优化探究2017届高考数学一轮复习 第八章 第七节 抛物线课时作业 理 新人教a版

第八章 平面解析几何授课提示：对应学生用书第327页〖A 组 基础保分练〗1．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到直线3x －4y ＋4＝0的距离等于p2，则抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2〖答 案〗D2．(2021·长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( ) A ．x ＝－1 B ．y ＝－1 C ．x ＝－2 D ．y ＝－2 〖答 案〗A3．(2021·滨州模拟)若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x 〖答 案〗C4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B ．92C ．5D ．6 〖解 析〗易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，① 因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.〖答 案〗B5．(2021·合肥检测)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为( ) A ．1 B ． 2C ．2 2D ．4〖解 析〗双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p 22＝1，解得p ＝ 2. 〖答 案〗B6．(2021·广东六校联考)抛物线y ＝2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为( ) A.118 B ．54C.32D ．1〖解 析〗设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，由题意知y 0≥b＞0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝2x 2，整理得2x 2－kx －b ＝0，Δ＝k 2＋8b ＞0，x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－b2，则|AB |＝1＋k 2·k 24＋2b ，点M 的纵坐标y 0＝y 1＋y 22＝x 21＋x 22＝k 24＋b .因为弦AB 的长为3，所以1＋k 2·k 24＋2b ＝3，即(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫k 24＋2b ＝9，故(1＋4y 0－4b )(y 0＋b )＝9，即(1＋4y 0－4b )(4y 0＋4b )＝36.由基本不等式得，(1＋4y 0－4b )＋(4y 0＋4b )≥2(1＋4y 0－4b )(4y 0＋4b )＝12，当且仅当⎩⎨⎧b ＝18，y 0＝118时取等号，得1＋8y 0≥12，y 0≥118，故点M 的纵坐标的最小值为118.〖答 案〗A7．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，－2)，则此抛物线的标准方程为________． 〖答 案〗x 2＝－8y8．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝________，1|AF |＋1|BF |＝________. 〖解 析〗由p2＝1，得p ＝2.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1，代入y 2＝4x ，得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入抛物线方程，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF |·|BF |＝x 1＋x 2＋2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1.综上，1|AF |＋1|BF |＝1.〖答 案〗2 19．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．〖解 析〗(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43.∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45. 10．(2021·襄阳联考)动点P 到定点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－2的距离小1.设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作曲线C 的切线，且两切线相交于点M . (1)求曲线C 的方程； (2)求证：AB →·MF →＝0.〖解 析〗(1)由已知得动点P 在直线y ＝－2的上方，条件可转化为动点P 到定点F (0,1)的距离等于它到直线y ＝－1的距离，∴动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，故其方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4. 由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴直线AM 的方程为y －14x 2A ＝12x A ·(x －x A )，① 直线BM 的方程为y －14x 2B ＝12x B (x －x B )．② ①－②，得14(x 2B －x 2A )＝12(x A －x B )·x ＋12(x 2B －x 2A )， ∴x ＝x A ＋x B 2＝2k .将x ＝x A ＋x B 2代入①，得y －14x 2A＝12x A x B －x A 2＝14x A x B －14x 2A ， ∴y ＝14x A x B ＝－1，∴M (2k ，－1)．∵MF →＝(－2k,2)，AB →＝(x B －x A ，k (x B －x A ))， ∴AB →·MF →＝－2k (x B －x A )＋2k (x B －x A )＝0.〖B 组 能力提升练〗1．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 是坐标原点，F 是抛物线的焦点，P 是抛物线上一点，则使△POF 是直角三角形的点P 共有( ) A ．0个 B ．2个 C ．4个D ．6个〖解 析〗如图所示，过焦点F 作PF ⊥x 轴，交抛物线于点P ，P ′，连接OP ，OP ′，则△OFP ，△OFP ′都是直角三角形．显然∠POF 不可能为直角．若∠OPF ＝90°，易知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P ⎝⎛⎭⎫y 22p ，y ，y ≠0，可得OP →＝⎝⎛⎭⎫y 22p ，y ，FP →＝y 22p －p 2，y ，∴OP →·FP →＝y 22p ⎝⎛⎭⎫y 22p －p 2＋y 2＝y 44p 2＋3y 24.∵y 44p 2＞0，3y 24＞0，∴OP →·FP →＞0，与OP →·FP →＝0矛盾， ∴∠OPF 不可能为直角．综上，使△POF 是直角三角形的点P 有且仅有2个．〖答 案〗B2．(2021·贵州省适应性考试)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，该抛物线的准线与x 轴交于点M ，若|AF |＝4，则△MAB 的面积为( ) A.833B ．433C.233D ．2 3〖解 析〗设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，代入抛物线方程y 2＝4x ，得y ＝±23，不妨令A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率为23－03－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，可得B ⎝⎛⎭⎫13，－233，所以|AB |＝163.又点M (－1，0)到直线y ＝3(x －1)的距离d ＝23(3)2＋(－1)2＝3，所以△MAB 的面积S＝12×163×3＝833. 〖答 案〗A3．(多选题)(2021·海南嘉积中学模考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( )A ．C 的准线方程为y ＝－1B ．线段PQ 的长度最小为4C ．M 的坐标可能为(3,2) D.OP →·OQ →＝－3恒成立〖解 析〗由焦点F 到准线的距离为2，得抛物线C 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，A 项错误．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去y 可得x 2－(4m 2＋2)x ＋1＝0，消去x 可得y 2－4my －4＝0，所以x 1＋x 2＝4m 2＋2，y 1＋y 2＝4m .|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝4m 2＋4≥4，故B 项正确．当m ＝1时，可得M (3,2)，所以C 项正确．又x 1x 2＝1，y 1y 2＝－4，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，所以D 项正确． 〖答 案〗BCD4．(2021·成都摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且|AF ||BF |－|AF |＝1，则抛物线C 的标准方程为________．〖解 析〗如图，设直线l 与x 轴交于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ，则|DF |＝p .由抛物线的定义知|BE |＝|BF |.设|BE |＝|BF |＝m ，因为△AEB ∽△ADF ，所以|AF ||AB |＝|DF ||BE |，即|AF ||AF |－|BF |＝|DF ||BF |，所以|AF ||AF |－m ＝p m ，所以|AF |＝pmp －m.由|AF ||BF |－|AF |＝1，得pmp －m m －pm p －m＝1，解得p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .〖答 案〗y 2＝2x5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．〖解 析〗(1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0＜b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12b16k 2＋16b ＝b2＋2b ＝2b 3＋b 2(0＜b ≤1)．设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，函数单调递增，所以当b ＝1时，△OPQ 的面积取最大值为2.6．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．〖解 析〗设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ①，x 1x 2＝－2p ②.(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p ，因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ，所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1p(x －x 1)，y －y 2＝x2p(x －x 2)，结合①②式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2，则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ，当k ＝0时，取等号．因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .〖C 组 创新应用练〗1．(2021·兰州模拟)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝4，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝( )A.34 B ．45C.56D ．25〖解 析〗由抛物线方程y 2＝8x ，得焦点F 的坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为E ，N .设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，y 2＝8x ，消去y 并整理得k 2x 2－(8k 2＋8)x ＋16k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝16.