数理逻辑中的二阶逻辑与高阶逻辑

一阶二阶高阶通俗解释1.引言1.1 概述概述在科学、逻辑和数学领域中，我们常常会遇到一阶、二阶和高阶的概念。

这些概念在理论研究和实际应用中具有重要作用，但对于一般人来说，可能会感到有些晦涩难懂。

本文旨在通过通俗的解释，帮助读者理解一阶、二阶和高阶的含义及其在不同领域中的应用。

首先，我们将给出一阶、二阶和高阶的定义，然后通过实际生活中的例子来说明这些概念的具体含义。

通过阅读本文，您将能够了解一阶、二阶和高阶的基本概念，并理解它们在不同领域中的应用。

我们希望这篇文章能够帮助您更好地理解并应用这些概念，提升您的学习和工作效果。

下面我们将首先介绍文章的结构，然后详细解释一阶、二阶和高阶的含义以及举例来说明它们的应用。

最后，我们将总结一阶、二阶和高阶解释，并思考通俗解释的重要性。

让我们一起开始探索一阶、二阶和高阶的奥秘吧！1.2文章结构1.2 文章结构本文主要探讨一阶、二阶和高阶的通俗解释。

为了使读者更好地理解这些概念，本文将按照以下结构进行介绍和解释。

引言部分将首先对整篇文章进行概述，简要介绍一阶、二阶和高阶的概念，并说明文章的目的。

正文部分将详细讨论一阶、二阶和高阶的解释。

首先，我们将从一阶解释开始。

在一阶解释的定义中，我们将探讨一阶的含义、特点以及其在不同领域的应用。

然后，通过举例说明，我们将具体说明一阶解释的实际应用和效果。

接下来，我们将转向二阶解释。

我们将阐述二阶解释的定义和意义，并通过实例来说明二阶解释在理解和解决问题时的作用。

通过对具体案例的分析，读者将更好地理解二阶解释的概念和适用性。

最后，我们将讨论高阶解释。

高阶解释将进一步深入概念的层次，并通过举例来解释和说明高阶解释的意义和实际运用。

读者将了解高阶解释在更复杂的问题和领域中的应用，并体会到其在知识推进和创新中的重要性。

在结论部分，我们将对一阶、二阶和高阶解释进行总结。

我们将回顾每个概念的定义和特点，并强调它们对于我们理解和解释世界的意义。

清华紫皮数理逻辑-回复清华紫皮数理逻辑（Tsinghua Purple Book on Mathematical Logic）是清华大学出版社出版的一本经典教材，是国内数理逻辑领域的权威教材之一。

本文将以清华紫皮数理逻辑为主题，对其内容进行逐步回答解析。

清华紫皮数理逻辑是一本介绍数理逻辑的教科书，适合数学、计算机、哲学、语言学等专业的本科生和研究生学习。

该教材系统地介绍了命题逻辑、一阶谓词逻辑和模型论等基础概念与技巧，同时也涵盖了一些高阶逻辑、模态逻辑和递归论等扩展内容。

本文将回答以下四个问题，以帮助读者更好地理解清华紫皮数理逻辑：1. 清华紫皮数理逻辑的主要内容是什么？2. 清华紫皮数理逻辑的特点是什么？3. 清华紫皮数理逻辑适用于哪些专业领域？4. 如何有效地学习清华紫皮数理逻辑？【问题一】清华紫皮数理逻辑的主要内容是什么？清华紫皮数理逻辑主要涵盖了以下内容：1. 命题逻辑：介绍了命题、命题的真值赋值、命题逻辑中的运算、命题逻辑的推理规则等基础概念和技巧。

2. 一阶谓词逻辑：介绍了一阶逻辑中的基本概念，如公式、合式公式、有效推理等。

此外，还包括一阶逻辑中的量词、解释、模型等概念。

3. 模型论：介绍了模型的基本概念，如语言、结构、关系等。

通过模型论的学习，读者可以深入了解逻辑的数学基础和形式化表达能力。

4. 其他扩展内容：除了命题逻辑、一阶逻辑和模型论外，清华紫皮数理逻辑还涉及了一些高阶逻辑、模态逻辑和递归论等扩展内容，使读者对逻辑领域的前沿产生认识。

【问题二】清华紫皮数理逻辑的特点是什么？清华紫皮数理逻辑的特点如下：1. 全面而系统：清华紫皮数理逻辑全面而系统地介绍了数理逻辑的基础概念和技巧，从命题逻辑到一阶逻辑再到模型论，覆盖了数理逻辑的主要内容，能够帮助读者建立起逻辑推理的基本框架。

