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量 子 力 学 习 题第一章 绪论1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反比，即 λm T=b (常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
1.3 氦原子的动能是E=3kT/2（k 为玻耳兹曼常数），求T =1K 时，氦原子的德布罗意波长。
1.4 利用玻尔－索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H =10特斯拉，玻尔磁子M B =9×10-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔∆E ，并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相比较。
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。
如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章 波函数和薛定谔方程2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度： (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r .从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内（即向原点）传播的球面波。
2.2 一粒子在一维势场a x a x x x U >≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧∞∞=00,,0,)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
2.4 一粒子在一维势阱a x a x U x U ≤>⎩⎨⎧>=,0,0)(0中运动，求束缚态(0<E <U 0)的能级所满足的方程。
2.5 对于一维无限深势阱(0<x <a )中的定态ψn (x )，求x 、2x 和∆x ，并与经典力学结果比较。
2.6 粒子在势场x a a x x V x V ≤<<≤⎪⎩⎪⎨⎧-∞=00,0,,)(0中运动，求存在束缚态(E <0)的条件( ，m ，a ，V 0关系)以及能级方程。
量子信息基础试题及答案一、单选题（每题2分，共10分）1. 量子比特（qubit）是量子信息的基本单位，它不同于经典比特的特点是：A. 只能处于0或1状态B. 可以处于0和1的叠加态C. 只能处于0状态D. 只能处于1状态答案：B2. 在量子力学中，一个粒子的状态可以用波函数来描述，波函数的平方代表粒子在某个位置的概率密度。
以下哪项不是波函数的性质？A. 波函数是复数B. 波函数的模方是概率密度C. 波函数是实数D. 波函数的模方必须非负答案：C3. 量子纠缠是量子信息科学中的一个重要概念，以下关于量子纠缠的描述，哪项是不正确的？A. 量子纠缠是两个或多个粒子之间的一种特殊关联B. 量子纠缠状态下的粒子，其状态不能独立描述C. 量子纠缠可以被用来实现超距通信D. 量子纠缠是量子力学的基本特性之一答案：C4. 量子计算中，量子门是实现量子比特操作的基本单元。
以下哪个量子门不是单量子比特门？A. Pauli-X门B. Hadamard门C. CNOT门D. Pauli-Z门答案：C5. 量子纠错码是量子计算中用于保护量子信息免受错误影响的方法。
以下关于量子纠错码的描述，哪项是不正确的？A. 量子纠错码可以检测和纠正量子比特的错误B. 量子纠错码需要额外的量子比特来实现C. 量子纠错码可以完全消除量子比特的错误D. 量子纠错码是量子计算中的关键技术之一答案：C二、多选题（每题3分，共15分）1. 量子信息处理中，量子态的演化可以通过量子门来实现。
以下哪些量子门是基本的单量子比特门？A. Pauli-X门B. Pauli-Y门C. Pauli-Z门D. CNOT门答案：A|B|C2. 量子信息中，量子纠缠的特性包括：A. 纠缠粒子的状态不能独立描述B. 纠缠粒子的测量结果具有相关性C. 纠缠粒子的测量结果总是相同的D. 纠缠粒子的测量结果可以预测答案：A|B3. 量子信息中的量子通道，是指量子信息从一个系统传输到另一个系统的途径。
量子物理试题及答案1. 请解释普朗克常数在量子力学中的作用。
答案：普朗克常数是量子力学中一个基本常数，它标志着能量与频率之间的联系。
在量子力学中，普朗克常数用于描述粒子的能量量子化，即粒子的能量只能以普朗克常数的整数倍进行变化。
2. 描述海森堡不确定性原理。
答案：海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
具体来说，粒子的位置不确定性与动量不确定性的乘积至少等于普朗克常数除以2π。
3. 什么是波函数坍缩？答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当进行测量时，系统从一个不确定的量子态（波函数描述的状态）转变为一个确定的经典态的过程。
4. 简述薛定谔的猫思想实验。
答案：薛定谔的猫是一个思想实验，用来说明量子力学中的超位置原理。
在这个实验中，一只猫被放置在一个封闭的盒子里，盒子内还有一个装有毒气的瓶子和一个放射性原子。
如果原子衰变，毒气瓶就会打开，猫就会被毒死。
在没有观察之前，猫处于既死又活的超位置状态。
只有当观察者打开盒子时，猫的状态才会坍缩为一个确定的状态。
