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1.3 随机事件1.4随机事件的运算学习目标核心素养1。
理解随机事件与样本点的关系．(重点)2．了解随机事件的交、并与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的交、并运算．(难点、易混点）1．通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过学习事件的运算法则，培养数学建模素养．1．三种事件的定义事件随机事件一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件,常用A，B，C等表示．在每次试验中，当这一事件发生时，这一子集中的样本点必出现其中一个;反之，当这一子集中的一个样本点出现时,这一事件必然发生必然样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本事件点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件不可能事件空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件2。
随机事件的运算事件的运算定义图形表示符号表示交事件一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B（或AB）并事件一般地，由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件）A∪B（或A＋B)3。
互斥事件与对立事件事件的运算定义图形表示符号表示互斥事件一般地，不能同时发生的两个事件A与B（A∩B＝∅)称为互斥事件．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件A∩B＝∅对立事件若A与B互斥(A∩B＝∅)，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作错误!A∩B＝∅且A∪B＝Ω思考：1.一颗骰子投掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝｛出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？提示：A＝C∩D.2．命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？（指充分性与必要性）提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球,则下列选项中两个事件是互斥事件的为(）A．“都是红球”与“至少一个红球"B．“恰有两个红球”与“至少一个白球"C．“至少一个白球”与“至多一个红球”D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”D[A,B，C中两个事件都可以同时发生，只有D项,两个事件不可能同时发生,是互斥事件．]2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(）A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3C［设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.]3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选9件,全部是一级品；②在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品；③在这200件产品中任意选9件，不全是一级品．其中_______是随机事件；_______是不可能事件．（填序号）①③②［因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品,所以②是不可能事件．］事件类型的判断【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2）三角形的内角和为180°;（3)没有空气和水，人类可以生存下去;（4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5）从分别标有1,2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签;（6）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．［解］（1)购买一注彩票，可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件．（2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．（3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水,人类无法生存，所以是不可能事件．（4）同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5）任意抽取，可能得到1，2，3,4号标签中的任一张,所以是随机事件．(6）由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．判断一个事件是哪类事件的方法判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．［跟进训练］1．下列事件不是随机事件的是(）A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷D．梅子黄时日日晴B［B是必然事件,其余都是随机事件．］事件关系的判断【例2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．（1）“恰有1名男生"与“恰有2名男生”；（2)“至少有1名男生”与“全是男生”；（3)“至少有1名男生"与“全是女生”;(4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生"．[解]从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生,1男1女．(1)“恰有一名男生"指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两个事件都不发生，所以它们不是对立事件．（2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3）“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．（4）“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生"与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．(2)考虑事件间的结果是否有交事件,可考虑利用Venn图分析,对较难判断关系的，也可列出全部结果,再进行分析．