【精品】2021届人教A版理科数学课时试题含解析(7)指数与对数运算

第四章指数函数与对数函数指数课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021天津滨海新区高一期中)下列运算正确的是( )A.a 2·a 3=a 6 B .(3a )3=9a 3 C .√a 88=a D .(-2a 2)3=-8a 62·a 3=a 5,故A 错误;(3a )3=27a 3,故B 错误;√a 88=|a|={a ,a ≥0,-a ,a <0,故C 错误;(-2a 2)3=-8a 6,故D 正确.故选D .2.(2021湖北武汉高一期中)若a<0,则化简a √-1a 得 ( )A.-√-aB.√-aC.-√aD.√aa<0,∴a √-1a =-√a 2×√-1a =-√a 2(-1a)=-√-a .故选A .3.(2021福建福州三中高一期中)已知x 2+x -2=3,则x+x -1的值为( ) A.√5 B .1 C .±√5 D .±1(x+x -1)2=x 2+x -2+2=5,可得x+x -1=±√5.故选C .4.(112)0-(1-0.5-2)÷(278)23的值为()A.-13 B.13C.43D.73=1-(1-22)÷(32)2=1-(-3)×49=73.故选D . 5.若√4a 2-4a +1=1-2a ,则a 的取值范围是 .-∞,12]√4a 2-4a +1=√(2a -1)2=|2a-1|=1-2a ,∴2a-1≤0,即a ≤12.6.若α,β是方程5x 2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= .215,得α+β=-2,αβ=15,则2α·2β=2α+β=2-2=14,(2α)β=2αβ=215. 7.化简求值:(1)(94)12-(9.6)0-(278)-23+(23)2; (2)(a 12·√b 23)-3÷√b -4·√a -2(a>0,b>0).原式=[(32)2]12-1-[(23)3]23+(23)2=32-1-49+49=12;(2)原式=a -32·b -2÷b -2·a -12=a -1·b 0=1a .等级考提升练8.(2021河北张家口张垣联盟高一联考)将根式√a √a √aa化简为指数式是( ) A.a-18B.a 18C.a-78D.a-34=a 12+14+18-1=a-18,故选A .9.(2021河南开封高一期中)已知正数x 满足x 12+x -12=√5,则x 2+x -2=( ) A.6 B .7 C .8 D .9x 满足x 12+x -12=√5,所以(x 12+x -12)2=5,即x+x -1+2=5,则x+x -1=3,所以(x +x -1)2=9,即x 2+x -2+2=9,因此x 2+x -2=7.故选B .10.(多选题)(2021河北唐山一中高一期中)下列计算正确的是( )A.√(-3)412=√-33B .(a 23b 12)(-3a 12b 13)÷13a 16b 56=-9a (a>0,b>0)C .√√93=√33D .√-2√23=-213√(-3)4=√3412=√33,故A 错误;(a 23b 12)(-3a 12b 13)÷13a 16b 56=-9a 23+12-16b 12+13-56=-9a ,故B 正确;√√93=916=(32)16=313=√33,故C 正确;√-2√23=(-2√2)13=(-2×212)13=(-232)13=-212,故D 错误.故选BC .11.已知x 2+x -2=2√2,且x>1,则x 2-x -2的值为 ( )A.2或-2B.-2C.√6D.2方法一)∵x>1,∴x 2>1.由x -2+x 2=2√2,可得x 2=√2+1, ∴x 2-x -2=√2+1-√2+1=√2+1-(√2-1)=2.(方法二)令x 2-x -2=t , ① ∵x -2+x 2=2√2,②∴由①2-②2,得t 2=4.∵x>1,∴x 2>x -2, ∴t>0,于是t=2,即x 2-x -2=2,故选D .12.(多选题)(2021江苏扬州邗江高一期中)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-√x =(-x )12 B.√y 26=y 12(y<0) C.x -13=√x3(x ≠0)D .[√(-x )23]34=x 12(x>0)A,因为-√x =-x 12(x ≥0),而(-x )12=√-x (x ≤0),所以A 错误; 对于选项B,因为√y 26=-y 13(y<0),所以B 错误;对于选项C,x -13=√x3(x ≠0),所以C 正确;对于选项D,[√(-x )23]34=x 2×13×34=x 12(x>0),所以D 正确.13.若a>0,b>0,则化简√b 3a √a2b6的结果为 .√b3a√a 2b6=√b 3a(a 2b6)12=√b 3a ab3=1.14.化简:(2-a )[(a-2)-2(-a )12]12=.-a )14a ≤0,则(a-2)-2=(2-a )-2,所以原式=(2-a )[(2-a )-2·(-a )12]12 =(2-a )(2-a )-1(-a )14=(-a )14.15.化简求值: (1)0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6;(2)(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1.根据指数幂与根式的运算,化简可得0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6=[(2)-3]-13−(98)0+(22)32+(212×313)6=2-1+8+(212)6(313)6=2-1+8+8×9=81.(2)由分数指数幂及根式的运算,化简可得(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1=[(32)4]0.5+10-2√3×(33)16-4×34=94+10-2√3×√3-3 =94+10-6-3=134. 16.已知a 2x =√2+1,求a 3x +a -3xa x +a -x 的值.a2x=√2+1,∴a-2x=√2+1=√2-1,即a2x+a-2x=2√2,∴a3x+a-3xa x+a-x=(a x+a-x)(a2x+a-2x-1)a x+a-x=a2x+a-2x-1=2√2-1.新情境创新练17.(2021黑龙江大庆实验中学高一期末)已知实数x满足3×16x+2×81x=5×36x,则x的值为.或123×16x+2×81x=5×36x,所以3×24x+2×34x=5×(2×3)2x,则3×24x+2×34x=5×22x×32x,所以3×24x+2×34x-5×22x×32x=0,即(3×22x-2×32x)(22x-32x)=0,所以3×22x-2×32x=0,或22x-32x=0,解得x=12或x=0.。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

课时分层提升练七指数函数……………………30分钟60分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020·柳州模拟)已知a=(ln 2,b=(ln 3,c=log20.7,则a,b,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a【解析】选B.c=log20.7<log21=0,0<(ln 2=a<1<(ln 3=b,故c<a<b.2.已知集合A={x|2x≥1},B={x|x2-2x<0},则A∪B= ( )A.{x|x≥0}B.{x|0≤x<2}C.{x|x>2}D.{x|0<x<2}【解析】选A.集合A={x|2x≥1}={x|x≥0},B={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},则A∪B={x|x≥0}∪{x|0<x<2}={x|x≥0}.3.下列各式比较大小正确的是 ( )A.1.72.5>1.73B.0.6-1>0.62C.0.8-0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1【解析】选 B.A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73,故A错误.B中,因为y=0.6x在R上是减函数,-1<2,所以0.6-1>0.62,故B正确.C中,因为0.8-1=1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.因为y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,故C错误.D中,因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1,故D错误.4.(2019·亳州模拟)已知函数f(x)=5x,若f(a+b)=3,则f(a)·f(b)=( )A.3B.4C.5D.25【解析】选A.f(x)=5x,f(a+b)=5a+b=3,f(a)·f(b)=5a·5b=5a+b=3.5.已知0<a<b<1<c,则( )A.a b>a aB.c a>c bC.log a c>log b cD.log b c>log b a【解析】选C.已知0<a<b<1<c.由于y=a x为减函数,故a b<a a.由于y=c x 为增函数,故c a<c b.由于y=lo g b x为减函数,故lo g b c<lo g b a.6.(2020·桂林模拟)已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则8x·的取值范围是( ) A.[2,28] B.C.[2,27]D.【解析】选C.令3x-y=s(x+y)+t(x-y)=(s+t)x+(s-t)y,则,所以,又-1≤x+y≤1①,所以1≤x-y≤3,所以2≤2(x-y)≤6②,所以①+②得1≤3x-y≤7.则8x·=23x-y∈[2,27].7.函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当a变动时,函数b=g(a)的图象可以是( )【解析】选B.作出y=2|x|的图象,如图,结合选项知a≤0,因为当a变动时,函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],所以-4≤a≤0,所以2|b|=16.即b=4,故-4≤a≤0,且b=4.二、填空题(每小题5分,共10分)8.