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8.2消元——二元一次方程组的解法（1）教学内容本节课主要学习8.2用代入法解二元一次方程组教学目标知识技能会用地用代入法解二元一次方程组，初步体会解二元一次方程组的基本思想。
数学思考通过对方程组中未知数特点的观察与分析，明确解二元一次方程组的的基本思路是“消元”，从而促进未知向已知转化，培养观察能力和体会化归思想． 解决问题 通过用代入法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组培养运算能力。
情感态度通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神。
重难点、关键重点：用代入法解二元一次方程组。
难点：探索如何用代入法将“二元”化为“一元”。
关键：利用代入法解方程组时，灵活运用已学知识。
教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、 问题引入1. 什么叫二元一次方程组，什么叫二元一次方程组的解？由两个一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，二元一次方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解。
2.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜、负．每队胜1场均得2分，负1场均得1分．某队在22场比赛中共得40分，那么这个队胜、负场数分别为多少？师：上节课例“篮球联赛”题可设一个未知数（设胜x 场），可以用一元一次方程2x ＋(22－x)＝40来解．如果设两个未知数（设胜x 场，负y 场），可以列方程组⎩⎨⎧=+=+40222y x y x那么一元一次方程与二元一次方程组有什么关系呢？【活动方略】教师出示问题，学生回答，教师引入新问题．【设计意图】通过问题情境，激发学生学习兴趣，引出解二元一次方程组的学习．二、 探索新知【分析】我们发现，二元一次方程组中第一个方程x ＋y ＝22可变形为y ＝22－x ，再将第二个方程2x ＋y ＝40中的y 换为(22－x)，二元一次方程组就化为一元一次方程．解这个方程，得x ＝18，再把x ＝18代入y ＝22－x ，得y ＝4，从而得到这个方程组的解．【归纳】二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再设法求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．【思考】如何用代入法解二元一次方程组？【分析】首先，从方程组中选取一个方程，把其中的某一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来．例如，可将⎩⎨⎧②＝＋①＝＋.402,22y x y x 中的第一个方程变形为y ＝22－x ③．接下来就应该将这个代数式代入另一个方程，达到消去一个未知数的目的，得到只含有一个未知数的一元一次方程．例如，将③代入②，得到方程2x ＋(22－x)＝40，再解这个方程，求出一个未知数x ＝18，最后将x ＝18代入第一步所得的式子，求出另外一个未知数的值．可以概括为：（课件展示．）（1）求表达式；（2）代入消元；（3）回代求解；（4）写方程组解【范例】例1 用代入法解方程组⎩⎨⎧②＝－①＝－.1483.3y x y x 师：选择哪个方程呢？为什么？生：我们认为选取①，因为①中未知数x 的系数为1，用含y 的代数式表示x ，比较简便，把①变为x ＝3＋y ③．师：把③代入①可以吗？为什么？生：不可以．因为③与①是同一个方程，应将③代入②，得3(3＋y)－8y ＝14． 师：得到这个方程后，下一步如何解？生：先解出这个方程y ＝－1，再把y ＝－1代入③，得x ＝2．师：能否将y ＝－1代入①或②？生：可以．师：如何表示方程组的解？生：把两个未知数的解写在一起，就是方程组的解，一般写成⎩⎨⎧by a x ＝＝的形式．师：请同学们完整地解出题目．【活动方略】引导学生比较、分析，归纳二元一次方程组的解法。
消元—解二元一次方程组知识点教案1．代入消元法解二元一次方程组（1）消元思想的概念二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做__________思想．（2）代入消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．（3）代人法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．2．加减消元法解二元一次方程组（1）加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称__________．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．3．整体消元法解二元一次方程组根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解．