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第四章 § 4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离；2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系；3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝____________代数法：消元得到一元二次方程的判别式Δ____________d<r d＝r d>rΔ>0Δ＝0Δ<0由题型探究 重点难点 个个击破类型一 直线与圆的位置关系的判定例1 已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆(1)相交；(2)相切；(3)相离.跟踪训练1 (1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )C A.相交 B.相离C.相交或相切D.相切解析 由直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上，故直线与圆至少有一个公共点，故选C.(2)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角0°≤α≤60°α的取值范围是________________.解析 当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2＋y2＝1没有公共点，∴0°≤α≤60°.类型二 切线问题例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求：(1)此切线的方程；(2)其切线长.解 因为圆心C的坐标为(3,1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，∴切线长为4.跟踪训练2 (1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )DA.－2或12B.2或－12C.－2或－12D.2或12解析 圆方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，得b＝2或12，故选D.(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程：∴点P在圆x2＋y2＝4上，②切线斜率为2.解 设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，由圆心到切线的距离为半径，可得：类型三 弦长问题例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2 的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4________________________.解析 设圆的半径为r，由条件，得所以r2＝2＋2＝4，r＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为4 ，求l的方程.跟踪训练3 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.(1)证明直线l与圆相交；证明 ∵l：kx－y＋k＋2＝0，直线l可化为y－2＝k(x＋1)，∴直线l经过定点(－1,2)，∵(－1)2＋22<8，∴(－1,2)在圆C内，∴直线l与圆相交.(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.解 由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，又x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短，＝－2，∵kOP即x－2y＋5＝0.设直线l与圆交于A、B两点，达标检测 41231.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )BA.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴选B.C 2.已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为( )A.∅B.(1,1)C.{(1,1)}D.{(－1，－1)}3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )C A.0或2 B.0或4 C.2 D.4解得m＝2或m＝0(应舍去).4.直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥2(－∞，0]，则k的取值范围是__________.解得k≤0.规律与方法1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.2.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. 3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法.(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.返回。
4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系学习目标核心素养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.1．直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r代数法：由⎩⎨⎧Ax＋By＋C＝0，（x－a）2＋（y－b）2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？[提示]“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法判断B[圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝|－5|32＋42＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.]2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1 B． 2C． 3 D．2D[直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.]3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．45[由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝|3＋2|5＝5，则弦长＝2r2－d2＝4 5.]直线与圆的位置关系0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，(1)∴当Δ>0时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－43<m<0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2，1)，半径r＝2.圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(1)当d<2时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2时，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3，0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能A [将点P (3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P (3，0)在圆内．∴过点P 的直线l 必与圆C 相交．]求圆的切线方程思路探究：确定点A 在圆外→判断切线条数 ――――――――――――――→根据圆心到直线的距离d ＝r求切线方程 [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外，故切线有两条．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －4k －3＝0. 设圆心为C ，因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－158.所以切线方程为－158x－y＋152－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.1．本例中若将点“A(4，－3)”改为“A(2，1)”，则结果如何？[解]因为(2－3)2＋(1－1)2＝1，所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，又过圆心(3, 1)与点A的直线斜率为0，故所求切线的方程为y＝1.2．若本例的条件不变，求其切线长．[解]因为圆心C的坐标为(3，1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，|AC|＝（3－4）2＋（1＋3）2＝17，又|BC|＝r＝1，则|AB|＝|AC|2－|BC|2＝（17）2－12＝4，所以切线长为4.圆的切线的求法：(1)点在圆上时：求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.(2)点在圆外时：①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．直线与圆的相交问题1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？[提示]将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2求弦长．2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？[提示]通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2r2－d2.【例3】求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．思路探究：法一：求圆心半径――――→勾股定理 弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解 法二：求交点坐标――――――――――→利用两点间距离公式求弦长[解] 法一：圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0可化为x 2＋(y －1)2＝5， 其圆心坐标为(0，1)，半径r ＝ 5. 点(0，1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12＝102，l ＝2r 2－d 2＝10，所以截得的弦长为10.法二：设直线l 与圆C 交于A 、B 两点．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，得交点A (1，3)，B (2，0)，所以弦AB 的长为|AB |＝（2－1）2＋（0－3）2＝10.3．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长为10，求该直线方程”，又如何求解？[解] 由例题知，圆心C (0，1)，半径r ＝5，又弦长为10， 所以圆心到直线的距离d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫1022＝5－52＝102.又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为k ，则直线方程为y ＝k (x －2)， 所以d ＝|－1－2k |k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，所以直线方程为y ＝－3(x －2)或y ＝13(x －2)， 即3x ＋y －6＝0或x －3y －2＝0.求弦长常用的三种方法：(1)利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系⎝ ⎛⎭⎪⎫12l 2＋d 2＝r 2解题．(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．(3)利用弦长公式，设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2].1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心D [圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3－4＋12|32＋42＝115＜r ＝3.又点(1，－1)不在直线3x ＋4y ＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]2．若直线y ＝x ＋a 与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为( ) A ．2 B ．± 2 C ．1 D ．±1B [由题意得|a |2＝1，所以a ＝±2，故选B.] 3．求过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．[解] 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋1＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)， 即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.。