2. 深入浅出：教材采用了简洁明了的语言和直观的例子，旨在帮助读者理解抽象的逻辑概念。

作者在呈现逻辑理论的同时注重具体技巧和操作方法的介绍，使读者能够掌握实际问题的解决方法。

绪论一、数理逻辑研究什么？★研究前提和结论的可推导性关系，它是由命题的逻辑形式而非内容所决定的二、数理逻辑如何研究？★形式语言第一章预备知识第一节集合一、集合1、集合的内涵和外延（所有元素的共同性质/构成集合的所有元素）2、有序偶和笛卡儿集二、关系1、概念：集合S上的n元关系R2、特殊情况：集合S上的一元关系R（集合S上的性质R）三、函数（映射）1、概念：函数（集合＋有序偶＋性质）、定义域dom（f）、值域ran（f）2、概念：f（x）（函数f在x处的值）3、概念：f：S－>T（函数f是由S到T的映射）、满射、一一映射四、等价1、概念：关系R是集合S上的等价关系（自反＋对称＋传递）2、概念：元素x的R等价类3、性质：R等价类对集合S的一个划分（两两不相交，且并为S）五、基数1、概念：S～T（两个集合S和T是等势的）2、概念：集合S的基数|S|（集合中的元素个数）3、概念：可数无限集第二节归纳定义和归纳证明一、归纳定义1、集合的归纳定义⑴、直接生成某些元素⑵、给出运算，将其作用在已有元素上，以产生新的元素⑶、只有这样才是集合中的元素，除此之外，再也没有了2、典例：自然数集N的两个归纳定义二、归纳证明1、归纳定理：设R是一个性质，如果⑴、R（0）⑵、对于任何n∈N，如果R（n），则R（n’）那么，对于任何n∈N，都有R（n）2、概念：归纳基础、归纳步骤（包括归纳变元和归纳假设）、归纳命题、归纳证明3、概念：串值归纳法及其变形三、递归定义1、递归定义（在归纳定义的集合上，定义函数）在自然数集N上定义一个这样的函数f：g，h是N上的已知函数f（0）＝g（0）f（n’）＝h（f（n））2、递归定义原理（这样的函数是存在而且唯一的）第二章经典命题逻辑第一节联结词一、基本概念1、概念：命题（陈述句+确定值）（要么是真，要么是假）2、概念：简单命题和复合命题（区分的关键）3、小结：只考虑复合命题的真假是如何确定的二、联结词1、非A：2、A与B：A为真并且B为真3、A或B：A为真或B为真（A为真或B为真或AB同时为真）4、A蕴涵B：如果A真，则B真（并非A假B真）5、A等值于B：如果A蕴涵B，同时B蕴涵A第二节命题语言一、基本概念1、概念：命题语言（命题逻辑使用的形式语言）2、归纳：命题语言的三类符号（命题符号＋联结符号＋标点符号）3、概念：表达式、长度、空表达式、两个表达式相等4、概念：段、真段、初始段、结尾段二、基本概念1、定义：原子公式，记为Atom（L P）（单独一个命题符号）2、定义：公式，记为Form（L P）（经典归纳定义及其两种变形）★经典定义容易理解，然而两种变形更容易使用3、定理：如何证明L P的所有公式都满足R性质？★关键：假设S={A∈Form（L P）| R（A）}4、概念：对公式的结构做归纳（上述归纳证明）三、习题解析1、关键：利用二叉树表示公式的生成过程2、关键：蕴涵有多种不同的叙述方式（关键：分清楚充分条件和必要条件）⑴、◆如果p，则q⑵、◆只要p，则q⑶、◆p仅当q⑷、◆只有p，才q⑸、◆除非p，否则q（思路：想方设法转化为上述情形）第三节公式的结构一、引理1、引理1：L P的公式是非空的表达式2、引理2：在L P的每个公式中，左括号和右括号出现的数目相同3、引理3：真初始段不是公式（在L P的公式的任何非空的真初始段中，左括号出现的次数比右括号多。

