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各种参数的极大似然估计1.引言在统计学中，参数估计是一项关键任务。
其中，极大似然估计是一种常用且有效的方法。
通过极大化似然函数，我们可以估计出最有可能的参数值，从而进行推断、预测和优化等相关分析。
本文将介绍各种参数的极大似然估计方法及其应用。
2.独立同分布假设下的参数估计2.1参数估计的基本理论在独立同分布假设下，我们假设观测数据相互独立且具有相同的概率分布。
对于一个已知的概率分布，我们可以通过极大似然估计来估计其中的参数。
2.2二项分布参数的极大似然估计对于二项分布，其参数为概率$p$。
假设我们有$n$个独立的二项分布样本，其中成功的次数为$k$。
通过极大似然估计，我们可以得到参数$p$的估计值$\h at{p}$为：$$\h at{p}=\f ra c{k}{n}$$2.3正态分布参数的极大似然估计对于正态分布，其参数为均值$\mu$和标准差$\si gm a$。
假设我们有$n$个独立的正态分布样本，记为$x_1,x_2,...,x_n$。
通过极大似然估计，我们可以得到参数$\mu$和$\si gm a$的估计值$\h at{\m u}$和$\ha t{\s ig ma}$分别为：$$\h at{\mu}=\f rac{1}{n}\su m_{i=1}^nx_i$$$$\h at{\si gm a}=\s q rt{\fr ac{1}{n}\s um_{i=1}^n(x_i-\h at{\mu})^2}$$3.非独立同分布假设下的参数估计3.1参数估计的基本理论在非独立同分布假设下，我们允许观测数据的概率分布不完全相同。
此时，我们需要更加灵活的方法来估计参数。
3.2伯努利分布参数的极大似然估计伯努利分布是一种二点分布，其参数$p$表示某事件发生的概率。
假设我们有$n$组独立的伯努利分布样本，其中事件发生的次数为$k$。
通过极大似然估计，我们可以得到参数$p$的估计值$\h at{p}$为：$$\h at{p}=\f ra c{k}{n}$$3.3泊松分布参数的极大似然估计泊松分布是一种描述罕见事件发生次数的概率分布，其参数$\la mb da$表示单位时间（或单位面积）内平均发生的次数。
最大似然估计与参数的点估计最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, 简称MLE)是一种常用的统计推断方法，被广泛应用于各个领域中的参数估计问题。
通过选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值，来估计未知参数。
在本文中，将介绍最大似然估计的原理和方法，并探讨参数的点估计。
一、最大似然估计的原理和方法最大似然估计的原理是基于概率论的思想和假设。
对于一个概率分布已知的模型，假设其参数为θ，观测到的样本为x。
最大似然估计的目标是找到一个最优的参数值θ^，使得在该参数值下，样本观测值x出现的概率最大。
我们可以通过以下步骤来求解最大似然估计：1. 建立概率模型：根据问题的具体情况，选择适当的概率分布模型，并对参数进行定义。
2. 构建似然函数：将观测样本的联合概率密度函数或者联合概率质量函数看作是参数θ的函数，记为L(θ|x)。
3. 求解最大似然估计：寻找使得似然函数取得最大值的参数θ^。
通常我们可以通过求解似然函数的导数为0的方程，或者对似然函数取对数后求解极值问题来找到最大似然估计。
最大似然估计具有很好的性质，包括可一致性、渐近正态性和高效性等。
它在统计推断中被广泛应用于参数的估计。
二、参数的点估计在最大似然估计中，通过寻找使得似然函数取得最大值的参数θ^，我们得到了参数的点估计。
点估计是指通过样本数据直接得到的对未知参数的估计。
对于最大似然估计，参数的点估计即为使得似然函数取得最大值时对应的参数值。
通过最大似然估计求得的参数估计值通常具有良好的统计性质，如一致性、渐近正态性等。
需要注意的是，最大似然估计得到的是一个点估计值，即对参数的一个具体估计。
在真实情况下，我们并不知道参数的真实值，所以通过点估计得到的估计值存在一定的误差。