由抛物线的定义知|BF |＝|BN |＝x 2＋2＝4，所以x 2＝2，所以x 1＝8，所以|AE |＝x 1＋2＝10.因为BN ∥AE ，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BN ||AE |＝410＝25.〖答 案〗D2．(多选题)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，经过M 点且斜率为k 的直线l 与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则下列结论中正确的是( ) A ．k 的取值范围是(－1,1) B ．y 1y 2＝8x 1x 2C ．存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点FD ．若△ABF 的面积为162，则直线AB 的倾斜角为π6或5π6〖解 析〗依题意得，F (2,0)，M (－2,0)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，因为直线l 与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1且k ≠0，故A 选项错误；因为x 1x 2＝4k 2k2＝4，所以y 21y 22＝8x 1·8x 2＝64×4＝256，易知y 1，y 2同号，所以y 1y 2＝16，于是y 1y 2＝4x 1x 2，故B 选项错误；由于F A →＝(x 1－2，y 1)，FB →＝(x 2－2，y 2)，所以F A →·FB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝4－2·8－4k 2k 2＋4＋16＝32－16k 2，显然当k 2＝12时，F A →·FB →＝0，此时∠AFB 为直角，即以AB 为直径的圆经过点F ，故C 选项正确；△AFB 的面积S ＝|S △MF A －S △MFB |＝12·|MF |·|y 1－y 2|＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，而y 1＋y 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)＝k (x 1＋x 2＋4)＝8k，y 1y 2＝16，所以S ＝2⎝⎛⎭⎫8k 2－4×16＝16 1k 2－1，令S ＝162，得k ＝±33，所以直线AB 的倾斜角为π6或5π6，故选项D 正确． 〖答 案〗CD。

高考数学一轮复习 8.7 抛物线课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·郑州第三次质量预测)抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线围成的三角形的面积为( )A ．6B ．6 3C ．9D ．9 3解析：抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3，双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线方程为y＝±3x ，故所围成的三角形面积为S ＝3·3×3＝9 3.答案：D2．(2013·北京东城综合练习(二))过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由抛物线的定义知点A 与点B 到y 2＝4x 的距离之和为10，故AB 中点到准线的距离为5，因准线方程为x ＝－1，故AB 中点到y 轴的距离为4.答案：D3．(2013·北京西城区高三二模)已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A.34B.32C. 3 D ．2 3解析：由已知可以AD 为x 轴，AD 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，易得C (1，－3)，D (2,0)，设抛物线方程为x 2＝ay ＋b ，代入解得x 2＝3y ＋4，故焦点到准线的距离为32. 答案：B4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，选C.答案：C5．(2013·福建质检)设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12解析：∵PA ⊥l ，△APF 为等边三角形，∴∠FAB ＝30° 在Rt △ABF 中，∵|BF |＝3， ∴|AF |＝6，∴|PF |＝6 答案：C6．(2014·广州中山一中七校联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3，∴x 1＝2.∴A 点坐标为(2,22)，则直线AB 的斜率k ＝22－02－1＝2 2.∴直线AB 的方程为y ＝22(x－1)，即为22x －y －22＝0，则点O 到该直线的距离为d ＝223.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22x －1，消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB＝12|AB |·d ＝12×92×223＝322. 答案：C 二、填空题7．(2013·陕西宝鸡第三次模拟)抛物线顶点在原点，焦点在x 轴正半轴，有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝1，则抛物线方程为________．解析：由抛物线图象可知这样的直线只能是通径，∴|AB|＝1，即2p＝1，∴y2＝x.答案：y2＝x8．(2013·汕头市质量测评(二))上图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽________米．解析：建系如右图，设抛物线方程为x2＝2py，过(2，－2)点得p＝－1，∴x2＝－2y，水面下降2米得y＝－4，解得x＝±22，∴水面宽4 2.答案：4 29．(2013·黑龙江哈尔滨四校统一检测)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x －y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：依题意，抛物线的焦点F (1,0)，过点P 作PN ⊥l ，垂足为N ，过点P 作准线x ＝－1的垂线，垂足为M ，交y 轴于点E ，则d 1＋d 2＝|PN |＋|PE |＝|PN |＋|PM |－1＝|PN |＋|PF |－1≥|FN |－1，当且仅当F ，P ，N 三点共线时等号成立．由于点F 到直线l 的距离为32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.答案：32－110．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________. 解析：F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A ，B 两点的横坐标为x 1，x 2. 因|AF |<|BF |，故直线AB 不垂直于x 轴．设直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立直线与抛物线的方程得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，①则x 1＋x 2＝k 2＋2k2，又|AB |＝x 1＋x 2＋1＝2512，可解得k 2＝24，代入①式得12x 2－13x ＋3＝0，即(3x －1)(4x－3)＝0.而|AF |<|BF |，所以x 1＝13，由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ， 所以另一直角边的方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y ＝p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12xy 2＝2px，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8py ＝－4p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p 和(8p ，－4p )．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－8p 2＋p ＋4p 2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x .12．已知抛物线方程x 2＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .(1)求证：直线AB 过定点(0,4)；(2)求△OAB (O 为坐标原点)面积的最小值． 解：(1)证明：设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，切线PB 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 2x －y 2，由点P (t ，－4)是切线PA ，PB 的交点可知： －4＝12x 1t －y 1，－4＝12x 2t －y 2，∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝12tx －y ，即12tx －y ＋4＝0.∴直线AB ：12tx －y ＋4＝0过定点(0,4)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧12tx －y ＋4＝0x 2＝4y得x 2－2tx －16＝0.则x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－16.S △OAB ＝12×4×|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝24t 2＋64≥16.当且仅当t ＝0时，△OAB 的面积取得最小值16. [热点预测]13．(2013·石家庄质检(二))已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p2；若拋物线C ：y 2＝2px (p >0)上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以拋物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使Q 点在以MN 为直径的圆上，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0 由抛物线定义知抛物线上点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离．所以抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 1的距离． 所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x 消x 得：ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0. 由Δ＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0.所以直线l 方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)，令x ＝－1，又由y 2＝4x 0得N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，y 20－42y 0 设Q (x 1,0)，则QM →＝(x 0－x 1，y 0)，QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－x 1，y 20－42y 0 由题意知QM →·QN →＝0， 即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0，把y 20＝4x 0代入左式，得：(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0，因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0.所以x 1＝1即在x 轴上存在定点Q (1,0)在以MN 为直径的圆上．。