模型论文章整理编辑：论文文库工作室（QQ86）论文写作发表辅导数学上，模型论是从集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为数学系统基础的“模型”的研究。

粗略地说，该学科假定有一些既存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。

比如实数理论中一个模型论概念的例子是：我们从一个任意集合开始，作为集合元素的每个个体都是一个实数，其间有一些关系和(或)函数，例如×, +, −, ., 0, 1。

若我们在该语言中问"∃ y (y × y = 1 + 1)"这样一个问题，显然该陈述对实数而言成立- 确实存在这样的一个实数y, 即所谓2的平方根；对于有理数，该陈述却并不成立。

一个类似的命题，"∃ y (y × y = 0 − 1)",在实数中不成立，却在复数中成立，因为i × i = 0 − 1。

模型论- 定义结构被形式的定义于某个语言L 的上下文中，它由常量符号的集合，关系符号的集合，和函数符号的集合组成。

在语言L上的结构，或L-结构，由如下东西组成:一个全集或底层集合A，它包含所有感兴趣的对象("论域")，给L 的每个常量符号一个在A 中元素，给L 的每个n 价函数符号一个从An 到A 的函数，和给L 的每个n 价关系符号一个在A 上的n-元关系(换句话说，An的一个子集)。

函数或关系的价有时也叫做元数(术语"一元"、"二元" 和"n-元"中的那个元)。

在语言L中的理论，或L-理论，被定义为L中的句子的集合。

如果句子的集合闭合于通常的推理规则之下，则被称为闭合理论。

例如，在某个特定L-结构下为真的所有句子的集合是一个闭合L-理论。

L-理论T的模型由在其中T的所有句子都为真的一个L-结构组出，它通常用T-模式的方式定义。

数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。

其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。

数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。

数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。

以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。

历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。

数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。

某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。

直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。

亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。

虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。

在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。

本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。

它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。

数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。

高阶逻辑举例
高阶逻辑是一种扩展了传统命题逻辑和一阶逻辑的逻辑系统，它允许对谓词和量词进行嵌套使用。

以下是一些高阶逻辑的例子：
1. 二阶逻辑：在二阶逻辑中，我们可以对一阶逻辑中的谓词进行量化。

例如，我们可以说“存在一个集合，它包含所有自然数”，这个集合就是一个谓词，而量化的是这个谓词。

2. 高阶谓词逻辑：在高阶谓词逻辑中，我们可以对谓词进行嵌套使用。

例如，我们可以说“存在一个谓词，它包含所有自然数”，这个谓词就是一个高阶谓词。

3. 模态逻辑：在模态逻辑中，我们可以描述可能性和必然性。

例如，我们可以说“如果今天下雨，那么明天可能会下雨”，这里的“可能”就是模态逻辑中的概念。

4. 类型理论：在类型理论中，我们可以对对象进行分类。

例如，我们可以说“这个函数的类型是从自然数到自然数”，这里的“类型”就是类型理论中的概念。

这些都是高阶逻辑的例子，它们在不同的领域中都有广泛的应用，如计算机科学、哲学、数学等。

几个逻辑相关的英语单词逻辑 logic数理逻辑 mathematical logic模型论 model theory集合论 set theory递归论 recursion theory证明论 proof theory非标准分析 nonstandard analysis反推数学 reverse mathematics元数学 metamathematics二阶算术的子系统 subsystems of the second-order arithmetic 直觉主义 intuitionism构造性数学 constructive mathematics语言 language元语言 metalanguage元定理 metatheorem公理 axiom定理 theorem命题 proposition命题演算 propositional calculus 谓词演算 predicate calculus合取 conjunction析取 disjunction非,否定 negation量词 quantifier全称量词 universal quantifier 存在量词 existential quantifier 关系 relation函数 function常量 constant变元,变量 variable项 term公式 formula原子公式 atomic formula句子,命题 sentence永真命题 