5. 什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中的一种现象，指的是两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，使得即使它们相隔很远，一个粒子的状态也会立即影响到另一个粒子的状态。
6. 解释泡利不相容原理。
答案：泡利不相容原理指出，在同一个原子内，两个电子不能具有相同的四个量子数（主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数）。
这个原理解释了原子的电子排布和元素周期表的结构。
7. 描述量子隧穿效应。
答案：量子隧穿效应是指粒子能够穿越一个在经典物理学中不可能穿越的势垒。
这种现象是由于量子力学中的波函数具有非零的概率在势垒的另一侧存在，即使粒子的能量低于势垒的高度。
8. 什么是量子比特？答案：量子比特，又称为量子位，是量子计算中的基本信息单位。
与经典比特不同，量子比特可以处于0和1的叠加态，这使得量子计算机能够同时处理大量信息。
9. 简述狄拉克方程。
量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。
A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。
答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。
答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。
答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。
答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。
答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。
答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。
波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。
2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。
答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。
量子计算原理考试试题一、选择题（每题2分，共40分）1. 量子比特是量子计算的基本单位。
下列哪个不是量子比特的典型实现方式？A. 超导量子比特B. 离子阱量子比特C. 量子电路量子比特D. 光子量子比特2. 量子叠加态指的是量子比特处于多个状态的叠加状态。
以下哪个现象能较好地描述量子叠加态？A. 干涉B. 衍射C. 退相干D. 自旋3. 量子计算中的量子门是对量子比特的操作，用于实现量子计算的逻辑操作。
以下哪个量子门不是基本的单比特量子门？A. 哈达玛门B. CNOT门C. 相位门D. Pauli-X门4. 量子纠缠是量子计算中的重要现象，用于实现量子比特之间的相互作用。
以下哪个准确描述了量子纠缠？A. 两个量子比特之间的状态耦合B. 量子比特的自旋相反C. 两个量子比特之间的量子态相互关联D. 量子比特的叠加状态5. 量子计算中的量子态传输是指将量子信息从一个地方传输到另一个地方。
以下哪个技术被广泛应用于量子态传输？A. 纠缠源B. 量子隧道C. 量子纠错码D. 量子隐形传态二、填空题（每题4分，共40分）1. 量子计算的基本原理是利用量子叠加和量子纠缠来进行并行计算，有效解决了传统计算的____________问题。
2. 量子比特的两个基本测量结果是____________和____________，分别对应经典计算的0和1。
3. 量子门通过作用于量子比特上，改变它们的____________状态。
4. 量子纠缠是指由于量子比特之间的相互作用，使它们之间的____________不能被单独描述。
5. 量子态传输是量子计算中的重要环节，利用量子纠缠可以实现____________传输。
三、简答题（每题10分，共20分）1. 什么是量子比特？请简要介绍一种实现量子比特的方式，并说明其原理。
2. 量子计算中的量子门有哪些常见的基本门操作？请简要介绍其中两种门的实现原理和作用。
四、计算题（每题20分，共20分）1. 设一量子系统由两个量子比特组成，分别记为|00⟩、|01⟩、|10⟩和|11⟩，初始状态为|00⟩，经过如下量子门操作：H ⊗ II ⊗ HCNOT(1, 2)其中H表示哈达玛门，I表示恒等门，CNOT表示控制非门。
郑州轻工业学院2008—2009学年度第二学期《量子力学》课程期末试卷A卷一、简答题（每小题8分，共32分）1.态叠加原理2．波函数的统计解释及波函数的标准条件3. 全同性原理和泡利不相容原理4. 量子力学五个基本假设是什么？二、计算题（共68分）1. 假设一平面转子角速度为ω，转动惯量为I ，试用波尔-索莫非条件求其能量可能值 （8分）2. 证明对易关系（8分）3. 设氢原子处于归一化状态 211021111(,,)()(,)()(,)22r R r Y R r Y ψθϕθϕθϕ-=-ˆˆˆ[,]x L y i z=求其能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
（15分）4. 二元矩阵A ，B 满足20,1,A AA A A B A A +++=+==， （1）证明2B B =（2）在B 表象中求出A 的矩阵 （共15分）5.在某一选定的一组正交基下哈米顿算符由下列矩阵给出（1）设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似； （2）求H 的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。