［跟进训练］2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每个事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．（1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；（2)“至少有1件次品"和“全是次品”；(3)“至少有1件正品"和“至少有1件次品"．［解］依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：（1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件,所以它们不是对立事件；同理可以判断（2)中的2个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．事件的运算［探究问题]1．事件的运算与集合的运算有什么对应关系？［提示］由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件，对应集合A与集合B的公共元素构成的集合为A∩B；由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件,对应由集合A或集合B中的元素组成的集合为A∪B。
第七章综合测试一、选择题（每小题5分，共40分） 1.下列事件是随机事件的是（ ）①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数01xy a a a =≠（＞且）在定义域上是增函数. A .①③B .①④C .②④D .③④2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的（ ） A .①②B .①③C .②③D .①②③3.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数（a ，b ，c ）称为勾股数.现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26），（15，20，25），（15，36，39）这几组勾股数中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数满足2b a c =+的概率为（ ） A .25B .79C .78D .9104.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知()12P A =，()16P B =，则“出现奇数点或2点”的概率为（ ） A .16B .13C .12D .235.下列试验属于古典概型的有（ ）①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，取出的球为红色的概率； ②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数； A .0个B .1个C .2个D .3个6.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ） A .23B .25C .35D .9107.某运动会期间，从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是（ ） A .115B .25C .35D .14158.一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min .则这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为（ ） A .13B .227C .427D .527二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A ，B 发生的概率相等，则称A 和B 是“等概率事件”，如：随机抛掷一枚骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”.关于“等概率事件”，以下判断正确的是（ ）A .在同一个古典概型中，所有的样本点之间都是“等概率事件”B .若一个古典概型的事件总数大于2，则在这个古典概型中除样本点外没有其他“等概率事件”C .因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件都是“等概率事件”D .同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”10.某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.A .顾客购买乙商品的概率最大B .顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2C .顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D .顾客仅购买1种商品的概率不大于0.311.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：C ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ） A .()0.55P A =B .()0.18P B =C .()0.27P C =D .()0.55P B C +=12.一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是（ ） A .任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B .每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16C .每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D .每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16 三、填空题（每小题5分，共20分） 13.若A ，B 是相互独立事件，且()12P A =，()23P B =，则()P AB =________，()P AB =________.14.《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题.现拟编试题如下：已知甲、乙、丙、丁四县向国家交税，则甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为________.15.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是________，3个矩形颜色都不同的概率是________.16.在一次数学考试中，第.设4名学生选做这两题的可能性均为12.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为________；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为________.