tautology前束标准型 prenex normal form 理论 theory可满足的 satisfiable和谐性,相容性 consistency句法 syntax语义 semantics可靠性定理 soundness theorem完备性定理 completeness theorem 紧致性定理 compactness theorem可公理化 axiomatizable有限可公理化 finitely axiomatizable 同构 isomorphism同态 homomorphism初等等价 elementary equivalent 初等嵌入 elementary embedding 初等子模型 elementary submodel 初等扩张 elementary extension图象 diagram正图象 positive diagram初等图象 elementary diagram模型 model可数模型 countable model不可数模型 uncountable model原子模型 atomic model素模型 prime model齐性模型 homogeneous model万有模型 universal model饱和模型 saturated model特殊模型 special model递归饱和模型 recursively saturated model 布尔值模型 boolean-valued model格值模型 lattice-valued model超滤 ultrafilter超积 ultraproduct超幂 ultrapower模型完备 model complete子模型完备 submodel complete量词消去 quantifier elimination稳定性理论 stable theory集,集合 set子集 subset幂集 power set空集 empty set有限集 finite set无限集 infinite set可数集 countable set不可数集 uncountable set 有限集 finite set无限集 infinite set序数 ordinal极限序数 limit ordinal后继序数 successor ordinal 基数 cardinal大基数 large cardinal可测基数 measurable cardinal正则基数 regular cardinal奇异基数 singular cardinal不可达基数 inaccessible力迫法 forcing连续统假设 Continuum Hypothesis 选择公理 Axiom of Choice决定性公理 Axiom of Determinacy 归纳法 induction超限归纳法 transfinite induction 超限递归 transfinite recursion递归 recursion原始递归 primitive recursive递归函数 recursive function递归可枚举 recursively enumerable递归可判定 recursively decidable 递归不可分 recursively inseparable 递归集 recursive set算术集 arithmetical set解析集 analytic set单纯集 simple set创造集 creative set多一归约 many-one reducible一一归约 one-one reducible图灵归约 Turing reducible不可解度 degree of unsolvability 图灵度 Turing degree一阶逻辑 first-order logic二阶逻辑 second-order logic高阶逻辑 higher-order logic非古典逻辑 non-classical logic 无穷逻辑 infinitary logic古典逻辑 classical logic直觉主义逻辑 intuitionistic logic 模态逻辑 modal logic多值逻辑 many-valued logic。

“数理逻辑”教学大纲课程号：02331070新课号：PHI-0-400课程名称：数理逻辑Mathematical Logic开课学期：秋季学期周学时： 4 学分：4先修课程：无一、基本目的介绍现代逻辑的基本概念和基本方法，提供大学教育所要求的逻辑训练，提高学生严格分析与清楚论证的能力，为哲学、语言学、计算机科学等课程的学习打下必要的基础，也为后续的逻辑课程（一阶理论、模态逻辑等）完成先期的准备。

二、内容提要及学时分配本课涵盖一阶逻辑的主要内容。

第一部分是直观背景和基本思想，在素朴直观的层次上逐步引入推理、合规则性和有效性、一阶语言、形式推演系统等概念；第二部分介绍集合论的基本知识，为严格探讨上述诸概念作技术上的准备；第三部分讨论一阶语言的语形学，利用归纳定义和归纳证明，定义项和公式，证明它们的一些重要的语法性质；第四部分阐述一阶语言的语义学，包括结构、解释、满足、真、模型、语义后承等概念；第五部分建立自然推演系统，介绍极小逻辑、直觉主义逻辑和经典逻辑的规则，定义推演，证明常见定理；第六部分讨论经典逻辑的自然推演系统的可靠性和完全性，介绍Henkin的证明（如时间允许，介绍直觉主义逻辑完全性的Kripke证明）。

1-2周：一、直观背景和基本概念1、引子2、推理3、正确推理3.1 合规则性3.2 有效性4、一阶语言4.1 命题分析4.2外延性4.3一阶语言5、形式推演5.1 公式模式与推理规则5.2 形式推理系统2-4周：二、集合1.什么（不）是集合？2.关系2.1 等价关系2.2 序关系3.函数4.基数5-7周：三、一阶语言的语形学1．字母表2．归纳定义3．项4．公式5．无歧义性、递归定义6．自由和约束、代入8-11周：四、经典语义学1.结构与解释2.等词、量词和联结词3.满足、真4.模型5.语义后承6.可满足、有效与矛盾12-14周：五、自然推演1.树2.规则3.应用4.推演5.极小逻辑、直觉主义逻辑、经典逻辑14-15周：六、经典逻辑的可靠性与完全性1.可靠性2.一致性3.极大一致集4.典范模型5.完全性15周：复习三、教学方式教员讲述为主，配合少量习题课。

