八年级数学锐角三角函数课堂检测题.doc

《锐角三角函数》测试卷考试时间：90分钟；题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A． B． C． D．2．（3分）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定3．（3分）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°4．（3分）如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（）A． B． C． D．5．（3分）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（）A． B．1 C． D．6．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（）A．120° B．135° C．145° D．150°7．（3分）计算：tan45°+sin30°= （）A．2 B． C． D．8．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN 交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm9．（3分）如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B． C．5 D．10．（3分）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是．12．（3分）若α为锐角，且，则m的取值范围是．13．（3分）已知α为一锐角，且cosα=sin60°，则α=度．14．（3分）已知∠A+∠B=90°，若，则cosB=．15．（3分）比较大小：sin44°cos44°（填＞、＜或=）．16．（3分）已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范是．17．（3分）将sin20°、cos20°、cos40°、cos80°的值由小到大的顺序排列．18．（3分）计算：tan44°•tan45°•tan46°=．评卷人得分三．解答题（共10小题，满分66分）19．（10分）（1）计算：sin45°．(2)计算（3﹣π）0+﹣2cos60°．20．（8分）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）20．（8分）放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．21．（8分）目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）22．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）23．（8分）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．24．（8分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）25．（8分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．26．（8分）△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？2017年11月30日老九的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A． B． C． D．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC==12，∴sinA==，故选：B．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c 的比叫做∠A的正弦是解题的关键．2．（3分）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变和余切的概念解答．【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键．3．（3分）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【专题】12 ：应用题．【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°=0，cos45°=，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°=0，tan60°=，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选B．【点评】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．4．（3分）如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（）A．B．C．D．【考点】T3：同角三角函数的关系．【专题】11 ：计算题．【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．【解答】解：∵α为锐角，，∴cos（90°﹣α）=sinα=．故选B．【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础．5．（3分）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（）A． B．1 C．D．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互为余角两角的关系，可得sinB，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由△ABC中，∠C=90°，cosA=，得sinB=．由B是锐角，得∠B=30°，tanB=tan30°=，故选：C．【点评】本题考查了互为余角三角函数的关系，一个角的余弦等于它的余角的正弦．6．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°【考点】T5：特殊角的三角函数值；JA：平行线的性质．【分析】首先根据特殊角的三角函数值即可求得∠1的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余，以及平行线的性质即可求解．【解答】解：∵sin∠1=，∴∠1=45°，∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，∴∠4=180°﹣∠3=135°，又∵AB∥CD，∴∠2=∠4=135°．故选B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，以及直角三角形的性质、平行线的性质，正确理解平行线的性质是关键．7．（3分）计算：tan45°+sin30°=（）A．2 B．C．D．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】将tan45°=1，sin30°=，分别代入，然后合并即可得出答案．【解答】解：∵tan45°=1，sin30°=，∴tan45°+sin30°=1+=．故选C．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握tan45°=1，sin30°=，难度一般，注意记忆一些特殊角的三角函数值．8．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN 交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【考点】T7：解直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC==，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC==，∴=，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．故选A．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．9．（3分）如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5 D．【考点】T7：解直角三角形．【专题】16 ：压轴题．【分析】作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形．根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长．【解答】解：作CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD中，，∴BD==2．∴AB=AD+BD=5．故选C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．10．（3分）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（）A．B．C．D．【考点】T7：解直角三角形．【专题】16 ：压轴题．【分析】过E点作CD的平行线交AD于F，设AE=2a，则CE=3a．tan∠C=，EF和DF分别可用a的代数式来表达，即可得出tan∠ADE的值．【解答】解：过E点作CD的平行线交AD于F．如图：∵AD是等腰△ABC底边上的高，tan∠B=，∴EF⊥AD，tan∠C=．设AE=2a，∵AE：CE=2：3，∴CE=3a，AC=5a．∵tan∠C=，∴sin∠C=，cos∠C=．在直角△ADC中，AD=ACsin∠C=5a×=3a．在直角△AFE中，AF=AE×sin∠AEF=AE×sin∠C=2a×=．EF=AE×cos∠AEF=AE×cos∠C=2a×=．在直角△DFE中，tan∠ADE=．故选B．【点评】考查等腰三角形的性质和三角函数的性质．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是20°＜∠A＜30°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】利用特殊角的三角函数值以及互余两角的锐角三角函数关系得出∠A的取值范围．【解答】解：∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．故答案为：20°＜∠A＜30°．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数值，得出sin70°=cos20°是解题关键．12．（3分）若α为锐角，且，则m的取值范围是．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】根据余弦值的取值范围，列不等式求解．【解答】解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．明确锐角三角函数的取值范围：正余弦的锐角三角函数值都是大于0而小于1，正余切的锐角三角函数值都是大于0．13．（3分）已知α为一锐角，且cosα=sin60°，则α=30度．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【专题】11 ：计算题．【分析】根据∠A，∠B均为锐角，若sinA=cosB，那么∠A+∠B=90°即可得到结论．【解答】解：∵sin60°=cos（90°﹣60°），∴cosα=cos（90°﹣60°）=cos30°，即锐角α=30°．故答案为：30．【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，牢记互余两角的三角函数关系是解答此类题目的关键．14．（3分）已知∠A+∠B=90°，若，则cosB=．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互为余角的三角函数的关系：一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．【解答】解：由∠A+∠B=90°，若，得cosB=，故答案为：．【点评】本题考查了互为余角三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦．15．（3分）比较大小：sin44°＜cos44°（填＞、＜或=）．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】首先根据互余两角的三角函数的关系，得cos44°=sin46°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．【解答】解：∵cos44°=sin46°，正弦值随着角的增大而增大，又∵44°＜46°，∴sin44°＜cos44°．故答案为＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．同时考查了互余两角的三角函数的关系．16．（3分）已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范是0°＜∠A＜45°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角三角函数值的变化规律正弦值随着角的增大而增大可以求出∠A的取值范围．【解答】解：∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵sinA＜，∴0°＜∠A＜45°．【点评】考查了锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．17．（3分）将sin20°、cos20°、cos40°、cos80°的值由小到大的顺序排列cos80°＜sin20°＜cos40°＜cos20°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】把正弦转化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，余弦值是随着角的增大而减小这一规律进行排列．【解答】解：∵sin20°=cos70°，余弦值随着角的增大而减小，∴cos80°＜sin20°＜cos40°＜cos20°．【点评】本题主要考查锐角三角形的增减性，在一个单调区间里，正弦函数和正切函数随角度增大而增大，余弦和余切反之．18．（3分）计算：cot44°•cot45°•cot46°=1．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值就可以求解．【解答】解：cot44°•cot45°•cot46°=cot44°•cot46°•cot45°=1•cot45°=1．【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值．三．解答题（共10小题，满分80分，每小题8分）19．（8分）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD﹣CD即可列方程，从而求得AD的长，与170海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险．【解答】解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险理由如下：如图所示．