三、总结最大似然估计是一种常用的参数估计方法，通过选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值，来估计未知参数。
通过建立概率模型、构建似然函数以及求解最大似然估计，我们可以得到参数的点估计。
统计推断中似然比检验法的优势分析在统计推断中，似然比检验法是一种常用的方法，用于比较两个或多个假设关于总体参数的准确度。
本文将对似然比检验法的优势进行分析，并探讨其在实际应用中的价值。
一、似然比检验法的基本原理似然比检验法是基于似然函数的原理进行的，主要包括以下几个步骤：1. 建立零假设（H0）和备择假设（H1）；2. 计算似然函数的值；3. 计算似然比（likelihood ratio）；4. 根据似然比的大小，进行统计显著性检验。
似然比检验法的主要优势在于它不仅考虑了样本的统计特征，还对不同假设进行了比较，从而得出相对合理的结论。
二、似然比检验法的优势分析1. 灵活性和适用范围广似然比检验法适用于各类统计问题，无论是单总体的均值检验、两总体均值差异检验，还是多总体方差分析等，都可以使用似然比检验法进行推断。
这种灵活性使得似然比检验法成为一种通用且实用的统计方法。
2. 较强的数学基础支撑似然比检验法是以似然函数为基础的推断方法，借助了概率论和数理统计学的理论知识进行分析。
通过最大化似然函数，可以得到参数的极大似然估计值，从而进行假设检验。
这种数学基础的支撑使得似然比检验法具有较高的可信度和准确性。
3. 较强的假设比较能力似然比检验法的核心在于比较两个或多个假设，从而确定最合理的解释。
通过计算似然比，可以比较不同假设的拟合程度，进而做出统计决策。
这种假设比较的能力使得似然比检验法在实际应用中具有重要的意义，能够为决策提供科学的依据。
4. 适应性和稳健性较强似然比检验法不依赖于总体的分布形式，对模型的指定要求较低，能够处理大部分实际问题。
同时，似然比检验法对样本量的要求也相对较小，适应性较强。
这使得似然比检验法能够在实践中灵活应用，并具有较好的稳健性。
三、似然比检验法的实际应用似然比检验法在各个领域都得到了广泛的应用。
以医学研究为例，似然比检验法可以用来比较两种不同的治疗方法在患者中的效果差异，从而确定最佳治疗方案。
参数估计公式最大似然估计贝叶斯估计矩估计参数估计是统计学中的一个重要问题，它的目标是通过已经观测到的样本数据来估计未知参数的值。
在参数估计中，最大似然估计、贝叶斯估计和矩估计是常用的方法。
下面将分别介绍这三种估计方法及其公式。
一、最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据的观测结果，通过寻找参数值使得观测样本出现的概率最大化来估计未知参数的值。
最大似然估计的公式如下所示：$$\hat{\theta}_{MLE} = \arg \max_{\theta} P(X|\theta)$$其中，$\hat{\theta}_{MLE}$表示最大似然估计得到的参数值，$P(X|\theta)$表示给定参数$\theta$下观测样本$X$出现的概率。
二、贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它基于贝叶斯定理，通过在先验分布和观测数据的基础上更新参数的后验分布来进行参数估计。
贝叶斯估计的公式如下所示：$$P(\theta|X) = \frac{P(X|\theta)P(\theta)}{P(X)}$$其中，$P(\theta|X)$表示给定观测样本$X$后，参数$\theta$的后验分布；$P(X|\theta)$表示给定参数$\theta$下观测样本$X$出现的概率；$P(\theta)$表示参数$\theta$的先验分布；$P(X)$表示观测样本$X$的边缘概率。
三、矩估计矩估计是一种基于样本矩的无偏估计方法，它通过样本矩与理论矩之间的差异来估计未知参数的值。
矩估计的公式如下所示：$$\hat{\theta}_{MME} = g(\overline{X}_n)$$其中，$\hat{\theta}_{MME}$表示矩估计得到的参数值，$g(\cdot)$表示由样本矩计算得到参数的函数，$\overline{X}_n$表示样本的均值。
