比奥理论与太沙基理论的比较.ppt
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高等土力学部分知识总结
高等土力学部分学问总结第七章土的固结理论1.固结：所谓固结，就是在荷载作用下，土体孔隙中水体渐渐排解，土体收缩的过程。
更准确地说，固结就是土体超静孔隙水应力渐渐消散，有效应力渐渐增加，土体压缩的过程。
（超静孔压渐渐转化为有效应力的过程）2.流变：所谓流变，就是在土体骨架应力不变的状况下，土体随时间发生变形的过程。
次固结：孔隙压力完全消散后，有效应力随时间不再增加的状况下，随时间进展的压缩。
3.一维固结理论假定：一维（土层只有竖向压缩变形，没有侧向膨胀，渗流也只有竖向）；饱和土，水土二相；土体匀称，土颗粒和水的压缩忽视不计，压缩系数为常数，仅考虑土体孔隙的压缩；孔隙水渗透流淌符合达西定律，并且渗透系数K为常数；外荷载为均布连续荷载，并且一次施加。
固结微分方程：u为孔隙水压力，t时间，z深度渗透系数越大，固结系数越大，固结越快；压缩系数越大，土体越难压缩，固结系数就小。
土的固结系数，与土的渗透系数K成正比和压缩系数成反比。
初始条件：t=0，;边界条件：透水面u=0不透水面4.固结度：为了定量地说明固结的程度或孔压消散的程度，提出了固结度的概念。
任意时刻任意深度的固结度定义为当前有效应力和总应力之比U=平均固结度：当前土层深度内平均的有效应力和平均的总应力之比。
固结度U是时间因数Tv的单值函数。
5.太沙基三维固结理论依据土体的连续性，从单元体中流出的水量应当等于土体的压缩量由达西定律：若土的各个方向的渗透系数相同，取将达西定律公式代入连续方程：太沙基三维固结理论假设三向总应力和不随时间变化即：即6.轴对称问题固结方程砂井排水引起的土中固结，在一个单井范围内可以看成轴对称的三维问题，包含竖向和径向两个方向水的流淌。
依据纽曼卡里罗定理：多向渗流时孔隙压力比等于各单向渗流时孔隙压力比的乘积。
则可以分解为两个式子，7.Biot固结理论假设：均质/饱和/线弹性/微小变形/土颗粒和水不行压缩/渗流满意达西定律方程建立：1.单元体的平衡微分方程2.有效应力原理，总应力为孔隙水应力和有效应力之和，而孔隙水不能担当剪应力 3.本构方程（线弹性），也可以考虑弹塑性矩阵[D]，将应力和应变联系起来 4.几何方程，将应变和位移联系起来，最终代入得到位移和孔压表示的平衡微分方程（有效应力和孔压表示的拉梅方程） 5.连续性方程，土的体积变化＝土体孔隙的体积变化=流入流出水量差。
普氏理论和太沙基理论
普氏理论和太沙基理论 Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-普氏理论1. 普氏理论的基本假定普氏理论在自然平衡拱理论的基础上，作了如下的假设：（1） 岩体由于节理的切割，经开挖后形成松散岩体，但仍具有一定的粘结力； （2） 硐室开挖后，硐顶岩体将形成一自然平衡拱。
在硐室的侧壁处，沿与侧壁夹角为45-2φ︒的方向产生两个滑动面，其计算简图如图1所示。
而作用在硐顶的围岩压力仅是自然平衡拱内的岩体自重。
图1 普氏围岩压力计算模型（3） 采用坚固系数f 来表征岩体的强度。
其物理意为：但在实际应用中，普氏采用了一个经验计算公式，可方便地求得f 值。
即 式中 Rc ——单轴抗压强度（MPa ）。
f —— 一个量纲为1的经验系数，在实际应用中，还得同时考虑岩体的完整性和地下水的影响。
（4） 形成的自然平衡拱的硐顶岩体只能承受压应力不能承受拉应力。
2. 普氏理论的计算公式（1） 自然平衡拱拱轴线方程的确定为了求得硐顶的围岩压力，首先必须确定自然平衡拱拱轴线方程的表达式，然后求出硐顶到拱轴线的距离，以计算平衡拱内岩体的自重。
先假设拱周线是一条二次曲线，如图2所示。
在拱轴线上任取一点M （x,y ），根据拱轴线不能承受拉力的条件，则所有外力对M 点的弯矩应为零。
即202qx Ty -= （a ） 式中 q ——拱轴线上部岩体的自重所产生的均布荷载；T ——平衡拱拱顶截面的水平推力；x ，y ——分别为M 点的x ，y 轴坐标。
上述方程中有两个未知数，还需建立一个方程才能求得其解。