已知2a=5b=10,则=________.【解析】由2a=5b=10可得a=,b=,所以+=2(lg 2+lg 5)=2,所以=2.答案:29.(2020·大理模拟)函数f(x)=a x-1-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx-ny-4=0上,其中m>0,n>0,则+的最小值为________.【解析】因为函数f(x)=a x-1-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,所以点A 坐标为(1,-1),因为点A在直线mx-ny-4=0上,所以m+n=4,因为m>0,n>0,所以+=×=×≥×(1+2+1)=1,当且仅当==1,即m=n=2时取等号,所以+的最小值为1.答案:1三、解答题10.(15分)若函数f(x)=是R上的减函数,求实数a的取值范围.【解析】依题意,a应满足解得<a≤.……………………20分钟40分1.(5分)(2019·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.2.(5分)(2020·绵阳模拟)已知函数f(x)=,若f(f(0))=2,则实数a的值是________.【解析】因为f(0)=20+2=3,所以f[f(0)]=f(3)=lo g a2,因为f[f(0)]=2,所以lo g a2=2,因为a>0,所以实数a=.答案:3.(5分)已知函数f(x)=设a>b≥0,若f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是________.【解析】由图可知,≤b<1,≤f(a)<2,且b,f(a)的值依次增大,均为正值,所以≤bf(a)<2.答案:≤bf(a)<24.(5分)若函数f(x)=在(1,3)上是减函数,则关于x的不等式a x>1的解集为________.【解析】因为f(x)=在(1,3)上是减函数,且t=x2-2x+1在(1,3)上是增函数,所以函数y=a x在(-∞,+∞)上是减函数,所以0<a<1.由a x>1得x<0.答案:{x|x<0}5.(10分)(2020·资阳模拟)已知函数f(x)=+2为奇函数.(1)求实数a的值.(2)求不等式log3f(x)<x+1的解集.【解析】(1)f(x)=,f(-x)==,由题知f(-x)=-f(x),故a-2=2,即a=4.(2)lo g3<x+1⇔>0①,且<3x+1②,又3x>0,故由①得3x>1,此时<3x+1⇔3·32x-5·3x-2>0⇔(3x-2)(3·3x+1)>0,故3x>2,所以x>lo g32,即不等式的解集为(lo g32,+∞).6.(10分)已知函数f(x)=,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).(1)求h(a).(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为x∈[-1,1],所以f(x)=∈,设t=∈.则y=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2.当a<时,y min=h(a)=φ=-;当≤a≤3时,y min=h(a)=φ(a)=3-a2;当a>3时,y min=h(a)=φ(3)=12-6a.所以h(a)=(2)假设存在m,n满足题意.因为m>n>3,h(a)=12-6a在(3,+∞)上是减函数,又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],所以两式相减得6(m-n)=(m-n)(m+n),即m+n=6,与m>n>3矛盾,所以满足题意的m,n不存在.关闭Word文档返回原板块。

第5讲 对数与对数函数一、选择题1．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <c <aB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析 由题知，a ＝log 45>1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c <b <a .答案 D 2．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lgx ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x＜1， ∴－1＜x ＜0. 答案 A3．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )． A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析 由于y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C. 答案 C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ( )．解析 由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1，0<b <1.则g (x )＝a x ＋b 的图象由y ＝a x 的图象沿y 轴向上平移b 个单位而得到，故选B. 答案 B5．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )．A ．(0,1)∪(1,3)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23)解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f (x )有意义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a2时递减，从而⎩⎨⎧a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．故选D.答案 D6．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )． A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0<a <b 知0<a <1<b ，－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，由函数y ＝x ＋2x 的单调性可知，当0<x <1时，函数单调递减，∴a ＋2b ＝a ＋2a >3.故选C. 答案 C 二、填空题。

4.3.2 对数的运算1.对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则(1)log a(MN)=log a M+log a N.即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和. 这个性质可推广到若干个正因数的积:log a(N1N2…N k)=log a N1+log a N2+…+log a N k(N i>0，i=1，2，3，…，k). 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和.=log a M-log a N.(2)log a MN即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.(3)log a M n=nlog a M(n∈R).即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.特别地，log a a N=N.2.换底公式及导出公式(a>0，且a≠1;b>0;c>0，且c≠1).(1)换底公式:log a b=log c blog c a.(2)log a b=1log b a(3)log a N=lo g a n N n.(4)nlog a N=lo g a m N n.m对数的运算性质[例1] 计算:(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; (2)lg3+25lg9+35lg √27-lg √3lg81-lg27;(3)log 535-2log 573+log 57-log 51.8. 解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2 =(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (2)原式=lg3+45lg3+910lg3-12lg34lg3-3lg3=(1+45+910-12)lg3(4-3)lg3=115.(3)原式=log 5(5×7)-2(log 57-log 53)+log 57-log 595=log 55+log 57-2log 57+2log 53+log 57-2log 53+ log 55 =2log 55=2.(1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.(2)对数计算问题中，涉及lg 2，lg 5时，常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5，lg 5=1-lg 2等解题.针对训练1:计算:(1)lg 14-2lg 73+lg 7-lg 18;(2)lg 2×lg 50+lg 5×lg 20-lg 100×lg 5×lg 2; (3)2lg2+lg31+lg0.6+lg2.解:(1)法一 原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. 法二 原式=lg 14-lg(73) 2+lg 7-lg 18=lg 14×7(73) 2×18=lg 1=0.(2)原式=lg 2×(lg 5+1)+lg 5×(2lg 2+lg 5)-2lg 5×lg 2 =lg 2lg 5+lg 2+lg 5lg 5 =lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (3)原式=lg4+lg3lg10+lg0.6+lg2=lg12lg12=1.换底公式及其推论的应用类型一 用已知对数式表示对数值[例2] 已知log 37=a ，2b =3，试用a ，b 表示log 1456. 