则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．∴∠CAB=∠ABD，∴BC=AC=200海里．在Rt△ACD中，设CD=x海里，则AC=2x，AD===x，在Rt△ABD中，AB=2AD=2x，BD===3x，又∵BD=BC+CD，∴3x=200+x，∴x=100．∴AD=x=100≈173.2，∵173.2海里＞170海里，∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．【点评】本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．20．（8分）放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】作DH⊥BC于H，设DH=x米，根据三角函数表示出AH于BH的长，根据AH﹣BH=AB得到一个关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得AD﹣BD的长，即可解题．【解答】解：作DH⊥BC于H，设DH=x米．∵∠ACD=90°，∴在直角△ADH中，∠DAH=30°，AD=2DH=2x，AH=DH÷tan30°=x，在直角△BDH中，∠DBH=45°，BH=DH=x，BD=x，∵AH﹣BH=AB=10米，∴x﹣x=10，∴x=5（+1），∴小明此时所收回的风筝的长度为：AD﹣BD=2x﹣x=（2﹣）×5（+1）≈（2﹣1.414）×5×（1.732+1）≈8米．答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米．【点评】本题考查了直角三角形的运用，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得DH的长是解题的关键．21．（8分）目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．【解答】解：此车没有超速．理由如下：过C作CH⊥MN，垂足为H，∵∠CBN=60°，BC=200米，∴CH=BC•sin60°=200×=100（米），BH=BC•cos60°=100（米），∵∠CAN=45°，∴AH=CH=100米，∴AB=100﹣100≈73（m），∴车速为m/s．∵60千米/小时=m/s，又∵14.6＜，∴此车没有超速．【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB 的长是解题关键．22．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据sin30°=，求出CM的长，根据sin60°=，求出BF的长，得出CE的长，即可得出CE的长．【解答】解：由题意得：CD⊥AE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA．∵灯罩BC长为32cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°==，∴CM=16cm，在直角三角形ABF中，sin60°=，∴=，解得：BF=21，又∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=16+21+2≈54.4cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是54.4cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知求出CM，BF的长是解决问题的关键．23．（8分）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】12 ：应用题．【分析】设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．【解答】解：设EC=x，在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则BE==x，在Rt△ACE中，tan∠EAC=，则AE==x，∵AB+BE=AE，∴300+x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．答：这座山的高度是1900米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE及AE的表达式，属于基础题，要能将实际问题转化为数学计算．24．（8分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】在Rt△ABD中，求出BD，在Rt△ACD中，求出CD，二者相加即为楼高BC．【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=20．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴CD=AD=20．∴BC=BD+CD=20+20（m）．答：这栋楼高为（20+20）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，将原三角形转化为两个直角三角形是解题的关键．25．（8分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】121：几何图形问题．【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．【解答】解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，在Rt△ABE中，=，∴AE=50米．在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米，∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米）．故坝底AD的长度约为90.6米．【点评】本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．26．（8分）△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？【考点】T7：解直角三角形．【分析】首先过点C作CD⊥AB于D点，由在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，即可求得CD与AD的长，又由在Rt△CDB中，∠B=45°，即可求得BD的长，继而求得答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于D点，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，∴CD=AC=×4=2，∴AD===2，在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，∴CD=DB=2，∴AB=AD+DB=2+2．【点评】此题考查了解直角三角形的应用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．27．（8分）计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．【考点】T5：特殊角的三角函数值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1+3﹣=3．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．28．（8分）计算：sin45°．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=﹣×+×=﹣+1=0．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．。

锐角三角函数练习题(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1．已知cos α＜，锐角α的取值范围是（）A ．60°＜a ＜90B ．0°＜a ＜60°C ．30°＜a ＜90°D0°＜a ＜30°2．2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ）A 、 3 33.B C D ．0 3．等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ） A 、12 32B C D ．l4．在Rt △ABC 中，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=90°，则a 3 cosA+b 3 cosB 等于（ ） A ．abc B ．（a+b ）c 3 C ．c 3 D ().abc a b c+ 5．点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M ′的坐标是（ ）1111.(3,); 3,); .(3,) .(3,)2222A B C D ----6．在△ABC 中，∠C ＝90 °，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c2－4ac+4a 2= 0，则sinA+cosA 的值为（ ） 131223. 2 B C D +++7．在△ABC 中，∠A 为锐角，已知 cos(90°－A ）3sin(90°－B ）3，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形8．sin35°·cos55°十cos35°·sin55°＝_______ 9. 已知0°＜a ＜4512sin cos =__αα-10.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，斜边上的高是 3 ，则a=____, b=______，c ＝______． 11 .在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),则cos ∠OAB 等于__________12.计算|2|4sin 6012--+1||245(20041)2O O -+- ×(－12 )-3+(4)tan 60πO O -+1301()16(2)(2004)36033π-O +÷-+- )()013222sin 60-︒+-（结果保留根号．．．．．．）2(tan301)____-=1360|2|2-+-+ sin 30(1tan 60)tan 45sin 60---13 已知：如图 l －1－2，在△ABC 中，BC ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝45°， 求BC 边上的高AD.14如图1－l －3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，点D 在AC 上，∠BDC=60°，AD=l ，求BD 、DC 的长．15 如图1－1－4所示，四边形ABCD 中，BC=CD=BD ，∠ADB=90°，cos ∠ABD=45 ，求S ΔABD ：S ΔBCD16 如图1－l －6，在四边形ABCD 中．∠B ＝∠D ＝90°，∠A=60°，AB=4，AD=5，求 BCCD 的值。

锐角三角函数自主检测(满分：120分 时间：90分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．计算6tan45°－2cos60°的结果是( ) A ．4 3 B ．4 C ．5 D ．5 3 2．如图28-1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32D．tan B ＝ 33．测得某坡面垂直高度为2 m ，水平宽度为4 m ，则坡度为()A ．1∶52B ．1∶ 5C ．2∶1D ．1∶2图28-1 图28-24．如图28-2，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，则拉线AC 的长为( )A.6sin52°米B.6tan52°米 C ．6cos52°米 D.6cos52°米 5．在△ABC 中，(tan A －3)2＋⎪⎪⎪⎪22－cos B ＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．如图28-3，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB的值是( )A.23B.32C.2 1313D.3 1313图28-3 图28-47．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝513，则cos A 的值为( )A.512B.813C.23D.12138．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a tan A ＝bD ．c tan B ＝b 9．如图28-4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若AC ＝2 3，AB ＝4 2，则tan ∠BCD 的值为( )A. 2B.153C.155D.3310．如图28-5，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB )为1.6 m ，则这棵树的高度为( )(结果精确到0.1m ，3≈1.73)．图28-5A ．3.5 mB ．3.6 mC ．4.3 mD ．5.1 m 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，则cos B ＝________. 12．计算：12＋2sin60°＝________. 13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝5 2，b ＝5 6，则∠A ＝________.14．如图28-6，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cos B ＝45，则AC ＝________.图28-6 图28-715．如图28-7，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，则从C 岛看A ，B两岛的视角∠ACB ＝________.16．若方程x 2－4x ＋3＝0的两根分别是Rt △ABC 的两条边，若△ABC 最小的角为A ，那么tan A ＝______.三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)17．计算：4＋⎝⎛⎭⎫12－1－2cos60°＋(2－π)0.18．如图28-8，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE ＝125，求河堤的高BE .图28-819．如图28-9，在△ABC 中，AD ⊥BC ，tan B ＝cos ∠CAD .求证：AC ＝BD .图28-9四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)20．如图28-10，在鱼塘两侧有两棵树A ，B ，小华要测量此两树之间的距离，他在距A 树30 m 的C处测得∠ACB ＝30°，又在B 处测得∠ABC ＝120°.