在实际应用中，最大似然估计常用于样本量较大、参数唯一可估情况下的参数估计；贝叶斯估计常用于样本量较小、先验分布已知情况下的参数估计；矩估计常用于样本量较大、参数个数较多时的参数估计。
最大偏似然估计似然比检验(lr)原理下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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经典参数估计方法：普通最小二乘（OLS）、最大似然（ML）和矩估计（MM）普通最小二乘估计（Ordinary least squares，OLS）1801年，意大利天文学家朱赛普.皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希.奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最大似然估计（Maximum likelihood，ML）最大似然法，也称最大或然法、极大似然法，最早由高斯提出，后由英国遗传及统计学家费歇于1912年重新提出，并证明了该方法的一些性质，名称“最大似然估计”也是费歇给出的。
该方法是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大似然原理出发发展起来的其他估计方法的基础。
虽然其应用没有最小二乘法普遍，但在计量经济学理论上占据很重要的地位，因为最大似然原理比最小二乘原理更本质地揭示了通过样本估计总体的内在机理。
计量经济学的发展，更多地是以最大似然原理为基础的，对于一些特殊的计量经济学模型，最大似然法才是成功的估计方法。
对于最小二乘法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据；而对于最大似然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该是使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。
从总体中经过n次随机抽取得到的样本容量为n的样本观测值，在任一次随机抽取中，样本观测值都以一定的概率出现。
极大似然估计算法及其在数据分析中的应用随着信息技术的快速发展，数据分析已成为各行各业必不可少的工具。
在数据分析中，估计是其中重要的一个步骤。
估计的主要目标是通过已知的数据样本来推断总体的某些未知参数。
其中，极大似然估计算法在估计过程中被广泛应用。
一、极大似然估计算法的基本定义极大似然估计算法首先由高斯、费舍尔等数学家提出。
其定义非常简单，即给定样本数据和一个参数模型，通过调整模型的参数值，使得该模型发生的概率最大。
在实际中，极大似然估计算法是一种常用的参数估计方法，广泛应用于各种领域，比如生物学、物理学、统计学等。
举个例子，假设我们要对一批硬币进行检验，检验其是否为真正的硬币（一面头，一面花）。
我们可以用一个二项分布的概率模型，其中头的概率为p，花的概率为1-p，这样就可以计算出样本中出现头或花的概率了。
通过极大似然估计，我们可以通过样本数据推断出p的值，从而判断这批硬币的真伪。
二、极大似然估计的性质和假设在实际应用中，极大似然估计算法具有以下性质：1. 一致性：随着样本量的增加，极大似然估计的误差将不断减小，最终收敛于真实值。
2. 无偏性：若数据满足一些假设条件，极大似然估计的期望将等于真实值，即其期望不会偏差。
3. 高效性：极大似然估计是一种高效的参数估计方法，其算法简单，计算量小，通常只需要解一个方程即可。
但是，在应用极大似然估计算法时，需要注意以下假设条件：1. 可能性假设：假设该数据满足所应用模型的概率分布。
2. 独立性假设：假设该样本中的每个数据点是独立的。
3. 随机性假设：假设该样本是从一个总体中随机选取的。
三、极大似然估计的优缺点极大似然估计算法在实际应用中具有以下优点：1. 基于统计学原理，理论基础扎实。
2. 算法简单，易于实现。
3. 结果基于样本数据，具有较高的可信度。
