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第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第十节 热点专题——概率与统计中的热点问题课后作业 理1．为了防止塑化剂超标的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮塑化剂含量检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该产品不能销售的概率；(2)如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列及均值E(X )．2．(2016·山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]．(1)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数；(2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人．记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ，求 X 的分布列及均值．3．(2016·日照模拟)某娱乐节目将4名队员平均分成甲、乙两个组，进行一对一的独立闯关比赛，已知甲组中2名队员A ，B 过关的概率分别为13，23，乙组中2名队员C ，D 过关的概率都为12，最后根据两组过关人数的多少来决定胜负，若过关人数相同，则认为两组平局．(1)求A ，B ，C ，D 4名队员至多1人过关的概率；(2)将甲组过关的人数记作x ，乙组过关的人数记作y ，设X ＝|x －y |，求X 的分布列和均值．4．将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中(每个盒子足够大)．(1)求编号为1的盒子为空盒的概率；(2)求空盒的个数ξ的分布列和均值E(ξ)．5．(2016·九江模拟)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)(1)(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；(3)现从选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人对她们的答题情况进行全程研究，记丙、丁2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及均值E(X)．下面临界值表仅供参考：6．某高中为了推进新课程改革，以满足不同层次的学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、语文、物理、化学、生物这5个学科的辅导讲座，每位有兴趣的学生可以在期间的任何一天参加任何学科的辅导讲座，也可以放弃任何一个学科的辅导讲座．规定：各学科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座．统计数据表明，各学科辅导讲座满座的概率如下表(每天各个学科的辅导讲座是否满座互不影响)：(1)(2)设周三各学科辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．答 案1. 解：(1)记“该产品不能销售”为事件A ， 则P(A)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14，故该产品不能销售的概率为14.(2)由已知，可知X 的所有可能取值为－320，－200，－80，40,160.P(X ＝－320)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256，P(X ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫143×34＝364，P(X ＝－80)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128，P(X ＝40)＝C 34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P(X ＝160)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256.所以X 的分布列为E(X)＝－320×256－200×64－80×128＋40×64＋160×256＝40.2. 解：(1)∵小矩形的面积等于频率，∴除[35,40)外的频率和为0.70，∴x ＝1－0.705＝0.06.故500 名志愿者中，年龄在[35,40)岁的人数为 0.06×5×500＝150(人)．(2)用分层抽样的方法，从中选取 20 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有12 名，“年龄不低于 35 岁”的人有 8 名．故 X 的可能取值为 0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 38C 320＝14285，P (X ＝1)＝C 112C 28C 320＝2895，P (X ＝2)＝C 212C 18C 320＝4495，P (X ＝3)＝C 312C 320＝1157，故 X 的分布列为∴E (X )＝0×14285＋1×95＋2×95＋3×57＝95.3. 解：(1)设“A ，B ，C ，D 4名队员至多1人过关”为事件A ，“4名队员都不过关”为事件A 0，“4名队员恰有1人过关”为事件A 1，则A ＝A 0∪A 1.又P (A 0)＝23×13×12×12＝118，P (A 1)＝13×13×12×12＋23×23×12×12＋23×13×12×12×2＝14，故P (A )＝118＋14＝1136.(2) X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝23×13×12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13＋23×23×12×12×2＋13×23×12×12＝718，P (X ＝2)＝13×23×12×12＋23×13×12×12＝19，故P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－718－19＝12.故X 的分布列为E (X )＝0×718＋1×12＋2×19＝18.4. 解：(1)将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中，由分步乘法计数原理知共有44＝256种放法，设事件A 表示“编号为1的盒子为空盒”，则四个乒乓球可以随机放入编号为2,3,4的三个盒子中，共有34＝81种放法，故所求概率为P (A)＝81256. (2)空盒的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (ξ＝0)＝A 44256＝24256＝332，P (ξ＝1)＝C 24C 34A 33256＝144256＝916，P (ξ＝3)＝C 14256＝4256＝164，P (ξ＝2)＝C 14C 24A 22＋C 24C 22A 22C 24A 22256＝84256＝2164或P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P(ξ＝3)＝2164，所以ξ的分布列为ξ的均值为E (ξξ)＝0×32＋1×16＋2×64＋3×64＝64.5. 解：(1)由表中数据得K 2＝50× 22×12－8×8 230×20×30×20＝509≈5.556＞5.024，根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)，设事件A 为“乙比甲先解答完此道题”则满足的区域为x ＞y ，∴由几何概型的概率计算公式得P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18.(3)X 的可能取值为0,1,2，由题可知在选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人，抽取方法有C 28＝28种，其中丙、丁2人没有一个人被抽到有C 26＝15种；恰有一人被抽到有C 12·C 16＝12种；2人都被抽到有C 22＝1种，∴P (X ＝0)＝1528，P (X ＝1)＝1228＝37，P (X ＝2)＝128，X 的分布列为∴E (X )＝0×1528＋1×37＋2×28＝2.6. 解：(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ，则P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝118.(2) ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5，P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－124×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝148，P (ξ＝1)＝C 14×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－123×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－124×23＝18， P (ξ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋C 14×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－123×23＝724， P (ξ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－122×23＝13，P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×23＝316， P (ξ＝5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝124，所以随机变量ξ的分布列为故E (ξ)＝0×48＋1×8＋2×24＋3×3＋4×16＋5×24＝3.。