求A ，B 两树之间的距离(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．图28-1021．如图28-11，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B 离地面高度AB 为1.5米，风筝飞到C 处时的线长BC 为30米，这时测得∠CBD ＝60°，求此时风筝离地面的高度(结果精确到0.1米；参考数据：3≈1.73)．图28-1122．图28-12是一座堤坝的横断面，求BC 的长(精确到0.1 m ；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．图28-12五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)23．地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援，如图28-13，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当汽车在A 处时，车载GPS(全球卫星定位系统)显示村庄C 在北偏西26°方向，汽车以35 km/h 的速度前行2 h 到达B 处，GPS 显示村庄C 在北偏西52°方向．(1)求B 处到村庄C 的距离；(2)求村庄C 到该公路的距离(结果精确到0.1 km ；参考数据：sin26°≈0.438 4，cos26°≈0.898 8，sin52°≈0.788 0，cos52°≈0.615 7)．图28-1324．如图28-14，已知一个等腰三角形ABC 的底边长为10，面积为25.求：(1)△ABC 的三个内角； (2)△ABC 的周长．图28-1425．如图28-15，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠C ＝30°.折叠纸片使BC 经过点D .点C 落在点E 处，BF 是折痕，且BF ＝CF ＝8.(1)求∠BDF 的度数； (2)求AB 的长．图28-15第二十八章自主检测答案1．C 2.D 3.D 4.D 5.D 6.B 7.D 8.A9．B 解析：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝(4 2)2－(2 3)2＝2 5，又因为∠BCD ＝∠A ，所以tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝2 52 3＝153.10．D11.32 12.3 3 13.30° 14.5 15.90° 16.2417．解：原式＝2＋2－1＋1＝4.18．解：在Rt △ABE 中，tan ∠BAE ＝BE AE ＝125，设BE ＝12x ，AE ＝5x ，由勾股定理，得132＝(12x )2＋(5x )2，解得x ＝1，则BE ＝12米．19．证明：在Rt △ABD 中，tan B ＝ADBD ，在Rt △ACD 中，cos ∠CAD ＝ADAC ，∵tan B ＝cos ∠CAD ，∴AD BD ＝ADAC.∴AC ＝BD .20．解：作BD ⊥AC ，垂足为点D . ∵∠C ＝30°，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝30°. ∵∠A ＝∠C .∴AB ＝AC .∴AD ＝CD ＝12AC ＝15.在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos30°＝1532＝10 3≈17.3.答：A ，B 两树之间的距离为17.3 m.21．解：∵BC ＝30，∠CBD ＝60°，sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝30×32＝15 3≈26.0.∴CE ＝CD ＋DE ＝CD ＋AB ＝26.0＋1.5＝27.5. 答：此时风筝离地面的高度约为27.5米．22．解：如图D102，过点A ，D 分别作BC 的垂线AE ，DF ，分别交BC 于点E ，F ，则EF ＝AD ＝6.∵∠ABE ＝45°，∠DCF ＝30°， ∴DF ＝7＝AE ＝BE ， 且FC ＝CD ·cos ∠DCF ＝7 3≈7×1.732≈12.1(m)． ∴BC ＝7＋6＋12.1＝25.1(m)．图D102 图D10323．解：过点C 作CD ⊥AB 交AN 于点D ，如图D103.(1)∵∠CBD ＝52°，∠A ＝26°， ∴∠BCA ＝26°.∴BC ＝AB ＝35×2＝70 (km)． 即B 处到村庄C 的距离为70 km. (2)在Rt △CBD 中， CD ＝BC ·sin52°≈70×0.788 0≈55.2(km)． 即村庄C 到该公路的距离约为55.2 km.24．解：过点A 作底边上的高，交BC 于点D ，∴AD 垂直平分BC ，即BD ＝CD ＝12BC ＝5.(1)∵等腰三角形ABC 的底边长为10，面积为25，∴AD ＝25×210＝5.∴tan B ＝ADBD＝1，即∠B ＝45°.∴∠C ＝∠B ＝45°，∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝90°. (2)∵△ABD 为直角三角形，AD ＝BD ＝5， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝52＋52＝5 2. ∴AC ＝AB ＝5 2.故△ABC 的周长为5 2＋5 2＋10＝10 2＋10. 25．解：(1)∵BF ＝CF ，∠C ＝30°，∴∠FBC ＝30°. 又由折叠性质知：∠DBF ＝∠FBC ＝30°. ∴∠BDF ＝∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝180°－2×30°－30°＝90°.(2)在Rt △BDF 中，∵∠DBF ＝30°，BF ＝8，∴BD ＝4 3. ∵AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠ABC ＝90°. 又∵∠FBC ＝∠DBF ＝30°，∴∠ABD ＝30°. 在Rt △BDA 中，∵∠ABD ＝30°，BD ＝4 3，∴AB ＝6.。

【本文由书林工作坊整理发布，如有疑问可关注私信。

谢谢！】江西省赣州三中2014-2015人教版九年级数学下28锐角三角函数单元测试卷考试时间：100分钟满分：120分一、单选题（每题3分，共8题,共24分）1. 在中，，AB=15，sinA=，则BC等于（）A．45B．5C．D．2. 某人沿坡度i ＝1：的坡面向上走50米，则此人离地面的高度为( )A．25米B．50米C．25米D．50米3. 小明沿着与地面成30º的坡面向下走了2米，那么他下降（）A．1米B．米C．2米D．米4. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（）A．B．C．D．5. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于( )A．6B．C．10D．126. 计算5sin30°+2cos245°-tan260°的值是( )A．B．C．-D．17. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（）A．B．C．D．8. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度约是A．米B．米C．米D．米二、填空题（每题3分，共6题,共18分）9. 如图，在△中，，则的长为 .10. 已知在△ABC中，∠C=，cosA=，AB=6，那么AC= .11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，则sinA="______," tanA=" _______," cosA=_______12. 上午九时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，则B处船与小岛M的距离是海?13. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于．14. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE=8cm，，则菱形ABCD的面积是__________．三、计算题（每题6分，共4题,共24分）15. 计算：．16. 计算：．17. 计算：18. 计算：四、解答题19. （14分）（1）计算：（2）求不等式组的整数解．20.（8分）已知：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AC= 6．求BC的长.(结果保留根号)21.（9分）如图，在中，AD是BC边上的高，。

锐角三角函数单元检测时间：100分钟班级： 姓名： 分数：一、单选题1．已知△ABC 中， ∠C =90°，tan A =12，D 是 AC 上一点， ∠CBD =∠A ， 则 cos∠CDB 的值为（ ）A ．12B C D ．22．如图，正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，且3CD DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE △．延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．下列结论：∠ABG AFG △△≌；∠45GAE ∠=︒；∠BG GC =；∠AG CF ∥；∠GCF 是等边三角形，其中正确结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，将边长6cm 的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（ ）A ．（3cm B ．（3﹣cm C ．（6cm D ．（6﹣cm4．三角函数sin40cos16tan50︒︒︒、、之间的大小关系是（ ） A ．tan50cos16sin40︒>︒>︒ B ．cos16sin40tan50︒>︒>︒ C ．cos16tan50sin40︒>︒>︒D ．tan50sin40cos16︒>︒>︒5．如图，在网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 都在格点上，则sin A 的值为（ ）A B ．35C ．45D 6．如图，已知窗户高AB m =米，窗户外面上方0.2米的点C 处安装水平遮阳板CD n =米，当太阳光线与水平线成α角时，光线刚好不能直接射入室内，则m n ，的关系式是（ ）A ．n =m tan α-0.2B ．n =m tan α+0.2C ．m =n tan α-0.2D ．m =n tan α+0.27．如图，已知楼高AB 为50m ，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD 为50m ，塔高DC ，下列结论中，正确的是（ ）A ．由楼顶望塔顶仰角为60°B ．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°8．先化简，再求代数式的值：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭＝（ ），其中tan602sin30a =︒-︒．ABCD 9．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（ ）（精确到1m ．参考数据：sin 220.37︒≈，tan220.40︒≈，sin580.85︒≈，tan58 1.60︒≈）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m10．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1AB 的高度为( )（精确到0.1）A ．30.4B ．36.4C ．39.4D ．45.411．如图所示一座楼梯的示意图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA =6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）A ．24sin θ米2 B ．24cos θ米2 C ．2424tan θ⎛⎫+⎪⎝⎭米2D ．()2424tan θ+米212．如图，在长方形ABCD 中，5AB =，3AD =，点E 在AB 上，点F 在BC 上．若2AE =，1CF =，则()sin 12∠+∠=（ ）A ．12B C D 13．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在小正方形的顶点上，则∠AOB 的正弦值是（ ）A B C ．13D ．1214．式子2cos30tan 45︒-︒ ）A ．0B ．C ．2D ．2-15．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（ ）A ．12B C ．35D 16．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，B ，则cos BOD ∠的值等于（ ）A ．14B ．13C D 17．如图，在44⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC 的顶点均是格点，则cos BAC ∠的值是（ ）A B C D ．4518．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（ ）A ．B ．3CD ．219．在直角三角形ABC 中，90,4,C AB BC =∠=︒=3tan 2A的值是（ ）AB ．C ．D ．320．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，若4CF =，3tan 4EFC ∠=，则折痕AE =（ ）A ．B ．C ．8D ．1021．已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC ，点A 的坐标为（10，0），对角线OB 、AC 相交于点D ，双曲线y=kx（x ＞0）经过点D ，交BC 的延长线于点E ，且OB •AC =160，有下列四个结论：∠双曲线的解析式为y =40x （x ＞0）；∠点E 的坐标是（4，8）；∠sin∠COA =45；∠AC +OB 其中正确的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．如图，在矩形纸片ABCD 中，5AB =，3BC =，将BCD △沿BD 折叠到BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ADF ∠的值为（ ）A ．817B ．715C ．1517D ．81523．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A 到刮断点P 的距离是4米，折断部分PB 与地面成40︒的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）A ．44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．()44sin 40+︒米D ．()44tan 40+︒米24．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（ ）A ．2B ．32C ．12D 25．