2019数学人教a版选修1-2优化练习：第三章 章末检测 含解析

复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题的基础，其中有虚数单位i ，复数的代数形式，实部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等．有关复数题目的解答是有别于实数问题的，应根据有关概念求解．[典例1] (1)复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15i D ．－15(2)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1 解析：(1)选B 1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i (1－2i )(1＋2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ，故虚部为15. (2)选B 由纯虚数的定义，可得{ a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2.[对点训练]1．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)，所以z 1＝b i·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所以所以a ＝83.答案：832．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 的取值，使(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限．解：(1)由{ lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得m ＝3.∴当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由{ m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2.∴当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．(3)由{ lg (m 2－2m －2)<0，m 2＋3m ＋2>0，得－1<m <1－3或1＋3<m <3.∴当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，复数z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限．1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减；乘法类比多项式乘法；除法类比分式的分子分母有理化，注意i 2＝－1.2．复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握i 幂的周期性变化，即i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1，复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意义等结合在一起考查．另外计算要注意下面结论的应用： (1)(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2， (2)(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2， (3)(1±i)2＝±2i ， (4)1i＝－i ， (5)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ， (6)a ＋b i ＝i(b －a i)．[典例2] 复数i 2＋i 3＋i 41＋i等于( )A.12＋12iB.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i解析：选D i 2＋i 3＋i 41＋i ＝－i 1＋i ＝－i (1－i )2＝－12－12i.[典例3] 已知复数z 1＝15－5i(2＋i )2，z 2＝a －3i(a ∈R)．(1)若a ＝2，求z 1·z 2；(2)若z ＝z 1z 2是纯虚数，求a 的值．解：由于z 1＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－75i25＝1－3i.(1)当a ＝2时，z 2＝2－3i ，∴z 1·z 2＝(1－3i)·(2＋3i)＝2＋3i －6i ＋9＝11－3i. (2)若z ＝z 1z 2＝1－3i a －3i ＝(1－3i )(a ＋3i )(a －3i )(a ＋3i )＝(a ＋9)＋(3－3a )i a 2＋9为纯虚数，则应满足⎩⎨⎧a ＋9a 2＋9＝0，3－3aa 2＋9≠0， 解得a ＝－9.即a 的值为－9. [对点训练]3．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i解析：选A z ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，故选A.4．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：∵a ＋b i ＝11－7i 1－2i ，∴a ＋b i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8. 答案：8 5．计算：(1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)；(2)2＋3i3－2i；(3)(2－i)2.解：(1)法一：(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)2＋3i 3－2i ＝(2＋3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝6＋2i ＋3i －65 ＝5i5＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2＝3－4i.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)和复平面上的点Z (a ，b )一一对应，和向量OZ ―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．[典例4] 若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i 的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D 由题图可得z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．[典例5] 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝15(x ＋y i)(2＋i) ＝15(2x －y )＋15(2y ＋x )i. 由题意知⎩⎨⎧y ＋2＝0，15(2y ＋x )＝0，∴{ x ＝4，y ＝－2，∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2 ＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，由已知得{ 12＋4a －a 2>0，(a －2)>0，∴2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)． [对点训练]6．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4,2)解析：选C 由i z ＝2＋4i ，可得z ＝2＋4i i ＝(2＋4i )·(－i )i·(－i )＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．7．已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，A (1，2)，B (－2,6)，C (x ，y )． ∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， ∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝(－3)2＋42.解得{x＝－5，y＝0或{x＝－3，y＝4.∵|OA|≠|BC|，∴x＝－3，y＝4(舍去)，故z＝－5.复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应复平面上的点Z，则复数的模|z|＝|OZ―→|＝a2＋b2，即Z(a，b)到原点的距离．[典例6]已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值．解：法一：设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|x＋y i＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1.∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1.∴|z－3－2i|＝(x－3)2＋(y－2)2＝(x－3)2＋1－(x＋2)2＝－10x＋6，由(y－2)2＝1－(x＋2)2≥0，得x2＋4x＋3≤0.∴－3≤x≤－1，∴16≤－10x＋6≤36.∴4≤－10x＋6≤6.∴当x＝－1时，|z－3－2i|取最小值4.法二：由复数及其模的几何意义知：满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1的复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，半径r＝1的圆，而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r.又|AC|＝(3＋2)2＋(2－2)2＝5，所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4.[对点训练]8．在复平面内，点P，Q分别对应复数z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，则点Q的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线解析：选B∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－(3－4i)．∵|z1|＝1，∴|2z1|＝2，∴|z2－(3－4i)|＝2，由模的几何意义可知点Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．9．已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z.解：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， ∵|z |＝2，∴x 2＋y 2＝4，|z －i|＝|x ＋y i －i|＝|x ＋(y －1)i|＝x 2＋(y －1)2 ＝(4－y 2)＋(y －1)2＝5－2y . ∵y 2＝4－x 2≤4，∴－2≤y ≤2. 故当y ＝－2时，5－2y 取最大值9， 从而5－2y 取最大值3，此时x ＝0， 即|z －i|取最大值3时，z ＝－2i.法二：方程|z |＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z －i|表示圆上的点到点A (0,1)的距离．如图，连接AO 并延长与圆交于点B (0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B 到点A 的距离最大，最大值为3，即当z ＝－2i 时，|z －i|取最大值3.(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D.2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i解析：选A ∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.3．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D 由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)．4．设a 是实数，且a1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 解析：选Ba1＋i＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i ，由题意可知1－a2＝0，即a ＝1.5．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 解析：选B 由已知⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2得⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2，所以 1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.6．复数⎝⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i ，所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.7．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N)，集合{f (n )|n ∈N}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个解析：选B f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i ＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i ，由i n 的周期性知{f (n )|n ∈N}＝{0，－2i,2i}．8．复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量对应的复数是( )A.10 B ．－3－i C ．1＋i D ．3＋i解析：选D ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ， ∴对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.9．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分条件． 由z 1＝z 2，得m 2＋m ＋1＝3，且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，故“m ＝1”不是“z 1＝z 2”的必要条件．10．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R)有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2i D ．－2－2i解析：选A ∵b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0， ∴b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，∴z ＝2－2i.11．定义运算＝ad －bc ，则符合条件＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i解析：选A 由定义知＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i＝3－i.12．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－1解析：选B 由题意可得(1＋2i)2＋b (1＋2i)＋c ＝0⇒－1＋b ＋c ＋(22＋2b )i ＝0，二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得{ a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i14．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24的虚部等于________．解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45.答案：4515．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________.解析：设m ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，方程的实根为x 0，则x 20＋(2－i)x 0＋(2b i －4)i ＝0， 即(x 20＋2x 0－2b )－(x 0＋4)i ＝0，解得x 0＝－4，b ＝4.故m ＝4i. 答案：4i16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．解析：∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限． 答案：四三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数．18．(本小题12分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵|z |＝1＋3i －z ，∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i 4－3i＝3＋4i. 19．(本小题12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2.求： (1)z 1·z 2；(2)z 1z 2. 解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310i. 20．(本小题12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值． 解：(1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝(－1)2＋(－1)2＝2.(2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ，即(a ＋b )＋(a ＋2)i i ＝1－i.所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以{ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得{ a ＝－1，b ＝2.21．(本小题12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解：∵z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ， ∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝(4－a )2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，∴(4－a )2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.∴a 的取值范围是(1,7)．22．(本小题12分)已知z ＝m ＋3＋33i ，其中m ∈C ，且m ＋3m －3为纯虚数． (1)求m 对应的点的轨迹；(2)求|z |的最大值、最小值．解：(1)设m ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则m ＋3m －3＝(x ＋3)＋y i (x －3)＋y i ＝(x 2＋y 2－9)－6y i (x －3)2＋y 2， ∵m ＋3m －3为纯虚数，∴{ x 2＋y 2－9＝0，y ≠0，即{ x 2＋y 2＝32，y ≠0.∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．(2)由(1)知|m |＝3，由已知m ＝z －(3＋33i)，∴|z －(3＋33i)|＝3.∴z 所对应的点Z 在以(3,33)为圆心，以3为半径的圆上．由图形可知|z |的最大值为|3＋33i|＋3＝9；最小值为|3＋33i|－3＝3.。