大学研究生学位课程论文论文题目：数理逻辑“四论”发展概述数理逻辑“四论”发展概述摘要：数理逻辑包括一阶逻辑、高阶逻辑、公理化集合论、模型论、递归论和证明论等。

这部分内容基本上是数学化的，所以它也是现代数学的基础。

本文主要就数理逻辑中的四论做简要的概述。

关键词：数理逻辑、公理化集合论、模型论、递归论、证明论1．公理化集合论在四论中，公理化集合论是用现代公理化的方法重建康托尔集合论的研究。

公理集合论的研究在我国起步较晚 1972年王浩来华讲学，介绍了国外(包括他本人)关于集合论的新研究。

此后我国学者开始了数理逻辑这一分支的研究工作。

南京大学莫绍揆、中科院软件所张锦文、中科院数学所冯琦的研究可代表我国公理集合论70—90年代的研究水平。

莫绍揆的研究着重在ZFC系统的归约问题。

他将ZFC的八个公理作了若干归约和替代，证明了四个ZFC系统的变种。

此后他又构造了一个新系统ZFC。

莫绍揆还研究了基数的方幂运算，重要结果是引入了两个有限数列oK和fK，由它们刻画了方幂运算的本质。

[1]张锦文在国内外刊物上发表了20多篇集合论方面文章，其成果主要有：运用布尔值模型方法建立了多种弗晰集合公理系统；证明Zaden的弗晰集合论是在强蕴涵运算基础上的一种弱集合论的非标准模型；建立了适应于范畴论基础的聚合的公理系统ACG，并建立了ACG的层谱；还建立了一个称为强蕴涵运算的系统，它不同于古典逻辑和直觉主义逻辑，以它构造的集论公理系统和模型也都具有鲜明的特征冯琦在当前集合论热门领域有一系列重要成果。

[2]他提出了平面分划齐一性的存在定理，建立了这种齐一性同大基数的联系，引进新的无穷博奕方法，建立了齐一性的相容性。

他和美国学者M．Magidor，H．Wodin合作，给出关于实数子集的正则性与实数理论在力迫扩张中的绝对关系方面的一系列定理。

在关于稳定集和无穷反演原理方面，他揭示了强弱稳定性之间的差异与大基数间的重要联系；系统地分析了二类反演原理与稳定集的局部结构的联系，刻画了在集论当今发展中起重要作用的一类偏序集；建立了反演原理关于连续统假设的判定结论。

浅析逻辑代数、命题逻辑、⼀阶逻辑、⾼阶逻辑和数理逻辑1. 从逻辑代数开始逻辑代数是⼀种⽤于描述客观事物逻辑关系的数学⽅法，由英国科学家乔治·布尔 (George·Boole) 于 19 世纪中叶提出，因⽽⼜称布尔代数。

所谓逻辑代数，就是把逻辑推理过程代数化，即把逻辑推理过程符号化。

2. 从逻辑代数到命题逻辑同样的，命题逻辑是将那些具有真假意义的陈述句接着进⾏符号化，产⽣原⼦命题。

与此同时，当我们把逻辑代数中的运算符：与( · )、或( + )、⾮( - )，替换成命题逻辑中的联结词集：合取( ∧ )、析取( ∨ )、⾮( ¬ )、蕴涵( → ) 和等价( ↔ ) 之后，我们就进⼊了命题逻辑的研究领域。