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos∠APC 的值为（ ）A B C ．25D 26．如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分EAD ∠交CD 于点F ， FG AD ∥ 交AE 于点G ，若1cos 4B =，则FG 的长是（ ）A ．3B ．83C D ．52第II 卷（非选择题）二、解答题27．如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB ，且90BHE ∠=︒，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断()A C D --倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面().AB AC CD =+已知山坡的坡角30AEF ∠=︒，量得树干倾斜角45BAC ∠=︒，大树被折断部分CD 和坡面所成的角60ADC ∠=︒，4AD =米．(1)求CAD ∠的度数；(2)求这棵大树折断前AB 的高度.(结果保留根号)28．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB 进行实地测量．如图所示，他在地面上点C 处测得隧道一端点A 在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D ，此时测得点A 在他的东北方向上，端点B 在他的北偏西60︒方向上，（点A 、B 、C 、D 在同一平面内）(1)求点D 与点A 的距离；(2)求隧道AB 的长度．（结果保留根号） 29．（1）已知：对于锐角α满足sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+，求tan15°的值；（2）如图，△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，延长CA 到D ，使AD =AB ，连接BD ，请利用这个图形求tan15°的值．30．某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图∠是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图∠是其示意图，其中AB 、CD 都与地面l 平行，车轮半径为32cm ，∠BCD ＝64°，BC ＝60cm ，坐垫E 与点B 的距离BE 为15cm ．(1)求坐垫E 到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E 到CD 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm ，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置E '，求E E '的长．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 31．计算：1202203(1)|2cos308|(3)π--︒--- 32．在遵义市科技馆楼前，在A 点观测楼顶K 的仰角为30°，然后将观测点沿石梯向楼的水平方向移动了28m ，上升4m ，到达最上一层平台，用高为1.4m 的测角仪，在C 点观测楼顶K 的仰角为45°．(1)求：A ，C 间的距离；（结果保留根号）(2)求：科技馆的楼高KF 的值．1.7）33．计算：212)4cos30|32-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭．34．如图，是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图；为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB ，BC ，CA 跑步（小路的宽度不计），观测得点B 在点A 的南偏东30°方向上，点C 在点A 的南偏东60°的方向上，点B 在点C 的北偏西75°方向上，AC 间距离为400米．小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（结果精确到1 1.4≈ 1.7≈）35．图1是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点B ，C ，D 处可转动，支撑架AB ＝BC ＝CD ＝28cm ，面板DE ＝28cm ，若DE 始终与AB 平行．(1)直接写出∠ABC ，∠BCD ，∠CDE 之间的数量关系；(2)若ABC BCD CDE ∠=∠=∠，电脑显示屏宽EF ＝26cm ．且105DEF ∠=︒，求笔记本电脑显示屏的端点F 到AB 的距离．（结果精确到0.1cm ．参考数据sin750.97︒≈，cos750.26︒≈ 1.73≈）36．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB ＝50cm ，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒∠A ，∠A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ．设AF ∥MN ．(1)求∠A 的半径长；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，∠CAF ＝60°．求此时拉杆BC 的伸长距离．37．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离； (2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈ 2.24≈）38．深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响． （1）此次台风会不会影响深圳？为什么？（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈34，cos42°≈2940，tan42°≈910）39．如图，港口B 位于港口A 的南偏西45︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向港口B 的南偏东45︒方向的D 处，它沿正北方向航行21km 到达E 处，此时测得灯塔C 在E 的南偏西70︒方向上，E 处距离港口A 有多远？（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）40．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A 处时，船上游客发现岸上P 1处的临皋亭和P 2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m 到达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P 1处与遗爱亭P 2处之间的距离为 _____．（计算结果保留根号）41．如图，线段EF 与MN 表示某一段河的两岸，EF 平行MN ．综合实践课上，同学们需要在河岸MN 上测量这段河的宽度（EF 与MN 之间的距离），已知河对岸EF 上有建筑物C 、D ，且CD ＝30米，同学们首先在河岸MN 上选取点A 处，用测角仪测得C 建筑物位于A 北偏东45°方向，再沿河岸走10米到达B 处，测得D 建筑物位于B 北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）42．图1是某小型汽车的示意图，图2是其后备厢的箱盖打开过程侧面简化示意图，五边形ABCDE 表示该车的后备厢的厢体侧面，在打开后备厢的过程中，箱盖AED 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖AED 落在AE D ''的位置．若90EAB ABC BCD ∠=∠=∠=︒，150AED ∠=︒，AE ＝80厘米，ED ＝40厘米，DC ＝25厘米，且后备厢底部BC 离地面的高CN ＝25厘米．(1)求点D 到地面MN 的距离（结果保留根号）；(2)求箱盖打开60°时的宽D ，D 1.73≈ 2.91116.3，结果取整数）．43．如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C 在主轴AB 上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE ＝AB ．底座CD ∠AB ，BG ∠AB ，且CD ＝BG ，F 是DE 上的固定点，且EF ：DF ＝2：3．（1）当点B ，G ，E 三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan∠BED ＝2．设BC ＝5a ，则FG ＝__（用含a 的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若将点C 向下移动24cm ，则点B ，G ，F 三点在同一直线上（如图2），此时点A 离地面的高度是__cm ．44．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC ＝OD ＝10分米，展开角∠COD ＝60°，晾衣臂OA ＝OB ＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE ＝6分米，且HO ＝FO ＝4分米．（参考数据：）(1)当90AOC ∠=︒时，求点A 离地面的距离AM 约为多少分米；（结果精确到0.1）(2)当OB 从水平状态旋转到OB '（在CO 延长线上）时，点E 绕点F 随之旋转至OB '上的点E '处，求B E BE ''-为多少分米．45．海绵拖把一般由长杆、U 型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A 、B 是拖把上的两个固定点，拉杆AP 一端固定在点A ，点P 与点B 重合（如图1），拉动点P 可使拉杆绕着点A 转动，此时点C 沿着AB 所在直线上下移动（如图2）．已知AB ＝10cm ，连杆PC 为40cm ，FG ＝4cm ，MN ＝8cm ．当P 点转动到射线BA 上时（如图3），FG 落在MN 上，此时点D 与点E 重合，点I 与点H 重合．(1)求ME 的长；(2)转动AP ，当∠P AC ＝53°时，∠求点C 的上升高度；∠求点D 与点I 之间的距离（结果精确到0.1）．（sin53°≈45，cos53°≈35≈2.45） 参考答案：1．B【分析】由已知条件CBD A ∠=∠，可得1tan tan 2CBD A ∠==，设CD a =，由题意可得1tan 2CD CBD BC ∠==，即可算出2BC a =，在t ΔR CBD 中，根据勾股定理可得BD 答案．【详解】解：CBD A ，1tan tan 2CBD A ∴∠==， 设CD a =，1tan 2CD CBD BC ∴∠==， 2BC a ∴=， 在Rt ΔCBD 中，BD ，cosCD CDB BD ∴∠===． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．2．C【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG AFG △△≌；在直角ECG 中，根据勾股定理可证BG GC =；通过证明===∠∠∠∠AGB AGF GFC GCF ，由平行线的判定可得AG CF ∥；由于BG CG =，得到tan 2AGB ∠=，求得60AGB ∠≠︒，根据平行线的性质得到60FCG AGB ∠=∠≠︒，求得GCF 不是等边三角形．【详解】解：由翻折变换可知，AD AF =，DAE FAE ∠=∠，DE FE =，D AFE ∠=∠，∠18090AFG AFE B ∠=︒-∠=︒=∠，在Rt ABG 和Rt AFG 中，AF AB AG AG =⎧⎨=⎩， ∠()≌Rt ABG Rt AFG HL ，因此∠正确；∠BAG FAG ∠=∠，又∠90BAG FAG DAE FAE ∠+∠+∠+∠=︒， ∠190452GAE FAG FAE ∠=∠+=︒∠⨯=︒，因此∠正确； 由翻折变换可知，DE EF =，由全等三角形可知BG GF =，设正方形的边长为a ，BG x =，13DE EF a ==，则CG a x =-，13GE x a =+，1233EC a a a =-=， 在Rt ECG 中，由勾股定理得，222EC GC EG +=， 即()22221=33a a x x a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12x a =， 即1122BG a BC ==， ∠BG CG =，因此∠正确；∠BG CG FG ==，∠GCF GFC ∠=∠，由三角形全等可得，AGB AGF ∠=∠，又∠180AGB AGF FGC FGC GCF GFC ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，∠ABG FCG ∠=∠，∠AG FC ∥，因此∠正确，∠BG CG =， ∠12BG AB =， ∠tan 2AGB ∠=，∠60AGB ∠≠︒，∠AG FC ∥，∠60FCG AGB ∠=∠≠︒，∠GCF 不是等边三角形，因此∠不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，求一个角的正切值，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．3．A【分析】过M 点作ME ∠AD 于E 点，根据四边形ABCD 是正方形，有AD =CD =6，∠C =∠D =90°，由裁剪的两个梯形全等，可得AN =MC ；再证明四边形MCDE 是矩形，即有MC =ED ，ME =CD =6，进而有AN =ED ，在Rt ∠MNE 中，解直角三角形可得NE =3AN =【详解】如图，过M 点作ME ∠AD 于E 点，∠四边形ABCD 是正方形，边长为6，∠AD =CD =6，∠C =∠D =90°，∠裁剪的两个梯形全等，∠AN =MC ，∠ME ∠AD ，∠四边形MCDE 是矩形，∠MC =ED ，ME =CD =6，∠AN =ED ，根据题意有∠MNE =60°，∠在Rt ∠MNE 中，62tan tan 60ME NE MNE ===∠∠∠6AN ED AD NE +=-=-∠3AN =即梯形中较短的底为3cm ），故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的、矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，根据梯形全等得出AN =MC 是解答本题的关键．4．A【分析】首先把sin 40cos16︒︒、转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道1sin74sin 40︒︒＞＞，又根据正切值随着角度增大而增大，因此tan50tan 451︒︒=＞，即可得出正确选项．【详解】解：∠()sin cos 90αα=︒-（090α≤≤︒），∠()cos16sin 9016sin74︒=︒-︒=︒，sin901︒=∠1sin74sin 40︒︒＞＞，∠tan50tan 451︒︒=＞，∠tan50sin74sin 40︒>︒>︒，∠tan50cos16sin40︒>︒>︒，故选：A ．【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键．