第三章 复习课1．复数z ＝1＋cos α＋isin α (π<α<2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2答案B [|z |＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α ＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－2cos α2.]2．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的 值为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4答案C [由M ∩N ＝{3}，知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1.]3．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B [cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π，所以θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，θ－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，因此，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0，所以复数在平面内对应的点在第二象限．]4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( )A ．x 0＝4B ．x 0＝1C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在答案D [由已知可得x 20－(5＋i)x 0＋4－i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－5x 0＋4＝0－x 0－1＝0，该方程组无解．]5．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|等于( ) A. 2 B ．2 C.10 D ．4答案B [由题意AB →＝OB →－OA →，∴AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，∴|AB →|＝2.]6．已知复数z ＝3＋i1－3i 2 ，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( )A.14B.12C ．1D ．2 答案A [∵z ＝3＋i1－3i 2＝3＋i －2－23i， ∴|z |＝|3＋i||－2－23i|＝24＝12. ∴z ·z ＝|z |2＝14.] 7．在复平面上复数－1＋i 、0、3＋2i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5 B.13 C.15 D.17答案．B [BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ，∵BD →＝BA →＋BC →，∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD 的长为13.]8．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC.5＋2iD.5－2i答案A [设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则x ＝－5，由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9，即y 2＝4，∴y ＝±2，∵复数z 对应的点在第二象限，∴y ＝2.∴z ＝－5＋2i.]9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( )A ．－1 000－1 000iB ．－1 002－1 002iC ．1 003－1 002iD ．1 005－1 000i 答案C [1＋2i ＋3i 2＋4i 3＝1＋2i －3－4i ＝－2－2i.周期出现，原式＝501×(－2－2i)＋2 005i 2 004 ＝－1 002－1 002i ＋2 005＝1 003－1 002i.]10．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则|1＋z |等于()A ．0B ．1 C. 2 D ．2答案C [由1－z 1＋z ＝i ，得z ＝1－i1＋i ＝－i ，∴|1＋z |＝|1－i|＝ 2.]。