解:因为2b =3，所以b=log 23，即log 32=1b ，log 1456=log 356log 314=log 3(23×7)log 3(2×7)=3log 32+log 37log 32+log 37=3b +a 1b+a =3+ab 1+ab.用已知对数式的值表示不同底数的对数值，首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数，然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.针对训练2:(1)已知log 147=a ，log 145=b ，用a ，b 表示log 3528; (2)已知log 189=a ，18b =5，用a ，b 表示log 3645. 解:(1)log 147=a ，log 145=b ， 所以log 3528=log 1428log 1435=log 14(14×2)log 14(5×7)=1+log 14147a+b=2-aa+b.(2)因为log 189=a ，18b =5，所以log 185=b ， 所以log 3645=log 1845log 1836=log 189+log 185log 1818+log 182=a+b1+log 18189=a+b 2-a.类型二 应用换底公式及其推论求值 [例3] 计算:(1)log 1627×log 8132; (2)(log 32+log 92)(log 43+log 83). 解:(1)log 1627×log 8132=lg27lg16×lg32lg81=lg 33lg 24×lg 25lg 34=3lg34lg2×5lg24lg3=1516.(2)(log 32+log 92)(log 43+log 83) =(log 32+log 32log 39)(log 23log 24+log 23log 28)=(log 32+12log 32)(12log 23+13log 23)=32log 32×56log 23=54×lg2lg3×lg3lg2=54.(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.(2)当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般需要统一成一种表达形式.针对训练3:计算:(1)log 23×log 34×log 45×log 52; (2)log 89×log 2732;(3)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258). 解:(1)原式=lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg2lg5=1.(2)原式=lo g 2332×lo g 3325=23log 23×53log 32=23×53log 23×log 32=109. (3)原式=(log 253+log 2252+log 235)(log 52+log 5222+log 5323) =(3log 25+log 25+13log 25)(log 52+log 52+log 52)=133×3×(log 25×log 52)=13.指数与对数的综合应用[例4] (1)设3a =4b =36，求2a +1b 的值;(2)已知2x =3y =5z ，且1x +1y +1z=1，求x ，y ，z.解:(1)法一 由3a =4b =36， 得a=log 336，b=log 436，由换底公式得1a =log363，1b=log364，所以2a +1b=2log363+log364=log3636=1.法二由3a=4b=36，两边取以6为底数的对数，得alog63=blog64=log636=2，所以2a =log63，1b=12log64=log62，所以2a +1b=log63+log62=log66=1.(2)令2x=3y=5z=k(k>0)，所以x=log2k，y=log3k，z=log5k，所以1x =log k2，1y=log k3，1z=log k5，由1x +1y+1z=1，得log k2+log k3+log k5=log k30=1，所以k=30，所以x=log230=1+log215，y=log330=1+log310，z=log530=1+log56.利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.针对训练4:(1)已知log a x=2，log b x=3，log c x=6，求log abc x的值;(2)已知2x=50y=100，求x-1+y-1的值. 解:(1)因为log a x=2，log b x=3，log c x=6，所以lgxlga =2，lgxlgb=3，lgxlgc=6，lg x≠0.则log abc x=lgxlga+lgb+lgc =lgxlgx2+lgx3+lgx6=1.(2)因为2x=50y=100，所以x=log2100，y=log50100，所以x-1+y-1=log1002+log10050=1.典例探究:素数也叫质数，部分素数可写成“2n-1”的形式(n是素数)，法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n-1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P=24 423-1，第19个梅森素数为Q=24 253-1，则下列各数中与PQ最接近的数为(参考数据:lg 2≈0.3)( )A.1045B.1051C.1056D.1059解析:PQ =24423-124253-1≈2170.令2170=k，则lg 2170=lg k，所以170lg 2=lg k，又lg 2≈0.3，所以51≈lg k，即k≈1051.所以与PQ最接近的数为1051.故选B.应用探究:已知lg 3≈0.477 1，由此可以推断32 022是几位整数.( ) A.963 B.964 C.965 D.966解析:因为lg 3≈0.477 1，令32 022=t，所以lg t=2 022×lg 3，则lg t≈2 022×0.477 1=964.696 2，所以可以推断32 022是965位整数.故选C.1.log210-log25等于( B )A.0B.1C.log25D.2解析:log210-log25=log2105=log22=1.故选B.2.log483+4log482等于( A )A.1B.2C.6D.48解析:log483+4log482=log483+log4816=log48(3×16)=1.故选A.3.log912-log32等于( C )A.√3B.2√3C.12D.3解析:原式=log912-log94=log93=12.故选C.4.已知3a=5b=M，且1a +1b=2，则M= .解析:3a=5b=M，则a=log3M，b=log5M，1 a +1b=log M3+log M5=log M15=2.所以M2=15，又M>0，M=√15. 答案:√15[例1] (2021·陕西渭南月考)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(√3lg 2)2+lg16+lg 600等于( )A.10B.2C.5D.6解析:原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6+2=3lg 2lg 5+3lg 5+3(lg 2)2+2=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5+2=3lg 2+3lg 5+2=3(lg 2+lg 5)+2=3+2=5.故选C.[例2] 已知log 23=a ，3b =7，则log 2156等于( ) A.ab+3a+ab B.3a+b a+ab C.ab+3a+bD.b+3a+ab解析:log 23=a ，3b =7，即log 37=b ， 则log 2156=log 356log 321=log 3(7×23)log 3(3×7)=b+3a 1+b =ab+3a+ab.故选A.[例3] 设P=1log 211+1log 311+1log 411+1log 511，则( )A.0<P<1B.1<P<2C.2<P<3D.3<P<4 解析:P=1log 211+1log 311+1log 411+1log 511=log 112+log 113+log 114+log 115 =log 11(2×3×4×5)=log 11120.所以log 1111=1<log 11120<log 11121=2.故选B. [例4] 若2a =3，3b =4，4c =ab ，则abc 等于( ) A.12 B .1 C.2 D.4解析:根据题意，2a =3，3b =4， 则a=log 23，b=log 34，则有ab=log23×log34=lg3lg2×lg4lg3=2，则c=log4ab=log42=12，故abc=1.故选B.[例5] 已知log3a+log3b=log3(a+b)+1，则a+4b的最小值是( ) A.12 B.18 C.24 D.27解析:由log3a+log3b=log3(a+b)+1，可得log3(ab)=log3[3(a+b)]，a，b>0.可得ab=3(a+b)，所以3a +3b=1，则a+4b=(a+4b)(3a +3b)=3(1+4+ab+4ba)≥3(5+2√ab·4ba)=27，当且仅当a=2b=9时，取等号.故选D.选题明细表基础巩固1.lo g√24等于( D )A.12 B.14C.2D.4解析:lo g√24=lo g√2(√2)4=4.故选D.2.2log510+log50.25等于( C )A.0B.1C.2D.4解析:2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 525=2.故选C.3.(2021·浙江诸暨模拟)已知x ，y 为正实数，则( B ) A.lg(x 2·y)=(lg x)2+lg y B.lg(x ·√y )=lg x+12lg yC.e ln x+ln y =x+yD.e ln x ·ln y =xy解析:x ，y 为正实数，对于A ，lg(x 2·y)=lg x 2+lg y=2lg x+lg y ，故A 错误; 对于B ，lg(x ·√y )=lg x+lg √y =lg x+12lg y ，故B 正确;对于C ，e ln x+ln y =e ln x ·e ln y =xy ，故C 错误; 对于D ，xy=e ln x ·e ln y =e ln x+ln y ，故D 错误.故选B. 4.