5．C【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，连接BC ，利用面积法求出BD 的长，然后由sin BD A AB=即可获得答案． 【详解】解：过点B 作BD AC ⊥于点D ，连接BC ，如下图，∠小正方形的边长为1，∠AB AC == ∠111333*********ABC S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∠11422ABC S AC BD BD =⋅==，∠BD =∠4sin5BD A AB ===． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形、勾股定理的应用等知识，解题关键是正确作出直角三角形并熟记正弦函数的定义．6．C【分析】根据CB =CA +AB 求出CB 的长，再利用三角函数求出m 的值即可．【详解】解：∠窗子高AB =m 米，窗子外面上方0.2米的点C 处安装水平遮阳板CD =n 米，∠CB =CA +AB =（m +0.2）米，∠光线与水平线成α角，∠∠BDC =α，∠tan∠BDC =CB CD， ∠CB =n •tan α，∠m =n tan α-0.2，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．7．C【分析】求CE ，进而求得∠CAE 的正切值即可求得∠CAE 的度数；同理可求得∠EAD 的正切值，得到∠EAD 的度数．【详解】解：过点A 作水平线AE ，则∠EAD 为楼顶望塔基俯角，∠CAE 为由楼顶望塔顶仰角．∠AB ＝50m∠DE ＝50m∠CE ＝CD 50(m)∠tan∠CAE ＝CE ：AE ＝CE ：BD ∠∠CAE ＝30°．故C 正确，D 错误；∠tan∠EAD ＝DE ：AE ＝50：BD ＝1，∠∠EAD ＝45°．故A 、B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义，特殊角的三角函数值是解题的关键．8．A【分析】先将题目中的式子化简，再根据锐角三角函数求得a 的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭ ()()()212111a a a a a a-++-=⨯+-()()3111a a a a a -=⨯+- 31a =+， 当tan602sin30a =︒-︒1212=⨯=时，原式= 故选：A ．【点睛】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确它们各自的计算方法．9．C【分析】在Rt △ABD 中，解直角三角形求出58DB AB =，在Rt △ABC 中，解直角三角形可求出AB ． 【详解】解：在Rt △ABD 中，tan∠ADB ＝AB DB ， ∠5tan 58 1.68AB AB DB AB =≈=︒， 在Rt △ABC 中，tan∠ACB ＝AB CB ， ∠tan 220.45708AB AB ︒=≈+， 解得：112373AB =≈m ， 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．10．C【分析】延长AB 交DC 于H ，作EG ∠AB 于G ，则GH =DE =15米，EG =DH ，设BH =x 米，则CH米，在Rt ∠BCH中，BC =12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH =6米，CHBG 、EG 的长度，证明∠AEG 是等腰直角三角形，得出AG =EG =（）（米），即可得出大楼AB 的高度．【详解】解：如图，延长AB 交DC 于H ，作EG ∠AB 于G ，则GH ＝DE ＝15米，EG ＝DH ，∠梯坎坡度i ＝1∠BH ：CH ＝1设BH ＝x 米，则CH米，）2＝122，由勾股定理得：x2+解得：x＝6，∠BH＝6米，CH＝∠BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（）（米），∠∠α＝45°，∠∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∠∠AEG是等腰直角三角形，∠AG＝EG＝（）（米），∠AB＝AG+BG＝（米）；故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．11．D【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积．【详解】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ，∠tanθ=BC，AC∠BC=AC tanθ=6tanθ（米），∠在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米，∠地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．12．B【分析】连接EF，求证∠DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以1+245∠∠=，即可求解．【详解】解：连接EF，∠四边形ABCD是长方形，∠∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，∠22222=+=+=，DE AD AE3213∠AB=5，∠BE=AB-AE=3，∠CF=1，∠BF=BC-CF=2，在在Rt∠EBF中，∠22222=+=+=，EF BE BF3213∠EF=DE在Rt∠CDF中，∠22222=+=+=，DF DC CF5126∠26=13+13，即：222=+，DF DE EF∠∠DEF=90°，∠∠EDF=∠DFE=45°，∠1+2=45∠∠∠-∠=，ADC EDF∠()2∠+∠=sin12sin45=2故选B．【点睛】本题考查长方形的性质、勾股定理及其逆定理、正弦函数，根据勾股定理的逆定理证明出∠DEF是等腰直角三角形是解题的关键．13．B【分析】过点B作BC∠OA于点C．先利用勾股定理求出BO、AO的长，再利用∠AOB的面积求出BC的长，最后在直角∠BCO中求出∠AOB的正弦值．【详解】解：过点B作BC∠OA于点C．BO=，AO==,∠S △AOB 12=×2×2＝2， ∠12AO •BC ＝2,∠BC==sinBC AOB BO ∴∠=== 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用∠的面积求出OA 边上的高是解决本题的关键． 14．A【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式21=-11)=-11==0故选：A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 15．D【分析】根据勾股定理计算得出AB AC BC CE BE =====可得出AE BC ⊥，由勾股定理得AE =从而可得出sin ABC ∠= 【详解】解：如图，连接AE ，由勾股定理得，AB AC ∠AB AC =又BC CE BE ===∠点E 为BC 的中点，∠AE BC ⊥，∠AE ==∠sin AE ABC AB ∠== 故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理，利用勾股定理求出AE 的长度是解题的关键．16．D【分析】根据网格的特点找到格点E ，使得AE CD ∥，则BOD A ∠=∠，构造Rt AEF ，即可求解．【详解】如图，5DG CG ==，90G ∠=︒，45CDG ∴∠=︒，1AG GE ==，45AEG ∴∠=︒，∴AE CD ∥，∴BOD A ∠=∠，2,AE AF EF ===22218220,20AE EF AF +=+==， 222AE EF AF ∴+=， ∠∠AEF 是直角三角形，∠AEF =90°，cos cosAE BOD A AF ∴∠=== 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理的逆定理，求余弦，构造直角三角形是解题的关键．17．C【分析】过点C 作AB 的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过点C 作AB 的垂线交AB 于一点D ，如图所示，∠每个小正方形的边长为1，∠5AC BC AB ===，设AD x =，则5BD x =-，在Rt ACD △中，222DC AC AD =-,在Rt BCD 中，222DC BC BD =-,∠2210(5)5x x --=-，解得2x =，∠cosAD BAC AC ∠== 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．18．C 【分析】先根据锐角三角函数值求出AC =5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE =，再由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得AD 可求出CD ．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC = ∠1tan 2BC A AC ∠==∠2AC BC ==由勾股定理得,5AB ==过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图，∠1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=， ∠11,,23DE DE AE BE ==∠11,,23DE AE DE BE == ∠1123AE BE = ∠32BE AE =∠5,AE BE += ∠352AE AE += ∠2,AE =∠1DE =,在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+ ∠AD∠AD CD AC +==∠CD AC AD =-==故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键． 19．A【分析】由勾股定理求出AB =2，再由三角函数的意义求出60,A ∠=︒进一步可得出结论．【详解】解：如图，∠90,4,C AB BC =∠=︒=∠2AC ===又tan BC A AC ∠=== ∠60A ∠=︒ ∠302A ∠=︒∠3tan3tan 3032A =︒== 故选：A【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，正确求得AC 的长是解题关键．20．B【分析】首先根据折叠及3tan 4EFC ∠=求得EF 的值，进一步知道DC 的长度，后根据BAF EFC ∠=∠，其正切值相同解三角形ABF 得BF 的长度，从而知道AD 的长度，后根据勾股定理求得AE 的长度．【详解】解：由题意4CF =，∠C =90°，3tan 4EC EFC FC ∠== ∠CE =3∠Rt EFC 中，∠C =90°，∠5EF =∠AEF 是ADE 折叠而来∠5ED EF ==，538DC AB ==+=∠矩形ABCD∠90C B AFE ∠=∠=∠=︒∠90BAF AFB ∠+∠=︒，90AFB EFC ∠+∠=︒∠BAF EFC ∠=∠ ∠tan∠BAF =tan∠EFC =34， 即34BF AB =， ∠364BF AB == ∠6410AD BC ==+=∠AE 故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，矩形的性质，翻折的性质，根据等量变换得到BAF EFC ∠=∠并运用其锐角三角函数相等，求线段长是解决本题的关键．21．C【分析】过点B 作BF x ⊥轴于点F ，先根据菱形的性质可得10AB OA ==，1802OA BF OB AC ⋅=⋅=，OD BD =，从而可得8BF =，再在Rt ABF 中，利用勾股定理可得6AF =，从而可得点B 的坐标，然后根据中点的坐标公式可得点D 的坐标，最后利用待定系数法可得双曲线的解析式，由此可判断∠；根据点E 的纵坐标为8，代入反比例函数即可判断∠；先根据平行线的性质可得COA BAF ∠=∠，再根据正弦的定义即可判断∠；先在Rt OBF △中，利用勾股定理可得OB =160OB AC ⋅=可得AC =AC OB +的值，由此即可判断∠．【详解】解：如图，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，点A 的坐标为(10,0)，10OA ∴=，四边形OABC 是菱形，且160OB AC ⋅=，10AB OA ∴==，1802OA BF OB AC ⋅=⋅=，OD BD =，AD CD =， 解得8BF =，在Rt ABF 中，6AF ==，16OF OA AF ∴=+=，(16,8)B ∴，又OD BD =，即点D 是OB 的中点，01608(,)22D ++∴，即(8,4)D ， 将点(8,4)D 代入反比例函数k y x =得：8432k =⨯=， 则该双曲线解析式为32y x=，结论∠错误； 四边形OABC 是菱形，BC OA ∴，OC AB ∥，∴点E 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，即为8，当8y =时，3248x ==， 则点E 的坐标是(4,8)，结论∠正确；OC AB ，COA BAF ∴∠=∠，84sin sin 105BF COA BAF AB ∴∠=∠===，结论∠正确；在Rt OBF △中，OB =160OB AC ⋅=，160AC OB∴==，AC OB ∴+==，结论∠正确；综上，正确的结论有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、反比例函数、正弦等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 22．C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明AFD EFB ∆∆≌，得出AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∠四边形ABCD 为矩形，∠CD =AB =5，AB =BC =3，90A C ∠=∠=︒，根据折叠可知，3BE BC ==，5DE DE ==，90∠=∠=︒E C ，∠在∠AFD 和∠EFB 中903A E AFD EFB AD BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩，∠AFD EFB ∆∆≌（AAS ），∠AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，在Rt BEF ∆中，222BF EF BE =+，即()22253x x -=+， 解得：85x =，则817555DF BF ==-=， ∠315cos 17175AD ADF DF ∠===，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明AFD EFB ∆∆≌，是解题的关键．23．B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在Rt ABP △中，4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒， 故原来这棵树的高度为：4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米)， 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．