需要指出的是，通常也将命题逻辑称作命题演算，后者的出现就是⽤来讨论前者的，这⾥不再区分。

它与下⾯出现的⼀阶逻辑（谓词逻辑）都是数理逻辑的⼦集（或称之为分⽀），是数理逻辑的两个最基本的也是最重要的组成部分。

有⼈可能会问，为什么不从数理逻辑开始，其实意义不⼤。

要谈数理逻辑，不可避免的下⼀个主题就是逻辑代数。

为什么这样说呢？因为数理逻辑⼀开始的诞⽣是没有意义的，它的创始⼈正是我们熟知的莱布尼茨（没错，就是⾼数中的那个⽜顿-莱布尼茨公式）。

莱布尼茨⼀开始是想要建⽴⼀套普遍的符号语⾔，从⽽将⼀些由⾃然语⾔的推理转换成⽤符号演算。

但可惜他的⼯作只是开了个头，⽽且没有太多的发表，因此影响不⼤。

⽽真正使数理逻辑这门学科迅速扩张的是开头所说的英国科学家——乔治·布尔，⽽他所做的正是将逻辑代数化。

2.1 数理逻辑与数学和逻辑学数理逻辑⼜称符号逻辑、理论逻辑，是⼀门⽤数学⽅法研究逻辑或形式逻辑的学科，这是百度词条给出的解释。

还有⼀句话⾮常拗⼝：它既是数学的⼀个分⽀，也是逻辑学的⼀个分⽀。

其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进⾏符号化以后的形式系统。

简单来讲，数理逻辑研究的并不是数学领域，⽽是计算机科学等领域。

大学研究生学位课程论文论文题目：数理逻辑“四论”发展概述数理逻辑“四论”发展概述摘要：数理逻辑包括一阶逻辑、高阶逻辑、公理化集合论、模型论、递归论和证明论等。

这部分内容基本上是数学化的，所以它也是现代数学的基础。

本文主要就数理逻辑中的四论做简要的概述。

关键词：数理逻辑、公理化集合论、模型论、递归论、证明论1．公理化集合论在四论中，公理化集合论是用现代公理化的方法重建康托尔集合论的研究。

公理集合论的研究在我国起步较晚 1972年王浩来华讲学，介绍了国外(包括他本人)关于集合论的新研究。

此后我国学者开始了数理逻辑这一分支的研究工作。

南京大学莫绍揆、中科院软件所张锦文、中科院数学所冯琦的研究可代表我国公理集合论70—90年代的研究水平。

莫绍揆的研究着重在ZFC系统的归约问题。

他将ZFC的八个公理作了若干归约和替代，证明了四个ZFC系统的变种。

此后他又构造了一个新系统ZFC。

莫绍揆还研究了基数的方幂运算，重要结果是引入了两个有限数列oK和fK，由它们刻画了方幂运算的本质。

[1]张锦文在国内外刊物上发表了20多篇集合论方面文章，其成果主要有：运用布尔值模型方法建立了多种弗晰集合公理系统；证明Zaden的弗晰集合论是在强蕴涵运算基础上的一种弱集合论的非标准模型；建立了适应于范畴论基础的聚合的公理系统ACG，并建立了ACG的层谱；还建立了一个称为强蕴涵运算的系统，它不同于古典逻辑和直觉主义逻辑，以它构造的集论公理系统和模型也都具有鲜明的特征冯琦在当前集合论热门领域有一系列重要成果。

[2]他提出了平面分划齐一性的存在定理，建立了这种齐一性同大基数的联系，引进新的无穷博奕方法，建立了齐一性的相容性。

他和美国学者M．Magidor，H．Wodin合作，给出关于实数子集的正则性与实数理论在力迫扩张中的绝对关系方面的一系列定理。

在关于稳定集和无穷反演原理方面，他揭示了强弱稳定性之间的差异与大基数间的重要联系；系统地分析了二类反演原理与稳定集的局部结构的联系，刻画了在集论当今发展中起重要作用的一类偏序集；建立了反演原理关于连续统假设的判定结论。

模型论文章整理编辑：论文文库工作室（QQ1548927986）论文写作发表辅导数学上，模型论是从集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为数学系统基础的“模型”的研究。

粗略地说，该学科假定有一些既存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。

比如实数理论中一个模型论概念的例子是：我们从一个任意集合开始，作为集合元素的每个个体都是一个实数，其间有一些关系和(或)函数，例如×, +, −, ., 0, 1。

若我们在该语言中问"∃ y (y × y = 1 + 1)"这样一个问题，显然该陈述对实数而言成立- 确实存在这样的一个实数y, 即所谓2的平方根；对于有理数，该陈述却并不成立。