由静力平衡方程可知，上述方程中的水平推力T 与作用在拱脚的水平推图2 自然平衡拱计算简图力T ＇数值相等，方向相反。
即T=T ＇由于拱脚很容易产生水平位移而改变整个拱的内力分布，因此普氏认为拱脚的水平推力T ＇必须满足下列要求T ＇≤qa 1f （b ）即作用在拱脚处的水平推力必须小于或者等于垂直反力所产生的最大摩擦力，以便保持拱脚的稳定。
高等土力学课后参考答案
第五章.土的压缩与固结概念与思考题1.比奥（Biot）固结理论与太沙基一伦杜立克（Terzaghi-Randulic）扩散方程之间主要区别是什么？后者不满足什么条件？二者在固结计算结果有什么主要不同？答：主要区别：在太沙基-伦扩散方程推导过程中，假设正应力之和在固结与变形过程中是常数，太-伦扩散方程不满足变形协调条件。
固结计算结果：从固结理论来看，比奥固结理论可解得土体受力后的应力、应变和孔压的生成和消散过程，理论上是完整严密的，计算结果是精确地，太-伦法的应力应变计算结果和孔压计算结果精确。
比奥固结理论能够反映比奥戴尔-克雷效应，而太沙-伦扩散方程不能。
但是，实际上，由于图的参数，本构模型等有在不确定性。
无论采用哪种方法计算都很难说结果是精确的。
2.对于一个宽度为a的条形基础，地基压缩层厚度为H,在什么条件下，用比奥固结理论计算的时间一沉降（t-s）关系与用太沙基一维固结理论计算的结果接近？答案：a/H很大时3.在是砂井预压固结中，什么是砂井的井阻和涂抹？它们对于砂井排水有什么影响？答：在地基中设置砂井时，施工操作将不可避免地扰动井壁周围土体，引起“涂抹”作用，使其渗透性降低；另外砂井中的材料对水的垂直渗流有阻力，是砂井内不同深度的孔不全等于大气压（或等于0），这被称为“井阻”。
涂抹和井阻使地基的固结速率减慢。
4.发生曼德尔一克雷尔效应的机理是什么？为什么拟三维固结理论（扩散方程）不能描述这一效应？答：曼戴尔-克雷尔效应机理：在表面透水的地基面上施加荷重，经过短暂的时间，靠近排水面的土体由于排水发生体积收缩，总应力与有效应力均由增加。
土的泊松比也随之改变。
但是内部土体还来不及排水，为了保持变形协调，表层土的压缩必然挤压土体内部，使那里的应力有所增大。
因此某个区域内的总应力分量将超过他们的起始值，而内部孔隙水由于收缩力的压迫，其压力将上升，水平总应力分量的相对增长（与起始值相比）比垂直分量的相对增长要大。
第5章-1 固结和流变理论
▪ 土粒粒度、成分 (粗细，矿物成分) ▪ 有机质 (强度与固结) ▪ 孔隙水(孔隙及孔隙体积大小) ▪ 结构性 (扰动前后土强度的变化)
▪ 应力历史(超固结比OCR )
▪ 温度(引起饱和土孔隙中水体积变化及相应的有效 应力的变化)
☆多次线性加载
路基填筑高度
一次行施加荷载
t
2
t
1
t
t
02
01
m
t
3
u
z x y z
应力应变的本构方程式为：
{} [D]{}
(2-1)
比奥最初假定土骨架是 线弹性体，服从广义虎克 定律，则[D]为弹性矩阵式 (2-1)可写成： (p214式5-
44)
' x
2G( 1 2
V
x)
' y
2G( 1 2
V
y)
第六节 土的流变
土体变形和应力与时间有关现象称为土的流变现象。主要包括以下 几项： (1)蠕变-恒定应力作用下变形时间增长的现象； (2)松驰-变形恒定情况下应力随时间衰变的现象； (3)强度的时间效应-长期强度随受荷历时变化的现象； (4)流动-给定时间的变形速率随应力变化的现象。
第七节 动力固结
缩时，有：
v t
z t
mv
u t
最后可得太沙基单向固结基本微分方程：
u t
Cv
2u z 2
(三)方程式的解：p201
通过p201的式(5-5)、(5-6)、(5-7)、(5-8)、(5-9)、(5-10)、
(5-11)，可知，反映孔隙水压力消散程度的固结度U等于变形比，即：
▪ 应力历史(超固结比OCR )
▪ 温度(引起饱和土孔隙中水体积变化及相应的有效 应力的变化)
☆多次线性加载
路基填筑高度
一次行施加荷载
t
2
t
1
t
t
02
01
m
t
3
u
z x y z
应力应变的本构方程式为：
{} [D]{}
(2-1)
比奥最初假定土骨架是 线弹性体，服从广义虎克 定律，则[D]为弹性矩阵式 (2-1)可写成： (p214式5-