姓名，年级：时间：第三章单元质量测评(一)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分)1．复数z＝错误!的模为（）A.错误! B。

错误! C。

错误! D．2答案B解析z＝1i－1＝i＋1i＋1i－1＝错误!＝－错误!－错误!i，｜z|＝错误!＝错误!,故选B。

2．“m＝1"是“复数z＝（1＋m i)（1＋i）（m∈R,i为虚数单位)为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析z＝(1＋m i）(1＋i)＝1＋i＋m i－m＝（1－m)＋（1＋m）i，若m ＝1,则z＝2i为纯虚数；若z为纯虚数,则m＝1.故选C。

3．若z＝cosθ＋isinθ（i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( ）A。

π6B。

错误! C。

错误! D。

错误!答案D解析z2＝(cosθ＋isinθ）2＝(cos2θ－sin2θ）＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴错误!∴2θ＝2kπ＋π（k∈Z)，∴θ＝kπ＋错误!(k∈Z)，令k＝0知选D。

4．已知错误!＝1－n i，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋n i等于( ）A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i答案C解析错误!＝1－n i，所以m＝(1＋n)＋（1－n)i，因为m,n∈R，所以错误!所以错误!即m＋n i＝2＋i。

5．若z＝x＋y i(x，y∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z＝（）A．1－2i B．－1＋2i C．－1－2i D．2＋i答案C解析利用完全平方公式，代入验证：(－1－2i）2＝(1＋2i)2＝1－4＋4i＝－3＋4i。

6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i答案A解析由题意知z2＝－2＋i。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 答案：D2．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：直接法．∵a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴必有a ＝0，b ≠0，而ab ＝0时有a ＝0或b ＝0，∴由a ＝0， b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B 3．已知复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( ) A ．1或－1 B ．1 C ．－1D ．0或－1解析：因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎨⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1. 答案：C4．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 可得⎩⎨⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.答案：A5．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的为( ) A ．4 B ．－1 C ．4或－1D ．1或6解析：由题意⎩⎨⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 答案：B6．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3) i(x ∈R)，则x ＝________.解析：∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得：⎩⎨⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3.答案：37．设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.解析：因为x ，y ∈R ，所以利用两复数相等的条件有⎩⎨⎧x ＋y ＝－x －3，x －2y ＝y －19，解得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝5，所以x ＋y ＝1.答案：18．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 解析：复数m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数的充要条件是 ⎩⎨⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得⎩⎨⎧m ＝1或m ＝－2，m ≠±1，即m ＝－2.故m ＝－2时，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数． 答案：－29．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数；(2)z 是纯虚数． 解析：(1)要使复数z 为实数，需满足 ⎩⎨⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z是纯虚数．10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解析：因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得 ⎩⎨⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得 ⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2. [B 组 能力提升]1．已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)的实部为2，虚部为1，复数z 2＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)．当z 1＝z 2时x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝3且y ＝5B ．x ＝3且y ＝0。

