高中数学 精讲优练课型 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式课件 新人教版必修4
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学习资料3。
1.1 两角差的余弦公式考试标准课标要点 学考要求高考要求两角差的余弦公式b b 两角差的正弦公式及两角和的正弦、余弦公式c c 两角和与差的正切公式cc知识导图学法指导本节内容公式较多,需要在理解的基础上进行记忆;试题灵活多样、技巧性强,要多练多总结,如角度之间的联系、公式的逆用及变形应用等都需要总结.两角差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差 的余弦 C (α-β) cos (α-β)=cos _αcos _β+sin _αsin _β α,β为任意角错误! 对两角差的余弦公式的记忆和理解(1)公式的特点:公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式.(2)注意事项:不要误记为cos (α-β)=cos α-cos β或cos (α-β)=cos αcos β-sin αsin β;同时还要注意公式的适用条件是α,β为任意角.(3)该公式是整章三角函数公式的基础,要理解该公式的推导方法.公式的应用要讲究一个“活”字,即正用、逆用、变形用,还要创造条件应用公式,如构造角:β=(α+β)-α,β=α+β2-错误!等.[小试身手]1.判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)cos (60°-30°)=cos 60°-cos 30°.( )(2)对于任意实数α,β,cos (α-β)=cos α-cos β都不成立.( ) (3)对任意α,β∈R ,cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β都成立.( ) (4)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0。
( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.cos (30°-45°)等于( ) A.错误! B.错误!C.错误!D.错误! 解析:cos(30°-45°)=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°=错误!×错误!+错误!×错误!=错误!。
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1。
1 两角差的余弦公式[课时作业][A组基础巩固]1.化简cos(45°-α)cos(α+15°)-sin(45°-α)sin(α+15°)的结果是( )A。
错误!B.-错误!C.错误!D.-错误!解析:原式=cos(α-45°)cos(α+15°)+sin(α-45°)sin(α+15°)=cos[(α-45°)-(α+15°)]=cos(-60°)=错误!.答案:A2.已知cos α=错误!,α∈错误!,则cos错误!的值等于( )A。
错误!B.-错误!C.-错误!D。
错误!解析:∵cos α=错误!,α∈错误!,∴sin α=-错误!,∴cos错误!=cos αcos 错误!+sin αsin 错误!=错误!错误!=-错误!.答案:C3.已知cos错误!=错误!,0<θ<错误!,则cos θ等于( )A.错误!B。
学习资料3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1。
1两角差的余弦公式内容标准学科素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算。
直观想象数学运算逻辑推理授课提示:对应学生用书第72页[基础认识]知识点两角差的余弦公式阅读教材P124~127,思考并完成以下问题如何用α,β的正、余弦值来表示cos(α-β)呢?(1)计算下列式子的值,并根据这些式子的共同特征,写出一个猜想.①cos 45°cos 45°+sin 45°sin 45°=__________;②cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°=________;③cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=________;④cos 150°cos 210°+sin 150°sin 210°=________.猜想:cos αcos β+sin αsin β=________,即______________________________.提示:①1=cos 0°②错误!=cos 30°③0=cos 90°④错误!=cos 60°cos(α-β)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β(2)单位圆中(如图),∠AOx=α,∠BOx=β,那么A,B的坐标是什么?错误!与错误!的夹角是多少?提示:A(cos α,sin α)、B(cos β,sin β),∠AOB=α-β。
(3)错误!·错误!=________.提示:错误!·错误!=(cos α,sin α)·(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β.错误!·错误!=|错误!||错误!|cos∠AOB=cos(α-β).知识梳理C(α-β):cos(α-β)=cos__αcos__β+sin__αsin__β.思考(1)对任意α,β都有cos(α-β)=cos α-cos β吗?提示:不是.(2)存在α,β∈R,使cos(α-β)=cosα-cos β吗?提示:存在.[自我检测]1.计算cos错误!cos错误!+cos错误!sin错误!的值是()A.0B。
3.1.1 两角差的余弦公式[提示] 不一定成立,这是对公式的误解. 2.两角差的余弦公式的推导在平面直角坐标系中作单位圆O ,以Ox 为始边作α,β,它们的终边与单位圆分别交A ,B ,则OA →=(cos α,sin α),OB →=(cos β,sin β), ∴OA →·OB →=cos αcos β+sin αsin β, 设OA →与OB →的夹角为θ,则由数量积定义知 OA →·OB →=|OA →||OB →|cos θ=cos θ,∴cos θ=cos αcos β+sin αsin β.∵α=2k π+β+θ(如图1)或α=2k π+β-θ(k ∈Z )(如图2),∴α-β=2k π±θ(k ∈Z ),图1 图2所以cos(α-β)=cos θ,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. 1.cos 65°cos 35°+sin 65°sin 35°等于( ) A .cos 100° B .sin 100° C .32D .12C [原式=cos(65°-35°)=cos 30°=32.]2.cos(-15°)的值是( ) A .6-22B .6+22C .6-24D .6+24D [cos(-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24.]3.cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)sin(α+25°)= .12[原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]=cos(-60°)=cos 60°=12.]4.