下载文档原格式
医生给病人开处方的时候必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔，超剂量的药品会对身体产生不良后果，甚至死亡，而剂量不足，则不能达到治病的目的。
已知患者服药后，随时间推移，药品在体内逐渐被吸收，发生生化反应，也就是体内药品的浓度逐渐降低，药品浓度降低的速度与体内当时药品的浓度成正比。
当服药量为a，服药间隔为T时，试分析体内药品浓度随时间的变化规律。
本题研究服药时间间隔对药物疗效的影响。
一、问题摘要我们知道，患者服药后，随时间推移，药品在体内逐渐被吸收，发生化学反应，也就是体内药品的浓度逐渐降低，药品浓度的变化量与服药量成正比。
医生给病人开处方时，必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔。
超剂量的药品回对身体产生严重不良后果，甚至死亡，而剂量不足，则达不到治病的目的。
试研究药品在体内浓度的变化规律。
二、问题分析及补充2.1药物浓度变化指数模型患者服药后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,体内药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比.当服药量为A，初始药物浓度为a，服药间隔为T,体内药的浓度随时间的变化规律分析：浓度方程：dx=−kx,t≠nTdt满足条件：x(0)=a,x(nT)=a+x(nT)解得：x(t)=x(nT)e−k(t−nT),t∈[nT,(n+1)T]在0≤t≤T内，方程的解为x(t)=ae−kx，0≤t<T在T≤t<2T内，方程的解为x(t)=(a+ae−kT)e−k(t−T),T≤t<2T⋯⋯在T≤t<(n+1)T内,方程的解为x(t)=(a+ae−kT+ae−2kT+⋯+ae−nkT)e−k(t−nT),nT≤t<(n+1)T 由于a+ae−kT+ae−2kT+⋯+ae−nkT=a 1−e−(n+1)T1−e−kT→a1−e−kT由此看出，在等间隔服药的情况下，药物的浓度在人体中呈上升趋势，且最后会稳定在一定的水平。
浓度变化曲线如图示：（其中原方程解中：K=0.1，A=0.1;T=8）注：解题及编程参考自《数学建模》，高等教育出版社。
![[管理]血药浓度随时间变化的规律及药动学参数](https://img.taocdn.com/s1/m/4efc5e3ae3bd960590c69ec3d5bbfd0a7956d576.png)
血药浓度随时间变化的规律及药动学参数血药浓度随时间变化的规律及药动学参数（一）药时曲线用药后药物在体内的浓度可因转运或转化以致随时间而变化，药效也随着浓度而变化，如以曲线表示，则前者称时量关系曲线（Time-concentration Relationship Curve），后者为时效关系曲线（Time-response Relationship Curve）。
以非静脉一次给药为例，药物的时量关系和时效关系经历以下三个阶段：潜伏期－持续期－残留期。
潜伏期：用药后到开始出现作用的时间，反映药物的吸收和分布；持续期：药物维持有效浓度的时间；残留期：药物浓度已降至最小有效浓度以下时，但尚未从体内完全消除的时间。
（三）药物的消除动力学：血药浓度不断衰减的动态变化过程。
药物的消除：药物经生物转化和排泄使药理活性消失的过程。
药物的消除动力学有两种：1、一级消除动力学：指单位时间内药物按恒定的比例消除。
即血液中药物的消除速率与血中的药物浓度成正比，机体的血药浓度高，其单位时间内消除的药量多，消除速度随血药浓度下降而降低。
在血药浓度下降以后，药物的消除仍然按比率消除，故又称之为药物的恒比消除。
大多数药物按此方式消除。
如每小时消除1/2。
2、零级消除动力学：指单位时间内药物按恒定数量进行的消除。
即不论血浆药物浓度高低，单位时间内消除的药物量不变。
故又称之为药物的恒量消除。
常为药量过大，超过机体最大消除能力所致。
如每小时消除100mg/h。
（三）药物的消除动力学：血药浓度不断衰减的动态变化过程。
药物的消除：药物经生物转化和排泄使药理活性消失的过程。
药物的消除动力学有两种：1、一级消除动力学：指单位时间内药物按恒定的比例消除。
即血液中药物的消除速率与血中的药物浓度成正比，机体的血药浓度高，其单位时间内消除的药量多，消除速度随血药浓度下降而降低。
在血药浓度下降以后，药物的消除仍然按比率消除，故又称之为药物的恒比消除。