24．A【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，再接着利用勾股定理得到关于a 的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tan α的值即可．【详解】∠小正方形与每个直角三角形面积均为1，∠大正方形的面积为5，∠小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，其中a >0，∠a 2+(a +1)2=5，其中a >0，解得：a 1=1，a 2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 25．B【分析】把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，则DE ∠AB ，由勾股定理逆定理可以证明△DCE 为直角三角形，所以cos∠APC ＝cos∠EDC 即可得答案．【详解】解：把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，如图．则DE ∠AB ，∠∠APC ＝∠EDC ．在△DCE 中，有EC DC =5DE =，∠22252025EC DC DE +=+==，∠DCE ∆是直角三角形，且90DCE ∠=︒，∠cos∠APC ＝cos∠EDC ＝DC DE = 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．26．B【分析】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，由题干所给条件可知，AG =FG ，EG =GP ，利用∠AGP =∠B 可得到cos∠AGP =14，即可得到FG 的长； 【详解】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，由题意可知，AB =BC =4，E 是BC 的中点，∠BE =2，又∠1cos 4B =， ∠BH =1，即H 是BE 的中点，∠AB =AE =4，又∠AF 是∠DAE 的角平分线，FG AD ∥，∠∠F AG =∠AFG ，即AG =FG ，又∠PF AD ∥，AP DF ∥，∠PF =AD =4，设FG =x ，则AG =x ，EG =PG =4-x ，∠PF BC ∥，∠∠AGP =∠AEB =∠B ，∠cos∠AGP =12PG AG =22x x-=14， 解得x =83； 故选B ．【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．27．(1)75︒(2)()2米【分析】（1）根据直角三角形的性质求出EAH ∠，根据平角的定义计算，求出CAD ∠；（2）过点A 作AM CD ⊥，垂足为M ，根据正弦的定义求出AM 、根据余弦的定义求出DM ，根据直角三角形的性质求出CM ，根据正弦的定义求出AC ，结合图形计算，得到答案．（1）解：在Rt AHE 中，30AEH ∠=︒， 60EAH ∴∠=︒，45BAC ∠=︒，180604575CAD ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）过点A 作AM CD ⊥，垂足为M ，在Rt ADM △中，60ADC ∠=︒，4AD =米，cos 4cos602DM AD ADC ∠∴=⋅=︒=（米），sin 4sin 60AM AD ADC ∠=⋅=︒=，在Rt ACM △中，180756045C ∠=︒-︒-︒=︒，CM AM ∴==，sin AM AC C==， ()2AB AC CD ∴=+=米，答：这棵大树折断前高为()2米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．28．(1)点D 与点A 的距离为300米(2)隧道AB 的长为米【分析】（1）根据方位角图，易知60ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒，解Rt ADC 即可求解；（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ．分别解Rt ADE △，Rt BDE 求出AE 和BE ，即可求出隧道AB 的长（1）由题意可知：154560ACD ∠=︒+︒=︒，180454590ADC ∠=︒-︒-︒=︒在Rt ADC 中，∠tan tan 60300AD DC ACD =⨯∠=︒=（米）答：点D 与点A 的距离为300米．（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ．。

锐角三角函数一、选择题1． sin30°的值为〔 〕 A ．32B ．22C ．12D ．332．如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是〔 〕 A ． 3sin 2A =B ．1tan 2A = C ．3cos 2B = D ．tan 3B =3．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是〔 〕 A ．34B ．43 C ．35 D ．454．如图，在平地上种植树木时，要求株距〔相邻两树间的水平距离〕为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为〔 〕 A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m5．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为〔 〕A ．(21)，B ．(12)，C ．(211)+，D ．(121)+，6．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB 的长为〔 〕 A ．43．4C ．23．27．图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ．CD 分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是〔 〕A 833m B ．4 mC ．43 mD ．8 m8)如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为〔 〕米．A ．25B ．253C ．10033D ．253+9．如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是〔〕A ．23 B ．32C ．34D ．4310．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是〔〕A ．233cmB ．433cmC ．5cmD ．2cm 11．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是〔〕 A ．3B ．5C ．25D ．225 12．如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是〔 〕A ．172B ．52C ．24D ．713．如图4，在Rt ABC △中， 90=∠ACB ，86AC BC ==，，将ABC △绕AC 所在的直线k 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为〔 〕 A ．30π B ．40πC ．50π D ．60π14．在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的距离为〔 〕 〔A 〕km 3310 〔B 〕km 335〔C 〕km 25 〔D 〕km 35 15.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA=54，BC ＝10，则AB 的值是〔 〕 A ．3B ．6C ．8D ．916．如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥于点E ，连结OC ，若5OC =，8CD =，则tan COE ∠=〔 〕A ．35 B ．45 C ．34 D ．4317．为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是〔 〕 A ．14B ．4C ．117D ．41718．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为〔 〕 A. αcos 5 B.αcos 5 C. αsin 5 D. αsin 519． 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确的个数为〔 〕 ①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2ABCD 15S cm =菱形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个20．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ〔如图所示〕，则sinθ的值为〔 〕 〔A 〕125 〔B 〕135 〔C 〕1310 〔D 〕131221．如图，已知RtΔABC 中，∠ACB =90°，AC = 4，BC=3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是〔 〕． A ．π5168 B ．π24C ．π584D ．π12 22．如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为〔 〕A ．2B ．433C ．23D ．4323．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角〔梯子与地面的夹角〕不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为〔 〕 A ．8米B．CD．3米 24．〕已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为〔 〕 A ．43B ．45C ．54D ．3425． 2sin 30°的值等于〔 〕A ．1 BCD ．2 26．已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为〔 〕 A ．43B ．45C ．54D ．3427．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角〔梯子与地面的夹角〕不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为〔 〕 A ．8米B．CD米 28．一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1米，太阳光线与地面的夹角60ACD ∠=°，则AB 的长为〔 〕 A ．12米B米C．2米 D．3米 二、计算题〔每小题3分，共12分〕 1.计算：()1200911sin 602-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭°2.10120094sin 3022⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭－（3.计算：0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°．4．先化简．再求值．22 ()2111a a a a a ++÷+-- 其中a ＝tan60°－2sin30°．三、解答题1．〕如图，AC 是O ⊙的直径，PA ，PB 是O ⊙的切线，A ，B 为切点，AB =6，PA =5．求〔1〕O ⊙的半径；〔2〕sin BAC ∠的值．2．〔4分〕〔20XXXX 〕如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．〔结果保留根号〕CDBA北60°30°CCAB60° 45°北北3.〕为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰〔如图9所示〕，便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该据：2 1.43 1.7≈，≈〕商船所在的位置C 处？〔结果精确到个位．参考数4．如图，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，若测得飞机到目标B 的距离AB 约为2400米，已知sin 0.52α=，求飞机飞行的高度AC 约为多少米？5.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒60，看这栋高楼底部的俯角为︒30，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？〔结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈〕BC AαC AB1．C 2. D 3。