第三章 章末检测1、设复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于( ) A. 34i -+ B.34i - C. 34i -- D.34i + 2、若复数z 满足(34)43i z i -=+,则z 的虚部为( ) A. 4- B. 45-C. 4D.453、已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-,它们在复平面上所对应的点分别为,,A B C .若(),OC OA OB R λμλμ=+∈,则λμ+的值是( )A.1B.2C.3D.44、若复数01x =是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根,则( ) A. 2,3b c == B. 2,3b c =-= C. 2,1b c =-=- D. 2,1b c ==-5、定义运算||a b ad bc c d =-,则符合条件11||42i z zi-=+的复数z 为( ) A. 3i - B. 13i + C. 3i + D. 13i -6、已知复数1234,z i z t i =+=+,且21z z ⋅是实数,则实数t 等于( )A.34 B. 43C. 43-D. 34-7、i 是虚数单位,复数734iz i+=+的共轭复数z = ( ) A. 1i - B. 1i +C.17312525i + D. 172577i -+8、如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A. AB. BC. CD. D9、已知i 为虚数单位,复数122iz i-=-,则复数z 的虚部是( ) A. 35i -B. 35-C. 45iD. 4510、已知复数()()2,x yi x y R -+∈,则yx的最大值是( )B.3D.1211、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 12、已知复数(),z a bi a b R =+∈且51123a b i i i+=--+,则复数z =__________. 13、复数()()223228z m m m m i =-++--的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限,则实数m 的取值范围是__________. 14、设x ,y 为实数,且511213x y i i i+=---,则x y +=__________.15、已知复数()?x ai a R ∈,()1z x x i =-+-. 1.若z 为纯虚数,求a 的值;2.若z 的对应点在第二象限,求a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：设(),z x yi x y R =+∈,则2x yi i ++=+,所以2,{1,x y +==解得3,{41.x y ==所以34z i =+.2答案及解析： 答案：D解析：∵(34)43i z i -=+,∴435(34)34342555i i z i i ++====+-. ∴z 的虚部为45.3答案及解析： 答案：A解析：()()()341212i i i i λμμλλμ-=-++-=-+-,∴324μλλμ-=⎧⎨-=-⎩得12λμ=-⎧⎨=⎩∴1λμ+=.4答案及解析： 答案：B解析：因为1是实系数方程的一个复数根,所以1也是方程的根,则()()112,113b c +==--==,解得2,3b c =-=.5答案及解析：答案：A 解析：∵11||42zi z i z zi-=+=+, ∴()()421424223122i i i iz i i +-++-====-+, 故选A.6答案及解析： 答案：A解析：()()()()21343443z z i t i t t i ⋅=+-=++-,依题意430t -=,∴34t =.7答案及解析： 答案：B 解析：()()734725251342525i i i iz i i +-+-====-+ ∴1z i =+.8答案及解析： 答案：B解析：由复数的几何意义及共轭复数定义可知,共轭复数对应的点关于x 轴对称(实数的共轭复数是其本身).9答案及解析： 答案：B 解析：()()()()122124343222555i i i i i i i i -+--===---+,则复数z 的虚部是35-.10答案及解析： 答案：C=()2223x y -+=,表示以()2,0为圆心.yx可理解为圆上的点(),x y 与原点()0,0连线的斜率,可知相切时最大,如图,3COP π∠=,∴yk x==.11答案及解析： 答案：6解析：∵12z i =+, ∴12z i =-. ∴11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.12答案及解析： 答案：710i - 解析：∵,a b R ∈且51123a b i i i+=--+, 即()()1123252a ib i i++-+=, ∴5524155a ai b bi i +++=-, 即5215545a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得710a b =⎧⎨=-⎩故710z a bi i =+=-.13答案及解析： 答案：()()2,12,4-⋃解析：复数()()223228z m m m m i =-++--的共轭复数为()()223228z m m m m i =-+---,又z 在复平面内对应的点在第一象限,得()22320280m m m m ⎧-+>⎪⎨--->⎪⎩ 解得21m -<<或24m <<.14答案及解析： 答案：4 解析：()()11211225x i y i x yi i +++=+--22525x y x y i ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 而()513513131022i i i +==+-, 所以1225x y +=且23252x y +=, 解得1x =-,5y =,所以4x y +=.故答案为: 4.15答案及解析：答案：1.由()?x ai a R =∈得21x a a ==+.∵210a +≥, ∴12a ≥-,∴112a +≥, ∴1x a =+ ∴()())()111z ai a i a a i =-++-=+-若z 为纯虚数,则010a a =-≠解得, 1a =+1a =2.若z的对应点在第二象限,则010a a <->,解得1a >+解析：。