第7讲抛物线[考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(X围、对称性、顶点、准线)．(重点)2．能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2021年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难.1.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的□01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：□01焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴□02y＝0 □03x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0□04F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2□05F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2 x ＝p 2 □06y ＝－p2 □07y ＝p 2X 围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R开口方向 向右向左向上向下3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p .④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的X 角为90°.1．概念辨析(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)假设直线与抛物线只有一个交点，那么直线与抛物线一定相切．( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．小题热身(1)假设抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，那么点M 的纵坐标是( )A.1716 B.1516 C.78 D ．0答案 B解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，那么y ＋116＝1，∴y ＝1516.(2)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．y ＝18 D ．y ＝－18答案 D解析 抛物线y ＝2x 2的方程可化为x 2＝y 2，其准线方程为y ＝－18.(3)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－x B．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y答案 D解析设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，那么抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，那么抛物线方程为x2＝－8y.应选D.(4)假设过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，那么被抛物线截得的弦长为()A．8 B．16C．32 D．64答案 B解析由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.应选B.题型一抛物线的定义及应用1．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12y答案 D解析由题意，得动圆的圆心到直线y＝－3的距离和到点F(3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y .2．(2019·某某模拟)抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，那么点M 到坐标原点的距离为________．答案 3 3解析 由题意，知焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，点M (x 1，y 1)到焦点的距离等于它到准线的距离，所以x 1＋32＝92，解得x 1＝3，所以y 21＝18，所以|OM |＝x 21＋y 21＝3 3.条件探究 将本例中的条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)〞．那么点M 的坐标为________，此时的最小值为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，292解析如图，点A 在抛物线y 2＝6x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |，其中|MH |为点M 到抛物线的准线的距离．过A 作抛物线准线的垂线交抛物线于M 1，垂足为B ，那么|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |≥|AB |＝3－－32＝92，当且仅当点M 在M 1的位置时等号成立．即|MA |＋|MF |的最小值为92，此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．见举例说明1.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．见举例说明2.(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．1．假设抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，那么△OFP的面积为()A.12B．1C.32D．2答案 B解析设P(x P，y P)，由题意，得抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，∴由抛物线的定义知点P到准线的距离为2，∴x P＋1＝2，得x P＝1，代入抛物线方程得|y P|＝2，∴△OFP的面积为S＝12·|OF|·|y P|＝12×1×2＝1.2．(2020·某某大学附中模拟)点Q(22，0)及抛物线y＝x24上一动点P(x，y)，那么y＋|PQ|的最小值是________．答案 2解析 抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ，其焦点坐标为点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.因为点Q 的坐标为(22，0)，所以|FQ |＝(22)2＋12＝3.过点P 作准线的垂线PH ，交x 轴于点D ，如下图．结合抛物线的定义，有y ＋|PQ |＝|PD |＋|PQ |＝|PH |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝3－1＝2，即y ＋|PQ |的最小值是2.题型二 抛物线的标准方程和几何性质1．(2019·全国卷Ⅱ)假设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y2p ＝1的一个焦点，那么p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 D解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的焦点坐标为()±2p ，0.由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.应选D.2．(2019·高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，那么以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.3．如下图，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长度．解建立如下图的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，因为抛物线过点B(10，－4)，所以102＝－2p·(－4)，解得p＝252，所以x2＝－25y，当x＝2时，y＝－425，所以最长支柱长为4－|y|＝4－425＝3.84(m)．1．求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p的关系．见举例说明2.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．见举例说明3.2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OF A ＝120°，那么抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 A解析 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D (图略)．因为∠OF A ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.2．(2019·某某模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)焦点F ，过C 上一点D 作直线DE 垂直准线于点E ，△DEF 恰好为等腰直角三角形，其面积为4，那么抛物线方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝22xC ．y 2＝4xD ．y 2＝42x答案 D解析 根据抛物线的定义，得|DF |＝|DE |，又△DEF 恰好为等腰直角三角形，所以∠EDF ＝90°，∴12|DE |·|DF |＝4，∴|DE |＝|DF |＝22，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－p 2，±22，将其代入y 2＝2px ，得8＝2p ·⎝⎛⎭⎪⎫22－p 2，解得p ＝2 2.∴抛物线方程为y 2＝42x .3．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，那么直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－169答案 B解析 令y ＝1，代入y 2＝4x 可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以k ＝1－014－1＝－43.应选B.题型三 直线与抛物线综合问题角度1 直线与抛物线相切问题1．(2019·全国卷Ⅲ)曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)假设以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．解(1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，那么x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 那么d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积 S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，那么M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2. 角度2 过焦点的直线与抛物线相交问题2．(2019·某某长郡中学模拟)F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，E 为其准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|ME |＝11，那么|AB |＝( )A ．6B ．3 3C ．8D ．9答案 A解析 根据题意，知直线AB 的斜率存在且不为零，抛物线的焦点坐标是F (1,0)．设直线AB ：y ＝k (x －1)，将直线方程与抛物线方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 并整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，那么x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，从而M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k 2，2k .又E (－1,0)，根据|ME |＝11，得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k 2＋12＋4k 2＝11，解得k 2＝2.所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2＋4k2＋2＝6.应选A.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 与y 轴的负半轴交于点C .假设AB→＝3BC →，那么直线l 的斜率为________．