但是，极大似然估计算法也有一些缺点：1. 该算法需要预设模型概率分布的形式，如果模型概率分布模型不准确，结果将产生偏差。
统计推断中似然比检验法的优势分析似然比检验法（Likelihood Ratio Test, LRT）是统计学中一种常用的假设检验方法，它基于似然函数的最大化原则，通过比较两个具体假设下的似然函数值的差异来进行参数的推断和模型比较。
在统计推断中，似然比检验法具有许多优势，本文将就这些优势进行详细分析。
一、似然比检验法的基本原理似然比检验法使用了似然函数这一重要概念。
在给定观测数据的情况下，似然函数是参数的函数，它表示了参数的可能取值与观测数据的适合程度。
似然函数的最大值对应着最有可能出现的参数值。
似然比检验法的基本原理是建立了两个假设，一个是原假设（H0），另一个是备择假设（H1）。
然后，通过计算分别在两个假设下的似然函数值，得到一个比值，即似然比。
根据统计的性质，似然比的分布可以依据大样本理论来近似推断参数的区间或进行假设检验。
二、似然比检验法的优势分析1. 灵活性似然比检验法能够适应多种假设检验问题，不论是单个参数的检验还是多个参数的比较，都可以通过似然比检验来进行。
这种灵活性使得似然比检验法在实际应用中具有广泛的适用性。
2. 有效性似然比检验法在多数情况下都是一种有效的检验方法。
它能够实现对参数的精确推断，同时具备较高的统计功效。
特别是在大样本条件下，似然比检验法通常能够提供较为准确和可靠的结果。
3. 一致性似然比检验法在样本容量趋于无穷大时，具有一致性。
这意味着当样本容量增加时，似然比检验法的结果将趋于逼近真实参数值，从而更准确地推断和判断。
4. 假设比检验似然比检验法可以进行不同假设的比较。
通过计算似然比值，我们可以比较两个或多个不同模型的适度程度，从而选择最佳模型。
这种比较能够帮助我们找到更好的解释和预测模型。
5. 置信区间计算似然比检验法不仅可以进行假设检验，还能够计算参数的置信区间。
通过似然函数的性质，我们可以根据似然比分布的特点，得到参数估计的置信区间，并以此来进行参数的可信程度评估。
似然比的评价方法嘿，咱今儿就来唠唠似然比的评价方法！你说这似然比啊，就好像是一把神奇的尺子，能帮咱衡量好多东西呢！咱先说说似然比是啥玩意儿。
它呀，就是两个概率的比值。
就好比说，你在一堆苹果里找红苹果和青苹果的比例一样。
它能告诉咱一些事儿发生的可能性有多大的相对关系。
那咋评价这似然比呢？这可得好好琢磨琢磨。
咱可以从准确性入手哇！就跟射箭一样，你得瞄得准，才能射中靶心。
似然比要是不准确，那可不就跟乱射箭似的，没啥用啦！再看看它的稳定性。
你想想，要是这似然比一会儿这样，一会儿那样，那咱还咋参考它呀！就像天气，今天大晴天，明天就狂风暴雨的，多不靠谱呀！所以稳定性很重要呢。
还有哇，它的适用性也得考虑考虑。
不能说在这个情况下好用，换个情况就不灵了吧。
那就好比一件衣服，只能在特定场合穿，多不方便呀！咱还可以从实际应用的角度来瞅瞅这似然比。
比如说在医学诊断里，似然比能帮医生判断病人得某种病的可能性有多大。
这可不是小事儿呀，要是不准确，那可能就会误诊呢！那后果可不堪设想哇！在科学研究中呢，似然比也能发挥大作用。
它能帮助研究者分析数据，得出更可靠的结论。
你说这似然比是不是挺厉害的呀！咱平时生活中其实也能用到似然比呢！比如说你要决定去不去看一场电影，你可以比较一下去看电影的快乐和花费时间精力的比例呀，这也有点像似然比的概念呢，对吧？总之呢，评价似然比可得多方面考虑，不能马虎。
它就像一个小助手，用得好能帮咱大忙，用不好可就没准添乱啦！所以咱得好好对待它，让它发挥出最大的作用呀！咱可不能小瞧了这似然比，它里面的学问可大着呢！你说是不是呀？。
似然比在天文研究参数估计中的应用张超、王燕平 OUTLINE这篇文章是为了更好地理解该论文而写的阐述和补充，全文共分以下三章：第一章为背景介绍，包括天体物理的背景和统计学的一些概念总结；第二章为似然比的应用，主要是介绍该论文的内容；第三章为对一些问题的总结。