2019-2020年人教A 版选修1-2《第三章学业质量标准检测试卷》含解析时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i(3－2i)＝导学号 18674454( C ) A ．2－3i B ．3＋2i C ．2＋3iD ．3－2i[解析] i(3－2i)＝3i －2i 2＝3i ＋2，故选C ． 2．(·文，2)复数1＋2i2－i ＝导学号 18674455( A )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i[解析]1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i. 3．(·云南一中高二检测)已知i 为虚数单位，则i1＋3i ＝导学号 18674456( B )A ．34－14iB ．34＋14iC ．32＋12i D ．32－12i [解析] i 1＋3i ＝i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝i ＋34＝34＋14i.4．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于导学号 18674457( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝(3＋i)(1－i)＝4－2i ，所以复数z 对应的点Z (4，－2)在第四象限．5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2等于导学号 18674458( C )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i[解析] 2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.6．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于导学号 18674459( D )A ．1＋52iB ．－1＋52iC ．1－52iD ．－1－52i[解析] 设x ＝i t (t ∈R 且t ≠0)， 于是2t i －1＋i ＝y －(3－y )i ， ∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12t ＋1＝－(3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－52y ＝－1. ∴x ＋y ＝－1－52i.7．设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的导学号 18674460( A )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x ＋1≠0⇔x ＝1，故选A ．8．已知复数z 满足2－iz ＝1＋2i ，则z ＝导学号 18674461( D )A ．4＋3iB ．4－3iC ．－iD ．i[解析] 由2－i z ＝1＋2i ，得z ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )5＝2－4i －i －25＝－i ，∴z ＝i.9．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是导学号 18674462( B ) A ．0 B ．π2C ．πD ．2π[解析] z 2＝cos 2 θ－2isin θcos θ－sin 2 θ＝cos 2θ－i sin 2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1－sin 2θ＝0，∴θ＝π2.10．若复数z ＝lg(m 2－2m ＋2)＋i·lg(m 2＋3m －3)为实数，则实数m 的值为导学号 18674463( C )A ．1B ．－4C ．1或－4D ．以上都不对[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋2>0lg (m 2＋3m －3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋2>0m 2＋3m －3＝1，解得m ＝1或－4.11．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0131＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于导学号 18674464( A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵i n＝⎩⎪⎨⎪⎧i n ＝4k ＋1，－1 n ＝4k ＋2，－i n ＝4k ＋3，1 n ＝4k ，k ∈Z ，∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 013＝503×(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋i 2 013＝503×0＋i ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2，在复平面内的对应点(12，12)在第一象限．12．对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中ω－2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1、z 2、z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1]导学号 18674465( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ∵ω1]．∴①左边＝(z 1＋z 2)z 3，右边＝z 1z 3＋z 2z 3＝(z 1＋z 2)z 3，左边＝右边，正确． ②左边＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)，右边＝z 1z 2＋z 1z 3＝z 1(z 2＋z 3)，左边＝右边，正确．③左边＝(z 1z 2)z 3，右边＝z 1(z 2z 3)＝z 1(z 2z 3)，左边≠右边，不正确． ④左边＝z 1z 2，右边＝z 2z 1，左边≠右边，不正确，选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ＝__1__，y ＝__2__.导学号 18674466 [解析] (x ＋i)(1－i)＝x －x i ＋i ＋1 ＝(x ＋1)＋(1－x )i ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝y 1－x ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2. 14．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝__6－2i__.导学号 18674467 [解析] ∵z ＝1－2i ，∴z －＝1＋2i ，∴z ·z －＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i.15．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝ 76－4i .导学号 18674468[解析] 设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a 2＋b 2－3b ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76b ＝－4.∴z ＝76－4i.16．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，则复数z 在复平面对应的点位于第__四__象限.导学号 18674469[解析] ∵a 、b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i 2，∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝155a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－10. ∴复数z ＝a ＋b i ＝7－10i 在复平面内对应的点位于第四象限．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：导学号 18674470(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？ [解析] z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2，即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．(本题满分12分)已知z ＝1＋i ，a 、b ∈R .若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a 、b 的值.导学号 18674471[解析] ∵z ＝1＋i ，∴z 2＝2i ，所以 z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝2i ＋a ＋a i ＋b2i －1－i ＋1＝(a ＋2)i ＋(a ＋b )i＝a ＋2－(a ＋b )i ＝1－i.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2.19．(本题满分12分)已知z 1、z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，z 2＝z 12＋i ，且|z 2|＝52，求z 2.导学号 18674472[解析] 设z 1＝x ＋y i(x 、y ∈R )， ∴(3＋i)z 1＝(3＋i)(x ＋y i) ＝3x －y ＋(x ＋3y )i ， ∴x ＋3y ＝0，∴x ＝－3y . ∴z 2＝z 12＋i ＝x ＋y i 2＋i＝(x ＋y i )(2－i )5＝(－3y ＋y i )(2－i )5＝－y ＋y i ，∵|z 2|＝52，∴|z 2|2＝50， ∴(－y )2＋y 2＝50， ∴y ＝±5， 当y ＝5时， z 2＝－5＋5i ，当y ＝－5时，z 2＝5－5i.20．(本题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.导学号 18674473 (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A 、B 、C ，求△ABC 的面积．[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)、B (0,2)、C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ， 所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝12×2×1＝1.21．(本题满分12分)设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R ).导学号 18674474(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．[解析] (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1＋m )<0， ①log 12(3－m )<0， ②解①得－1<m <0. 解②得m <2. 故不等式组的解集为{m |－1<m <0}，因此m 的取值范围是{m |－1<m <0}．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，整理得log 2[(1＋m )(3－m )]＝1.从而(1＋m )(3－m )＝2，即m 2－2m －1＝0，解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0. 故m ＝1±2.22．(本题满分12分)已知复数z 1＝i(1－i)3，导学号 18674475 (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值． [分析] (1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合． [解析] (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)， ∴|z 1|＝22＋(－2)2＝2 2.(2)解法一：|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋2)2 ＝9＋42sin (θ－π4).当sin(θ－π4)＝1时，|z －z 1|取得最大值9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值22＋1.解法二：|z |＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z 1对应坐标系中的点(2，－2)． ∴|z －z 1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z －z 1|max ＝22＋1.。