答案 2 2解析 解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k >0)．由AB →＝3BC →，得x 1＝4x 2.由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋p 2k24＝0，那么x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝p 24，故x 1＋x 2x 1x 2＝2(k 2＋2)k 2，即52＝2＋4k 2，解得k ＝2 2.解法二： 设直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AB→＝3BC →，得x 1＝4x 2.由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋p 2k 24＝0，那么x 1x 2＝p 24.所以x 1＝p ，y 1＝2p ，那么直线l 的斜率k ＝y 1x 1－p 2＝2p p －p 2＝2 2. 角度3 不过焦点的直线与抛物线相交问题4．(2019·全国卷Ⅰ)抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)假设|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)假设AP→＝3PB →，求|AB |. 解设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，那么x 1＋x 2＝－4(t －1)3. 从而－4(t －1)3＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13， 即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1.故|AB |＝4133.1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．见举例说明2,3,4.2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，假设过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式(见举例说明2)，假设不过焦点，那么必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求〞“整体代入〞等解法．提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程．1．(2019·某某二模)抛物线x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－1，△ABC 的顶点A 在抛物线上，B ，C 两点在直线y ＝2x －5上，如果|AB →－AC →|＝25，那么△ABC 面积的最小值为( )A ．5B ．4 C.12 D ．1答案 D解析 依题意得抛物线方程为x 2＝4y .因为|AB→－AC →|＝25，所以|CB →|＝2 5.设抛物线x 2＝4y 的一条切线方程为y ＝2x ＋b .将y ＝2x ＋b 代入x 2＝4y ，得x 2－8x －4b ＝0.由Δ＝64＋16b ＝0，得b ＝－4.此时抛物线x 2＝4y 的切线方程为y ＝2x －4.该切线与直线BC 的距离为d ＝15，即点A 到直线y ＝2x －5的最小距离为15，故S △ABC 的最小值为12|BC |·d ＝1.2．直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(4,4)，那么线段AB 的中点到准线的距离是________．答案 258解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，所以k AF ＝4－04－1＝43.所以直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即y ＝43(x －1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝43(x －1)消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0，所以线段AB 的中点的横坐标为178.所以线段AB 的中点到准线的距离是178－(－1)＝258.3．抛物线C ：y 2＝ax (a >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12到焦点F 的距离为2t .(1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线上一点A 的纵坐标为1，过点Q (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．解(1)由抛物线的定义可知|PF |＝t ＋a4＝2t ， 那么a ＝4t ，由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12在抛物线上，那么at ＝14.所以a ×a 4＝14，那么a 2＝1，由a >0，得a ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝x . (2)证明：因为A 点在抛物线上，且y A ＝1. 所以x A ＝1，所以A (1,1)，设过点Q (3，－1)的直线l 的方程为x －3＝m (y ＋1)． 即x ＝my ＋m ＋3，代入y 2＝x 得y 2－my －m －3＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 那么y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－m －3， 所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1m 2y 1y 2＋m (m ＋2)(y 1＋y 2)＋(m ＋2)2＝－m －3－m ＋1m 2(－m －3)＋m (m ＋2)m ＋(m ＋2)2＝－12，为定值．组 基础关1．(2019·某某一模)假设抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，那么a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．±2 D ．±4答案 C解析 抛物线x 2＝ay 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a 4.而抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＋a 4＝1，解得a ＝±2.2．(2019·汀赣十四校第一次联考)抛物线y 2＝4x 与x 2＝2py (p >0)的焦点间的距离为2，那么p 的值为( )A ．4B ．12C ．2 3D ．6答案 C解析 两抛物线的焦点坐标分别为(1,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.由题意可知 1＋p 24＝2，且p >0，解得p ＝2 3.3．(2020·某某摸底)一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，那么此动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0)答案 B解析 由抛物线y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－p2＝－2，焦点坐标为(2,0)．因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2,0)．4．(2019·某某三模)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条倾斜角为π6的直线，与抛物线交于A ，B 两点，那么|AB |＝( )A ．4B ．6C ．8D ．16 答案 D解析 抛物线的焦点坐标为F (1,0)，p ＝2，过焦点的直线的斜率k ＝tan π6＝33，那么直线方程为y ＝33(x －1)，代入y 2＝4x 得13(x －1)2＝4x ，整理得x 2－14x ＋1＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝14，那么|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝14＋2＝16.5．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .假设△QAF 的面积为2，那么点P 的坐标为( )A ．(1,2)或(1，－2)B ．(1,4)或(1，－4)C ．(1,2)D ．(1,4) 答案 A解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以12×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，那么FM →·FN→＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 D解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎨⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1,2)，N (4,4)，又因为F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.应选D.7．(2019·某某三模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为k 的直线，与抛物线相交于A ，B 两点，设直线OA ，OB (O 为坐标系原点)的斜率分别为k 1，k 2，那么以下等式正确的选项是( )A ．k 1＋k 2＝k B.1k ＝k 1＋k 2 C.1k ＝1k 1＋1k 2D ．k 2＝k 1·k 2答案 C解析 由题意，得OA 的方程为y ＝k 1x ，与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)联立，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 21，2p k 1，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 22，2p k 2，∴k ＝2p k 1－2p k 22p k 21－2p k 22＝11k 1＋1k 2，∴1k ＝1k 1＋1k 2.应选C.8．(2019·某某四地七校联考)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF ⊥x 轴．假设以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为1，那么实数p 的值为________．答案2解析 由题意，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，设P 在第一象限，那么P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，k AP＝p p ＝1，那么直线AP 的方程为x －y ＋p2＝0，以AF 为直径的圆的圆心为O (0,0)，半径为R ＝p 2，那么O 到直线AP 的距离为d ＝p 22＝2p4，那么圆O 截直线AP 所得的弦长为1＝2R 2－d 2＝2p 24－⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 42，解得p ＝ 2.9．(2019·某某4月调研)过点M (1,0)的直线AB 与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，假设OA ，OB 的斜率之和为1，那么直线AB 的方程为________．答案 2x ＋y －2＝0解析 当直线AB 的斜率不存在时，不符合题意，故设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，那么直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝2x消去y 并整理，得k 2x 2－2(k 2＋1)x ＋k 2＝0，那么x 1＋x 2＝2(k 2＋1)k 2，x 1x 2＝1.∴直线OA ，OB 的斜率之和为y 1x 1＋y 2x 2＝2kx 1x 2－k (x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －2(k 2＋1)k ＝1，解得k ＝－2，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0.10．(2019·某某六市第二次联考)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，其准线为l ，过点M (5,25)作直线l 的垂线，垂足为H ，那么∠FMH 的平分线的斜率为________．