四、解答题（共70分）17.（10分）某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如表所示：（1（2）求至少有3个人培训的概率.18.（12分）用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径（单位：cm）检验，结果如表：从这100（1）事件A：螺母的直径在（6.93，6.95]内；（2）事件B：螺母的直径在（6.91，6.95]内；（3）事件C ：螺母的直径大于6.96.19.（12分）甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢. （1）若以A 表示和为6的事件，求P （A ）；（2）现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.20.（12分）A ，B 两个箱子分别装有标号为0，1，2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.（1）从A ，B 箱中各取12x =的概率；（2）从A ，B 箱中各取1张卡片，用y 表示取出的2张卡片的数字之和，求0x =且2y =的概率.21.（12分）某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级.若4S ≤，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标如表：（1）利用表中提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品.①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.22.（12分）某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层随机抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2（1（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，求这2人中至少有1人的身高在[165，180）内的概率.第七章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】②④是随机事件，①是必然事件，③是不可能事件. 2．【答案】A【解析】从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，所有的样本点为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑.除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立.除“两球都为白球”和“两球恰有一白球”外，还有其他事件，如无白球，故②与“两球都为白球”互斥但不对立.③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥. 3．【答案】A【解析】从这10组勾股数随机抽取1组，共10种抽取方法，其中满足2b a c =+的有：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（15，20，25），共4种，故所求概率为42105P ==. 4．【答案】D【解析】因为“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，所以()()111263P P A P B =+=+=. 5．【答案】B【解析】古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性，①符合两个特征，是古典概型；②中的样本点的个数无限多；对于③，出现“两正”“两反”“一正一反”的可能性不相等，故不是古典概型. 6．【答案】D【解析】事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的总的样本点的个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率1911010P =-=. 7．【答案】C【解析】用列举法可得样本空间中样本点的总数为15，所求概率的事件包括的样本点的个数为9，所以93155P ==. 8．【答案】C【解析】设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ，因为事件A 等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为()111433327P A ⨯⨯==（1-）（1-）. 二、9．【答案】AD【解析】对于A ，由古典概型的定义知，所有样本点的概率都相等，故所有样本点之间都是“等概率事件”，故A 正确；对于B ，如在1，3，5，7，9五个数中，任取两个数，所得和为8和10这两个事件发生的概率相等，故B 错误；对于C ，由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故C 不正确；对于D ，同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果，其中“仅有一个正面”包含3种结果，其概率为38，“仅有两个正面”包含3种结果，其概率为38，故这两个事件是“等概率事件”，故D 正确. 10．【答案】BCD【解析】对于A ，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A 错误；对于B ，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=，故B 正确；对于C ，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=，故C 正确；对于D ，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.1830.2＜，故D 正确. 11．【答案】ABC【解析】由题意可知，()550.55100P A ==，()180.18100P B ==，事件A B +与事件C 为对立事件，且事件A ，B ，C 互斥，所以()()()()110.27P C P A B P A P B =+==---，()()()0.45P B C P B P C +=+=. 12．【答案】ACD【解析】记4件产品分别为1，2，3，a ，其中a 表示次品.A 选项，样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，a ），（2，3），（2，a ），（3，a ）}，“恰有1件次品”的样本点为（1，a ），（2，a ），（3，a ），因此其概率3162P ==，A 正确；B 选项，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，a ），（2，1），（2，3），（2，a ），（3，1），（3，2），（3，a ），（a ，1），（a ，2），（a ，3）}，因此()12n Ω=，B 错误；C 选项，“取出的2件中恰有1件次品”的样本点数为6，其概率为12，C 正确；D 选项，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，a ），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a ），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，a ）}，因此()16n Ω=，D 正确. 