2015届中考数学夯实基础课件(辽宁专用)： 几何图形

1．(2013·铁岭)如果三角形的两边长分别是方程x2－8x ＋15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得 到的三角形的周长可能是(A) A．5.5 B．5 C．4.5 D．4 2．(2014·营口)如图，在△ABC中，点D，E分别是边 AB，AC的中点，∠B＝50°，将△ABC沿DE折叠，点A 的对应点是A′，则∠AEA′的度数是(B) A．145° B．152° C．158° D．160°
角，∴∠DEC＝∠A＋∠B＝90°＋32°＝
122°.同理∠BDC＝∠C＋∠DEC＝21°＋ 122°＝143°≠148°，∴这个零件不合格 【点评】 有关求三角形角的度数的问题，首先要明确所求的 角和哪些三角形有密切联系，若没有直接联系，可添加辅助线 构建“桥梁”．
2．(1)(2013·宁夏)如图，△ABC中，∠ACB＝ 90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边 上的点E处，若∠A＝22°，则∠BDC等于(C) A．44° B．60° C．67° D．77°
(2)如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“＞ ”表示∠BPC，∠BDC，∠BAC之间的关系．
解：∵∠BPC是△PCD的外角 ，∴∠BPC＞∠BDC，同理 ∠BDC＞∠BAC，∴∠BPC＞ ∠BDC＞∠BAC
三角形的内角、外角的性质
【例 2】 (1)(2014· 赤峰 ) 如图 ， 把一块含有 30°角 (∠A ＝ 30°) 的直角三角板 ABC 的直角顶点放在矩形桌面 CDEF 的一个顶点 C处，桌面的另一个顶点 F与三角板斜边相交于 点F，如果∠1＝40°，那么∠AFE＝(D)
度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(D)
A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4

面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4 的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个 单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫 过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t 之间函数关系的图象是(D)
线动问题
【例 2】 (2014· 衡阳)如图，已知直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点 A(－4， 0)，B(0，3)，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿直线 AB 向点 B 移动， 3 同时，将直线 y＝4x 以每秒 0.6 个单位的速度向上平移，分别交 AO，BO 于点 C，D，设运动时间为 t 秒(0＜t＜5)． (1)证明：在运动过程中，四边形 ACDP 总是平行四边形； (2)当 t 取何值时，四边形 ACDP 为菱形？且指出此时以点 D 为圆心，以 DO 长为半径的圆与直线 AB 的位置关系，并说明理由．
0＝－4k＋b 解：(1)设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，由题意，得 ，解得： 3＝b 3 k＝ 3 3 4，∴y＝ x＋3.∴直线 AB∥直线 y＝ x.∵A(－4，0)，B(0，3)，∴OA＝4， 4 4 b ＝ 3 3 OB＝3，在 Rt△AOB 中，由勾股定理，得 AB＝5.∴sin∠BAO＝5，tan∠DCO＝ 3 4.作 PE⊥AO，∴∠PEA＝∠PEO＝90°∵AP＝t，∴PE＝0.6t.∵OD＝0.6t，∴PE ＝OD.∵∠BOC＝90°，∴∠PEA＝∠BOC，∴PE∥DO.∴四边形 PEOD 是平行 四边形，∴PD∥AO.∵AB∥CD，∴四边形 ACDP 总是平行四边形
专题七 运动型问题
所谓“运动型问题”是探究几何图形(点、直线、三角形、四边形)在 运动变化过程中与图形相关的某些量 (如角度、线段、周长、面积及相 关的关系)的变化或其中存在的函数关系的一类开放性题目．解决这类 问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题． “运动型问题”题型繁多、题意创新 ， 考查学生分析问题、解决问 题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考 题的热点和难点． 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图象等图形 ，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性 质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理．在运动过程中 观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过 程．在变化中找到不变的性质是解决数学“运动型”探究题的基本思路 ，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质．