若log 34·log 8m=log 416，则m 等于( D ) A.3 B.9 C.18 D.27 解析:原式可化为log 8m=2log 34，lgm 3lg2=2lg4lg3，即lg m=6lg2×lg32lg2=lg 27，m=27.故选D.5.(2021·北京月考)log 38+log 32-4log 36= . 解析:原式=3log 32+log 32-4(log 32+log 33)=4log 32-4log 32-4=-4. 答案:-46.(2021·浙江杭州期中)若a=log 23，3b =2，则2a +2-a = ， ab= .解析:因为a=log 23，所以2a =3，2-a =13，所以2a +2-a =3+13=103，因为3b =2，所以b=log 32， 所以ab=log 23·log 32=1. 答案:103 1能力提升7.(2022·河北沧州模拟)生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K(n)=λln n 来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K(单位:天)之间的对应关系，且Q=Tλ+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=9，T=80.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为(ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)( C )A.6.9天B.11.0天C.13.8天D.22.0天 解析:因为Q=Tλ+1，Q=9，T=80，所以9=80λ+1，解得λ=10.设初始时间为K 1，初始累计繁殖数量为n ，累计繁殖数量增加3倍后的时间为K 2，则K 2-K 1=λln(4n)-λln n=λln 4=20ln 2≈13.8天.故 选C.8.(多选题)已知正实数x ，y ，z 满足4x =25y =100z ，则下列正确的选项有( BD ) A.xy=z B.1x +1y =1zC.x+y=zD.xz+yz=xy解析:设正实数x ，y ，z 满足4x =25y =100z =t ， 则x=log 4t ，y=log 25t ，z=log 100t ， 所以1x=log t 4，1y=log t 25，1z=log t 100，所以1x +1y =1z，所以yz+xz=xy.故选BD.9.已知lg a ，lg b 是方程6x 2-4x-3=0的两根，则(lg ba) 2的值为( D )A.49B.139C.149D.229解析:因为lg a ，lg b 是方程6x 2-4x-3=0的两根，所以lg a+lg b=23，lg alg b=-12，所以(lg b a) 2=(lg a+lg b)2-4lg alg b=(23) 2-4×(-12)=229.故选D.10.计算:(1)ln(2e 2)+log 37×log 781-ln 2-log 2√2-log 2√8; (2)lg 2×lg 2 500+8×(lg √5)2+2log 49+log 29×log 34. 解:(1)原式=ln2e 22+log 381-log 24=2+4-2=4.(2)原式=lg 2×lg(52×102)+8×(12lg 5) 2+2log 23+2lg3lg2×2lg2lg3=lg 2×(2lg 5+2)+2(lg 5)2+3+4 =2lg 2+2lg 2×lg 5+2(lg 5)2+7 =7+2lg 5(lg 2+lg 5)+2lg 2 =7+2lg 5+2lg 2 =7+2=9.11.已知log a 2=m ，log a 3=n. (1)求a 2m-n 的值; (2)用m ，n 表示log a 18. 解:(1)因为log a 2=m ，log a 3=n ， 所以a m =2，a n =3. 所以a 2m-n =a 2m ÷a n =22÷3=43.(2)log a 18=log a (2×32)=log a 2+log a 32=log a 2+2log a 3=m+2n.应用创新12.对于任意实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数.例如[-1.52]=-2， [2.094]=2，记{x}=x-[x]，则{log 23}+{log 210}-{log 215}等于( D ) A.-6 B.-1 C.1 D.0解析:因为1<log 23<2，3<log 210<4，3<log 215<4， 所以{log 23}=log 23-1=log 232，{log 210}=log 210-3=log 2108，{log 215}=log 215-3=log 2158，则{log 23}+{log 210}-{log 215}=log 232+log 2108-log 2158=log 2(32×108×815)=log 21=0.故选D.。

2021-2022学年新人教A 版高一数学课时同步练习题：指数与指数函数【含解析】一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． ()()3343112222--⎛⎫⎛⎫--+-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值（ ） A ．374B ．8C ．24-D ．8-【答案】C【解析】原式111682488⎛⎫=-----=- ⎪⎝⎭.故选：C. 22的结果为（ ）A ．32aB ．16aC ．56aD ．65a【答案】C【解析】75222266271362a a aa a aa-====⋅，故选：C3．若103,104x y ==，则3210x y -=( )A ．1-B ．1C ．2716D ．910【答案】C【解析】依题意，()()333322221010327101041610x xx yy y -====.故选：C.4．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a－b等于( )A ．4B ．2或－2C ．－2D ．2【答案】D【解析】设a b －a －b ＝t .∵a >1，b >0，∴a b >1，a －b <1.∴t ＝a b －a －b >0.则t 2＝(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4.∴t ＝2.5．设x ，y 是正数，且x y ＝y x ，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.91 B ．43C ．1D ．39【答案】B【解析】∵x y ＝y x ，y ＝9x ，∴x 9x ＝(9x )x ，∴(x 9)x ＝(9x )x ，∴x 9＝9x .∴x 8＝9.∴x ＝4839=.6．已知f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x ·2x ＋a －1，若f (－1)＝43，则a 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0【答案】A 【解析】∵f (－1)＝43，∴f (1)＝－f (－1)＝－43，即21＋a －1＝－43，即1＋a ＝－2，得a ＝－3. 7.（多选）下列运算结果中，一定正确的是（ ）A ．347a a a ⋅=B ．()326a a -=C a =D π=-【答案】AD【解析】34347a a a a +==，故A 正确；当1a =时，显然不成立，故B 不正确；a =，故Cπ=-，D 正确，故选AD.8.(多选下列各式中一定成立的有（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．=C ()34x y =+ D=【答案】BD【解析】777n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，A错误；133==B 正确；()1334x y=+，C1111233299⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 正确故选：BD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．当2x <3=_______________.【答案】2【解析】,na a ==，因为2x <，所以原式=22x x -+=故答案为：210．设0a >2表示成分数指数幂的形式，其结果是________.【答案】76a【解析】∵0a >1172223612123a aa a b--===.故答案为：76a.11．2=，则1a a +=______；当0a <1a -=______.【答案】2；a -.【解析】12a a +=222∴= 124a a ∴++=12a a∴+=，11a a a a a--⨯⨯==0a<1a a -=-故答案为：2；a -12化简：3216842111111111111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________. 【答案】63122-【解析】原式43216821111111111111122222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⋅+-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭321682421111111111112222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭32164481111111111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3216881111111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⨯ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3216161111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32321111222⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭641122⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭63122=-.三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.