（共22分）郑州轻工业学院2008—2009学年度 第二学期《量子力学》课程期末试卷B 卷一、简答题（每小题8分，共32分）1. 德布罗意关系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000301c c cH2．波函数的统计解释及波函数的标准条件3. 全同性原理和泡利不相容原理4. 试描述史特恩-盖拉赫实验二、计算题（共68分）1.证明：如果算符ˆA和ˆB均是厄米算符，则（ˆˆ）也是厄米算符A B（8分）2. 试求算符ˆixd Fie dx=-的本征函数 （8分）3. 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，已知粒子的波函数为求粒子能量取值的几率分布与其平均值。
（14分）24()cosx x x aaππψ=4. 有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：H = H 0 + H ’，其中求能级的一级近似和波函数的0级近似。
量子考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的创始人是：A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 普朗克D. 薛定谔答案：C2. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C3. 海森堡不确定性原理表明：A. 粒子的位置和动量可以同时准确测量B. 粒子的位置和动量不能同时准确测量C. 粒子的位置和能量可以同时准确测量D. 粒子的动量和能量可以同时准确测量答案：B4. 量子力学中的泡利不相容原理适用于：A. 电子B. 质子C. 中子D. 所有基本粒子答案：A5. 量子纠缠是指：A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子之间的引力相互作用D. 两个粒子之间的电磁相互作用答案：B6. 量子力学中的薛定谔方程是一个：A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 代数方程答案：C7. 量子力学中的隧道效应是：A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子通过势垒的概率为零C. 粒子通过势垒的概率为一D. 粒子通过势垒的概率为负答案：A8. 量子力学中的叠加态是指：A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子处于确定的状态D. 粒子处于随机的状态答案：A9. 量子力学中的测量问题涉及：A. 粒子的测量结果B. 粒子的测量过程C. 粒子的测量设备D. 粒子的测量结果和过程答案：D10. 量子力学中的退相干是指：A. 量子态的相干性消失B. 量子态的相干性增强C. 量子态的相干性不变D. 量子态的相干性随机变化答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出______的性质，也表现出______的性质。
答案：波动；粒子2. 量子力学中的德布罗意波长公式为：λ = ______ / p，其中λ表示波长，p表示动量。
答案：h / p3. 量子力学中的能级是______的，这是由量子力学的______决定的。
量子力学测试题有关量子力学的测试题1. 问题一：波粒二象性a) 解释波粒二象性是什么意思，并举出一个例子来说明。
b) 描述质子和电子的波动性和粒子性。
2. 问题二：不确定原理a) 解释不确定原理是什么，并列举一个不确定原理的实例。
b) 讨论量子力学中的位置-动量不确定性原理和能量-时间不确定性原理。
3. 问题三：量子态和测量a) 解释什么是量子态和态矢量，并说明它们的物理意义。
b) 描述一个典型的量子测量实验过程。
4. 问题四：量子力学中的干涉与衍射a) 解释量子力学中的干涉和衍射，并与经典物理中的情况进行比较。
b) 描述一个干涉或衍射实验的结果，并解释观察到的现象。
5. 问题五：量子力学中的量子纠缠a) 解释量子纠缠是什么，并说明它的应用领域。
b) 描述一个经典物理无法解释的量子纠缠实验，并讨论实验结果。
6. 问题六：量子力学中的超导性a) 解释什么是超导性，并说明它与量子力学的关系。
b) 讨论超导性的发现对于量子力学的重要性。
7. 问题七：量子计算a) 解释什么是量子计算，并说明它与传统计算的区别。
b) 讨论量子计算的优势和可能的应用领域。
8. 问题八：量子力学中的量子隧穿a) 解释量子隧穿现象，并说明它在实践中的重要性。
b) 描述一个与量子隧穿相关的实验，并说明其结果。
9. 问题九：湮灭和产生算符a) 解释湮灭和产生算符，并说明它们在量子力学中的运用。
b) 描述一个与湮灭和产生算符相关的实际物理系统。
10. 问题十：量子力学中的双缝实验a) 解释双缝实验，并说明其对于理解量子力学的重要性。
b) 描述一个双缝实验并解释观测到的结果。
以上是关于量子力学的测试题，供您简单了解和思考。
希望能对您有所帮助。