[课时作业][组基础巩固]．已知复数＝＋，＝－，则复数＝－对应的点位于( )．第二象限．第一象限．第四象限．第三象限解析：＝－＝(－)－(＋)＝－－故对应的点(－，－)在第三象限．答案：．在复平面内的平行四边形中，对应的复数是＋，对应的复数是－＋，则对应的复数是( )．＋．＋．－－．－解析：依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是＋，对应的复数是－＋，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－－.答案：．复数＝＋，＝－＋，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数，的值为( )．＝－，＝．＝－，＝－．＝，＝．＝，＝－解析：由题意可知＋＝(－)＋(＋)是实数，－＝(＋)＋(－)是纯虚数，故(\\(＋＝，＋＝，－≠，))解得＝－，＝－.答案：．，分别是复数，在复平面内对应的点，是原点，若＋＝－，则三角形一定是( )．直角三角形．等腰三角形．等腰直角三角形．等边三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形为直角三角形．答案：．设∈，且＋－－＝，则＋的最小值为( )．．解析：由＋＝－知，在复平面内，复数对应的点的轨迹是以(－)和()为端点的线段的垂直平分线，即直线＝－，而＋表示直线＝－上的点到点(，－)的距离，其最小值等于点(，－)到直线＝－的距离．答案：．已知复数＝(－)＋(－)，＝－(－)(∈)，且－为纯虚数，则＝.解析：－＝(－－)＋(－＋－)(∈)为纯虚数．∴(\\(－－＝，＋－≠.))解得＝－.答案：－．若复数满足－＝θ＋θ，则的最大值为．解析：∵－＝θ＋θ，∴＝＋θ＋θ.则＝θ(＋θ)＝θ()≤.答案：．在平行四边形中，各顶点对应的复数分别为＝，＝＋，＝－＋，＝－＋，则实数－为．解析：因为＋＝，所以＋＋(－＋)＝－＋，所以(\\(－＝－，,()＋＝，))得－＝－.答案：－．设∈，复数＝(＋)－(＋)－(－)．()若为实数，求的值．()若为纯虚数，求的值．解析：＝(－－)＋(－＋).()若为实数，则－＋＝，所以＝或.()若为纯虚数，则(\\(－－＝，－＋≠，))解得＝－.故当＝－时，为纯虚数．．如图所示，平行四边形的顶点，，分别对应复数＋，－＋.求：()向量对应的复数；()向量对应的复数；()向量对应的复数．解析：()因为＝－，所以向量对应的复数为－－.()因为＝－，所以向量对应的复数为(＋)－(－＋)＝－.()因为＝＋，所以向量对应的复数为(＋)＋(－＋)＝＋.[组能力提升]．设()＝＋－，且＝＋，＝－－，则(－)等于( )．＋．＋．＋．＋解析：∵＝＋，＝－－，。