将下列根式化成分数指数幂的形式.（1）(a >0)；（2)0x >；（3）23-⎝⎭(b >0). 【答案】（1）512a ；（2）35x -；（3）19b .【解析】（1）原式＝＝1526a ⎛⎫⎪⎝⎭＝512a. （2＝91531()x ＝351x＝35x -.（3）原式＝[2134()b -]23-＝212()343b -⨯⨯-＝19b .14．若本例变为：已知a ，b 分别为x 2－12x ＋9＝0的两根，且a ＜b ，求11221122a b a b-+的值.【答案】【解析】11221122a b a b-+＝1122211112222()()()a b a b a b -+-＝12()2()a b ab a b +--.①∵a ，b 分别为x 2－12x ＋9＝0的两根， ∴a ＋b ＝12，ab ＝9，②∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝122－4×9＝108. ∵a ＜b ，∴a －b ＝－③将②③代入①，得11221122a ba b -+129＝－3. 15．已知2a ·3b ＝2c ·3d ＝6，求证：(a －1)(d －1)＝(b －1)(c －1)． 证明：∵2a ·3b ＝6，∴2a －1·3b －1＝1. ∴(2a －1·3b －1)d －1＝1，即2(a－1)(d －1)·3(b－1)(d －1)＝1.①又∵2c ·3d ＝6，∴2c －1·3d －1＝1. ∴(2c －1·3d －1)b －1＝1，即2(c －1)(b －1)·3(d－1)(b －1)＝1.②由①②知2(a－1)(d －1)＝2(c－1)(b －1)，∴(a －1)(d －1)＝(b －1)(c －1)．16.已知()442xx f x =+.（1）求()()1f a f a +-（0a >且1a ≠）的值；（2）求12320182019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）1；（2）1009.【解析】（1）()442xxf x =+，()()()1111444441424242442a a a a aa a a a a f a f a ----⨯∴+-=+=++++⨯+()444442142424424242224a a a a a a a a a =+=+=+=++⨯++++； （2）原式120182201710091010201920192019201920192019f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1009=.专题4.1.2 指数函数一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若函数()21xy a =-（x 是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是（ ） A ．0a >且1a ≠ B ．0a ≥且1a ≠ C ．12a >且1a ≠ D ．12a ≥【答案】C【解析】由于函数()21xy a =-（x 是自变量）是指数函数，则210a ->且211a -≠，解得12a >且1a ≠.故选：C. 2．已知函数1()4x f x a +=+的图象经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(－1，5)B ．(－1，4)C ．(0，4)D ．(4，0)【答案】A【解析】当10x +=，即1x =-时，011x a a +==，为常数，此时()415f x =+=，即点P 的坐标为(－1，5).故选：A.3．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0 【答案】D【解析】由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的， 所以b ＜0.故选：D.4．函数y = ） A ．()0,+∞ B ．(),0-∞ C ．[)0,+∞ D ．(],0-∞【答案】C【解析】要是函数有意义须满足1102x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即011122x ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0x ≥，因此，函数y =[)0,+∞.故选：C.5．若a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c【答案】D【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23. ∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.6．函数1()31xf x =+的值域是（ ）． A ．(,1)-∞ B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞【答案】B【解析】∵30x >∴311x +>，∴10131x<<+，∴函数值域为(0,1)．故选：B 7．（多选）设函数||()x f x a -=（0a >，且1a ≠），若(2)4f =，则（ ）A ．(2)(1)f f ->-B ．(1)(2)f f ->-C ．()1)(2f f > D.(4)(3)f f ->【答案】AD【解析】由2(2)4f a -==得12a =，即||||1()22x x f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，故(2)(1)f f ->-，(2)(1)f f >，(4)(4)(3)f f f -=>，所以AD 正确.故选：AD8．（多选）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =．关于下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过280mD ．若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ，则2132t t t =+ 【答案】AD【解析】将点()1,3的坐标代入函数t y a =的解析式，得13a =，函数的解析式为3t y =.对于A 选项，由13323n nn+-=可得浮萍每月的增长率为2，A 选项正确； 对于B 选项，浮萍第1个月增加的面积为()102332m -=，第2个月增加的面积为()212336m -=，26≠，B 选项错误；对于C 选项，第4个月时，浮萍的面积为438180=>，C 选项错误；对于D 选项，由题意可得132t =，234t =，338t =，2428=⨯，()2122333t t t ∴=⨯， 即132233t t t +=，所以，2132t t t =+，D 选项正确.故选：AD.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上最大值是最小值的2倍，则a =______. 【答案】2或12【解析】当01a <<时，函数()x f x a =为R 上的减函数，故()()122f f =，即22a a =，解得12a =. 当1a >时，函数()x f x a =为R 上的增函数，故()()221f f =，即22a a =，解得2a =. 故a 的值为2或12.故填：2或12. 10．不等式21124x x -⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为_________. 【答案】(1,2)- 【解析】22111()242x x-⎛⎫>= ⎪⎝⎭，化为220x x --<，解得12x -<<，所以不等式的解集是(1,2)-. 故答案为:(1,2)-.11．函数28212x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为_________．【答案】[)1,-+∞【解析】函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，函数228y x x =--+的对称轴是1x =-，且在(],1-∞-上递增，在[)1,-+∞上递减.根据复合函数单调性同增异减可知：函数28212x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为[)1,-+∞.故填：[)1,-+∞.12．（一题两空）函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象关于________对称，它们的交点坐标是_________.【答案】y 轴 ()0,1【解析】函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象如下：由指数函数的性质可知，函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象关于y 轴对称，它们的交点坐标是()0,1.故答案为：y 轴；()0,1.三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．已知函数21,0()21,1x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩，满足928c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求常数c 的值.（2）解关于x的不等式()18f x >+. 【答案】（1）12；（2）58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【解析】（1）由928c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得9128c c ⋅+=，解得12c =. （2）由（1）得4111,022()121,12x x x f x x -⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤<⎪⎩.由()18f x >+得，当102x <<时，11128x +>+，解得142x <<； 当112x ≤<时，42118x -+>+，解得1528x ≤<.综上，不等式()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 14．