已知α是锐角,sin α=23,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α= .5+236 [由条件可求的cos α=53,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=cos π3cos α+sin π3sin α=12×53+32×23=5+236.]给角求值问题【例1】 (1)cos 12的值为( )A .6+24B .6-24C .2-64D .-6+24(2)求下列各式的值:①cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°; ②sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°; ③12cos 15°+32sin 15°. (1)D [cos 13π12=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π+π12=-cos π12=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-π6=-cos π4cos π6-sin π4sin π6=-22×32-22×12=-6+24.](2)[解] ①cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195° =cos 75°cos 15°-sin 75°sin(180°+15°) =cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15° =cos(75°-15°)=cos 60°=12.②sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°=sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°) =cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°=cos(44°-14°)=cos 30°=3 2 .③12cos 15°+32sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=2 2 .1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是:(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.2.两角差的余弦公式的结构特点:(1)同名函数相乘:即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦.(2)把所得的积相加.化简下列各式:(1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);(2)-sin 167°·sin 223°+sin 257°·sin313°.[解](1)原式=cos[(θ+21°)-(θ-24°)]=cos 45°=2 2 .(2)原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)·sin(360°-47°)=sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47°=sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43°=cos(13°-43°)=cos(-30°)=32.给值(式)求值问题1.若已知α+β和β的三角函数值,如何求cos α的值? 提示:cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.2.利用α-(α-β)=β可得cos β等于什么?提示:cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sinαsin(α-β).【例2】 (1)已知sin α-sin β=1-32,cos α-cos β=12,则cos(α-β)=( ) A .-32 B .-12 C .12 D .32(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=1213,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,2π3,求cos α的值.思路点拨:(1)先将已知两式平方,再将所得两式相加,结合平方关系和公式C (α-β)求cos(α-β).(2)由已知角π3+α与所求角α的关系即α=⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α-π3寻找解题思路.(1)D [因为sin α-sin β=1-32,所以sin 2α-2sin αsin β+sin 2β=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1-322,①因为cos α-cos β=12,所以cos 2α-2cos αcos β+cos 2β=⎝ ⎛⎭⎪⎫122, ②由①②两式相加得1-2cos(α-β)+1=1-3+34+14所以-2cos(α-β)=-3, 所以cos(α-β)=32.](2)[解]∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,2π3,∴π3+α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=-1-sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α =-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12132=-513.∵α=⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α-π3,cos α=cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α-π3 =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+αcos π3+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+αsin π3=-513×12+1213×32=123-526.]1.将本例(2)的条件改为“sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=45,且π4<α<3π4”,如何解答?[解]∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=45,且π4<α<3π4,∴π2<α+π4<π,∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫452=-35,∴cos α=cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α+π4-π4 =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos π4+sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4sin π4=-35×22+45×22=210.2.