量子教育测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的“量子”一词最早是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 薛定谔D. 波尔2. 量子纠缠是量子力学中的一种现象，以下哪项描述是错误的？A. 纠缠粒子间存在超距作用B. 纠缠粒子的某些属性在测量前不确定C. 纠缠粒子的属性在测量后立即确定D. 纠缠粒子的属性与空间距离无关3. 根据量子力学，一个粒子的位置和动量不能同时被精确测量，这被称为：A. 测不准原理B. 波粒二象性C. 量子叠加D. 量子隧穿4. 量子计算机与传统计算机的主要区别在于：A. 存储容量B. 处理速度C. 信息表示方式D. 能耗更低5. 以下哪个不是量子力学的基本原理？A. 波函数坍缩B. 量子叠加C. 量子纠缠D. 经典力学的完备性6. 在量子力学中，一个系统的状态可以用哪种数学对象来描述？A. 向量B. 矩阵C. 标量D. 张量7. 量子力学中的“观察者效应”指的是：A. 观察者的存在会影响实验结果B. 观察者必须使用仪器来观察量子系统C. 观察者可以改变量子系统的波函数D. 观察者可以预测量子系统的未来发展8. 以下哪项不是量子计算的潜在应用？A. 加密通信B. 药物设计C. 天体物理模拟D. 经典计算机编程9. 量子比特（qubit）是量子计算的基础，它与经典比特的主要区别在于：A. 存储容量B. 可以同时表示0和1C. 处理速度D. 能耗更低10. 量子退相干是量子系统与环境相互作用的结果，它会导致：A. 量子纠缠B. 量子叠加C. 量子坍缩D. 量子系统的稳定性增强答案：1. B2. A3. A4. C5. D6. A7. A8. D9. B10. C二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。
答：量子力学与经典力学的主要区别在于其对微观粒子行为的描述方式。
经典力学基于牛顿定律，适用于宏观物体的运动描述，而量子力学则适用于微观粒子，如原子和亚原子粒子。
一、填空题（每题5分，共5⨯4=20分）1. 波函数所描写的状态()()()()2,()E E i x t i x t x t u x e v x eψ--+=+ 为 态(填定或非定)。
2. 经典力学中物质运动的状态用坐标、动量、角动量、等力学量以决定论的方式描述。
而量子力学以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。
但波函数并不能作为量子力学中的力学量。
于是，又引入了一个重要的基本概念—— ，用它表示量子力学中的 。
3. 粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象，即粒子具有一定的穿透比它动能高的势垒的几率，这被称为 ，它是粒子具有 的表现。
4. 满足下列关系的算符Aˆ ),ˆ()ˆ,(ϕψϕψA A= 或 A A ˆˆ=+ 称为 算符，也称为自共轭算符。
两个厄米算符Aˆ、B ˆ之和仍为厄米算符，但它们的积，一般不是厄米算符，除非 。
二、论证与说明题：（每题10分，共10⨯2=20分）1. 请完整地给出动量算符dxdi px -=ˆ的论证过程。
2. 一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。
玻色子只有两个可能的单粒子态。
问体系可能的状态有几个？它们的玻函数怎样用单粒子态构成？三、证明题（每题10分，共10⨯2=20分）：1. 定义角动量升降阶算符：y x y x L i L L L i L L ˆˆˆ,ˆˆˆ-=+=-+ 证明：=±]ˆ,ˆ[L L z ±±L ˆ2. 证明费曼(Feynman)-海尔曼(Hellmanm)定理。
设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 λ，En 是 H 的本征值，ψn 是归一的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则n n n HE ψλψλ∂∂=∂∂ˆ四、计算题：（每题10分，共10⨯4=40分） 1. 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ为常量，求：（1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。
2. 一维谐振子的波函数为)(!222212/1x H e n n x nn απαψα-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=式中 μωα=为常量， 2222)()1()(x nn x n n ex d d e x H αααα--=为厄密多项式。
求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
3. 求角动量z 分量 ϕ∂∂-= i l zˆ的本征值与本征函数。
4. 在ˆzL 和 2ˆL 的共同本征态中，求 x L 和y L 的平均值。
2008～2009（二） 物理06量子力学试题B 答案一、 填空题（每题5分，共5⨯4=20分）：1. 定2. 算符，力学量。
3. 隧穿效应，波动性4. 厄米，0]ˆ,ˆ[=B A 或（可对易）。
二、论证与说明题：（每题10分，共10⨯2=20分）1. 解答：动量平均值应从动量p 的概率分布里去求 ，即x x x x x x x x x dp p p p dp p p p p )()(|)(|2ϕϕϕ*∞∞-⎰⎰=>==<x x x x p idp p p dxex x )()(21ϕπ⎰⎰*ψ=x x x x p i dxdp p p e x x )()(21ϕπ⎰⎰*ψ=x x xp idxdp p e dx d i x x )())((21ϕπ-ψ=⎰⎰*])(21)[)((x x x p i dp p edx d i x dx x ϕπ⎰⎰-ψ=*dx x px dx x dx di x x )(ˆ)()())((ψψ=ψ-ψ=⎰⎰**所以dxdi px -=ˆ 2. 