K 知识参考答案：1．消元 2．加减法一、代入法解二元一次方程组①用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了．②方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化分数系数为整数系数．③当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y =ax +b （或x =ay +b ），求出另一个未知数的值比较简单．④要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则说明解题有误．【例1】用代入法解方程组124y x x y =-⎧⎨-=⎩时，代入正确的是 A ．x -2-x =4B ．x -2-2x =4C ．x -2+2x =4D ．x -2+x =4 【答案】C【解析】124y x x y =-⎧⎨-=⎩①②，把①代入②得：x -2（1-x ）=4，整理得：x -2+2x =4．故选C ． 二、加减法解二元一次方程组1．当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，可将两个方程相加消元；当两个方程中某一个未知数的系数相等时，可将两个方程相减消元．2．当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数后，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数．【例2】用加减法解方程组231328x yx y+=⎧⎨-=⎩时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：①691648x yx y+=⎧⎨-=⎩；②461968x yx y+=⎧⎨-=⎩；③6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩；④4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩．其中变形正确的是A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】B【解析】如果将x的系数化成相反数，则方程组可变形为：6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩，如果将y的系数化成相反数，则方程组可变形为4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩，故选B．。
8.2 消元——二元一次方程组的解法(第1课时)湖北省枣阳市实验中学邱小航一、教学内容解析《消元——二元一次方程组的解法》是人教版新教材七年级下册第八章第二节．本课时学习内容为《消元——二元一次方程组的解法》第一课时，即代入消元法．本节内容是学生在已掌握了等式的性质、一元一次方程方程解法、二元一次方程（组）的有关概念之后，对方程再次认识与探究．代入消元法解二元一次方程组是学生第一次接触到的解方程组的方法，该方法蕴含了数学思想中的“化归”思想，即体现了“化未知为已知”的重要思想，这种思想是本章的重点，也是难点，为今后学习函数、线性方程组及高次方程组奠定了基础．本节承接上节篮球联赛胜负场数问题，依据题意列出二元一次方程组与一元一次方程，探究二者关系，通过探究明了二元一次方程组可转化为一元一次方程，即：通过把方程组中一个方程变形，然后代入方程组中另一个方程，将原方程组转化为一元一次方程．结合此例，归纳出“将未知数个数由多化少，逐一解决”的消元思想．本节利用学生熟悉的实例，由旧题提出新问题，自然而然地为学生创造数学活动机会，通过观察、分析、合作交流等活动，发现并归纳二元一次方程组解法，并在探究中感知消元思想．因此本节数学活动主体应是探究二元一次方程组的解法，故而本节重点：探究代入法解二元一次方程组，从而达到会用代入消元法解二元一次方程组的目的．二、教学目标解析教学目标：掌握代入法解二元一次方程组，理解解二元一次方程组的基本思想——“消元”．目标解析1.利用实例为学生提供数学活动平台，让学生在自主探究，在合作交流中发现解二元一次方程组的方法——代入消元法，进而归纳代入法解方程组基本步骤．2.让学生经历“实际问题——探究二元一次方程组转化为一元一次方程——讨论二元一次方程组转化为一元一次方程的基本过程——归纳二元一次方程组解法步骤及基本思想方法”等活动过程，进一步发展学生观察、分析、归纳能力，感知解二元一次方程组的基本思想——消元．3.引导学生主动参与到探究二元一次方程组解法的活动中去，适时评价，不断激发学生的探究精神，树立学习的信心，增强学习的兴趣，培养学生合作交流意识．三、教学问题诊断分析1．学生已具有等式的性质，等式变形，解一元一次方程等有关解方程的知识，但解二元一次方程组是首次接触．二元一次方程组与一元一次方程间的联系学生没有任何经验，学生也不易理解二者间关系．所以教学重点应放在将二元一次方程组如何转化为一元一次方程上，即探究用代入法解二元一次方程组．2．