Chapter *1* 背景介绍*1.1* 天体物理背景该文章写于上世纪70年代，因此当时的高能探测较当前而言有很大的不同，当时探测以及数据处理存在的问题主要有：● 当观测的天体辐射强度较小时，探测器得到的光子计数少，因而一些统计方法失效 ● 在用观测数据进行参数估计时，不同的方法对数据的要求不同，是否需要分组就是其中之一● 偏差的非高斯分布也需要用更为普适的统计学方法进行数据处理。
*1.2*一些统计学上的概念（1）似然函数及极大似然估计似然函数定义为各个观测值概率密度的乘积： 1()(;)Nii L x p x θθ==∏ （1.1）若取似然函数的极大值，方便起见，通常对似然函数取对数，则似然方程变为：ln 0Lθ∂=∂ （1.2） （2）χ2量的总结在统计学中，把一些服从或渐近服从χ2分布的统计量称为χ2量，例如：样本χ2量，不等精度样本χ2量，以及皮尔逊χ2量。
● 样本χ2量为：2212()(1)Nii x x N χσ=--∑ （1.3）● 不等精度的样本χ2量为：2221()(1)Ni i ix x N χσ=--∑（1.4）● 皮尔逊χ2量为：21()mi i i i n E E =-∑ ~ )1(2+-k m χ （1.5）χ2量通常用作参数估计和假设检验，不同的χ2量的应用范围不同：1. 用于假设检验的χ2量：● 样本χ2量用作检验正态假设，不需要分组，检验结果比较精确● 皮尔逊χ2量用作检验任意分布的假设，需要分组，对样本要求较高，需要大的样本 (如果不分组的话皮尔逊χ2量满足的分布依赖于数据自身的分布函数) 2. 用作参数估计时：这里的讨论我们将在第三部分给出。
chapter*2* 似然比的应用*2.1* 似然比的定义若有n 个样本X 1，…….Xn ，服从含有p 个参量的分布：),...,;(1P X f θθ，其中P θθ,...,1为待估计的参量，则似然比定义为：11111max (;,,,,)max (;,)nT T i q q p i ni p i f X L f X θθθθθθ+===∏∏ ， （2.1.1）其中固定的参量为q 个，变化的参量为p-q 个。
为简单起见，我们可以定义C ∆ min min ()()T p q p C C C -∆=- ~ )(2q χ （2.1.2） 其中()()min max 2ln TTp q p q C P --=- ，()()p p P C max min ln 2-=*2.2* 似然比的具体应用——泊松问题● 泊松问题对于一个泊松分布的似然函数：1!i in e Ni i i e e P n -==∏, 利用上文提到过C 的定义：12ln 2(ln ln !)Ni i i i i C P n e e n ==-=---∑ （2.2.1）C 可以当作似然函数作同样的应用：当C 取极小时相当于似然函数取极大，因此可得到待估计的参数。
由公式（2.1.2）可以来确定置信区间。
这里需要说明的是（2.2.1）可以简化为下面的形式：12ln Ni i i C E n e =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ （2.2.2）其中iE e =∑● 无分组的泊松问题:正如第一章中提到的当时高能天体物理探测由于受到仪器的限制，通常在探测暗弱天体时只能得到很少的光子计数，此时如果按照通常的办法将原有的数据分组，就会造成一些组中的计数为零。
在这种情况下，我们通常采用一种不需要分组的办法来解决这个问题。
这里我们只给出结论：12(ln )ni i C E I ==-∑ （2.2.3）其中I i 为单位时间、单位面积、单位频率的光子计数。
● 泊松的高斯极限 :比较（2.2.1）式与统计量S 的定义可知，C 和S 之间存在一种渐近关系。
令i i d n e =- 有i d n ≈()i C S F n =+ （2.2.4）其中，2()1i i in e S o e -⎡⎤=+⎣⎦∑ )(i n F 项为i n 的函数，计算C ∆和S ∆时与其无关，可以被消去。
这样，每个bin的S 有一个误差因子)/11(i n +，只要有几个bin 取空的时候S 就会很不准确。
所以，当每个bin 中计数n 低于10-20时，或者需要准确的置信度时，应用统计量C 进行估计就变得很重要了。