点、线段、相交线与平行线是平面图形构成的最为基本的要素，中考 试题难度较小． 1．直接考查相交线与平行线的相关概念和性质． 2．重点考查互为余角、互为补角的角的性质、平行线的性质与判定的 应用等． 3．体现数形结合思想、转化的思想．
1．(2016·丽水)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分 别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为_7_0_°_ ． 【解析】∵∠AEN＝∠A＋∠ADE，∠AEN＝133°，∠A＝63°， ∴∠ADE＝70°，∵MN∥BC，∴∠B＝∠ADE＝70°.
平行线的性质
9．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则 ∠DFA＝__3_6_度．
10．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD 的值为( B ) A．20° B．30° C．40° D．70° 解析：第9题首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD＝CB求 得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可；第 10题延长ED交BC于F，根据平行线的性质求出∠BFE＝∠B＝70°，求 出∠FDC＝40°，根据三角形外角性质得出∠C＝∠BFE－∠FDC，代 入求出即可．
应用判定方法来判定两直线平行，要正确识别“三线八角”中的同位 角、内错角和同旁内角．
7．(2017·预测)下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( C )
8．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD＝40°，OA平分∠COE ，则∠AOE＝_4_0_°_． 【解析】∠AOE＝∠AOC＝∠BOD＝40°.
解决有关图形中的角的计算问题的方法： 1．从图形中找出具有度量关系的角，如互余、互补、对顶角等． 2．利用相关的性质列出式子，有时需要转化为方程来解决．

解：(1)∵AE⊥BD，CF⊥BD, ∴AE∥CF，又∵四边形 ABCD 是平行四 边形，∴AB∥CD，∴四边形 CMAN 是平行四边形 (2)由⑴知四边形 CMAN 是平行四边形，∴CM＝AN.又∵四边形 ABCD 是平行四边形∴ AB＝CD，AB∥CD，∴∠MDE＝∠NBF，∴AB－AN＝CD－CM，即
ADE＝∠CBF，在△AED 和△CFB 中，∵∠ ADA＝DEB＝C，∠CBF， ∴△AED ∠A＝∠C，
≌△CFB(ASA) (2)作 DH⊥AB，垂足为 H，在 Rt△ADH 中，∠A＝30 °，∴AD＝2DH，在 Rt△DEB 中，∠DEB＝45°，∴EB＝2DH，可证 四边形 EBFD 为平行四边形，∴FD＝EB，∴DA＝DF
1．平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2．平行四边形性质： (1)平行四边形的对边____________，对角________；对角线________ ． (2)平行四边形是中心对称图形． 中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个________的线段． 答案：2.(1)相互平行且相等；相等；相互平分；(2)对应点
平行四边形的性质
5．(2017·预测)如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE 平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为( B ) A．8 B．10 C．12 D．14 解析：由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF＝∠AFB，得出AF＝ AB＝6，同理可证DE＝DC＝6，再由EF的长，即可求出BC的长． 【解析】可以证明AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，∵EF＝AF＋DE－AD＝2 ，即6＋6－AD＝2，解得AD＝10.故选B.
解：(1)∵D，G 分别是 AB，AC 的中点，∴DG∥BC，DG＝12BC，同理

A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
【解析】连结 OC，由题意可得 OB＝2，BC＝1，则 AC＝ 22＋12＝ 5，故点 M 对应的数是 5，故选 B.
3．(2016·湖州)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC ＝8，分别以点 A，B 为圆心，大于线段 AB 长度一半的长为半径作弧， 相交于点 E，F，过点 E，F 作直线 EF，交 AB 于点 D，连结 CD，求 CD 的长．
第26讲 几何作图
1．能用尺规完成基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个 角等于已知角；(3)作一个角的平分线；(4)作一条线段的垂直平分线； (5)过一点作已知直线的垂线．
2．会利用基本作图作三角形；过不在同一直线上的三点作圆；作三 角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形．
(1)四边形 ABEF 是__菱__形___；(选填矩形、菱形、正方形、无法确定) (2)AE，BF 相交于点 O，若四边形 ABEF 的周长为 40，BF＝10，求 AE 的长及∠ABC 的度数．
解：(1)菱形 (2)依题意，可知 AE 为角平分线，∵ABEF 的周长为 40，∴AF＝10，又 FO＝5，则 AO＝ AF2－FO2＝5 3，∴AE＝10 3， sin∠ABO＝AAOB＝ 23，∴∠ABO＝60°，∠ABC＝120°
1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺． 2．基本作图： (1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；(2)作一个角等于已 知角，以及角的和﹑差；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5) 过一点作已知直线的垂线．
2．(2017·预测)如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B，F 为圆心，大于12BF 的长为 半径画弧，两弧交于一点 P，连结 AP 并延长交 BC 于点 E，连结 EF.