一个类似的命题，"∃ y (y × y = 0 − 1)",在实数中不成立，却在复数中成立，因为i × i = 0 − 1。

模型论- 定义结构被形式的定义于某个语言L 的上下文中，它由常量符号的集合，关系符号的集合，和函数符号的集合组成。

在语言L上的结构，或L-结构，由如下东西组成:一个全集或底层集合A，它包含所有感兴趣的对象("论域")，给L 的每个常量符号一个在A 中元素，给L 的每个n 价函数符号一个从An 到 A 的函数，和给L 的每个n 价关系符号一个在A 上的n-元关系(换句话说，An的一个子集)。

函数或关系的价有时也叫做元数(术语"一元"、"二元" 和"n-元"中的那个元)。

在语言L中的理论，或L-理论，被定义为L中的句子的集合。

如果句子的集合闭合于通常的推理规则之下，则被称为闭合理论。

例如，在某个特定L-结构下为真的所有句子的集合是一个闭合L-理论。

数理逻辑(证明论、递归论、模型论和公理集合论)(2010-10-28 00:14:03)转自新浪博客1930年以后，数学逻辑开始成为一个专门学科，得到了蓬勃发展。

哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特的有限主义纲领行不通，证明论出现新的情况，主要有两方面：通过放宽有限主义的限制来证明算术无矛盾性以及把证明形式化、标准化，这些主要是在三十年代完成。

同时哥德尔引进递归函数，发展成递归论的新分支，开始研究判定问题。

而哥德尔本人转向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄金时代。

五十年代模型论应运而生，它与数学有着密切联系，并逐步产生积极的作用。

1、证明论证明论又称元数学，它研究数学的最基本活动—证明的合理性问题。

研究这类数学基础的问题原来一直是哲学家的事，后来才成为数学家的事。

这个转变发生在1893年弗雷格发表《算术基础规则》之时，后来希尔伯特和他的许多合作者使这种思想发展成一门学科—元数学，目的是用数学方法来研究整个数学理论。

要使数学理论成为一个合适的研究对象，就必须使之形式化。

自从希尔伯特和阿克曼所著《理论逻辑纲要》第一版在1928年出版以来，在实践中用得最多的是具有等式的一阶谓词演算(以及高阶谓词演算)。

许多理论可以用一阶理论来表述，它比较简单方便，具有多种形式。

从基础的观点来看，有两个理论最为重要，因而研究也最多。

这两个理论就是形式化的皮亚诺算术理论与形式化的集合论。

因为大多数观代数学理论都可以在这两个理论范围内发展，所以这两个理论的合理性如果得到证实，也就是向数学的可靠性迈进了一大步。

“希尔伯特计划”无非就是要找到一个有限的证明步骤来证明算术的无矛盾性。

这里“有限”的意义是由法国年轻数学家厄布朗明确提出的，他认为下列条件必须满足：必须只讨论确定的有限数目的对象及函数；这些对象及函数要能确定它们的真值产生协调一致的计算结果；一个对象如不指出如何构造它就不能肯定其存在；必须永远不考虑一个无穷集体中所有对象的集合；一个定理对于一组对象都成立的意思是，对于每个特殊的对象，可以重复所讲的普遍论证，而这普遍论证只能看成是结果特殊论证的原型。

数理逻辑（证明论、递归论、模型论和公理集合论）1930年以后，数学逻辑开始成为⼀个专门学科，得到了蓬勃发展。

哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特的有限主义纲领⾏不通，证明论出现新的情况，主要有两⽅⾯：通过放宽有限主义的限制来证明算术⽆⽭盾性以及把证明形式化、标准化，这些主要是在三⼗年代完成。