44)
' x
2G( 1 2
V
x)
' y
2G( 1 2
V
y)
第六节 土的流变
土体变形和应力与时间有关现象称为土的流变现象。主要包括以下 几项： (1)蠕变-恒定应力作用下变形时间增长的现象； (2)松驰-变形恒定情况下应力随时间衰变的现象； (3)强度的时间效应-长期强度随受荷历时变化的现象； (4)流动-给定时间的变形速率随应力变化的现象。
第七节 动力固结
缩时，有：
v t
z t
mv
u t
最后可得太沙基单向固结基本微分方程：
u t
Cv
2u z 2
(三)方程式的解：p201
通过p201的式(5-5)、(5-6)、(5-7)、(5-8)、(5-9)、(5-10)、
(5-11)，可知，反映孔隙水压力消散程度的固结度U等于变形比，即：
比奥理论与太沙基理论的比较PDF
六、比奥理论与太沙基理论的比较1.建立方程所依据的假设相同点骨架线性、弹性变形微小渗流符合达西定律。
不同点太沙基增加了法向应力之和zyx不随时间变化即法向应力和恒定。
为了分析先利用虎克定律写出体积应变的表达式EEEzyxxEEEzxyyEEEyxzzzyxvEEEzyxEEEzxyEEEyxz21Ev21E1121E引入维数n后硬性写成Env21121当n3时Ev231121E21zyxzyxv成立。
当n2时yxyxv将EEyxxEExyy代入vEEyxEExy1EE1此时n2则Ev221121E2221令022Ev1则当n1时xExxv在Env21121中取n1代入得Ev211121E12212同样令022EExv则可见该式022后才成立的。
是在令Env21121 根据有效应力原理n所以Ennv21121121121tntEntv利用式3.36a后得2121121wvKtntEnt整理得2121211nnEKtntw1 令12121nnEKCwv固结系数则21vCtnt由固结系数CV的表达式可以看出不同的维数其固结系数CV值不一样。
若令0t即为常数不随时间而变化则方程变为2vCt太沙基方程因此说太沙基方程是比奥方程在法向应力之和不随时间变化假定下的一种简化。
2 实际的法向总应力之和是否变化呢先看一个例子固结仪中的饱和试样当施加垂直压力p时其应力变化为0t0zyx时有效应力孔隙水压力pt时pzpkoyx0 此处Ko为静止土压力系数。
作为一维问题考虑z在固结过程中随时间不变化符合太沙基假定。
同样是此问题如果按三维问题的一种特殊情况考虑则zyx在0t时3即p3 t时pkoyxpz 0则pKo21当时间t从0变化到无穷时Θ是不断变化的严格来讲对于这样一个简单情况Θ也不是常量。
我们再用理论推导来说明Θ的变化。
弹性问题的三维相容方程密切尔方程2111222zZyYxXxx2111222xXzZyYyy2111222yYxXzZzz见80年人教版徐芝纶弹性力学简明教程P240式8-12 其中的X、Y、Z为相应的体积力分量在空间渗流问题中渗流体积力动水力xwxIDxwwxX即22xxX同理22yyY 22zzZ将三个相容方程左右各自相加得左边相加2221xx2221yy2221zz22122右边相加得211zZyYxX211xXzZyY211yYxXzZzZyYxX211xXzZyY22yYxXzZ211zZyYxXzZyYx X211zZyYxX2112所以2211将3tKvw2、3 代入上式得2221132113tKvw1212从上式中可以看出只有当体积应变εv是时间的线性函数即??εv / ??t不随时间而变时??2Θ才会不随时间而变。
BIOT固结
五、连续性方程
上式的三个方程式中包含四个未知量u 上式的三个方程式中包含四个未知量us、vs、ws、u，为 了求解还要补充一个方程，由于水是不可压缩的， 了求解还要补充一个方程，由于水是不可压缩的，对于饱 和土， 和土，土单元体内水量的变化率在数值上等于土体积的变 化率， 化率，故由达西定律得
∂ε υ K 2 =− ∇ u ∂t γw
σ = σ ' + pw pw = ( z0 − z )γ w + u
' ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz ∂u + + =0 + ∂y ∂z ∂x ∂x ' ∂τ xy ∂σ y ∂τ yz ∂u + + + =0 ∂y ∂z ∂y ∂x ∂τ ∂τ yz ∂σ z' ∂u + + = −γ xz + ∂y ∂z ∂z ∂x
带入平衡方程得下 式
实际上是个作用 在骨架上的渗透力的三 个方向的分量， 个方向的分量，与γ一 样为体积力
∂u ∂u ∂u 、 、 ∂x ∂y ∂z
三、本构方程
比奥理论最初假定土骨架是线弹性体，服从广义胡克定律， 比奥理论最初假定土骨架是线弹性体，服从广义胡克定律，根据弹 性力学本构方程， 性力学本构方程，应力用应变来表示
要解上述偏微分方程组，在数学上是困难的， 要解上述偏微分方程组，在数学上是困难的，对于对称和平面 应变中某些简单情况，已有人推到出了解析解答， 应变中某些简单情况，已有人推到出了解析解答，并用以分析固结 过程中的一些现象。但对于一般的土层情况， 过程中的一些现象。但对于一般的土层情况，边界条件稍微复杂一 便无法求得解析解。因此， 1941年建立比奥方程以来 年建立比奥方程以来， 些，便无法求得解析解。因此，从1941年建立比奥方程以来，一直 没有在工程中广泛的应用。随着计算技术的发展， 没有在工程中广泛的应用。随着计算技术的发展，特别是有限元方 法的发展，真三维固结理论才重现出生命力， 法的发展，真三维固结理论才重现出生命力，并开始应用于工程实 践。
比奥固结理论
太沙基固结理论只在一维情况下是精确地，对二维、三维问题并不精确。
比奥（Biot ）从较严格的固结机理出发推导了准确反映孔隙压力消散与土骨架变形相互关系的三维固结方程，一般称为真三维固结理论，而将太沙基三维方程称为拟三维固结方程。
介绍饱和土体固结的比奥理论。
一．比奥固结方程 （一）三维问题 1. 平衡方程在土体中取一微分体。
若体积只考虑重力，z 坐标向上为正，压力以压为正，则三维平衡微分方程为00xy x xzxy xy yzyz xz x y z x y z x y zτσττττττσγ∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂++=-∂∂∂ 式中，γ为土的重度，应力为总应力。
上式也可以写为[]{}{}=Tf σ∂其中 []000000000Tx z y y z x zyx⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦{}{}{}{}x y z yz zx xy σσσστττ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦{}x y z f f f f ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 式中{}f —三个方向的体积力。
2. 有效应力原理根据有效应力原理，总应力为有效应力与孔隙压力u 之和，且孔隙水不承受剪应力，用矩阵表示：{}{}{}+M u σσ'=其中 {}[]=111000TM平衡方程可以写为[]{}{}{} + TM u f σ'∂=展开即为00xy x xz xy yyz yz xz zu x y z x u x y z yu x y z zτστδτστδττσγδ∂'∂∂∂+++=∂∂∂'∂∂∂∂+++=∂∂∂∂'∂∂∂+++=-∂∂∂ 式中ux δ∂、u y δ∂、u zδ∂实际上是各方向的单位渗透力，此式是以土骨架为脱离体建立的平衡微分方程。
3. 本构方程利用本构方程中的物理方程{}[]{}D σε'=式1可将式中的应力用应变来表示。
比奥固结理论
太沙基固结理论只在一维情况下是精确地，对二维、三维问题并不精确。
比奥（Biot ）从较严格的固结机理出发推导了准确反映孔隙压力消散与土骨架变形相互关系的三维固结方程，一般称为真三维固结理论，而将太沙基三维方程称为拟三维固结方程。
介绍饱和土体固结的比奥理论。
一．比奥固结方程 （一）三维问题 1. 平衡方程在土体中取一微分体。
若体积只考虑重力，z 坐标向上为正，压力以压为正，则三维平衡微分方程为00xy x xzxy xy yzyz xz x y z x y z x y zτσττττττσγ∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂++=-∂∂∂ 式中，γ为土的重度，应力为总应力。