三、 13．【答案】16 16【解析】因为()()1223P A P B ==，，所以()()11122P A P A =-=-=1，()21133P B =-=.因为A ，B 相互独立，所以A 与B ，A 与B 相互独立，所以()()()111236P AB P A P B ==⨯=，()()()111236P AB P A P B ==⨯=.14．【答案】16【解析】依题意，所有的样本点为：甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—乙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一个交的情况也各有6种，故总的样本点数有24种，其中满足条件的样本点为：甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，共4种，故所求概率为41246=. 15．【答案】19 29【解析】以“红黄蓝”表示从左到右三个矩形所涂的颜色，则所有的样本点有：红红红、红红黄、红红蓝、红黄红、红黄黄、红黄蓝、红蓝红、红蓝黄、红蓝蓝、黄红红、黄红黄、黄红蓝、黄黄红、黄黄黄、黄黄蓝、黄蓝红、黄蓝黄、黄蓝蓝、蓝红红、蓝红黄、蓝红蓝、蓝黄红、蓝黄黄、蓝黄蓝、蓝蓝红、蓝蓝黄、蓝蓝蓝，共27个样本点，事件“3个矩形颜色都相同”所包含的样本点有：红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝，共3个，所以3个矩形颜色都相同的概率是31279=.事件“3个矩形颜色都不同”所包含的样本点有：红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝黄红、蓝红黄，共6个，所以3个矩形颜色都不同的概率是62279=. 16．【答案】12 14【解析】设事件A 表示“甲选做第22题”，事件B 表示“乙选做第22题”，则甲，乙2名学生选做同一道题的事件为“AB AB +”，且事件A ，B 相互独立，所以()()()()()111111122222P AB AB P A P B P A P B +=+=⨯+-⨯-=（）（）.所以甲、乙2名学生选做同一道题的概率为12；因为()()111224P A P B =⨯=，所以甲、乙2名学生都选做第22题的概率为14. 四、17．【答案】（1）设“有2人及以下培训”为事件A ，“有3人培训”为事件B ，“有4人培训”为事件C ，“有5人培训”为事件D ，“有6人及以上培训”为事件E ，所以“有4个人或5个人培训”的事件为事件C 或事件D ，A ，B ，C ，D ，E 为互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式可知()()()0.30.10.4P C D P C P D =+=+=.（2）“至少有3个人培训”的对立事件为“有2人及以下培训”，所以由对立事件的概率可知()110.10.9P P A =-=-=.18．【答案】（1）螺母的直径在（6.93，6.95]内的频数为261541A n =+=，所以事件A 的频率为410.41100=. （2）螺母的直径在（6.91，6.95]内的频数为1717261575B n =+++=.所以事件B 的频率为750.75100=.（3）螺母的直径大于6.96的频数为224C n =+=，所以事件C 的频率为40.04100=.19．【答案】（1）甲、乙出手指都有5种可能，因此样本点的总数为5525⨯=，事件A 包括甲、乙出的手指的情况有（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）共5种情况，所以()51255P A ==. （2）B 与C 不是互斥事件.因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件.（3）这种游戏规则不公平.和为偶数的样本点的个数为13个，（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）.所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1325.所以这种游戏规则不公平. 20．【答案】（1）记事件A ={从A ，B 箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}.样本点的总个数为6530⨯=，事件A 包含样本点的个数为5.由古典概型的概率公式得()51306P A ==.则2x =的概率为16. （2）记事件B ={从A ，B 箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}.事件B 包含的样本点的个数为10.由古典概型的概率公式得()101303P B ==.则0x =且2y =的概率为13. 21．【答案】（1）计算10件产品的综合指标S ，如表：其中4S ≤的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为0.610=，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.（2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种.②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种.所以()62155P B ==. 22．【答案】（1）设高一女生人数为x ，由题中表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.因此高一女生的人数为300.（2）由题中表1和表2可得样本中身高在[165，180）的男、女生人数分别为32，10，其和为42.样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165，180）的概率为423705=.估计该校学生身高在[165，180）的概率为35. （3）由题中表格可知：女生身高在[165，180）的概率为13.男生身高在[165，180）的概率为45，所以这2人中至少有1人的身高在[165，180）内的概率为414141131153535315⨯-+-⨯+⨯=（）（）.。