已知函数()2121x x f x -=+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明()f x 在其定义域上的单调性.【答案】（1）详见解答；（2）详见解答.【解析】（1）()f x 的定义域为实数集R ，2112()()2112x x x xf x f x -----===-++， 所以()f x 是奇函数；（2）()21212121x x x f x -==-++，设12x x <， 12121212222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-+=+++⋅+， 12121212,022,220,()()x x x x x x f x f x <<<-<<，所以()f x 在实数集R 上增函数.15．（2019·黑龙江松北�哈九中高一期末）已知函数()1124x xf x a =--． （1）若1a =时，求满足()11f x =-的实数x 的值；（2）若存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12log 3x =（2）34a > 【解析】（1）当1a =时，()1111124x x f x =--=-，令()102x t t =>，则2120t t +-=， 解得3t =或4t =-（舍），由132x =，得12log 3x =， 所以12log 3x =．（2）由已知，存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立可转化为存在[]0,1x ∈，使得1124x x a >+， 只需求出函数11()24x xh x =+的最小值即可，令12x t =，∴1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2y t t =+，易知2y t t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以 2min 113()224y =+=，∴min 3()4h x =，∴34a >． 16．设函数()(2)x x f x a k a -=-+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数. （1）求实数k 的值；（2）若3(1)2f =，22()2()x x g x a a mf x -=+-，且()g x 在[1,)+∞上的最小值为1，求实数m 的值.【答案】（1）1-；（2）1312. 【解析】（1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =，所以1(2)0k -+=，即1k =-，当1k =-时，()))((()x x x x x x f f x a a f x a a a x a ---⇒=---=-=-=-符合条件. （2）因为13(1)2f a a =-=，所以22320a a --=， 解得2a =或12a =-（舍）. 故()()()222()22222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+， 令22x x t -=-，由1x ≥，故113222t -≥-=， 所以2322,2y t mt t =-+≥ 函数222y t mt =-+图象的对称轴为t m =， ①32m ≥时，22min 221y m m =-+=，解得1m =±（舍去）；②32m<时，min93214y m=-+=，解得133122m=<.所以，1312 m=.。

课时作业(八) [第8讲 指数函数、对数函数、幂函数][时间：45分钟 分值：100分]根底热身1． 集合A ＝{(x ,y )|y ＝a } ,集合B ＝{(x ,y )|y ＝b x ＋1 ,b >0 ,b ≠1} ,假设集合A ∩B 只有一个子集 ,那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞ ,1)B ．(－∞ ,1]C ．(1 ,＋∞)D ．R2． 以下说法中 ,正确的选项是( )①任取x ∈R 都有3x >2x ；②当a >1时 ,任取x ∈R 都有a x >a －x ；③y ＝(3)－x 是增函数；④y ＝2|x |的最|小值为1；⑤在同一坐标系中 ,y ＝2x 与y ＝2－x 的图象对称于y 轴．A ．①②④B ．④⑤C ．②③④D ．①⑤3． 函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是()图K8－4． 假设函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点 ,那么m 的取值范围是( ) A ．m ≤－1 B ．－1≤m ＜0 C ．m ≥1 D ．0＜m ≤1 能力提升5． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3xx >02xx ≤0那么f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝( ) A ．4 B.14C ．－4D ．－146． 在同一直角坐标系中 ,函数y ＝g (x )的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称 ,而函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称 ,假设f (m )＝－1 ,那么m 的值为( )A ．－eB ．－1eC ．e D.1e7．f (x )是定义在(－∞ ,＋∞)上的偶函数 ,且在(－∞ ,0]上是增函数 ,设a ＝f (log 47) ,b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123 ,c ＝f () ,那么a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <a D ．a <b <c8．函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图K8－2所示 ,那么函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )图K8－39． 设0＜a ＜1 ,函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2) ,那么使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－∞ ,0) B ．(0 ,＋∞)C ．(－∞ ,log a 3)D ．(log a 3 ,＋∞) 10． 很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样．污水经过污水处理厂的 "污水处理池〞过滤一次 ,能过滤出有害物质的34.假设过滤n 次后 ,流出的水中有害物质在原来的1%以下 ,那么n 的最|小值为________(参考数据lg2≈ 0)．11． 对于任意实数a ,b ,定义运算 "*〞如下：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b ) b (a >b )那么函数f (x )＝log 12(3x－2)*log 2x 的值域为________．12．假设函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点 ,那么实数a 的取值范围是________．13．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ,当x ∈M 时 ,那么f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最|大值为________．14．(10分) 函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x.(1)求f ⎝⎛⎭⎫12 013＋f ⎝⎛⎭⎫－12 013的值；(2)当x ∈(－a ,a ] ,其中a ∈(0,1] ,a 是常数 ,函数f (x )是否存在最|小值 ?假设存在 ,求出f (x )的最|小值；假设不存在 ,请说明理由．15．(13分)设a >0 ,f (x )＝e x a ＋aex 是R 上的偶函数(其中e ≈ 28)．(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0 ,＋∞)上是增函数．难点突破16．(12分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)＝log23 ,且对任意x,y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)假设f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围．课时作业(八)【根底热身】1．B [解析] ∵y ＝b x ＋1>1 ,如果A ∩B 只有一个子集 ,那么A ∩B ＝∅ ,∴a ≤1. 2．B [解析] 利用指数函数的性质判断．3．D [解析] x >0时 ,y ＝a x ；x <0时 ,y ＝－a x .即把函数y ＝a x (0<a <1 ,x ≠0)的图象在x >0时不变 ,在x <0时 ,沿x 轴对称．4．A [解析] ∵|1－x |≥0 ,∴2|1－x |≥1.∵y ＝2|1－x |＋m ≥1＋m ,∴要使函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点 , 那么1＋m ≤0 ,即m ≤－1. 【能力提升】5．B [解析] 根据分段函数可得f 19＝log 319＝－2 ,那么ff 19＝f (－2)＝2－2＝14,所以B 正确．6．B [解析] 因为点(m ,－1)在函数y ＝f (x )的图象上 ,点(m ,－1)关于y 轴对称的点(－m ,－1)必在函数y ＝g (x )的图象上 ,点(－m ,－1)关于直线y ＝x 对称的点(－1 ,－m )必在y ＝e x 的图象上 ,所以－m ＝e －1 ,∴m ＝－1e.应选B.7．B [解析] log 123＝－log 23＝－log 49 ,b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123＝f (－log 49)＝f (log 49) ,log 47<log 49,＝⎝⎛⎭⎫15－35＝535＝5125>532＝2>log 49.