答案 55解析 连接HF .因为点M 在抛物线y 2＝4x 上，所以由抛物线的定义可知|MH |＝|MF |.所以△MHF 为等腰三角形．所以∠FMH 的平分线所在的直线经过HF 的中点．因为点F (1,0)，H (－1,25)，所以HF 的中点坐标为(0，5)，所以∠FMH 的平分线的斜率为25－55－0＝55.组 能力关1．(2019·潍坊高三上学期期末)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线上一点，A (1,1)，当△P AF 周长最小时，PF 所在直线的斜率为( )A ．－43B ．－34 C.34 D.43答案 A解析 求△P AF 周长的最小值，即求|P A |＋|PF |的最小值．设点P 在准线上的投影为D ，那么根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |.因此问题转化为求|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小．∵A (1,1)，点P 在抛物线上，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，∴PF 所在直线的斜率为1－014－1＝－43.2．(2020·某某名校联盟调研抽测)过抛物线y 2＝2x 上一点A (2,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC ，分别交抛物线于B ，C 两点，那么直线BC 的斜率为( )A ．－23B ．－14 C ．－34 D ．－12答案 D解析 依题意，可设直线AB 的方程为y －2＝k (x －2)，那么直线AC 的方程为y －2＝－k (x －2)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)(y 1≠2，y 2≠2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y －2＝k (x －2)，得y 1＝2－2k k .同理，得y 2＝2＋2k －k .所以直线BC 的斜率为y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 112y 22－12y 21＝2y 2＋y 1＝－12.应选D.3．(2019·华中师大第一附中模拟)如下图，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总平行于x 轴，那么△F AB 的周长的取值X 围是( )A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14) 答案 C解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)．由抛物线定义，得|AF |＝x A ＋2.因为圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，所以△F AB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，(x －2)2＋y 2＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝±4，那么x B ∈(2,6)，所以6＋x B ∈(8,12)． 4．(2018·全国卷Ⅲ)点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．假设∠AMB ＝90°，那么k ＝________.答案 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4x 1－4x 2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′.因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． 因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴． 因为M (－1,1)，所以y 0＝1，那么y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.5．(2020·某某摸底)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，那么|PF ||P A |的最小值为________；当|PF ||P A |取得最小值时，直线AP 的方程为________．答案 22x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0解析 设P 点的坐标为(4t 2,4t )，∵F (1,0)，A (－1,0)， ∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |P A |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||P A |2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t 2＋24≥1－16216t 2·1t 2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号．故|PF ||P A |的最小值为22；当|PF ||P A |取得最小值时，点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)，∴直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0.6．(2019·某某模拟)抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.(1)求E 的方程；(2)设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．解(1)根据题意，知4＝2py a ，① 因为|AF |＝2，所以y a ＋p2＝2.②联立①②解得y a ＝1，p ＝2.所以E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)． 由题意，可设直线BM 的方程为y ＝kx ＋b ， 代入x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0. 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b .③ 由MP ⊥x 轴及点P 在直线y ＝x －3上， 得P (x 2，x 2－3)，那么由A ，P ，B 三点共线，得x 2－4x 2－2＝kx 1＋b －1x 1－2，整理，得(k －1)x 1x 2－(2k －4)x 1＋(b ＋1)x 2－2b －6＝0. 将③代入上式并整理，得(2－x 1)(2k ＋b －3)＝0. 由点B 的任意性，得2k ＋b －3＝0， 所以y ＝kx ＋3－2k ＝k (x －2)＋3. 即直线BM 恒过定点(2,3)．组 素养关1．(2019·某某二模)设定点F (0,1)，动点E 满足：以EF 为直径的圆与x 轴相切．(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是曲线C 上的两点，假设曲线C 在A ，B 处的切线互相垂直，求证：A ，F ，B 三点共线．解(1)设E 点坐标为(x ，y )，那么EF 中点为圆心，设为P ，那么P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y ＋12.∴P 到x 轴的距离等于|EF |2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12＝x 2＋(y －1)22，化简得x 2＝4y .∴点E 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知，曲线C 是以F 为焦点的抛物线，其方程可化为y ＝14x 2， 设A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，14x 21，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14x 22， ∵曲线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴曲线在A ，B 处切线的斜率分别为k 1＝12x 1，k 2＝12x 2，∵k 1k 2＝－1，∴12x 1·12x 2＝－1，∴x 2＝－4x 1，∴A ，B 两点连线的斜率为 k AB ＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝－1x 1＋14x 1，A ，F 两点连线的斜率为k AF ＝14x 21－1x 1－0＝－1x 1＋14x 1＝k AB ，∴A ，B ，F 三点共线．2．(2019·某某一模)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且FB →＋FC →＝F A →.(1)证明：B ，C 两点的纵坐标之积为定值； (2)设λ＝AB →·AC→，求λ的取值X 围．解(1)证明：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，F (1,0)，∴F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－1，y 0，FB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1，y 1，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1，y 2， ∵FB →＋FC →＝F A →，∴y 214－1＋y 224－1＝y 204－1，y 1＋y 2＝y 0，即y 21＋y 22＝y 20＋4，∴(y 1＋y 2)2＝y 20，∴y 20＋4＋2y 1y 2＝y 20，∴y 1y 2＝－2.(2)由FB →＋FC →＝F A →，得四边形ABFC 为平行四边形，故λ＝AB →·AC →＝CF →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 214⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 224＋(－y 1)·(－y 2)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋y 21y 2216＋y 1y 2＝1－y 20＋44＋416－2＝－14y 20－74≤－74， 故λ的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－74.。

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第八章 第七节 抛物线课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．2D.14解析：因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.答案：D2．(2016·襄阳调研)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵外接圆的面积为9π，∴圆的半径为3.又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p2＋p4＝3，∴p ＝4.答案：B3．(2016·新余模拟)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PMF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20D.15解析：根据题意得点P 的坐标为(4，±4)，所以S △PMF ＝12|y p |·|PM |＝12×4×5＝10，故选B.答案：B4．(2016·九江一模)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |＝( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．1∶3解析：由题意得，直线l ：y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，－22p ，∴|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，∴|MF |＝p ＋p 2＝32p ，∴|NF |∶|FM |＝1∶2，故选C.答案：C5．(2015·铜川一模)已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤4，当直线AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4.