解：体系的可能状态有4个：)()()(),,(3213211q q q q q q i i i ϕϕϕ=Φ)()()(),,(3213212q q q q q q j j j ϕϕϕ=Φ[++=Φ)()()()()()(31),,(1323213213q q q q q q q q q j i i jiiϕϕϕϕϕϕ])()()(213q q q j i i ϕϕϕ[++=Φ)()()()()()(31),,(1323213213q q q q q q q q q j j i j jiϕϕϕϕϕϕ])()()(213q q q j j i ϕϕϕ三、证明题（每题10分，共10⨯2=20分）：1. 定义角动量升降阶算符：y x y x L i L L L i L L ˆˆˆ,ˆˆˆ-=+=-+ 证明：=±]ˆ,ˆ[L L z ±±L ˆ 解：±±±=±±=-±=±=±=L L i L L i i L i L L i L L L i L L L L y x x y y z x z yx z z ˆ)ˆˆ()ˆ(ˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[证毕2. 证明费曼(Feynman)-海尔曼(Hellmanm)定理。
设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 λ，En 是 H 的本征值，ψn 是归一的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则n n n HE ψλψλ∂∂=∂∂ˆ 证明：据题设，ψn 满足本征值方程：0|)ˆ(>=-n n E H ψ （1）其共轭方程为：0)ˆ(|=-<nn E H ψ（2）将(1)式对 λ 求导数并左乘 <ψn | 得：0|)ˆ(||)ˆ(|>=∂∂-<+>-∂∂<nn n n n n E H E H ψλψψλψ 由共轭方程（2） 知，上式等号左边第二项为 0，0|||ˆ|>=∂∂<->∂∂<n n n n n E H ψλψψλψ >∂∂>=<<∂∂n n n n nH E ψλψψψλ|ˆ||，利用归一条件<ψn |ψn > = 1>∂∂=<∂∂n n n H E ψλψλ|ˆ|此即费曼(Feynman)-海尔曼(Hellmanm)定理证毕。
四、计算题：（每题10分，共10⨯4=40分） 1. [解] 首先将ψ归一化，求归一化系数A 。
⎰⎰∞-∞==02220*1dx e x A dx x λψψ⎰⎰∞-∞-∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=02202022222121dx xe A dx xe e x A x xx λλλλλλ32022242λλλA xe A x =-=∞- 2/32λ=∴A⎩⎨⎧<≥=-0,00,2)(2/3x x xe x x 当当λλψ （1）动量的几率分布函数是⎰∞∞---=dx e x t p c px Et i)(2/1)()2(),(ψπ注意到Et i e中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有⎰∞∞---=dx ex t p c px i)()2(),(21ψπ ⎰∞+--=0)(21)2(dx xeA xp iλπ令 dx p i dy x p i y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λλ, 代入上式得⎰∞----=0221)()2(),(dy ye p i A t p c yλπ2222322)(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+= p p i p i A λλπλλπ （2）()⎰⎰∞∞-∞∞-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==pdp p p i p i pcdp c p 4222223*/2 λλλπλ ()()⎰⎰∞∞-∞∞-+=+=222223322223/2p dp p pdpλπλλπλ 0122233=∞-∞+-=p λπλ 2. 对于第一激发态x e dxd e H x xαααα21)1(222211=⋅-=- 故 2213212112222222x x xex e ααπααπαψ--=⋅=处在第一激发态的几率正比于2223212x ex απαψ-=欲求其最大值，必须满足0)(222=-x e x dxd α 即有 022222232=---xx e x xeαααμωα±=±=∴1max x3. 解：本征方程为ψψϕ'z l i =∂∂-'z l 为本征值，上式可改记为'ln z il =∂∂ϕψ 其解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ϕϕψ'exp )(z il CC 为归一化常数。
由波函数满足周期性边条件，)()2(ϕψπϕψ=+ 因此要求m l z ='， ,2,1,0±±=m此即'z l 的本征值，是量子化的。
相应的本征函数表示为ϕϕψim m Ce =)(由归一化条件⎰==ππϕϕψ20221||2|)(|C d m可知π21||2=C ，取π21=C （正实数），于是归一化本征函数表示为ϕπϕψim m e 21)(=， ,2,1,0±±=m4. [解]： ˆx xL m l L l m = ,ˆˆy z i m l L L l m ⎡⎤=⎣⎦ ()ˆˆˆˆy z z y i m l L L L L l m =-()ˆˆyyi m l Lm m L l m =- ()ˆ0yi m l m m L l m =-=ˆy yL m l L l m = ,ˆˆz x i m l L L l m ⎡⎤=⎣⎦ ()ˆˆˆˆz x x z i m l L L L L l m =-()ˆˆxxi m l m LL m l m =-()ˆ0xi m l m m L l m =-=。