上式也可以写为[]{}{}=Tf σ∂其中 []000000000Tx z y y z x zyx⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦{}{}{}{}x y z yz zx xy σσσστττ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦{}x y z f f f f ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 式中{}f —三个方向的体积力。
2. 有效应力原理根据有效应力原理，总应力为有效应力与孔隙压力u 之和，且孔隙水不承受剪应力，用矩阵表示：{}{}{}+M u σσ'=其中 {}[]=111000TM平衡方程可以写为[]{}{}{} + TM u f σ'∂=展开即为00xy x xz xy yyz yz xz zu x y z x u x y z yu x y z zτστδτστδττσγδ∂'∂∂∂+++=∂∂∂'∂∂∂∂+++=∂∂∂∂'∂∂∂+++=-∂∂∂ 式中ux δ∂、u y δ∂、u zδ∂实际上是各方向的单位渗透力，此式是以土骨架为脱离体建立的平衡微分方程。
3. 本构方程利用本构方程中的物理方程{}[]{}D σε'=式1可将式中的应力用应变来表示。
BIOT固结
五、固结微分方程
将本构方程、几何方程带入到平衡方程就得到以位移和 空隙压力表示的平衡微分方程
G ∂ ∂u s ∂v s ∂w s ∂u − G∇ u − ( + + )+ =0 1 − 2ν ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x
2 s
G ∂ ∂u s ∂v s ∂w s ∂u − G∇ v − ( + + )+ =0 1 − 2ν ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ yz + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + = −γ ∂x ∂y ∂z
二、有效应力原理
如果以土骨架为隔离体，以有效应力表示平衡方程。 根据有效应力原理
σ = σ ' + pw
∂ε υ K 2 =− ∇ u ∂t γw
四、比奥特（Biot）固结理论
太沙基固结理论的重大局限在于假定固结过程中 土体的总应力分布不变，荷载不可能瞬时施加。实际 情况是往往具有一定的加荷历史，固结过程中土体的 应力分布在不断变化。 比奥特（1941）基于微单元体的力的平衡条件和 渗流连续原理建立了完善的固结理论。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 一、平衡方程
假设一均质，各向同性的饱和土单元体，若体力只考虑重力，z坐标 向上为正，以土体为隔离体（土骨架+孔隙水）则三维平衡微分方程为
∂y ∂τ yz
+
∂τ yz ∂z
+
∂u =0 ∂y
实际上是个作用 在骨架上的渗透力的三 个方向的分量，与γ一 样为体积力
∂u ∂u ∂u 、 、 ∂x ∂y ∂z
高等土力学复习资料(最终版)
为水密度，则式左可化为
nwdxdydz
t
dt
w
1
n
1 w
u t
dxdydz
（1）
由u
w
g
h
z
代入可得：
vx x
vy y
vz z
w
g
1
n 1 w
h
t
（u
wg h
z）
vx x
vy y
vz z
Ss
h t
（定义 Ss
w
g
1
n 1 w
为单位储存量）
2、渗流原理的基本假定：连续介质假定（P150） 液体（如地下水、石油）在土孔隙或其他透水性介质（如水工建筑）中的流动问题称为渗流。 土体的渗透特性表现为非均质和非连续性。但为了研究问题方便，常将水假想成充满整个介质空
二、发生曼德尔－克雷尔效应的机理是什么？为什么拟三维固结理论不能描述这一效应？(P339)