1.3随机事件【学习目标】1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.2.理解随机事件与样本点的关系.◆知识点随机事件1.随机事件一般地,把试验E的样本空间Ω的称为E的随机事件,简称事件,常用A,B,C 等表示.在每次试验中,当一个事件发生时,这个子集中的样本点必出现一个;反之,当这个子集中的一个样本点出现时,这个事件必然发生.2.必然事件样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;它包含样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.3.不可能事件空集⌀也是Ω的一个子集,可以看作一个事件.由于它任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称⌀为不可能事件.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)能够人为控制随机事件的发生或不发生.()(2)掷两枚硬币,均出现反面朝上为随机事件.()◆探究点一随机事件、必然事件与不可能事件的理解例1 (1)从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个.给出以下事件:①三个正品;②至少有一个正品;③一个正品,两个次品;④三个次品;⑤至少有一个次品.以上事件中必然事件是,不可能事件是,随机事件是.(填序号)(2)(多选题)下列说法中正确的有()A.“将三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件B.“当x为某一实数时,可使x2<0”是不可能事件C.“明天要下雨”是必然事件D.“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个灯泡,5个灯泡都是次品”是随机事件[素养小结]判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件,首先一定要看条件,其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件),还是一定不发生(不可能事件).◆探究点二用样本点表示事件[提问] 盒子里装有标号为1,2,3,4的4个相同小球,不放回地先后摸出2个小球,若先后摸到的小球的标号分别记为x,y,并且表示为(x,y),则(2,3)与(3,2)是不是该试验的同一个结果?例2同时转动如图所示的两个转盘,记(x,y)表示转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y.(1)写出这个试验的样本空间.(2)求这个试验包含的样本点的总数.(3)用集合表示下列事件:①事件M为“x+y=5”;②事件N为“x<3,且y>1”;③事件T为“xy=4”.变式试验E:袋中有红球、白球各一个,每次任取一个,有放回地摸三次,观察球的颜色.(1)写出试验的样本空间.(2)用样本点表示下列事件:①事件A表示“恰有两次球的颜色相同”;②事件B表示“三次球的颜色全相同”;③事件C表示“摸到的红球多于白球”.[素养小结]对随机事件的表示,要依据以下两点:一是能用列举法正确地表示试验的样本空间;二是结合随机事件的实际含义在样本空间中找出符合随机事件要求的样本点.拓展试验E:在甲、乙两个盒子中均装有标号为1,2,3,4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,观察球的标号.(1)写出试验的样本空间.(2)用样本点表示下列事件:①事件A表示“从甲盒子中取出3号球”;②事件B表示“取出的两个球的标号为相邻整数”;③事件C表示“取出的两个球的标号之和能被3整除”.◆探究点三根据样本点确定随机事件的含义例3某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同),指出下列事件的含义:(1)事件A={(A,X),(B,Y),(C,Z)};(2)事件B={(X,Y),(X,Z),(Y,Z)};(3)事件C={(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Y),(B,Z),(C,X),(C,Y),(C,Z)};(4)事件D={(A,X),(A,Y),(A,Z),(A,B),(A,C)}.变式连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,观察每次出现的点数,指出下列事件的含义.(1)事件C={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)};(2)事件D={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)};(3)事件E={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.[素养小结]根据样本点确定事件的含义,样本点必须满足两点:(1)事件中的样本点有共同的特点;(2)样本空间中具有此特点的样本点都在此事件中.1.3随机事件【课前预习】知识点1.子集2.所有的3.不包含诊断分析(1)×(2)√【课中探究】探究点一例1(1)②④①③⑤(2)ABD[解析] (1)②至少有一个正品,是必然事件;④三个次品,是不可能事件;①③⑤是随机事件.(2)“将三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生,是必然事件,A正确;“当x为某一实数时,可使x2<0”不可能发生,是不可能事件,B正确,“明天要下雨”不一定发生,是随机事件,C错误;“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个灯泡,5个灯泡都是次品”有可能发生,也有可能不发生,是随机事件,D正确.故选ABD.探究点二提问解:不是.例2解:(1)样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.(2)由(1)可知,这个试验包含的样本点总数为16.(3)①“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),所以M={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.②“x<3,且y>1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),所以N={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}.③“xy=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1),所以T={(1,4),(2,2),(4,1)}.变式解:(1)由题意知,样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.(2)①事件A={(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红)}.②事件B={(红,红,红),(白,白,白)}.③事件C={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红)}.拓展解:(1)由题意知,试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.