大多数药物按此方式消除。
药物缓释系统的体内外评价药物缓释系统是一种广泛应用于药物输送领域的技术，它能够控制药物在体内的释放速率，以实现长效治疗或减少药物剂量频次。
因此，对于药物缓释系统的体内外评价变得尤为重要。
本文将就药物缓释系统的体内外评价方法、重要性以及相关研究进行探讨。
一、体内评价方法1. 药物释放试验在体内评价药物缓释系统的性能时，最重要的是确定药物是否可以以预期的速率释放。
药物释放试验通常使用离体释放试验和体外/体内药物释放动力学模型来进行。
离体释放试验是一种常用的评估药物缓释系统释放性能的方法。
在实验中，药物缓释系统被置于适当的缓冲介质中，通过采集样品并测量药物浓度来评估药物释放速率。
体外/体内药物释放动力学模型是一种更贴近实际的体内释放评价方法。
这种方法通过使用动力学方程模拟药物在体内的释放行为，结合体外实验数据，可以提供更准确的药物释放速率及释放机制信息。
2. 药物代谢和负荷监测为了评价药物缓释系统在体内的药物释放效果，需要同时对药物的代谢和负荷进行监测。
通过采集体内样品，如血液、尿液等，可以监测药物浓度的变化以及相关的药物代谢产物。
3. 影像学评价某些情况下，药物缓释系统的体内评价可以通过影像学方法进行，如放射性示踪剂技术、磁共振成像等。
这些方法可以帮助观察药物缓释系统在体内的分布、药物释放位置以及释放速率等信息。
二、重要性药物缓释系统的体内外评价对于药物研发和临床应用都具有重要意义。
1. 导向药物设计通过对药物缓释系统的体内评价，可以了解药物在体内的释放规律，进而指导药物的设计。
合理的药物缓释系统可以提高药物的治疗效果，降低剂量频次，减轻患者的痛苦和不适。
2. 评估药物安全性药物缓释系统的体内外评价也能够帮助评估药物的安全性。
通过监测药物浓度的变化以及相关的代谢产物，可以确定药物的代谢途径和药物的副作用。
3. 改进药物疗效通过对药物缓释系统的体内评价，有助于了解药物的释放速率和释放位置是否符合治疗要求。
医用高等数学试题1. 建模与微分方程某医院整理了一组病人的实验数据，发现他们在被注射某种药物后，体内药物浓度的变化可以用以下微分方程描述：\[ \frac{{dC}}{{dt}} = -kC \]其中，\( C \) 表示病人体内的药物浓度，\( t \) 表示时间，\( k \) 为常数。
请回答以下问题：a) 请解释该微分方程中各个参数的物理含义，并说明其单位。
b) 利用该微分方程及已知条件，求解出药物浓度 \( C \) 与时间 \( t \) 的关系式。
c) 若某位病人的初始药物浓度为 100 mg/L，且经过 2 小时后浓度下降至 50 mg/L，请计算该药物的半衰期。
2. 曲线拟合与概率某药物在人体内的分布情况可以用以下方程描述：\[ C(t) = \frac{{A \cdot e^{-k_1 \cdot t}}}{{1 + k_2 \cdot t}} \]其中，\( C(t) \) 为药物浓度，\( t \) 为时间，而 \( A \)，\( k_1 \)，\( k_2 \) 均为常数。
某研究小组通过实验得到了一组药物浓度的数据，并希望通过曲线拟合来估计未知的参数值。
请回答以下问题：a) 解释方程中各个参数的物理含义，并说明其单位。
b) 利用已有的实验数据，通过最小二乘法拟合曲线，求解未知参数的数值，并给出拟合的曲线方程。
c) 对于拟合得到的曲线方程，若药物浓度 \( C(t) \) 达到峰值后开始下降，在什么条件下浓度可以收敛到接近零的稳定值？3. 概率与统计某医院对一种特定疾病的诊断准确率进行了研究。
根据数据统计，一个人真正患有该疾病的概率为 0.05，而经过医院的诊断，诊断结果显示该人患有该疾病的概率为 0.98。
进一步，研究还发现该医院通过这种诊断方法错误地将一些没有该疾病的人诊断为患有该疾病，错误率为 0.03。
请回答以下问题：a) 若一个人在该医院被诊断患有该疾病，那么他真正患有该疾病的概率是多少？b) 若一个人在该医院被诊断不患有该疾病，那么他实际上可能患有该疾病的概率是多少？c) 利用统计学相关知识，你认为在这种情况下，该医院的诊断方法的可靠性如何评价？有何改进的建议？4. 误差分析与可行性研究某医疗设备用于测量患者体内某种物质的浓度，设备测得的浓度值与实际浓度存在误差。
体内药物浓度的变化摘要本文研究体内药物浓度变化的相关问题。
在这个问题的研究中，我们采用了典型的房室模型。