答案：D6．抛物线y 2＝x 的焦点到准线的距离为________．解析：由抛物线y 2＝x ，得2p ＝1，∴p ＝12，抛物线y 2＝x 的焦点到准线的距离为p ＝12.答案：127．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：圆的圆心坐标为(1，－2)．设抛物线方程为y 2＝ax ，将圆心坐标代入得a ＝2，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x8．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x9.已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在x 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线l ′与抛物线C ：x 2＝1my 相切，求直线l 的方程和抛物线C 的方程．解：(1)依题意得点P 的坐标为(－m,0)．∵以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ， ∴MP ⊥l .∴k MP ·k l ＝0－－－m －2·1＝－1，解得m ＝－1.∴点P 的坐标为(1,0)．设所求圆的半径为r ，则r 2＝|PM |2＝1＋1＝2， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.(2)将直线l 的方程y ＝x ＋m 中的y 换成－y ，可得直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1m y ，y ＝－x －m ，得mx 2＋x ＋m ＝0(m ≠0)，Δ＝1－4m 2，∵直线l ′与抛物线C ：x 2＝1my 相切，∴Δ＝0，解得m ＝±12.当m ＝12时，直线l 的方程为y ＝x ＋12，抛物线C 的方程为x 2＝2y ；当m ＝－12时，直线l 的方程为y ＝x －12，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .10．(2016·大连双基)已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM →·ON →＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为：x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－4p .k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋y 1＋y 2my 1＋my 2＋＝－8mp ＋8mp my 1＋my 2＋＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0， 同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM →·ON →＝2，所以4＋y N y M ＝2，－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝－2.16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝－2，16p 2－8p 2my 0－4py 2－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－2，p ＝12，抛物线C 的方程为y 2＝x .B 组 高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为x ＝－2①，设椭圆E的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，所以椭圆E 的半焦距c ＝2，又椭圆E 的离心率为12，所以a ＝4，b ＝23，椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1②，联立①②，解得A (－2,3)，B (－2，－3)，或A (－2，－3)，B (－2,3)，所以|AB |＝6，选B.答案：B2．(2015·高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)解析：因为抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1，∴p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)，选B. 答案：B3.(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 2||AA 2|＝|BF |－1|AF |－1.答案：A4．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )． 又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋ba. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．。

【步步高】（某某通用）2017版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.7 抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2X 围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右向左向上向下【知识拓展】1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ )1．(2015·某某)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1) 答案 B解析 由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0，故选B.2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 A解析 由抛物线的定义，可得|AF |＝x 0＋14，∵|AF |＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.3．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5 答案 B解析 设抛物线方程为y 2＝2px ，则点M (2，±2p )．∵焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，点M 到该抛物线焦点的距离为3， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋4p ＝9，解得p ＝2(负值舍去)， 故M (2，±22)． ∴|OM |＝4＋4×2＝2 3.4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________．答案 43解析 ∵A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上， ∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线AB 的方程为x ＝m (y －3)－2，① 将①与y2＝8x 联立，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m y －3－2，y 2＝8x ，得y 2－8my ＋24m ＋16＝0，②则Δ＝(－8m )2－4(24m ＋16)＝0，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－12(舍去)，将m ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8,8)，又F (2,0)，∴k BF ＝8－08－2＝43.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．解 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)． 引申探究将本例中点A 的坐标改为(3,4)，求|PA |＋|PF |的最小值． 解 当P 、A 、F 共线时，|PA |＋|PF |最小，|PA |＋|PF |≥|AF |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋42＝ 254＋16＝892. 思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(1)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 答案 (1)8 (2)4解析 (1)分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y 答案 D解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________． 答案322解析 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3， ∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(1)(2015·某某)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②1|AF |＋1|BF |为定值； ③以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 ①由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.②1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2|AB |－p ＋p 24＝2p(定值)． ③设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2014·某某)如图，已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →.(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．解 (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1. 设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1， 得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．由PF →＝3FM →得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )， 由PF →＝3FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0，得k 2＝－15m ＋415.由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.又因为|AB |＝41＋k 2·k 2＋m ， 点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k2，所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0， 解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>59＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43， 所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．已知过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3，其中O 为坐标原点． (1)求p 的值；(2)当|AM |＋4|BM |最小时，求直线l 的方程． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 的方程为x ＝my ＋p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0.∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2. ∵OA →·OB →＝－3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3.又x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，∴p 24－p 2＝－3⇒p 2＝4.