6初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案一、选择题 1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活 动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为 α，大桥主架的顶端 D的仰角为 β，已知测量点与大桥主架的水平距离 AB ＝ a ，则此时大桥主架顶端离水面的高解析】 【分析】在 Rt △ABD 和 Rt △ABC 中，由三角函数得出 BC ＝ atan α， BD ＝ atan β，得出 CD ＝BC+BD ＝ atan α +atan 即β可．【详解】∴BC ＝ atan α， BD ＝ atan β， ∴CD ＝BC+BD ＝atan α+atan β，故选 C ． 点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出 BC 和 BD 是解题的关键．2．如图， 4 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为 60°， A 、 B 、 C 都是格点，则 tan ABC （ ）答案】 Aacos α +acos β C ． atan α +atan βa D ．tana tan在 Rt △ABD 和 Rt △ABC 中， AB＝ a ， BCBD tan α＝ ， tan β＝ABABC ． CD 为( )B ． 答案】 CA ．D ．【解析】 【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，ECtan ABC 得出答案．BE设 EC=x,则 EF= x = 3x , tan302EF 2 3x故选 :A 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，3．如图，对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A ′处，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕 BM 的长为 ( )1BE= AB ，A ′B=AB=，4∠BA ′M=∠A=90°，∠ ABM=∠MBA ′，可得∠2结合锐角三角函数关系得出 EF 的, 长，进而利用∴ BF AF tan ∠ABCECBE 2 3x 3x1 33正确得出 EF 的长是解题关键．A ． 8 33【答案】 A 【解析】 【分析】B ．4 33C ．8D ． 8 3根据折叠性质可得由题意可得 :∠ AFC=30°, DC ⊥AF,Rt△ABM中，利用∠ ABM 的余弦求出 BM 的长即可 . 【详解】∵对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合， AB=4，1∴BE= AB=2，∠ BEF=90°，2∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A '处，并使折痕经过点 B ， ∴A ′B=AB=4，∠ BA ′M= ∠ A=90°，∠ ABM=∠ MBA ′， ∴∠ EA ′B=30°， ∴∠ EBA ′=60°， ∴∠ ABM=3°0 ，∴在 Rt △ABM 中， AB=BM cos ∠ ABM ，即 4=BM cos30 °， 解得： BM= 8 3 ，3故选 A.【点睛】 本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角 三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻 边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键 .【答案】 C 【解析】 【分析】如下图，先在 Rt △CBF 中求得 BF 、CF 的长，再利用 Rt △ADG 求 AG 的长，进而得到 度 【详解】如下图，过点 C 作AB 的垂线，交 AB 延长线于点 F ，延长 DE 交AB 延长线于点 G4．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离 AB ，采取了如下措施 图在江边 D 处，测得信号塔 A 的俯角为 40 ，若 DE 55米， DE CE ， CEBC 140米，则 AB 的长为 (0.77， tan40 0.84 )C ． 78.8 米D ． 78.9 米如36米，）（精确AB 的长CE 平行于 AB ， BC 的坡度为 i 1: 0.75，坡长 cos40∵BC=140m2 2 2 ∴在 Rt △BCF 中， x 20.75x 1402 ，解得： x=112∴CF=112m ， BF=84m∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ ADG 是直角三角形 ∵ DE=55m ，CE=FG=36m∴DG=167m ，BG=120m 设 AB=ym ∵∠ DAB=40°DG∴tan40 °=AG解得： y=78.8 故选： C 【点睛】 本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值5．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为( )A ．B ． 2C ． 3D ． ( 3 1)【答案】 C 【解析】 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 为 2，据此即可得出表面积． 【详解】167 0.84y 1203 的正三角形．可计算边长解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形． ∴正三角形的边长 32．sin60∴圆锥的底面圆半径是 1，母线长是 2， ∴底面周长为 21∴侧面积为 2 2 2 ，∵底面积为 r 2 ，2∴全面积是 3 ． 故选： C ．【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题 的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．6．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用 “三弧法 ”在板材边角处作直角，其作法 是：如图：（1）作线段 AB ，分别以点 A ，B 为圆心， AB 长为半径作弧，两弧交于点 （2）以点 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 （3）连接 BD ， BC ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（【答案】 D 【解析】 【分析】由作法得 CA ＝CB ＝CD ＝AB ，根据圆周角定理得到∠ ABD ＝90°，据三角函数的定义计算出∠ D ＝ 30°，则∠ A ＝ 60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结 论． 【详解】由作法得 CA ＝CB ＝CD ＝AB ，故 B 正确； ∴点 B 在以 AD 为直径的圆上， ∴∠ ABD ＝90°，故 A 正确； ∴点 C 是△ABD 的外心，C ；D ；A ．∠ ABD ＝90°B ．CA ＝CB ＝CDC ．sinA ＝ 32D ． 1 cosD ＝ 2点 C 是△ABD 的外心，根AD 2∴∠ D ＝30°，∠ A ＝60°，∴sinA ＝ 3 ，故 C 正确； cosD ＝ 3 ，故 D 错误， 22 故选： D ．【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边 垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．7．如图，已知圆 O 的内接六边形 ABCDEF 的边心距 OM 2 ，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为( )A ．2B ． 4C ． 6 3D ． 4 3【答案】 D【解析】 【分析】连接 OC,OB ，过 O 作ON CE 于 N ，证出 COB 是等边三角形，根据锐角三角函数 的定义求解即可．【详解】 解：如图所示，连接 OC,OB ，过 O 作ON CE 于 N ， ∵多边形 ABCDEF 是正六边形， ∴ COB 60o ， ∵ OC OB ，∴ COB 是等边三角形， ∴ OCM 60o ，∴ OM OC ? sin OCM ，∴OM 4 3 ∴OC(cm) ．sin60 3∵ OCN 30o ，1 2 3∴ONOC , CN 2 ， 23∴ CE 2CN 4 ， ∴该圆的内接正三角形 ACE 的面积 3 1 4 2 3 4 3，23 故选： D ．AB 1 在 Rt △ABC 中， sin ∠ D ＝【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC 是解决问题的关键．8．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C的仰角为45 °，沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为60 °，已知斜坡AB 的坡角为30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌CD的高度是( )米．A．15－5 3 B．20－10 3 C．10－5 3 D．5 3 －5【答案】A【解析】【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN-DE 即可求出结论．【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在 Rt △ABE 中， AB ＝ 10 米，∠ BAM ＝ 30°，∴AM ＝ AB?cos30°＝5 3（米）， BM ＝AB?sin30 ＝°5（米）． 在 Rt △ACD 中， AE ＝ 10（米），∠ DAE ＝ 60°， ∴DE ＝AE?tan60°＝10 3 （米）．在 Rt △BCN 中，BN ＝AE ＋AM ＝10＋5 3 （米），∠ CBN ＝ 45°， ∴CN ＝BN?tan45°＝10＋5 3 （米），∴CD ＝CN ＋ EN-DE ＝10＋ 5 3 ＋ 5-10 3 ＝15-5 3 （米）． 故选： A ． 【点睛】本题考查了解直角三角形 - 仰角俯角问题及解直角三角形 - 坡度坡脚问题，通过解直角三角 形求出 BM ，AM ， CN ，DE 的长是解题的关键．答案】 C 解析】分析】 先过点 A 作AD ⊥BC 于D ，构造直角三角形，结合∠ B=60°，利用 sin60可求 DB 1c,AD 3 c,把这两个表达式代入到另一个Rt △ADC 的勾股定理表达式中，22化简可得即 a 2+c 2=b 2+ac ，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于 1． 【详解】9．在△ABC 中， a 、b 、 c 分别为角 A 、B 、C 的对边，若∠ B=60°，则c aba cb的值为2B ． 22C ．1D ． 23，cos60 =°1 ,22A ．解：过 A 点作 AD ⊥BC 于 D ，在 Rt △BDA 中，由于∠ B=60°，3 c,2DC 2=AC 2﹣AD 2， 3 2， c ，4即 a 2+c 2=b 2+ac ，1 ∴DB c, AD2在 Rt △ADC 中， 212∴a c2b 2 22c cb a ab abcb22a c ab bc ac ab bc b 2b 2 ac ab bc 21.ac ab bc b【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和 等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．10．如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上的点，过点 C 作⊙ O 的切线交 AB 的延长线于点)C ． 3 2D ． 33【答案】 A 【解析】 【分析】 首先连接 OC ，CE 是⊙O 切线，可证得 OC ⊥ CE ，又由圆周角定理，求得∠ BOC 的度数，继而求得∠ E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．故选 C ．ca a b b∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠ OCE=9°0 ， ∵OA=OC ，∴∠ OCA=∠ A=30°，∴∠ COE=∠ A+∠ OCA=6°0 ，∴∠ E=180°-90 °-60 °=30°， ∴sinE=sin30 =°12故选 A.由勾股定理，得 AB= AC 2 BC 2 =5AC 3 cosA= =AB 5故选： B ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边 比斜边，正切为对边比邻边．12．如图， VABC 中， ACB 90 ，O 为 AB 中点，且 AB ACB 和 CAB ，交于 D 点，则 OD 的最小值为（ ）．【答案】 D 【解析】 【分析】根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到11． 在 Rt △ABC中，4A ．5【答案】 B 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得 【详解】∠C=90°，3 B ．5AB 的长， ∠ C=90°， AC=3，BC=4，那么 cosA 的值是（ ）43C ．D ．34根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案． AC=3， BC=4，4 ， CD ， AD 分别平分B ． 22C ． 2 1D ． 2 2 2DO 最小时， DO 为三角形 ABC 内切A ．1圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．【详解】解：Q CD ，AD分别平分ACB和CAB ，交于D点，∴D 为ABC的内心，OD 最小时，OD 为ABC 的内切圆的半径，DO AB,过D作DE AC, DF BC, 垂足分别为E,F ,DE DF DO ,四边形DFCE 为正方形，QO为AB的中点，AB 4,AO BO 2,由切线长定理得：AO AE 2, BO BF 2,CE CF r,AC BC AB ?sin 45 2 2,CE AC AE 2 2 2,Q四边形DFCE 为正方形，CE DE,OD CE 2 2 2,故选D．【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．13．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠ F＝∠ ACB＝90°，∠ E2 ，则CD 的长为（）12 ﹣4 3C．12﹣6 3 D． 6 32C ． ( 3,2【答案】 B 【解析】 【分析】过点 B 作BM ⊥FD 于点 M ，根据题意可求出 BC 的长度，然后在 △EFD 中可求出∠ EDF ＝60°，进而可得出答案．【详解】解：过点 B 作 BM ⊥ FD 于点 M ，在△ACB 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝ 45°，AC ＝12 2 ， ∴BC ＝ AC ＝ 12 2 ． ∵AB ∥CF ， CM ＝BM ＝12， 在△EFD 中，∠ F ＝ 90°，∠ E ＝30°， ∴∠ EDF ＝ 60°， ∴MD ＝BM ÷tan60＝°4 3 ， ∴CD ＝CM ﹣MD ＝12﹣ 4 3 ． 故选 B ．【点睛】 本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用 所学的三角函数的关系进行解答．14．如图，在平面直角坐标系中， AOB 的顶点 B 在第一象限，点 A 在 y 轴的正半轴上，AO AB 2， OAB 120o ，将 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90o ，点 B 的对应点 B'的 坐标是（ ）∴BM ＝ BC ×sin45＝°12B ． A．D ． ( 3, 3)【答案】 D 【解析】 【分析】过点 B'作 x 轴的垂线，垂足为 M ，通过条件求出 B'M ，MO 的长即可得到 B'的坐标. 【详解】B' A'M 60 ，在直角△A'B'M 中， sin ∠B' A' M = B B '' M A' = B'2M = 23 ，∴ B'M 3 ， A'M 1，∴OM=2+1=3 ，∴ B '的坐标为 ( 3, 3) . 故选： D. 【点睛】本题考查坐标与图形变化 -旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助 线，构造直角三角形解决问题．15．如图，等边 VABC 边长为 a ，点O 是VABC 的内心， FOG 120 ，绕点 O 旋转FOG ，分别交线段 AB 、 BC 于D 、 E 两点，连接 DE ，给出下列四个结论：① VODE 形状不变； ② VODE 的面积最小不会小于四边形 ODBE 的面积的四分之一； ③ 四边形 ODBE 的面积始终不变； ④ VBDE 周长的最小值为 1.5a ．