● 参量相互独立时的简化如果独立参量具有可分离性，C 可以被简化。
121122(;,)(;)(;)i i i f x f x f x θθθθ=（2.2.5） 121122121112ln (;,)2ln (;)2ln (;)n n ni i i i i i C f x f x f x C C θθθθ====-=--=+∑∑∑（2.2.6）独立参量可以进行独立分析，大大简化了计算量。
*2.3* 参数估计中一些情况的应对——高斯问题测量中最普遍的基本分布是Gauss 分布。
如果知道每次测量的方差，就可以用S进行估计。
但是方差未知时，需要尝试其他的方法。
● 相对方差已知的情况：在方差已知的时候应用统计量S （皮尔逊χ2量）就变得很便利，然而在相对方差已知但方差未知时我们可以应用另一个统计量S （样本χ2量）进行参数估计并且确定置信区间。
2221()ni i i i X e S σ=-=∈∑ （2.3.1） 其中i i σ∈为第i 次测量的标准偏差，i ∈为相对误差。
类似于似然比，我们同样可以引入比例： min min min min min ()()1()()()T p q p pppS S S SR S S S -+∆∆===+（2.3.2）并且2211(,)q n p qR F q n p n pχχ-++-- （2.3.3）我们可以用S 进行参数估计，并用R 来确定置信区间。
需要说明的是，在实际应用中通常使用221()'ni i i iX e S =-=∈∑ （2.3.4） 来代替S 。
● 方差可通过计算得出的情况我们把数据分成N 组，每个组的方差为j σ，对第j 组进行n j 次测量，则似然函数可以写作：2211()2jn Nij ij j i j X e P σ==⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （2.3.5） 可以看出，只要求j σ的最小值就可以得出211ln ()j n Nj ij ij j i C n X e ==⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑∑ （2.3.6）置信区间的计算与前面所提到的方法相同。
chapter*3* 关于一些问题的小结*3.1* 关于点估计方法的总结参数估计的点估计方法有很多，诸如矩法估计，贝叶斯估计，极大似然估计等，本文中和相关文献中提到并且进行比较的参数估计方法有： ● 利用极大似然函数估计，并用似然比确定置信区间点估计取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∏N i i X f P C );(ln 2ln 2θ 极小值置信区间利用似然比： min min ()()T p q p C C C -∆=- ~)(2q χ● 利用皮尔逊χ2量做估计，并用χ2量极值之差确定置信区间点估计取：S=21()mi i i i n E E =-∑极小值置信区间利用差值：)(~)()(2min min αχq p q p S S --● 利用样本χ2量做估计，并用类似似然比的方法确定置信区间点估计取：2221()ni i i i X e S σ=-=∈∑的极小值 置信区间利用类似似然比的比例：min min min min min ()()1()()()T p q p pppS S S SR S S S -+∆∆===+2211(,)q n p qR F q n p n pχχ-++--*3.2* 似然比方法的优势在上文中我们讨论了利用极大似然函数法进行点估计并且由似然比确定置信区间的方法，并对一些问题进行了讨论。
这种参数估计的方法有这自己独特的优势： ● 更广的普适性：适用各种模型的参数估计，包含可以非正态的参数估计，包含线性和非线性的的参数估计，包括不分组情况下的参数估计 ● 这种方法得到的误差棒更小● C 与S 在近似的情况下有着相同的极限● C 与S 的使用一样的便捷，甚至在一些计算中有自己的优势。
[参考文献]Cash,W. AJ,228:939, 1979Cash,W. A&A,52,307 (1976)实验的数学处理，李惕碚，科学出版社，1980。