同时哥德尔引进递归函数，发展成递归论的新分⽀，开始研究判定问题。

⽽哥德尔本⼈转向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄⾦时代。

五⼗年代模型论应运⽽⽣，它与数学有着密切联系，并逐步产⽣积极的作⽤。

　1、证明论证明论⼜称元数学，它研究数学的最基本活动—证明的合理性问题。

研究这类数学基础的问题原来⼀直是哲学家的事，后来才成为数学家的事。

这个转变发⽣在1893年弗雷格发表《算术基础规则》之时，后来希尔伯特和他的许多合作者使这种思想发展成⼀门学科—元数学，⽬的是⽤数学⽅法来研究整个数学理论。

要使数学理论成为⼀个合适的研究对象，就必须使之形式化。

⾃从希尔伯特和阿克曼所著《理论逻辑纲要》第⼀版在1928年出版以来，在实践中⽤得最多的是具有等式的⼀阶谓词演算(以及⾼阶谓词演算)。

许多理论可以⽤⼀阶理论来表述，它⽐较简单⽅便，具有多种形式。

从基础的观点来看，有两个理论最为重要，因⽽研究也最多。

这两个理论就是形式化的⽪亚诺算术理论与形式化的集合论。

因为⼤多数观代数学理论都可以在这两个理论范围内发展，所以这两个理论的合理性如果得到证实，也就是向数学的可靠性迈进了⼀⼤步。

“希尔伯特计划”⽆⾮就是要找到⼀个有限的证明步骤来证明算术的⽆⽭盾性。

这⾥“有限”的意义是由法国年轻数学家厄布朗明确提出的，他认为下列条件必须满⾜：必须只讨论确定的有限数⽬的对象及函数；这些对象及函数要能确定它们的真值产⽣协调⼀致的计算结果；⼀个对象如不指出如何构造它就不能肯定其存在；必须永远不考虑⼀个⽆穷集体中所有对象的集合；⼀个定理对于⼀组对象都成⽴的意思是，对于每个特殊的对象，可以重复所讲的普遍论证，⽽这普遍论证只能看成是结果特殊论证的原型。

逻辑学词汇逻辑 logique逻辑学家 logicien直觉逻辑 Logique intuitionniste模糊逻辑 Logique floue线性逻辑Logique linéaire形式逻辑 logique formelle辩证逻辑 logique dialectique归纳逻辑 logique inductive数理逻辑logique mathématique符号逻辑 logique symbolique逻辑思维pensée logique思维方式mode de la pensée概念 conception基本概念 conception fondamentale内涵 intention外延 extention属性 attribut定义définition判断 jugement还元 reduction单独概念conception singlière集合概念 conception collective普通概念conception générale具体概念 conceptio n concrète抽象概念 conception abstraite肯定概念 conception positive否定概念conception négative对立概念conception opposée矛盾概念 conception contradictoire逻辑判断 jugement logique单称判断jugement singulière全称判断 jugement universelle特称判断jugement particulière肯定判断 jugement affirmative否定判断jugement négative盖然判断jugement problématique突然判断 jugement assertorique必然判断 jugement apodictique定言判断jugement catégorique选言判断 jugement disjonctive假言判断jugement hypothétique推论inférence直接推理inférence directe间接推理 i nférence indirecte纳归推理 raisonnement inductif演绎推理raisonnement déductif抽象推理 raisonnement abstrait抽象 abstraction概括généralisation分析 analyse综合synthèse归纳 induction演绎décution正题thèse反题antithèse合题synthèse因果性causalité普遍性 universali té妥当性validité客观性objectivité必然性nécessité盖然性probabilité公理 axiome证明 Demonstration爆炸原理 Principe de l'explosion德•摩根定律（对偶性）lois de De Morgan 排中律 Principe du tiers exclu无矛盾律 Loi de non-contradiction形式语言 Langage formel非形式逻辑 non-formal logic数理逻辑/元数学La logique mathématique 模形论Théorie des modèles语句/判断 phrase判决 sentence函数 Fonction常函数 Constant递规论Fonction récursive可计算函数 Fonction calculable原始递归函数Fonction récursive primitive 编译器 Compilateur三段论 Syllogisme定言三段论法 syllogisme c atégorique假言三段论法syllogisme hypothétique选言三段论法 syllogisme disjonctive二难推理/两刀论法 dilemme命题论题 proposition前提prémisse大前题prémisse majeure小前题prémisse minorative假设hypothèse推理 raisonnement论据 argument语义学Sémantique逻辑实证主义 Positivisme logi que/empirisme logique/néo-positivisme/empirisme rationel逆推法rétroduction归纳法méthode induction求同法méthode de l'agrément求异法méthode de la différence演绎法méthode déductiveCalcul des propositions 命题逻辑Calcul des prédicats一阶逻辑Logique d'ordre su périeur高阶逻辑。