于点 D，连接 AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC 的大小为__6_5_____度．
图 21－4
第21讲┃多边形与平行四边形
7．[2014·泸州] 一个平行四边形的一条边长为 3，两条对角线
的长分别为 4 和 2 5，则它的面积为__4___5___．
第21讲┃多边形与平行四边形
8．[2014·遵义] 如图 21－5 ABCD 中，BD⊥AD，∠A＝45°， E，F 分别是 AB，CD 上的点，且 BE＝DF，连接 EF 交 BD 于点 O.
第21讲┃多边形与平行四边形
经典示例
例 1 [2014·三明] 一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍，则这个多边形是( C )
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 [解析] 设该多边形的边数是n，根据题意，得 180×(n－2)＝360×2， 解得n＝6.
第21讲┃多边形与平行四边形
第21讲┃多边形与平行四边形
核心考点二 平行四边形的定义和性质
相关知识
定义 两组对边分别_平__行___的四边形叫做平行四边形
性质
(1)平行四边形的对边___平_行____． (2)平行四边形的对边___相__等___． (3)平行四边形的对角__相__等____． (4)平行四边形的对角线__互__相_平__分_． (5)平行四边形是__中__心____对称图形，但不一定是轴对称图形．它 的对称中心是_两__条__对__角_线的交点
第21讲┃多边形与平行四边形
核心练习
5．[2014·中山] 如图 21－3，已知 ABCD，下列说法一定正
确的是( C )
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB＝BC
图 21－3

3．(2014· 随州)如图①，正方形纸片 ABCD 的边长为 2，翻折∠B，∠D，使 两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P，EF，GH 分别是折痕(如图②)．设 AE＝x(0＜x＜2)，给出下列判断： ①当 x＝1 时，点 P 是正方形 ABCD 的中心； 1 ②当 x＝2时，EF＋GH＞AC； 11 ③当 0＜x＜2 时，六边形 AEFCHG 面积的最大值是 4 ； ④当 0＜x＜2 时， 六边形 AEFCHG 周长的值不变． 其中正确的是__①④__.(写 出所有正确判断的序号)
பைடு நூலகம்
1．(2014· 重庆)从－1，1，2 这三个数字中，随机抽取一个数，记为 a，那么， 1 使关于 x 的一次函数 y＝2x＋a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积为4，且 x＋2≤a， 1 使关于 x 的不等式组 有解的概率为__3__. 1－x≤2a
2．(2014·沈阳)如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分 别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于 点F，BE与CM相交于点N，连接EM.若▱ABCD的周长为42 cm，FM ＝3 cm，EF＝4 cm，则EM＝__5__ cm，AB＝__13__ cm.
专题八 综合型问题
综合题 ， 各地中考常常作为压轴题进行考查 ，这类题目难度大 ， 考 查知识多，解这类习题的关键就是善于利用几何图形的有关性质和代数 的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的． 近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现 ， 其 解题关键是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用 数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．值得 注意的是，近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究 型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在 考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、 抽象思维能力、建模能力，力求引导考生将数学知识运用到实际生活中 去．

∴∠BOM＝180°－∠AOM＝180°－38°＝142°.故选 C.
第15讲┃图形的初步认识
5．[2014·邵阳] 已知∠α＝13°，则∠α的余角的大 小是___7_7_°___．
6．若∠α的补角为76°28′，则∠α＝__1_0_3_°__3_2．′
第15讲┃图形的初步认识
核心考点二 相交线
第15讲┃图形的初步认识
图15－7 第15讲┃图形的初步认识平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直
垂直的 基本性
质
线． (2)在连接直线外一点与直线上各点的线段中，___垂_线__段__最 短
直线外一点到这条直线的__垂__线_段___的长度叫做点到直线的
距离
线段的 垂直平
第15讲┃图形的初步认识
4．角的平分线
(1)如图 15－2，若 OC 是∠AOB 的平分线，则__∠__A_O_C__＝ __∠__B_O_C__＝12∠AOB.
图 15－2 第15讲┃图形的初步认识
(2) 定 理 ： 角 平 分 线 上 的 点 到 这 个 角 两 边 的 距 离 __相__等____．
第15讲┃图形的初步认识
[解析] ∵OB 是∠AOC 的平分线， ∴∠BOC＝∠AOB. 又∵∠AOB＝40°， ∴∠BOC＝40°. ∵∠COE＝60°，OD 是∠COE 的平分线， ∴∠COD＝30°， ∴∠BOD＝40°＋30°＝70°.
第15讲┃图形的初步认识
核心练习
1．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且
图 15－9
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 第15讲┃图形的初步认识
9．[2014·厦门] 已知直线 AB，CB，l 在同一平面内，若 AB⊥l，