上述结论中正确的 个数是( )cos ∠ B' A' M=A' M=A' MB ' A' 2【解析】 【分析】连接 OB 、OC ，利用 SAS 证出 △ODB ≌△ OEC ，从而得出 △ODE 是顶角为 120°的等腰三角1形，即可判断 ① ；过点 O 作 OH ⊥DE ，则 DH=EH ，利用锐角三角函数可得 OH= OE 和23DE= 3 OE ，然后三角形的面积公式可得 S △ODE = OE 2，从而得出 OE 最小时， S △ODE 最4小，根据垂线段最短即可求出 S △ODE 的最小值，然后证出 S 四边形 ODBE =S △OBC = 3 a 2 即可判断12② 和③ ；求出 VBDE 的周长 =a ＋DE ，求出 DE 的最小值即可判断 ④ ． 【详解】解：连接 OB 、OC∵ VABC 是等边三角形，点 O 是 VABC 的内心，∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ ABC 和∠ ACB11∴∠ OBA=∠OBC= ∠ABC=30°，∠ OCA=∠OCB= ∠ACB=30°22 ∴∠ OBA=∠OCB ，∠ BOC=18°0 －∠ OBC －∠ OCB=12°0 ∵ FOG120 ∴ FOG ∠ BOC∴∠ FOG －∠ BOE=∠ BOC －∠ BOE ∴∠ BOD=∠COE 在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO COOBD OCE∴△ ODB ≌△ OEC ∴OD=OE∴△ ODE 是顶角为 120°的等腰三角形， ∴ VODE 形状不变，故 ① 正确； 过点 O 作OH ⊥DE ，则 DH=EH∵△ ODE 是顶角为 120°的等腰三角形C ．2D ．13∴∠ ODE=∠ OED=1 （ 180°－ 120°） =30°2∴OH=O ·Esin ∠OED=1 OE ， EH= OE ·cos ∠OED= 3 OE 2 ∴DE=2EH= 3 OE ∴S △ODE = 1 DE ·OH= 3 OE 224∴OE 最小时， S △ODE 最小， 过点 O 作 OE ′⊥BC 于 E ′，根据垂线段最短，OE ′ =BE ′·∠ OtaBnE ′= 1 a ×3 = 3 a2 3 6∴ S △ODE 的最小值为 3 OE ′2= 3 a 24 48∵△ ODB ≌△ OEC13∴S 四边形 ODBE =S △ODB ＋ S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC = BC · OE ′= a 2 2 123 2 1 2 a = a 484 121∴S △ODE ≤ S 四边形 ODBE4即 VODE 的面积最小不会小于四边形 ODBE 的面积的四分之一，故 ② 正确；∵S=3 2∵S 四边形 ODBE =a12∴四边形 ODBE 的面积始终不变，故 ③ 正确； ∵△ ODB ≌△ OEC ∴DB=EC∴VBDE 的周长 =DB ＋BE ＋ DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE ∴DE 最小时 VBDE 的周长最小 ∵DE= 3 OE∴OE 最小时， DE 最小 而 OE 的最小值为 OE ′= 3a6∴ DE 的最小值为 3 × 3 a = 1a×6 a 21∴ VBDE 的周长的最小值为 a ＋ a =1.5a ，故 ④ 正确；OE ′即为 OE 的最小值22 在Rt △OBE ′中2综上： 4 个结论都正确，故选A．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．16．已知在Rt ABC 中， C 90 ，°AC 8, BC 15 ，那么下列等式正确的是（）8888 A．sinA B．cosA=C．tan A =D．cot A= 17151715【答案】D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答【详解】由勾股定理知，AB=17； A. sin A BC15,所以 A 错误；ACB.cos A8，所以，AB17AB17错误； C.tan A BC 15，所以，C 错误；D.cot A AC=8，所以选 D.AC 8 BC 15 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键17．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF 交4于点O，下列结论：① ∠DOC=9°0，②OC=OE，③CE=DF，④tan ∠OCD= ，⑤S△DOC=S四3A．1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△ FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得① ∠DOC=90°正确，③ CE=DF 正确；② 由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得② 错误；易证得∠ OCD=∠ DFC，即可求得④ 正确；由① 易证得⑤ 正确．详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴ BC=CD=4，∠ B=∠DCF=90°．∵ AE=BF=1，∴ BE=CF=4﹣1=3．BC CD在△EBC和△FCD中，B DCF ，BE CF∴△ EBC≌△ FCD（SAS），∴∠ CFD=∠BEC，CE=DF，故③ 正确，∴∠ BCE+∠BEC=∠ BCE+∠CFD=90°，∴∠ DOC=90°；故① 正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．∵ DF⊥ EC，∴ CD=DE．∵ CD=AD<DE（矛盾），故② 错误；∵∠ OCD+∠CDF=90°，∠ CDF+∠DFC=90°，∴∠ OCD=∠DFC，∴ tan ∠ OCD=tan∠DFC= DC = 4，故④ 正确；FC 3∵△ EBC≌△ FCD，∴ S△EBC=S△FCD，∴ S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S 四边形BEOF．故⑤ 正确；故正确的有：①③④⑤ ．故选D．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．18．如图，AB是⊙ O的直径，弦CD⊥AB于E点，若AD CD 2 3．则B?C 的长为（）23 2A．B．33【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到CE DE 3，B?C ?BD ，∠ A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD，∵AB是⊙ O的直径，弦CD⊥AB于E点，AD CD 2 3 ，∴ CE DE 3 ，B?C?BD，∠ A=30°，∴∠ DOE=6°0 ，此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题D．OD= DEosin 60o2，的长=601803?BC 的长=B?D 点睛】2319．如图，已知⊙ O 上三点A，B，C，半径OC=1，∠ ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA 的长为（）A ．2B ． 3 【答案】 B【解析】【分析】 连接 OA ，由圆周角定理可求出∠ AOC=6°0 ，再根据∠ AOC 的正切即可求出 PA 的值 . 【详解】 连接 OA ，∵∠ ABC=30°，∴∠ AOC=6°0 ， ∵PA 是圆的切线，∴∠ PAO=9°0 ，PA∵tan ∠AOC = ,OA∴PA= tan60 °×1= 3 . 故选 B.【点睛】 本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠ AOC=60°是解答本题的关键 .120．如图所示， Rt AOB 中， AOB 90 ，顶点 A, B 分别在反比例函数 y x 0 x 5与y x 0 的图象器上，则 tan BAO 的值为（ ） xD ．5，A ． 4 5B ． 5C ． 2 5D ． 1055 【答案】 B【解析】【分析】过A 作AC ⊥x 轴，过 B 作BD ⊥x 轴于 D ，于是得到∠ BDO=∠ ACO=9°0 ，根据反比例函数的51 性质得到 S △BDO = ，S △AOC = 1 ，根据相似三角形的性质得到 22定义即可得到结论．【详解】解：过 A 作 AC ⊥x 轴，过 B 作 BD ⊥x 轴于 D ，则∠ BDO=∠ACO=9°0 ，15∵顶点 A ，B 分别在反比例函数 y x 0 与 y x 0 的图象上，x x∵∠ AOB=9°0 ， ∴∠ BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=9°0 ， ∴∠ DBO=∠AOC ， ∴△ BDO ∽△ OCA ，2 OB 2 OA5122S △BOD 5△OACO O B A 5 ，根据三角函数的∴ S △BDO =5 ， 2 S △AOC = 1OBOA∴tan ∠ BAO= OB 5 .OA故选 B.本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．5，。

《锐角三角函数》一、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐角,且，则为 ( ) 933425543A B C D ． ． ． ． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）A ．10B ．22C ．10或27D ．无法确定4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan aA5、οο45cos 45sin +的值等于（ ）A.2B.213+ C.3D. 16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( )A. 3B. 300C. 503 D. 1507．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于12 B ．小于12C ．大于3D ．小于38．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ．2339．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83310．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．323C ．10D ．12 二、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．14．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度． 15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝54，则BC 的长为_______cm . 16.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的高度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰角α＝60°，则旗杆AB 的高度为 ．（计算结果保留根号）（16题） (17题) 三、解答题18．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c （2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=30°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°； （2）22cos 30cos 60tan 60tan 30︒+︒︒⨯︒+ sin45°（45︒30︒BAD C四、解下列各题20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

锐角三角函数课堂练习题一、选择题1．Rt ABC △中，90C ∠=，a b c ，，分别A B C ∠∠∠，，的对边，下列关系中错误的是（ ） Ａ．cos b c B = Ｂ．tan b a B = Ｃ．sin b c B = Ｄ．tan a b A =2．如果A ∠是锐角，且4tan 3A =，那么（ ） Ａ．030A <∠< Ｂ．3045A <∠<Ｃ．4560A <∠<Ｄ．6090A <∠< 3．已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αααα-+的值等于（ ） Ａ．47 Ｂ．12 Ｃ．13Ｄ．0 4．如图1，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）Ａ．2 Ｂ．32 Ｃ．1 Ｄ．125．下列说法中正确的是（ ）Ａ．在Rt ABC △中，若3tan 4A =，则43a b ==， Ｂ．在Rt ABC △中，若34a b ==，，则3tan 4A = Ｃ．在Rt ABC △中，90C ∠=，则22sin sin 1A B += Ｄ．3tan 75tan(4530)tan 45tan 3013=+=+=+ 6．比较sin 70，cos 70，tan 70的大小关系是（ ）Ａ．tan 70cos70sin 70<<Ｂ．cos70sin 70tan 70<< Ｃ．cos70tan 70sin 70<<Ｄ．sin 70cos70tan 70<< 二、填空题7．在ABC △中，90C ∠=，812a b ab +==，且a b <，求A ∠的三个三角函数值．sin A =_______；cos A =_______；tan A =_______．8．在Rt ABC △中，90C ∠=，3AC =，2AB =，则tan 2B =_______．9．ABC △中，已知7437A '∠=，6023B '∠=，则sin cos C C +=_______．10．ABC △中，90C ∠=，1tan 2A =，则sin cos A A +=_______． 11．在ABC △中，60B ∠=，75BAC ∠=，BC 边上的高3AD =，则BC =_______．12．2222sin 1sin 2sin 88sin 89+++=… _______．三、解答题13．在锐角ABC △中，15AB =，14BC =，84ABC S =△，（1）求tan C 的值；（2）求sin A 的值．14．如图2，矩形()ABCD AD AB >中，AB BDA αθ=∠=，作AE 交BD 于E ，且A E A B =，试用α和θ表示AD 和BE 的长．15．已知：如图3，A B C ，，三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，2AB =千米．在B 村的正北方向有一个D 村，测得45DAB ∠=，28DCB ∠=，今将ACD △区域进行规划，除其中面积为0.5平方千米的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地，试求绿化用地的面积．（结果精确到0.1平方千米，sin 280.4695=，cos 280.882=，tan 280.5317=）参考答案：一、1．Ａ 2．Ｃ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｂ二、7．1010，31010，13，3 8．339．2 10．355 11．33+ 12．1442 三、13．（1）12tan 5C =；（2）56sin 65A = 14．提示：tan AD αθ=，2sin BE αθ= 15．提示： 2.6S 绿地≈平方千米。