将本例(2)的条件改为“sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=-1213,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,5π6”,求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-π12的值.[解] ∵π6<α<5π6,∴-π2<π3-α<π6,又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=-1213<0,∴-π2<π3-α<0,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=1-sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=513, ∴cos⎝⎛⎭⎪⎫α-π12=cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π12-α=cos⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α-π4=22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α+22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=22×513+22×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1213=-7226. 给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有:①α=(α-β)+β; ②α=α+β2+α-β2;③2α=(α+β)+(α-β); ④2β=(α+β)-(α-β).给值求角问题【例3】 (1)已知α,β均为锐角,且sin α=25,sin β=1010,则α-β=(2)已知cos α=17,cos(α+β)=-1114,α,β∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,则β= .思路点拨:(1)求α-β的范围→求cos (α-β)值→求α-β(2)明确β范围→利用β=(α+β)-α求cos β→确定β的值(1)π4 (2)π3 [(1)∵α,β均为锐角,∴cos α=55,cos β=31010.∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=55×31010+255×1010=22. 又∵sin α>sin β,∴0<β<α<π2,∴0<α-β<π2.故α-β=π4.(2)∵α,β∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,∴α+β∈(0,π).∵cos α=17,cos(α+β)=-1114,∴sin α=437,sin(α+β)=5314,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1114×17+5314×437=12.∵0<β<π2,∴β=π3.]1.本例(1)中“sin α”变为“cos α”,“sin β”变为“cos β”,α-β的值怎样?[解] ∵α,β均为锐角, ∴sin α=1-cos 2α=55,sin β=1-cos 2β=31010,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =255×1010+55×31010=22.∵sin α<sin β, ∴0<α<β<π2.∴-π2<α-β<0.∴α-β=-π4.2.若本例(2)变为:已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2,结果怎样?[解] 由cos α=17,0<α<π2,得sin α=1-cos 2α =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫172=437.由0<β<α<π2,得0<α-β<π2.又因为cos(α-β)=1314,所以sin(α-β)=1-cos 2(α-β)=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13142=3314.由β=α-(α-β)得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=17×1314+437×3314=12,所以β=π3.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.提醒:在根据三角函数值求角时,易忽视角的范围而得到错误答案.1.“给式求值”或“给值求值”问题,即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变式”或“变角”,使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用,有时需运用拆角、拼角等技巧.2.“给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题,求一个角的值,可分以下三步进行:(1)求角的某一三角函数值.(2)确定角所在的范围(找区间).(3)确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定.1.下列命题正确的是( )A .对于任意角α,β,都有cos(α-β)=cos α-cos βB .对于任意角α,β,都有cos(α-β)≠cos α-cos βC .不存在角α,β,使得cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin βD .存在α和β,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βD [A 明显不成立;B 中当α=π4,β=π2时,等式成立, ∴B 不成立;C 中,当α=k π或β=k π时(k ∈Z )等式成立,D 正确,因为当α=β=0时,等式成立.]2.cos 50°=( )A .cos 70°cos 20°-sin 70°sin 20°B .cos 70°sin 20°-sin 70°cos 20°C .cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°D .cos 70°sin 20°+sin 70°cos 20°C [50°=70°-20°,根据两角差的余弦公式知C 正确.]3.若sin αsin β=1,则cos(α-β)的值为 . 1 [由sin αsin β=1,得cos αcos β=0,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=1.]4.已知sin α=-45,sin β=513,且180°<α<270°,90°<β<180°,求cos(α-β)的值.[解] 因为sin α=-45,180°<α<270°,所以cos α=-35. 因为sin β=513,90°<β<180°, 所以cos β=-1213.所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =⎝ ⎛⎭⎪⎫-35×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1213+⎝ ⎛⎭⎪⎫-45×513=3665-2065=1665.。