3．(2014·盘锦)已知，A，B两地相距120 km，甲骑自行车 以20 km/h的速度由起点A前往终点B，乙骑摩托车以40 km/h 的速度由起点B前往终点A.两人同时出发，各自到达终点后
停止．设两人之间的距离为s(km)，甲行驶的时间为t(h)，则
下图中正确反映s与t之间函数关系的是( ) B
③ 图象法 ．
；
是
x＋3 1．(2012· 朝阳)函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围 x－1 x≥－3且x≠1 .
2．(2012·营口)如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝30°， 动点P从点Bห้องสมุดไป่ตู้发，沿B—C—D的路线向点D运动．设△ABP的 面积为y(B，P两点重合时，△ABP的面积可以看做0)，点P 运动的路程为x，则y与x之间函数关系的图象大致为( C)
4．(2014·营口)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3， 点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路 径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长
x之间的函数关系用图象表示大致是(
) A
5．(2014·抚顺)如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐 角顶点P放在另一等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板 PCD绕点P在平面内转动，且∠ CPD的两边始终与斜边AB相 交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB＝2，AN＝x，
解法一：∵－1≤x＜3，∴2≥－2x＞－6，∴2＋4≥－2x ＋4＞－6＋4，即 6≥－2x＋4＞－2.∵y＝－2x＋4，∴6≥y ＞－2，即－2＜y≤6 4－y 解法二：∵y＝－2x＋4，∴x＝ 2 .∵－1≤x＜3，∴－ 4－y 1≤ 2 ＜3， ∴－2≤4－y＜6， ∴－2－4≤－y＜6－4， －6≤ －y＜2，∴－2＜y≤6

1．(2014· 兰州)为了求 1＋2＋22＋23＋„＋2100 的值，可令 S＝1＋2＋ 22＋23＋„＋2100，则 2S＝2＋22＋23＋24＋„＋2101，因此 2S－S＝2101－1， 所以 S＝2101－1，即 1＋2＋22＋23＋„＋2100＝2101－1，仿照以上推理计算 1＋3＋＋3 ＋„＋3
【点评】本题考查图形的应用与作图，是规律探究题，难度中等， 注意观察图形及表格，总结规律．
2．(2014· 丹东)如图，在平面直角坐标系中，A，B 两点分别在 x 轴和 y 轴 上，OA＝1，OB＝ 3，连接 AB，过 AB 中点 C1 分别作 x 轴和 y 轴的垂线， 垂足分别是点 A1， B1， 连接 A1B1， 再过 A1B1 中点 C2 作 x 轴和 y 轴的垂线， „„ 1 3 照此规律依次作下去，则点 Cn 的坐标为__(2n， 2n )__．
专题一 规律探索型问题
规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某
种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或 某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，
进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”“计算规律”“
图形规律”与“动态规律”等题型． 1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目 中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
5．(2014· 铁岭)将(n＋1)个边长为 1 的正方形按如图所示的方式排列，点 A， A1，A2，A3，„，An＋1 和点 M，M1，M2，„，Mn 是正方形的顶点，连接 AM1， AM2，AM3，„，AMn，分别交正方形的边 A1M，A2M1，A3M2，„，AnMn－1 于点 N1，N2，N3，„，Nn，四边形 M1N1A1A2 的面积是 S1，四边形 M2N2A2A3 的面积是 2n＋1 S2，„„四边形 MnNnAnAn＋1 的面积是 Sn，则 Sn＝__ __. 2n＋2