选修 1－ 2 第三章测试卷(时间： 90 分钟 满分： 150 分 )一、选择题 (共 12 小题，满分 60 分，每题 5 分 ) 1．i 是虚数单位，复数7－i ＝ ( )3＋iA ． 2＋ iB ． 2－ iC ．－ 2＋ iD ．－ 2－ i7－ i 7－ i 3－ i 20－ 10i分析： ＝ 10 ＝10 ＝ 2－ i.应选 B. 3＋ i 答案： B－ i 32．已知复数 z ＝ － 1＋ 2i 2(i 为虚数单位 )，则 z 在复平面内所对应的点位于 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析： 因为 z ＝ii － 3＋ 4i－ 4－ 3i 4 3－ 3－ 4i＝－ 3－ 4i － 3＋ 4i ＝25 ＝－ 25－ 25i ，因此 z 在复平面内所对应的点在第三象限，应选C.答案： C3．若复数 z 知足 (z － 3)(2－ i) ＝ 5(i－为 ()为虚数单位 )，则 z 的共轭复数 z A ． 2＋ i B ． 2－ i C ． 5＋ i D ． 5－ i 分析： 因为 (z － 3)(2－ i) ＝ 5，因此 z － 3＝5＝ 5 2＋ i＝ 2＋ i ，2－ i2＋ i2－ i－＝ 5－ i.应选 D.因此 z ＝ 5＋ i ，因此 z 答案： D－－4．设复数 z ＝－ 1－ i(i2－ z)为虚数单位 )， z 的共轭复数是 z，则等于 (zA ．－ 1－ 2iB ．－ 2＋ iC ．－ 1＋2iD ． 1＋ 2i－ 2－ － 1＋i分析： 由题意可得2－ zz ＝－ 1－ i3－ i － 1＋ i＝＝－ 1＋ 2i ，应选 C.－ 1－ i － 1＋i答案： C5．|(3＋ 2i) － (4－ i)|等于 ()A. 58B. 10C ． 2D ．－ 1＋ 3i分析： 3＋ 2i － (4－ i) ＝－ 1＋ 3i ，|－ 1＋ 3i|＝ 10.答案： B6．已知复数 1 2＝ 1－ 2i z 1为纯虚数，则|z 1|＝()z ＝ 2＋ ai( a ∈R )， z ，若 z 2A. 2B.3 C． 2 D.5分析：因为z1＝2＋ ai2＋ ai1＋ 2i 21－ 2i＝1＋ 2i z1－ 2i2－ 2a＋4＋ a ia＝ 1，＝5为纯虚数，则则|z1|＝ 5，应选 D.答案： D7．已知 i 为虚数单位，复数z ＝ a＋ 2i， z ＝ 2－ i，且 |z |＝ |z |，则实数 a 的值为 ()1212A ． 1B．－ 1C．1 或－ 1D．±1 或 0分析：因为复数 z1＝ a＋ 2i， z2＝ 2－i ，且|z1|＝ |z2|，因此 a2＋ 4＝4＋ 1，解得 a＝±1，应选 C.答案： C8．已知复数z＝－1＋3－＋|z|＝ () 22i，则 zA ．－1－3B．－13 22i＋2i21＋313C.2i D. －2i221 3 分析：因为 z＝－2＋2 i，－1312＋3213因此 z ＋ |z|＝－2－2i＋－22＝2－2 i. 应选 D.答案： D9．设 z＝ (2t2＋ 5t －3)＋(t2＋ 2t＋ 2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的选项是 ()A ． z 对应的点在第一象限B． z 必定不为纯虚数－C. z 对应的点在实轴的下方D． z 必定为实数分析：∵ t2＋ 2t＋ 2＝ (t＋ 1)2＋ 1＞ 0，∴z 对应的点在实轴的上方．－又∵ z 与 z 对应的点对于实轴对称．∴C 项正确．应选 C.答案： C1在复平面上的对应点分别是A， B，若 O 为坐标原点，则∠ AOB 10．复数 2＋ i 与复数3＋i等于 ()ππA. 6B.4ππC.3D.2分析：∵ 13－ i3i＝3＋ i 3－ i3＋i＝10－10，31∴它在复平面上的对应点为 B 10，－10，而复数 2＋ i 在复平面上的对应点是 A(2,1)，10 410 明显 AO ＝ 5， BO ＝ 10 ， AB ＝ 10.由余弦定理得cos ∠ AOB ＝AO 2＋ BO 2－ AB 22AO ·BO＝ 2，2 ∴∠ AOB ＝ π.应选 B.4答案： B－ 是复数 z 的共轭复数， － －＝0，则复数 z 在复平面内对应的点的轨迹11．已知 z z ＋ z ＋z ·z 是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线－分析： 设 z ＝ x ＋yi(x ， y ∈R )，则 z ＝ x － yi ，－ －＝ 0，得 x ＋ yi ＋ x － yi ＋ x 2＋ y 2＝ 0， 代入 z ＋ z ＋ z ·z 即 x 2＋ y 2＋ 2x ＝ 0，整理得 (x ＋ 1)2＋ y 2＝ 1.∴复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是圆．应选A.答案： A12．已知复数 z ＝ ( x － 2)＋ yi(x ， y ∈ R )在复平面内对应的向量的模为y的最大值是3，则 x()3 3 A. 2B. 31C.2D. 3分析： 因为 |(x － 2)＋ yi|＝3，因此 (x － 2)2＋ y 2＝ 3，因此点 (x ，y)在以 C(2,0)为圆心，以 3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤ y≤3.应选 D.答案： Dx二、填空题 (共 4 小题，满分 20 分，每题 5 分 )11＋ i的实部， b 是复数 z 2 ＝ (1－ i) 3的虚部，则 ab ＝ ________.13． 若 a 是复数 z ＝ 2－ i1＋ i 1＋ i 2＋ i 1 3 1分析： ∵ z 1＝ 2－ i ＝5 ＝5＋ 5i ，∴ a ＝ 5，∵ z 2＝(1－ i) 3＝－ 2－ 2i ，∴ b ＝－ 2，∴ ab 2＝－ 5.2答案：－5 14． i 是虚数单位，若复数 (1－ 2i)( a ＋ i)是纯虚数，则实数 a 的值为 ________ ．分析： 由 (1－ 2i)(a ＋ i) ＝(a ＋ 2)＋ (1－ 2a)i 是纯虚数可得 a ＋2＝ 0,1－ 2a ≠ 0，解得 a ＝－ 2.答案： －215．设复数a ＋ bi(a ，b ∈ R)的模为3，则 (a ＋ bi)( a － bi) ＝ ________.