学习资料第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1。
1 两角差的余弦公式[A 组 学业达标]1.cos 27°cos 57°-sin 27°cos 147°等于( )A.错误! B .-错误! C 。
错误! D .-错误!解析:原式=cos 27°cos 57°-sin 27°cos(180°-33°)=cos 27°·cos 57°+sin 27°cos 33°=cos 27°cos 57°+sin 27°sin 57°=cos(57°-27°)=cos 30°=错误!.故选A.答案:A2.cos(45°-α)cos (α+15°)-sin (45°-α)sin (α+15°)等于( ) A 。
12B .-错误!C 。
错误!D .-错误! 解析:原式=cos(α-45°)cos(α+15°)+sin (α-45°)sin(α+15°)=cos [(α-45°)-(α+15°)]=cos (-60°)=12. 答案:A3.cos 555°的值是( )A 。
错误!+错误!B .-错误!-错误!C 。
错误!-错误!D 。
错误!-错误! 解析:∵cos 555°=cos 195°=-cos 15°=-cos(45°-30°)=-错误!×错误!-错误!×12=-错误!。
故选B 。
答案:B4.若cos α=错误!,cos(α+β)=-错误!,且α,β都是锐角,则cos β的值为( )A .-错误!B.错误!C.错误!D .-错误!解析:∵β=(α+β)-α,又∵cos α=错误!,cos(α+β)=-错误!,α,β都是锐角,∴α+β是钝角,∴sin α=错误!,sin (α+β)=错误!。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式互动课堂疏导引导1.二倍角公式(1)二倍角公式的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sin αcos α,(S 2α)cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,(C 2α)tan2α=αα2tan 1tan 2-,(T 2α) 这组公式要记准、记熟、用活.下面给出这组公式的推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,当α=β时,有sin2α=2sin αcos α.∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,当α=β时,有cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1(sin 2α=1-cos 2α)=1-2sin 2α(cos 2α=1-sin 2α).∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+, 当α=β时,有tan2α=αα2tan 1tan 2-. 公式S 2α、C 2α中,α∈R ,公式T 2α中的α≠21k π+4π且α≠k π+2π (k∈Z ). 从上面的公式推导中可以看到二倍角公式是和角公式的特殊情况.(2)关于倍角公式应注意的几个问题:①推导思路:在正弦、余弦、正切的和角公式中,令两角相等,就得相应倍角公式.由此,倍角公式是和角公式的特例.②公式的适用范围:公式S 2α、C 2α中,角α可以为任意角,但公式T 2α只有当α≠2π+k π及α≠4π+2πk (k∈Z )时才成立,否则不成立.当α=2π+k π,k∈Z ,虽然tan α的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式.③对于“二倍角”要有广义理解,如4α是2α的2倍;α作为2α的2倍;2α作为4α的2倍;3α作为23α的2倍;3α作为6α的2倍等. 2.二倍角公式的变形(1)公式逆用2sin αcos α=sin2α,sin αcos α=21sin2α,cos α=ααsin 22sin 2,cos 2α-sin 2α=cos2α,αα2tan 1tan 2-=tan2α. (2)公式的逆向变换及有关变形1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2,1+cos2α=2cos 2α,1-cos2α=2sin 2α,cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-. 活学巧用1.已知sin α+cos α=31,且0<α<π,求sin2α、cos2α、tan2α的值. 解析:方法一:∵sin α+cos α=31,∴sin 2α+cos 2α+2sin αcos α=91.∴sin2α=98-且sin αcos α=94-<0. ∵0<α<π,sin α>0,∴cos α<0.∴sin α-cos α>0.∴sin α-cos α=3172sin 1)cos (sin 2=-=-ααα. ∴cos2α=cos 2α-sin 2α=(sin α+cos α)(cos α-sin α)=31×(-317)=917-. tan2α=171782cos 2sin =αα. 方法二:∵sin α+cos α=31,平方得sin αcos α=94-, ∴sin α、cos α可看成方程x 2-31x 94-=0的两根, 解方程x 2-31x 94-=0,得x 1=6171+,x 2=6171-.∵α∈(0,π),∴sin α>0.∴sin α=6171+, cos α=6171-.∴sin2α=2sin αcos α=98-,cos2α=cos 2α-sin 2α=917-,tan2α=171782cos 2sin =αα. 答案:sin2α=98-,cos2α=917-,tan2α=17178. 2.已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈[0, 2π],求f(x)的最大值、最小值. 解析:f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x =cos2x-sin2x=2cos(2x+4π). (1)T=22π=π. (2)0≤x≤2π,0≤2x≤π,4π≤2x+4π≤45π,-1≤cos(2x+4π)≤22,∴-2≤2cos(2x+4π)≤1.∴f(x)max =1,f(x)min =-2.答案:(1)π;(2)f(x)max =1,f(x)min =-2.3.已知函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1,x∈R .当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合. 解析:y=21cos 2x+23sinxcosx+1=41(2cos 2x-1)+41+43(2sinxcosx)+1 =21(cos2xsin 6π+sin2xcos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45.y 取得最大值必须且只需2x+6π=2π+2k π,k∈Z ,即x=6π+k π,k∈Z .所以量x 的集合为{x|x=6π+k π,k∈Z }.。