学生已有了对等式或方程进行变形的能力，但依据题目实际情况，选择适当方程进行变形，然后进行代入消元，这种解方程组的思想是首次接触，这也是数学“化归”思想的体现，在教学中应结合实例，启发诱导渗透这种化“未知”为“已知”的基本数学思想．3．本节引例的作用是由实例得到二元一次方程组及一元一次方程并将二者依托实例进行对比．通过对比让学生感知二者间在实际问题上的统一性，从而感知二者间相互转化的方法，从而让学生经过数学活动发现解二元一次方程组的一般方法及基本思想．但学生往往会更注重题目的答案及最终结果，而忽略二元一次方程组与一元一次方程间对比与联系的探究．所以，教学中应引导学生把主要精力放在两种不同解法的对比、联系及相互间转化的探究上，从而发现解二元一次方程组的规律，感知“消元”思想．综合以上各类因素，本节的难点是如何将二元一次方程组化为一元一次方程，即体会“消元”思想，感知“化归”思想．四、教学法支持条件分析为了突出本节“消元”思想，体现“代入”这一具体方法，应将学生主要精力吸引到对“代入法”的探究与发现上，对“代入法”的运用上．因此，教师应依据下列情况，设计教学条件，支持教学：1.应提供较简洁的学生所熟悉的生活中的实例，为学生提供一个数学活动平台，该数学活动主体是探究“代入法解二元一次方程组”．因此，使用多媒体课件，将会提高效率．2．归纳概括出代入法解二元一次方程组的方法步骤，需要较高的思维概括能力，教学中教师对启发诱导的每一步所要达到的目标及所形成效果应清楚，及时评价，及时引导，从而激发学生不断参与数学活动的积极性，能够自主探究，发现规律．3.为了让学生在讨论交流中能获取有用信息，能发表建设性意见，可把学生简单分组，采用竞赛性小组学习方式，提高学生探究的积极性.鉴于以上分析，本节采用“启发诱导，探究讨论式”教学法，在教学过程中采用“问题引导———启发诱导—— 合作交流——归纳概括——练习”模式组织教学，辅之以多媒体，在教学活动中穿插教师的点拨，促进学生自主探究，合作交流，从而优化课堂结构，提高课堂效率．五、教学过程设计（一）提出问题，引入新课问题1. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场地得1分，某队为了争取较好的名次，想要在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？本题我们已经在本章第一节学习过，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数＋负的场数＝总场数胜场积分＋负场积分＝总积分若设胜x 场，负y 场，则有⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 提出问题：①请用一元一次方程解答本题；②写出所列一元一次方程的等量关系式；③通过本题两种解法，你能找到解二元一次方程组的方法吗？设计意图：通过问题引起学生注意，同时引用旧题目淡化列方程组或列方程的过程，突出新问题，揭示新课课题，提出明确的学习任务，激发学生求知欲．师生活动：教师用多媒体展示CBA 赛场，依据精彩画面适时提出问题．学生独立思考并完成问题，然后交流所列一元一次方程，教师依据学生所列一元一次方程，用多媒体展示新问题，提出新任务，揭示本课时的主要任务．在活动中教师要关注:①学生所列一元一次方程的差异；②学生是否在教师引导下，进入了探究二元一次方程组的解法的转化．（二）引导探究，发现规律问题2比较 ⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 与2x ＋(22－x ) ＝40 ① 2x ＋y ＝40与2x ＋(22－x )＝40所依据的等量关系式各是什么？② y 与（22－x ）各表示什么量？从方程组中能得到（22－x ）吗？③ 由二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 可以得到一元一次方程2x ＋(22－x )＝40吗？怎样才能得到？④ 由二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 可以得到一元一次方程 2(22－y)＋y ＝40吗？怎样才能得到？设计意图：通过二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 可以得到一元一次方程2x ＋(22－x )＝40这一过程的探究，为学生提供从事数学活动平台又能让学生明确数学活动的任务，从而让数学活动直指主体，增强学生学习的主体地位及目标性，同时逐步深化学生思维，引导学生观察、比较、分析问题，鼓励学生合作交流，降低思维坡度，有利于代入法的发现及归纳，有利于理解、掌握相关知识与方法，感知“化归”思想，形成良好的数学思维习惯，积累数学活动经验． 师生活动：教师用多媒体依次展示问题并提出问题，学生独立思考并讨论交流完成问题．在活动中教师要关注:①学生对引例理解是否透彻；②学生是否明白本次数学活动的目的已不再是列方程解应用题，而是探究二元一次方程组解法；③学生对引例中的两类方程间联系是否清楚；④学生对二元一次方程组与一元一次方程间可互化是否理解，即能否理解等量代换．（三）讨论交流，归纳新知问题3. 