(2)①事件A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.②事件B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.③“取出的两个球的标号之和能被3整除”等价于“取出的两个球的标号之和为3或6”,所以事件C={(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)}.探究点三例3解:从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛,则样本空间为Ω={(A,B),(A,C),(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,C),(B,X),(B,Y),(B,Z),(C,X),(C,Y),(C,Z),(X,Y),(X,Z),(Y,Z)}. (1)观察事件A中的样本点可知,每个样本点中的两人都来自同一年级,因此,若事件A中所含样本点出现一个,则“两人来自同一年级”发生,同时,由样本空间可知,若“两人来自同一年级”发生,则事件A中的样本点必然出现其中一个.因此事件A的含义为:从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛,这2人来自同一年级.(2)事件B的含义为:从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛,这2人都是女同学.(3)事件C的含义为:从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛,这2人为一男一女.(4)事件D的含义为:从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛,这2人中有同学A.变式解:(1)事件C的含义为:连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,第二次出现的点数为1.(2)事件D的含义为:连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,第二次出现的点数比第一次出现的点数大1.(3)事件E的含义为:连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,两次出现的点数之和为5.。
随机事件【教学目标】1．知识技能目标：了解必然事件、不可能事件、随机事件的特点。
2．数学思考目标：学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程，发展学生从纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力。
3．解决问题目标：能根据随机事件的特点，辨别哪些事件是随机事件。
4．情感态度目标：引领学生感受随机事件就在身边，增强学生珍惜机会，把握机会的意识。
【教学重点】随机事件的特点。
【教学难点】判断现实生活中哪些事件是随机事件。
【教学过程】一、活动一问题情境摸球游戏三个不透明的袋子均装有10个乒乓球。
挑选多名同学来参加游戏。
游戏规则每人每次从自己选择的袋子中摸出一球，记录下颜色，放回，搅匀，重复前面的试验。
每人摸球5次。
按照摸出黄色球的次数排序，次数最多的为第一名，其次为第二名，最少的为第三名。
师生行为教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球。
学生积极参加游戏，通过操作和观察，归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的，在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的，在第3个袋子中摸出黄色球是必然的。
教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点。
设计意图通过生动、活泼的游戏，自然而然地引出必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件，不仅能够激发学生的学习兴趣，并且有利于学生理解。
能够巧妙地实现从实践认识到理性认识的过渡。
二、活动二问题情境指出下列事件中哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？1．通常加热到100°C时，水沸腾；2．姚明在罚球线上投篮一次，命中；3．掷一次骰子，向上的一面是6点；4．度量三角形的内角和，结果是360°；5．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯；6．某射击运动员射击一次，命中靶心；7．太阳东升西落；8．人离开水可以正常生活100天；9．正月十五雪打灯；10.宇宙飞船的速度比飞机快。
随机事件的运算【学习目标】1．了解事件间的相互关系.2．理解互斥事件、对立事件的概念.【学习重难点】1．事件间的相互关系.2．互斥事件、对立事件.【学习过程】一、问题预习预习教材，思考以下问题：1．如何理解事件A包含事件B？事件A与事件B相等？2．什么叫做并事件？什么叫做交事件？3．什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？互斥事件与对立事件的联系与区别是什么？二、合作探究1．互斥事件与对立事件的判断某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．（1）恰有1名男生与恰有2名男生；（2）至少有1名男生与全是男生；（3）至少有1名男生与全是女生；（4）至少有1名男生与至少有1名女生．【解】判断两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．2．事件的运算盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．求：（1）事件D与A．B是什么样的运算关系？（2）事件C与A的交事件是什么事件？【解】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A＋B．（2）对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故CA＝A．【学习小结】图示【精炼反馈】1．掷一枚质地均匀的骰子，记事件M＝{出现的点数是1或2}，事件N＝{出现的点数是2或3或4}，则下列关系成立的是()A．M＋N＝{出现的点数是2}B．MN＝{出现的点数是2}C．M⊆ND．M＝N解析：选B．M＋N＝{出现的点数是1或2或3或4}，MN＝{出现的点数是2}，A不正确，B正确；当出现的点数是1时，M发生，N不发生，故C，D都不正确．2．若A与B为互斥事件，则()A．P（A）＋P（B）<1B．P（A）＋P（B）>1C．P（A）＋P（B）＝1 D．P（A）＋P（B）≤1解析：选D．若A与B为互斥事件，则P（A）＋P（B）≤1．故选D．3．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是()A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有红球也有白球D．取出的3个球中不止一个红球解析：选D．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有：“3个红球”“1红2白”“2红1白”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3红或是2红1白”即“3个球不止一个红球”．故选D．4．从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200克的概率为0.2，质量在[200，300]内的概率为0.5，那么质量超过300克的概率为________．解析：设质量超过300克的概率为P，因为质量小于200克的概率为0.2, 质量在[200，300]内的概率为0.5，所以0.2＋0.5＋P＝1，所以P＝1－0.2－0.5＝0.3．答案：0.3。
