称

为被控制率，则平均传染期为: 3A)(tNI

vL/1=

一个传染者在其传播期内与其他成员的接触总数，称为接触数,表达如下：

v/λσ=

综合以上分析，可以得到H1N1的传播流程如图1所示：

3 家属、社会交往

图1 H1N1传播流程图

在这个模型中，移出类就是已确诊H1N1患者累计数，而是

全社会累计H1N1患者数，包括已确诊的和未被发现的两部分。 )(tNR)](1[tSN−⋅

5.3 H1N1传播的SIR改进模型的建立

5.3.1 模型的建立

有了以上的机理分析，建立起针对H1N1的改进SIR模型：

1=++SRI （1）

SIdtdSλ−= （2）

上式（2）表示易感者在单位时间内的变换率等于单位时间内I类成员与类

成员的接触率，易感者数量是减少的，故在等式右边加上负号； S

vISIdtdI−=λ （3）

上式（3）表示传染者在单位时间内的变化率等于增加量减去已被控制的数

量；

vIdtdR= （4）

上式（4）表示单位时间内移出的人数等于单位时间内疫情被控制的人数。

0,000>>IS

00≥R

5．3．2 的分析和参数vλ

该模型中参数λ和在疫情发展的各个阶段受实际因素影响，会有比较明显

的变化，现分析如下： v

(1)参数λ表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，其与全社会的警觉

程度和政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所

的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率λ的值。

我们认为，λ的数值随着H1N1发展的3个阶段不断变化。在H1N1初入我国

境内时，由于已经受到了国际社会的影响，政府当即采取了严格的监控措施，但

考虑到是开始阶段，λ值仍然应该处于比较大的水平；进入高峰稳定期后，公众H1N1发病 健康人群 H1N1感染者潜伏

医务人员

死亡人数 医院（治疗或者隔离）治愈

死亡 感染 隔离

就医 感染 感染

4