∵p >0，∴p ＝2. (2)由抛物线定义，得|AM |＝x 1＋p2＝x 1＋1，|BM |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AM |＋4|BM |＝x 1＋4x 2＋5≥24x 1x 2＋5＝9，当且仅当x 1＝4x 2时取等号． 将x 1＝4x 2代入x 1x 2＝p 24＝1，得x 2＝12(负值舍去)．将x 2＝12代入y 2＝4x ，得y 2＝±2，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±2.将点B 代入x ＝my ＋1，得m ＝±24.∴直线l 的方程为x ＝±24y ＋1，即4x ±2y －4＝0.7．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (15分)(2014·某某)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 规X 解答解 (1)由题意知F (p2，0)．设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0)．因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .[4分] (2)①由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)． 因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)， 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意得Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.[6分]设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)． 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)， 所以直线AE 过定点F (1,0)．[9分] ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)， 所以|AE |＝|AF |＋|FE | ＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1. 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝4x 0＋1x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.[13分]则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.[15分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数X 围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．温馨提醒 (1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系．(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化． (3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率．[方法与技巧]1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)．2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.[失误与防X]1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程． 2．注意应用抛物线的定义解决问题．3．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14答案 A解析 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2，故选A. 2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 答案 B解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.所以y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.4．(2015·某某)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 答案 A解析 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.5．(2014·课标全国Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3 答案 C解析 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， 方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，故选C.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得 |AB |＝2psin 2θ＝32sin 230°＝12. 6．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________. 答案 6解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得 p ＝6.7.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________．答案 y 2＝3x解析 如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .8．已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为_______________________________． 答案 x －y －1＝0解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2pk2.∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋1＝64， ②②÷①得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k2k 2＋1＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 解 (1)依题意知F (1,0)， 设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点， 从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．(2015·某某)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值X 围是( ) A ．(1,3) B ．(1,4) C ．(2,3) D ．(2,4) 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时， 如图x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，∴－23＜y 0＜23，∵点M 在圆上， ∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.12．已知抛物线y 2＝x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728 D.10答案 B解析 如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2. ∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )·(x －n 2)， 即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0)，点C 为直线AB 与x 轴的交点．S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3.13．抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上异于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OR →·OQ →＝________. 答案 20解析 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，B ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，Q (x 3,2)，R (x 4,2)．将y ＝2x －2代入x 2＝8y 得x2－16x ＋16＝0，则x 1＋x 2＝x 1x 2＝16.直线PA 的方程为y －x 208＝x 208－x 218x 0－x 1(x －x 0)，即y －x 208＝x 0＋x 18·(x －x 0)．令y ＝2，解得x 3＝x 1x 0＋16x 1＋x 0；同理可得x 4＝x 2x 0＋16x 2＋x 0.所以x 3x 4＝x 1x 0＋16x 1＋x 0×x 2x 0＋16x 2＋x 0＝x 2x 1x 20＋16x 0x 1＋x 2＋162x 2x 1＋16x 0＋x 2＝16x 2x 1＋16x 0＋x 20x 2x 1＋16x 0＋x 20＝16，所以OR →·OQ →＝x 3x 4＋4＝20.14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上的点(2，a )到焦点F 距离为3. (1)求抛物线的方程；(2)设动直线l 与抛物线相切于点A ，且与准线相交于B ，问在坐标平面内是否存在定点D ，使得以AB 为直径的圆恒过定点D ？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由． 解 (1)由条件知p2＝1，即p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设动直线l 方程为x ＝ty ＋b (显然t ≠0)，则点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1－b t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋b ，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(ty ＋b )，Δ＝16t 2＋16b ＝0，得b ＝－t 2，故可设点A 坐标为(t 2,2t )，设D (m ，n )，则AD →＝(m －t 2，n －2t )，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1，n ＋1＋b t ，因为D 在以AB 为直径的圆上，所以AD ⊥BD ， 所以AD →·BD →＝0，即(m －t 2，n －2t )·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1，n ＋1＋b t ＝0，化简整理，得(1－m )t 2－3nt ＋nt＋(m 2＋m ＋n 2－2)＝0， 所以当且仅当m ＝1，n ＝0时，上式对任意t ∈R 恒成立． 即存在D (1,0)，使得以AB 为直径的圆恒过点D .15．(2015·某某)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．方法一 (1)解 由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－1＝223，k GB ＝－2－012－－1＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 方法二 (1)解 同方法一．(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0. 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. 所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .word这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．21 / 21。