1.4 随机事件的运算-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案前置知识在讲解随机事件的运算之前，我们需要先了解一些基本的概率知识。
概率可以理解为一个事件发生的可能性大小，通常用一个在0到1之间的实数来表示。
具体来说，如果一个事件发生的概率为0，则表示这个事件不可能发生；如果一个事件发生的概率为1，则表示这个事件一定会发生；如果一个事件发生的概率在0和1之间，则表示这个事件有可能发生，但也有可能不发生。
对于两个事件A和B，我们可以定义它们的交集、并集和补集：•交集：事件A和B的交集是指既属于A又属于B的所有样本点构成的集合，通常用符号A∩B来表示；•并集：事件A和B的并集是指属于A或属于B的所有样本点构成的集合，通常用符号A∪B来表示；•补集：事件A的补集是指所有不属于A的样本点构成的集合，通常用符号A的撇（即A’）来表示。
通过这些基本定义，我们可以开始讲解随机事件的运算了。
随机事件的运算相关概念在讲解随机事件的运算之前，我们先介绍一些相关的概念。
•完备事件组：设S为样本空间，如果S中的若干个事件A1，A2，…，An满足它们两两互不相容（即任意两个事件的交集为空集），且它们的并集等于S，则称A1，A2，…，An为S的一个完备事件组；•随机事件的和：设A和B为两个事件，则A和B的和为事件A∪B；•随机事件的积：设A和B为两个事件，则A和B的积为事件A∩B；•互相独立的事件：如果事件A和B满足P(AB) = P(A)P(B)成立，则称事件A 和B是互相独立的。
随机事件的和的概率设A和B为两个事件，其和为A∪B。
我们可以将A∪B划分为三个部分：A，B，和在A和B中同时出现的部分，它们之间两两互不相容。
因此，有：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
这个公式可以很方便地用于计算两个事件的和的概率。
1.3 随机事件-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.了解随机事件的定义；2.能够使用概率模型进行随机事件的分析；3.掌握随机事件的加减法原理和乘法原理；4.能够使用树状图和表格法解决与随机事件有关的问题。
二、教学重点1.随机事件的定义；2.随机事件的概率模型；3.随机事件的加减法原理和乘法原理。
三、教学难点1.加减法原理和乘法原理的运用；2.使用树状图和表格法解决随机事件问题。
四、教学方法1.课堂讲授；2.案例教学；3.小组讨论。
五、教学过程第一步：引入引导学生回忆在日常生活中遇到过的随机事件，如掷骰子、抽签等，让学生意识到随机事件的普遍性。
第二步：概念讲解1.引入随机事件的概念，随机事件是指现象的结果不会预先确定，且在一定的条件下可以观察到的现象。
2.解释样本空间、样本点和事件的概念，样本空间是指包含随机试验中所有可能结果的集合，样本点是样本空间中的一个元素，表示随机试验的一个结果，事件是样本空间中的一个子集，表示观测到的结果具有某种性质。
3.讲解概率的定义和计算公式，概率是某一事件发生的可能性大小，用数值表示，通常用P(A)表示，计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)表示事件A中元素个数，n(S)表示样本空间中元素个数。
第三步：加减法原理和乘法原理1.加减法原理的概念和公式，根据加减法原理，若A和B是两个互不相交的随机事件，则P(A或B) = P(A) + P(B)，P(A和B) = 0；若A和B不是互不相交的，则P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A和B)。
2.乘法原理的概念和公式，根据乘法原理，若A和B是两个独立的随机事件，则P(A和B) = P(A) × P(B)。
第四步：树状图和表格法1.树状图的使用方法，将所有可能的随机试验结果列出来，从根节点开始自上而下，依次按照不同可能情况进行划分，最终形成叶节点。
2.表格法的使用方法，将试验的过程和可能的结果按照表格形式进行排列，根据试验过程逐步填写每一列。
随机现象【学习目标】1．了解随机现象的概念。
2．会判断随机现象与确定性现象。
【自学导引】1．现象（1）确定性现象在一定条件下____________________的现象。
（2）随机现象在相同的条件下____________________，每次观察到的结果____________，事先很难预料哪一种结果会出现的现象。
2．随机现象的特点：（1）___________________________________________（2）___________________________________________【学习过程】判断确定性现象和随机现象例判断下列现象是确定性现象还是随机现象。
（1）小明在校学生会主席竞选中成功；（2）掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；（3）某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；（4）标准大气压下，把水加热至100℃沸腾；（5）骑车经过十字路口时，信号灯的颜色。
点评抓住判断确定性现象与随机现象的关键——在一定条件下，现象发生的结果是否可以预知确定，是解决这类问题的方法。
变式迁移1下列现象：℃当x是实数时，x－|x|＝2；℃某班一次数学测试，及格率低于75%；℃从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；℃体育彩票某期的特等奖号码。
其中是随机现象的是()A．℃℃℃ B．℃℃℃ C．℃℃℃ D．℃℃℃【学习小结】自然界中的现象包括确定性现象和随机现象，随机现象的结果至少有两种，并且事先并不知道会出现哪一种结果。
【精炼反馈】一、选择题1．下列现象中不是随机现象的是()A．某人购买福利彩票中奖B．从10个杯子(其中8个正品，2个次品)中任取2个，2个均为次品C．在标准大气压下，水加热到100℃沸腾D．某人投篮10次，投中8次2．下列现象中，随机现象的个数为()℃明天是阴天；℃方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；℃明年长江武汉段的最高水位是29．8米；℃一个三角形的大边对大角，小边对小角。