依据⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 可化为2x ＋(22－x )＝40①你能总结出将二元一次方程组化为一元一次方程的方法吗？②解二元一次方程组的基本思想是什么？设计意图：通过问题，让学生积极动脑、动手、动口，培养学生的交流技巧．同时教师参与到交流中，引导学生按照由具体到抽象，由特殊到一般地去思考问题，有利于学生归纳概括能力的培养，有利归纳出二元一次方程组解法步骤．经过交流归纳后，学生对解方程组的方法就会很清楚，也能感知“化归”思想，能顺利实现目标．师生活动：教师利用多媒体提出问题，学生先独立思考，然后分组讨论交流．教师应参与到学生讨论中去，鼓励学生依据实例，大胆归纳，勇于发表意见，耐心听取他人意见，不断反思，不断修正自己的意见．在活动中教师要关注:①学生能否紧扣引例展开讨论；②学生能否对引例的解法过程进行归纳概括；③学生能否提高思维层次由具体到抽象地思考问题，即能否发现解二元一次方程组的一般方法；④学生能否用一句话概括解方程组的过程，即体会到“消元”思想．（四）巩固练习，理解新知问题4. 例题评析：用代入法解方程组 ⎩⎨⎧=-=-14833y x y x设计意图：通过范例评讲，整理学生解题思路，尝试将解题思路具体化，做到理论联系实际，同时规范学生解题过程，培养认真仔细的好习惯．课堂练习1.把下列方程改写成含x 的式子表示y 的形式：（1）2x －y ＝3(2) 3x ＋y －1＝0(3) 3x ＋4y ＝16设计意图：复习等式变形技巧，分解二元一次方程组解法步骤，让二元一次方程组解法程序化．2. 用代入法解二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧=+-=82332y x x y (2 ) ⎩⎨⎧=+=-24352y x y x （3）⎩⎨⎧=-=+156523y x y x设计意图：巩固解二元一次方程组的方法步骤，熟练掌握解题技巧，积累解题经验. 师生活动：教师利用多媒体提出问题，并启发学生思维，师生共同完成例题评析，学生独立思考并尝试完成课堂练习，教师参与并指导学生完成数学活动，鼓励学生运用解二元一次方程组方法步骤完成题目．在活动中教师要关注:①学生解题过程是否准确，规范；②发现学生出现的错误，及时纠正；③对计算不按步骤，思维不严密的学生进行指导．（五）归纳小结，深化反思1. 本节课我们学习了什么新知识？2.代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？基本思想是什么？设计意图：通过小结既帮助学生构建新知识，又可培养学生归纳概括能力和口头表达能力，通过发展语言来发展思维，更有利于学生良好学习习惯的培养．师生活动：教师提出问题并用多媒体展示问题，最后教师进行总结归纳．学生反思总结，讨论交流．在活动中教师要关注:①学生对所学知识归纳、整理是否全面，准确；②学生对解方程组过程表达是否完整、清楚．六、教学目标检测设计1.从方程组⎩⎨⎧=-=-11091105x y y x 消去x 可得一元一次方程为__________，消去y 可得一元一次方程为__________.设计意图：让学生感知消元的多样性，通过实际操作，深化解二元一次方程组的核心任务是消元，体会消元思想．2.⎩⎨⎧-=-=+343154x y y x 由①可得：4x ＝_________ ③,将③代入②中得__________． 设计意图：利用①中4x 项与②中4x 间的代入消元，让学生体会代入法的意义，体会代入法作用及其实质．3.方程组 ⎩⎨⎧=+=+523852y x y x 由①得x ＝________ ③将③代入②是得一元一次方程为______________；解此一元一次方程得y ＝__________,将y ＝_____代入③中得x ＝_____故原方程组的解为⎩⎨⎧==________y x设计意图：通过分解二元一次方程组解法的步骤，巩固消元法解二元一次方程组过程，强化算法的程序化，理清解题思路．4. 用代入消元法解下列方程组．①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2216321y x y x ②⎩⎨⎧=-=+33651643y x y x 设计意图：强化解题技巧，熟练解题程序，巩固新知，检测目标完成情况．5.方程组⎩⎨⎧=-=+52310by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==11y x 求a, b 的值．设计意图：通过综合性较强的训练，既巩固新知，又复习旧知，又可感受到代入法的不同情形，同时又能检测学生完成目标情况．教学反思：本节课采用“启发诱导，探究讨论式”教学法，利用学生所熟知的例子，为学生创设数学活动平台，在教师引导下让学生自主探究，合作交流，充分发挥学生的主体地位．学生在进行数学活动中，教师应适时诱导，及时调控，让学生紧紧围绕“探究代入法解二元一次方程组”这一主体展开活动，并逐步启发，由浅入深地展开学生思维，以提高课堂效率，优化课堂结构．本节课重点是代入法解二元一次方程组，习题设计应围绕这一重点展开，让学生不仅通过探究活动而且通过习题，均能感知代入法的存在，逐步深化新知，形成技巧，提高能力．电子邮箱qiuyiehuang@① ② ①②地址：湖北枣阳实验中学邮编：441200。