分析： ∵|a ＋ bi| ＝a 2＋b 2＝ 3，∴( a ＋bi)( a － bi) ＝ a 2＋ b 2＝ 3.答案： 316．若复数 z ＝ (m 2－ 4m)＋( m 2－ 6m ＋ 9)i( m ∈ R )在复平面内对应的点位于第二象限，此中i 为虚数单位，则实数m 的取值范围为 ________．分析： 由题可得复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(m 2－ 4m ， m 2－ 6m ＋ 9)，因为点 (m 2－ 3m ， m 2 －6m ＋9) 位于第二象限，因此m 2－ 4m<0，解得 0<m<3 或 3<m<4，故实数 mm 2－ 6m ＋ 9>0的取值范围为 (0,3)∪ (3,4)．答案： (0,3) ∪ (3,4)三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15－ 5i 17． (10 分 )已知复数 z 1＝ 2－ 3i ， z 2＝ 2＋ i 2， 求： (1) z 1z 2； (2) z 1 .z215－ 5i 15－ 5i 15－5i 3－ 4i分析： 因为 z 2＝ ＝ ＝3＋4i 3－ 4i2＋i 2 3＋ 4i 25－ 75i＝ 25 ＝ 1－ 3i ，因此 (1) z z ＝ (2－ 3i)(1 －3i) ＝－ 7－ 9i.1 2(2) z 1 2－ 3i 2－ 3i 1＋ 3i 11＋3i 11 ＋ 3i.z ＝＝ 1＋ 3i ＝10 ＝ 10 10 21是实数，且－ 1<ω<2.18． (12 分 )设 z ＝ a ＋bi ， a ， b ∈ R ， b ≠ 0，若 ω＝ z ＋ z(1)求 z 的实部的取值范围；1－ z，求证： u 为纯虚数． (2)设 u ＝ 1＋ z分析： (1) 因为 z ＝ a ＋bi ，a ， b ∈ R ， b ≠0，因此 ω＝ a ＋ bi ＋ 1 a 2 ＋ b － b 2 i.＝ a ＋ 2 2a ＋bi a ＋b a ＋ b因为 ω是实数，因此b －b＝ 0，即 a 2＋b 2＝ 1.22a ＋ba1又－ 1< ω<2 ，因此－ 1<a ＋ a 2＋ b 2<2，即－ 1<2a<2，解得－ 2<a<1， 因此 z 的实部的取值范围是－ 1，1 .21－ z 1－ a － bi1－ a － bi 1＋ a － bi 1－ a 2－ b 2－ 2bib(2)由题意及 (1)可得 u ＝＝1＋ a ＋ bi＝＝2＋ b 2＝－1＋ z 1＋ a ＋ bi 1＋ a － bi1＋ a a ＋ 1i ，1因为 a ∈ － 2， 1 ， a ，b ∈ R ， b ≠ 0，因此 u 为纯虚数．－19． (12 分 )已知复数 z 知足 (1＋ 2i) z ＝ 4＋ 3i.(1) 求复数 z ；a 的取值范围．(2) 若复数 (z ＋ ai) 2在复平面内对应的点在第一象限，务实数分析： －(1) ∵ (1＋ 2i) z ＝ 4＋ 3i ，－ 4＋ 3i4＋ 3i 1－ 2i ＝ 10－ 5i ＝ 2－i ， ∴ z ＝ ＝1＋ 2i 1－ 2i 51＋ 2i∴ z ＝2＋ i.(2)由 (1)知 z ＝ 2＋ i ，则 ( z ＋ai) 2＝ (2＋ i ＋ ai) 2＝ [2＋( a ＋ 1)i] 2＝ 4－ (a ＋ 1)2＋ 4(a ＋1)i ，∵复数 (z ＋ ai) 2在复平面内对应的点在第一象限，4－a ＋ 12>0，∴解得－1<a<1，4 a ＋ 1 >0 ，即实数 a 的取值范围为 (－1,1)．20． (12 分 )已知复数 z 知足 (1＋ i)z ＝－ 1＋ 5i ， z ＝ a －2－ i ，此中 i 为虚数单位， a ∈ R ，11 2－若 |z 1－ z 2|<|z 1|，求 a 的取值范围．分析： 因为 z 1 － 1＋ 5i2 ＝ a －－ 2＝＝ 2＋ 3i ， z2－ i ， z＝ a － 2＋i ，1＋ i－因此 |z 1－ z 2|＝ |(2＋3i) － (a － 2＋ i)| ＝ |4－a ＋ 2i| ＝4－ a 2＋ 4，－又因为 |z 1 |＝ 13， |z 1－ z 2 |<|z 1|， 因此4－ a 2＋ 4< 13，因此 a 2－ 8a ＋ 7<0，解得 1<a<7.因此 a 的取值范围是 (1,7) ．－ － 21． (12 分 )设 z 为复数 z 的共轭复数，知足 |z － z |＝ 2 3. (1)若 z 为纯虚数，求 z.若－－2 为实数，求 |z|.(2) z z－分析： (1) 设 z ＝ bi(b ∈ R 且 b ≠ 0)，则 z ＝－ bi ，－因为 |z － z |＝ 2 3，则 |2bi|＝ 2 3，即 |b|＝ 3， 因此 b ＝ ± 3，因此 z ＝ ± 3i.－(2)设 z ＝ a ＋bi(a ，b ∈ R )，则 z ＝ a － bi ，－3 ，则 |2bi|＝ 2 3，即 |b|＝ 3，因为 |z － z |＝ 2 － 2 2 22＋ (b ＋ 2ab)i.因为 z － z ＝ a ＋ bi － (a －bi) ＝ a － a ＋ b －2 为实数， z － z 因此 b ＋ 2ab ＝ 0.1因为 |b|＝3，因此 a ＝－ 2，1 13 因此 |z|＝－ 22＋±32＝ 2 .22． (12 分 )已知复数z 知足 |z|＝2， z2的虚部是2.(1)求复数 z；(2)设 z， z2， z－ z2在复平面上的对应点分别为A， B， C，求△ ABC 的面积．分析： (1) 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R )，则 z2＝ a2－ b2＋2abi，22由题意得 a ＋ b ＝2 且 2ab＝2，解得 a＝ b＝1 或 a＝ b＝－ 1，因此 z＝ 1＋ i 或 z＝－ 1－ i.(2)当 z＝ 1＋i 时， z2＝2i ，z－ z2＝1－ i ，因此 A(1,1) ， B(0,2) ，C(1，－ 1)，因此 S△ABC＝1.当 z＝－ 1－ i 时， z2＝ 2i， z－ z2＝－ 1－ 3i，因此 A(－ 1，－ 1)， B(0,2)， C(－ 1，－ 3)，因此 S△ABC＝ 1.。