又f (x )是定义在(－∞ ,＋∞)上的偶函数 ,且在(－∞ ,0]上是增函数 ,故f (x )在(0 ,＋∞)上单调递减 ,∴f ()<f ⎝⎛⎭⎫log 123<f (log 47) ,即c <b <a ,选B. 8．A [解析] 由图形可知b <－1,0<a <1 ,所以函数g (x )＝a x ＋b 在定义域上单调递减 ,且与x 轴负半轴相交 ,所以选A.9．C [解析] f (x )<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<log a 1 ,因为0<a <1 ,所以a 2x－2a x －2>1 ,即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2 ,所以a x >3或a x <－1(舍去) ,因此x <log a 3 ,应选C.10．4 [解析] 设原有的有害物质为a ,那么过滤n 次后有害物质还有⎝⎛⎭⎫14na ,令⎝⎛⎭⎫14n ＜1% ,那么n ＞1lg2,即n ≥4 ,所以n 的最|小值为4.11．(－∞ ,0] [解析] 在同一直角坐标系中画出函数y ＝log 12(3x －2)和y ＝log 2x 的图象 ,由图象可得f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (0<x ≤1)log 12(3x －2)(x >1) 值域为(－∞ ,0]．12．a >1 [解析] 设函数y ＝a x (a >0 ,且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ,那么函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点 ,就是函数y ＝a x (a >0 ,且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点．由图象可知 ,当0<a <1时 ,两函数只有一个交点 ,不符合；当a >1时 ,因为函数y ＝a x (a >1)的图象过点(0,1) ,而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方 ,所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a >1.13.2512[解析] 由3－4x ＋x 2＞0 ,得x ＞3或x ＜1 , ∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}．f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1 ,∴2x ＞8或0＜2x ＜2 ,∴当2x ＝16 ,即x ＝log 216时 ,f (x )最|大 ,最|大值为2512.14．[解析] (1)由1－x1＋x>0 ,得(x ＋1)(x －1)<0 ,解得－1<x <1.∴函数f (x )的定义域为(－1,1)．又∵f (－x )＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－f (x )．∴函数f (x )为奇函数 ,即f (－x )＋f (x )＝0 ,∴f ⎝⎛⎭⎫12 013＋f ⎝⎛⎭⎫－12 013＝0.(2)存在最|小值 ,任取x 1、x 2∈(－1,1)且设x 1<x 2 ,那么f (x 2)－f (x 1)＝(x 1－x 2)＋log 21－x 21＋x 2－log 21－x 11＋x 1,易知f (x 2)－f (x 1)<0 ,∴函数f (x )为(－1,1)上的减函数 , 又x ∈(－a ,a ]且a ∈(0,1] ,∴f (x )min ＝f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a.15．[解答] (1)依题意 ,对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x ) ,即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ,所以⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立． 由此得到a －1a＝0 ,即a 2＝1.又因为a >0 ,所以a ＝1. (2)证明：设0<x 1<x 2 ,f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎫1e x 1＋x 2－1＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 2＋x 1e x 2＋x 1由x 1>0 ,x 2>0 ,x 2－x 1>0 ,得x 1＋x 2>0 ,e x 2－x 1－1>0,1－e x 2＋x 1<0 ,∴f (x 1)－f (x 2)<0 ,即f (x )在(0 ,＋∞)上是增函数． 【难点突破】16．[解答] (1)证明：由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ) , 令x ＝y ＝0 ,得f (0)＝0.令y ＝－x ,得f (0)＝f (x )＋f (－x ) , 又f (0)＝0 ,那么有f (x )＋f (－x )＝0 , 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立 , 所以f (x )是奇函数．(2)f (3)＝log 23>0 ,即f (3)>f (0) ,又f (x )是R 上的单调函数 ,所以f (x )在R 上是增函数．又由(1)知f (x )是奇函数． f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0⇔f (k ·3x )<f (9x －3x ＋2)⇔k ·3x <9x －3x ＋2 ,即(3x )2－(1＋k )3x ＋2>0对任意x ∈R 恒成立．令t ＝3x >0 ,问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立．令g (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2 ,其对称轴为t ＝1＋k2,当t ＝1＋k 2≤0 ,即k ≤－1时 ,g (0)＝2>0 ,符合题意；当t ＝1＋k 2>0 ,即k >－1时 ,那么需满足g ⎝⎛⎭⎫1＋k 2>0 ,解得－1<k <－1＋2 2. 综上所述 ,当k <－1＋22时 ,f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 此题还有更简捷的解法：别离系数由k <3x ＋23x －1 ,令u ＝3x ＋23x －1 ,u 的最|小值为22－1 ,那么要使对任意x ∈R 不等式k <3x ＋23x －1恒成立 ,只要使k <22－1.。

2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)1、指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；(2)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.[解] (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先留意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要留意分子、分母因式分解以到达约分的目的.对数运算首先留意公式应用过程中范围的改变，前后要等价，娴熟地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.7n1．设3x＝4y＝36，则＋的值为( )A．6B．3C．2D．1D [由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝lo2、g436，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]指数函数、对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如下图，则以下函数正确的选项是( )A B C D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.①如图，画出函数f(x)的图象；②依据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x0时，y0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调3、递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，7n 与图象相符．应选B.](2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的改变趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特别点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.2．函数y＝1＋log(x－1)的图象肯定经过点( )A．(1,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(2,0)C [把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可4、得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小【例3】若0xy1，则( )A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4y7nD.xyC [因为0xy1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x3y，A错误．对于B，依据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，C正确．对于D，函数y＝x在R上单调递减，故xy，5、D错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要依据参数的取值进行分类商量．