将人体看作是一个单房室系统，并且针对几种不同的给药方式分别进行了讨论：针对第一种一次性给药的方式，将人体看作是只输出不输入的房室模型，第一次给药之后就不再有输入，从而构建常微分方程来求解；针对第二种等间隔服药的情况，药物以近似脉冲的方式进入人体，从而构建常微分方程来求解；针对第三种恒速静脉点滴的情况，药物以近似恒速的方式进入人体，从而构建常微分方程来求解。
在各步骤的求解中，都是将人体看做房室模型，通过构造常微分方程来模拟求解关键词：药物浓度变化房室模型常微分方程一、问题重述医生给病人开处方时必须注明两点:服药的剂量和服药的时间间隔.超剂量的药品会对身体产生严重不良后果,甚至死亡,而剂量不足,则不能达到治病的目的.已知患者服药后,随时间推移,药品在体内逐渐被吸收,发生生化反应,也就是体内药品的浓度逐渐降低.药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比.当服药量为A、服药间隔为T,试分析体内药的浓度随时间的变化规律.体内药物浓度的变化问题是分析病人进药之后，药物在体内被吸收，药物浓度在血液之中含量上升，而作用在人身之后时间段内药物浓度在体内变化的情况。
讨论问题：1、一次性注射的情况下，药物浓度在人体内如何变化?2、等间隔服药的情况下，药物浓度在人体内如何变化？3、恒速静脉点滴的情况下，药物浓度在人体内如何变化？二、问题分析实际上，体内药物浓度的变化是一个很复杂的问题，涉及到很多因素。
在本文讨论的方法中，主要采用的是房室模型，就是忽略诸多的次要因素，只考虑一些最重要的影响作用最大的因素，以此来简化问题。
药物进入机体之后形成血药浓度(单位体积血液的药物量)，在给药方案的设计中，应该使药物浓度始终保持在一个合适的有效范围内，既使药物浓度达到一个最有效的水平，又可以防止浓度过高而对人产生副作用。
我们借鉴药物动力学中的有关知识，建立房室模型，模拟药物在体内吸收、分布和排除过程，我们建立的房室模型属于机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移，利用这些规律来对问题进行模拟求解。
确定了以上这些基本问题之后，就通过高等数学中的常微分方程来模拟药物浓度在体内的变化。
三、模型假设1、假设药物的分解排出速率与药物当前的浓度成正比；2、假设药物从服用到到达体液的过程中没有损失，即被完全吸收；3、假设药物在人体的体液中是均匀分布的；四、符号说明x(t) t 时刻人体内的药物浓度值 v(t) t 时刻人体内药物消耗速率k 药物消耗速率与人体内药物浓度的比例系数 A 每次的注射量v 0 恒速静脉点滴时体内药物浓度的增量 T 每次等间隔服药的时间五、模型建立假设注射药物后完全吸收，那么每次增量就是a ，随着时间的推移，药物浓度会下降，若一次性注射则药物递降至无，若等间隔服药则药物浓度会在服药期上升，若恒速注射则药物浓度可能最终恒速变化。
一次注射药物后，体内浓度为a ，此时为零时刻 则： x(0)=a根据药物在人体内的消耗与人体内药物浓度成正比，列出方程v dtx=d v=kx(t) 得：)(d t kx dtx= 求解上述方程： x （t ）=C*kte将x(0)=a 代入得C=a因此一次服药后浓度变化方程为kte a t x *)(=六、模型分析分三种情况来对模型进行分析：1、一次性注射的情况：一次性注射情况即最简单的服药模型，如同上述解答，那么我们将代入实际数值来用Matlab 模拟作图令a=0.1，k=-0.1，代入作图 执行程序结果如下：102030405060708000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1上图即一次性服药情况下，人体内药物浓度的变化曲线。
从图中可以看出，随着时间的推移，人体内的药物浓度最终会为0。
2、等间隔服药的情况：考虑到等间隔服药的脉冲性得到： 其中T 为每次服药之间的间隔时间nT t kx dt dx≠-=,)()(,)0(-+==nT x a nT x a x在区间[nT,(n+1)T]上求解方程得到])1(,[,)()()(T n nT t e nT x t x nT t k +∈=--在0≤t ＜T 内，方程的解为T t 0,)(＜≤=-kt ae t x在T ≤t ＜2T 内，方程的解为T T e ae a t x T t k kT 2t ,)()()(＜≤+=---在T T 3t 2＜≤内，方程的解为 T e ae ae a t x T t k kt kt 3t 2,)()()2(2＜≤++=----……在T n nT )1(t +≤＜内，方程的解为T n nT e ae ae ae a t x nT t k nkT kt kt )1(t ,)()()(2+≤+⋯⋯+++=-----＜由于kT kT T n k nkTktkte ae e a aeaeaea --+-----→--=+⋯⋯+++111)1(2由此看出，在等间隔服药的情况下，药物的浓度在人体中呈上升趋势，且最后会稳定在一定的水平，当T=8，k=0.1，a=0.1时，利用Matlab 编程得出数值计算结果如下：运算得到体内药物的浓度应该维持在0.0817-0.1816的浓度范围。