A 组 考点基础演练一、选择题1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α<180°，∴α＝150°.故选C. 答案：C2．(2014年江门模拟)如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知A ·B ·C ≠0， 直线方程变为y ＝－A B x －CB .∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0， ∴其斜率k ＝－AB <0，又y 轴上的截距b ＝－CB >0，∴直线过第一、二、四象限． 答案：C3．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( ) A ．4 B.14 C ．－4D ．－14 解析：∵{a n }为等差数列，a 4＝15，S 5＝55， ∴a 1＝3，d ＝4，∴a 3＝11. ∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝4. 答案：A4．经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( ) A ．8x ＋5y ＋20＝0或2x －5y －12＝0B ．8x －5y －20＝0或2x －5y ＋10＝0C ．8x ＋5y ＋10＝0或2x ＋5y －10＝0D ．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0解析：由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k －4|·⎪⎪⎪⎪4k －5＝5得，k ＝85或k ＝25. 答案：D5．(2015年哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°. 答案：D 二、填空题6．(2014年韶关调研)已知函数f (x )＝x －4ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________．解析：由f ′(x )＝1－4x ，则k ＝f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，故切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.答案：3x ＋y －4＝07．(2015年温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－248．设直线系A ：(x －1)cos θ＋(y －1)sin θ＝1(0≤θ＜2π)，对于下列五个命题： ①存在定点P 不在A 中的任一直线上； ②A 中所有直线均经过一个定点；③对于任意的正整数n (n ≥3)，存在正n 边形，其所有边均在A 中的直线上； ④A 中的直线所能围成的正三角形的面积都相等； ⑤A 中的直线所能围成的正方形的面积都相等．其中所有真命题的序号是________．解析：存在定点P (1,1)不在A 中的任一直线上，故①正确；因为点P (1,1)到A 中任一直线的距离都等于1，所以A 中所有直线均为圆P ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，不经过一个定点，故②错误；对于任意的正整数n (n ≥3)，存在正n 边形，使其内切圆为圆P ，此时其所有边均在A 中的直线上，故③正确；A 中的直线所能围成的正三角形，可能是以圆P 为内切圆的正三角形，也可能是以圆P 为旁切圆的正三角形，所以面积不都相等，故④错误；A 中的直线所能围成的正方形，都使得圆P 为正方形的内切圆，所以面积都相等，故⑤正确．答案：①③⑤ 三、解答题9．(2015年临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解析：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． 10．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解析：(1)当m ＝－1时， 直线AB 的方程为x ＝－1， 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．即x －(m ＋1)y ＋2m ＋3＝0. (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时， m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3)∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3.B 组 高考题型专练1．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立， ∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3.∴定点为⎝⎛⎭⎫－12，－3. 答案：D2.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：依题意S nn 表示图象上的点(n ，S n )与原点连线的斜率．由图象可知，当n ＝9时，S nn 最大，故m ＝9.答案：C3．(2014年海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3 B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B4．(2013年高考辽宁卷)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 解析：根据直角三角形的直角的位置求解．若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意； 若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．答案：C5．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，y ≥3x －3，则z ＝y －1x ＋1的最大值为________．解析：作出实数x ，y 满足的可行域(如图)，则z ＝y －1x ＋1可看作区域内的点(x ，y )与点(－1,1)连线的斜率，易知在点A 处z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝3x －3可得A (2,3)，∴z max ＝3－12＋1＝23.答案：236．(2015年杭州调研)已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b .则直线l 的方程为________．解析：①若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0,0)， 此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0.②若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋yb ＝1，即x 3b ＋yb＝1. 由于点P (2，－1)在直线上， 所以b ＝－13.从而直线方程为－x －3y ＝1， 即x ＋3y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0.答案：x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0。

第八章 第七节 抛物线一、选择题1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的上焦点，则a 等于 ( )A ．1B ．4C ．8D ．16 2．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A ．－1716B ．－1516 C.716D.1516 3．已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A.34B ．1 C.54D.74 4．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定 5．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16 6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)二、填空题7．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．9．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么| FA | ＋| FB | ＝________.三、解答题10．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)过点P (2，－4)．11．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2＝4x ，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量OM 与OP 的夹角为π4，求△POM 的面积．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足 MB ∥ OA ， MA · AB ＝ MB · BA ，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．详解答案一、选择题1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a 4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有 a 4＝2, 解得a ＝8.答案：C2．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516. 答案：B3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案：C4．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 答案：C5．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝144－16＝8 2.答案：C6．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B二、填空题7．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝648．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a 4. ∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离， ∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9a代入， 得|9a ＋a 4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18， ∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .答案：x 2＝±2y 或x 2＝±18y9．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7答案：7三、解答题10．解：双曲线方程化为x 29－y 216＝1， 左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为 y 2＝－2px (p >0)，则－p 2＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .11．解：设点M (y 214，y 1)，P (y 224，y 2)， ∵P ，M ，A 三点共线，∴k AM ＝k PM ，即y 1y 214＋1＝y 1－y 2y 214－y 224，即y 1y 21＋4＝1y 1＋y 2，∴y 1y 2＝4.∴ OM · OP ＝y 214·y 224＋y 1y 2＝5.∵向量 OM 与 OP 的夹角为π4，∴| OM |·|OP |·cos π4＝5.∴S △POM ＝12| OM | ·| OP | ·sin π4＝52.12．解：(1)设M (x ，y )由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．所以 MA ＝(－x ，－1－y )， MB ＝(0，－3－y )，AB ＝(x ，－2)．再由题意可知(MA ＋ MB )·AB ＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0. 所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此曲线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12(x 20＋4＋4x 20＋4)≥2，当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.。