3．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )A．abcB．bacC．acbD．cbaC [∵a＝log2πlog22＝1，b ＝logπlog1＝0，c＝π－2＝，即0c1，∴acb，应选C.]指数函数、对数函数的性质【例4】(6、1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数7nD．偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a0，a≠1且loga3loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．](2)[7、解] ①因为loga3loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝2＋∈，所以所求函数的值域为.1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，推断其奇偶性．[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，又f(－x)＝ln(－x ＋)，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．28、．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，t∈[3,27]，∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.7n1．讨论函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要留意换元后u的取值范围．函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解] (1)最初的质量为9、500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w ＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，所以t＝≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x 为时间)的形式.4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减，问至少应过滤几次才能使产品到达市场要求？(已知：10、lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)7n[解] 设过滤n次能使产品到达市场要求，依题意，得×n≤，即n≤.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能到达市场要求．7。

课时作业(七) [第7讲 指数与对数运算][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1． 化简：(log 23)2－4log 23＋4＋log 213，得( ) A ．2 B ．2－2log 23 C ．－2 D ．2log 23－22．下列命题中，正确命题的个数为( )①n a n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③3x 4＋y 3＝x 43＋y ； ④3－5＝6(－5)2.A ．0B ．1C ．2D ．33．下列等式能够成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫n m 7＝m 17n 7 B.12(－2)4＝3－2 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝33 4． 下列四个数中最大的是( )A ．lg2B ．lg 2C ．(lg2)2D ．lg(lg2)能力提升5．在对数式b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <46． 设a ＞1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n ＞m ＞pB ．m ＞p ＞nC ．m ＞n ＞pD ．p ＞m ＞n7．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a8． 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10C ．20D ．1009． 作为对数运算法则：lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，对于所有使lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)成立的a ，b 应满足函数a ＝f (b )的表达式为________．10． 已知0<x <π2，则lg ⎝⎛⎭⎫cos x tan x ＋1－2sin 2x 2＋lg ⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－lg(1＋sin2x )＝________.11．定义a b ＝a 12＋b －13，a *b ＝lg a 2－lg b 12，若M ＝948125，N ＝2*125，则M ＋N ＝________.12．(13分)计算： (1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(2)lg5·lg8000＋(lg23)2lg600－12lg0.036－12lg0.1.难点突破13．(12分)设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证：1x ＋12y ＝1z； (2)比较3x,4y,6z 的大小．课时作业(七)【基础热身】1．B [解析](log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝|log 23－2|＝2－log 23，而log 213＝－log 23，则两者相加即为B.2．B [解析] 只有②正确．注意运算的限制条件． 3．D [解析] ⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7·m －7，12()－24＝32，4x 3＋y 3＝()x 3＋y 314≠(x ＋y )34. 4．A [解析] 由对数函数的增减性可知lg 2<lg2<1，∴(lg2)2<lg2，lg(lg2)<lg1＝0，lg2>lg1＝0，∴lg2最大．【能力提升】5．C [解析] 要使对数式有意义，只要a －2≠1且a －2>0且5－a >0，解得2<a <3或3<a <5.6．B [解析] ∵a >1，a 2＋1>2a ，∴m >p ；∵2a >a －1，∴p >n .故选B.7．C [解析] 由x ∈(e －1,1)，得－1<ln x <0，所以a －b ＝－ln x >0⇒a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2x )<0，a <c ，因此有b <a <c .8．A [解析] 在2a ＝m 的两边取以m 为底的对数，得a log m 2＝1，∴1a＝log m 2，同理，有1b＝log m 5，∴log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，∴m ＝10. 9．a ＝b b －1(b >1) [解析] ∵lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，∴lg(a ＋b )＝lg(ab )，∴a ＋b ＝ab ，∴a ＝b b －1.又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0，b b －1>0，解得b >1，∴a ＝b b －1(b >1)． 10．0 [解析] ∵cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2＝cos x ·sin x cos x＋cos ⎝⎛⎭⎫2×x 2＝sin x ＋cos x ， 2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2·⎝⎛⎭⎫22cos x ＋22sin x ＝sin x ＋cos x ，1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2， ∴原式＝lg (sin x ＋cos x )(sin x ＋cos x )(sin x ＋cos x )2＝lg1＝0. 11．5 [解析] 由题意，M ＝⎝⎛⎭⎫9412＋⎝⎛⎭⎫8125－13＝32＋52＝4， N ＝lg[(2)2]－lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12512＝lg2＋lg5＝1，所以M ＋N ＝4＋1＝5.12．[解答] (1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3，分母＝(lg6＋2)－lg 361 000×110＝lg6＋2－lg 6100＝4， 所以原式＝34. 【难点突破】13．[解答] 设3x ＝4y ＝6z ＝k ，∵x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴k >1，取对数得x ＝lg k lg3，y ＝lg k lg4，z ＝lg k lg6. (1)证明：1x ＋12y ＝lg3lg k ＋lg42lg k ＝2lg3＋lg42lg k ＝2lg3＋2lg22lg k ＝lg6lg k ＝1z. (2)3x －4y ＝lg k ⎝⎛⎭⎫3lg3－4lg4＝lg k ·lg64－lg81lg3·lg4＝lg k ·lg 6481lg3·lg4<0，∴3x <4y . 又∵4y －6z ＝lg k ⎝⎛⎭⎫4lg4－6lg6＝lg k ·lg36－lg64lg2·lg6＝lg k ·lg 916lg2·lg6<0， ∴4y <6z .∴3x <4y <6z .。

人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。