运算得到的示意图如下：0204060801001203、静脉恒速注射的情况：静脉恒速注射时，药物会以一定速率v 0持续注射到人体内，则人体内药物浓度的变化率会有变化，列出方程：0v )(d +=t kx dtx解上述方程得：X=(a+k v 0)* kt e —kv 0 利用Matlab 编程模拟得出如下图形：0204060801001201401601802000.020.040.060.080.10.12从模拟出的图形中可以看出，随着时间的推移，药物浓度会逐渐上升，但是最终会达到一个恒定的浓度，针对这个模型，得出的最终药物浓度维持在0.1而不再变化，这个浓度显然是和滴定的速率是有关的。
七、模型检验1、一次性注射的情况，查阅文献资料的到如下的数据： 此为单次静脉给药PS916血液浓度的观测数据：据此绘出如下图形：比较得，与建立的模型模拟出的一次性服药的情况类似，模型的模拟性较好。
2、等间隔服药模型的检验：查阅文献资料得到等间隔给药后体内药物弄度的变化如下图：与所建立的数学模型进行比较可以看出模型的符合度较高。
3、恒速静脉滴注的模型检验：查阅文献资料得到：m）L-HOP和GEM后血浆中浓度的测定：肝肿瘤患者静脉恒速滴注高剂量（130mg/2将数据进行绘图得到：可以看出在一定时间以后，药物的浓度就稳定，与上面所建立的数学模型符合较好。
八、模型优缺点上文的讨论都是将人体看作是一个较为简单的房室模型，从而将问题简化而忽略诸多的次要因素，只考虑主要因素对人体内药物浓度变化的影响。
这种方法有利于对主要因素的研究从而较易的观察总结规律。
但是实际上人体的实际情况远远要比这种房室模型复杂的多，药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官，而并不是单一的简单的输出和输入。
因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型。
九、参考文献[1]周义仓等，数学建模实验，西安交通大学出版社，第2版，2007年8月。
[2]朱旭等，MATLAB 软件与基础数学实验，西安交通大学出版社，2008年1月。
[3]宋晓坤，奥沙利铂腹腔热灌注安全性考察及药代动力学研究，天津医科大学，2008年5月。
[4]吕志华，海洋多糖药物PS916的荧光标记及其药代动力学研究，中国海洋大学，2008年6月。
[5]陆佳契，髂内动脉灌注甲氨蝶呤在大鼠体内各组织药物浓度监测，复旦大学，2007年4月。
十、附录1、一次性注射情况的程序： t=0:0.1:80x=0.1*exp((-0.1)*t) plot(t,x,'linewidth',2) 运行后的图形如下：102030405060708000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.12、等间隔服药的情况程序： a=0.1 T=8k=0.1n=0q=ap=exp(-k*n*T)t=0;x=ahold onwhile t<100t=t+0.01;if t<(n+1)*Tx=x*exp(-0.01*k)elseif t>=(n+1)*Tn=n+1q=q+a*exp(-n*k*T)p=p*exp(k*T)x=p*q*exp(-k*t)endplot(t,x)end运行后得出的图形如下：0204060801001203、静脉恒速注射情况的程序：v0=0.01k=0.1t=0:0.1:200x=v0/k-0.1*exp(-k*t)plot(t,x)axis([0 200 0 0.12])运行后的图形如下：02040608010012014016018020000.020.040.060.080.10.12（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