曼德尔效应：按比奥理论求解饱和土的固结问题时会出现一种现象：在不变的荷重施加于土体上 后的某时段内，土体内的孔隙水压力不是下降，而是继续上升，而且超过应有的压力值。即中心部位 孔隙压力高于外压力。同样的边界条件，用太沙基理论（扩散理论）分析时不会出现该现象。
vzdxd y
w
vx
vx x
dx
d
y
d
z
vy
vy y
dy
dxdz
vz
vz z
dz
d
x
d
y
nwd x d y d z t
dt
化简得：
w
vx x
vy y
vz z
dxdydz
nwd x d y d z t
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当n=3时： x y z
v x y z
v
(1 2) (1 ) 1 (3 2) E
(1 2)
E
成立。
当n=2时，
x y
将：
x
x
E
y
E
v x y
y
y
E
x
E
代入：
v
x
E
y
E
y x
EE
1 ( )
程的。 太沙基建立固结方程时，也用到了
E
1
E
此时n=2，则
v
(1 2) (1 ) 1 (2 2) E
1 2 2 2
E
令： 2 2 0
则：
v
1
E
当n=1时，
x ， v
x
x
E
在
v
(1 2) (1 ) 1 (n 2) E
中， 取n=1，代入，得：
v
(1 2) (1 ) 1 (1 2)
六、比奥理论与太沙基理论的比较
1.建立方程所依据的假设
相同点：骨架线性、弹性；变形微小；渗流符合达西定律。
不同点：太沙基增加了法向应力之和 x y z
不随时间变化，即法向应力和恒定。
为了分 析，先 利用虎 克定律， 写出体 积应变 的表达 式：
x
x
E
y
E
z
E
z
z
E
x
t 1 (n 2) E t
t
利用式3.36a后得：
1
v (1 2) (1 ) 1 ( n ) K 2
t 1 (n 2) E t
t
w
整理得： 1 K E[1 (n 2) ] 2 t n t w (1 2 ) (1 ) n
令：
(1 )2 2 (2 )2
右边相加，得：
1 [(2 ) X Y Z ] 1 [(2 ) Y Z X ]
1
x y z 1
y z x
1 [(2 ) Z X Y ]
1
z x y
1 [(2 ) X Y Z (2 ) Y Z X
E
y
E
y
y
E
x
E
z
E
v x y z
x y z
EEE
y x z z x y
E EEE E E
v
1 ( 2 )
E
(1 2) (1 2) 1
E
E
1
引入维数n后，硬性写成：
v
(1 2) (1 ) 1 (n 2) E
间变化假定下的一种简化。
实际的法向总应力之和是否变化呢？ 先看一个例子： 固结仪中的饱和试样当施加垂直压力p时，其应力变化为：
t 0 时， 有效应力： x y z 0 ， 孔隙水压力 p
t 时： z p ， x y ko p ， 0
此处，Ko为静止土压力系数。
作为一维问题考虑， z 在固结过程中随时间不变
Cv
K E[1 (n 2) ] w n (1 2 ) (1 )
t
1 n
t
Cv
2
固结系数，则 2
由固结系数CV的表达式可以看出：
不同的维数，其固结系数CV值不一样。
若令： 0 即 为常数，不随时间而变化，则方程变为 t
t
Cv
2
~太沙基方程
因此说：太沙基方程是比奥方程在法向应力之和不随时
E
1
2 1
2 2
E
同样令：
22 0
则：
v
E
x
E
可见该式
v
(1 2) (1 ) 1 (n 2) E
是在令 2 2 0
后才成立的。
根据有效应力原理： n
所以
v
(1 2) (1 ) n
1 (n 2)
E
v (1 2) (1 ) 1 ( n )
8-12
其中的X、Y、Z为相应的体积力分量，
在空间渗流问题中，渗流体积力（动水力）
X Dx
w Ix
w
w x
x
，即： X 2
x x2
Y 同理：y
2
y 2
， Z z
2
z 2
将三个相容方程左右各自相加，得：
左边相加：
(1 )2 x
2
x 2
(1
)2 y
2 y 2
(1
) 2
z
2 z 2
1
x y z
y z x
(2 ) Z X Y ]
z x y
1 [2(X Y Z ) (X Y Z )]
1 x y z
x y z
1 [(2 )( X Y Z ) 1 [(2 ) 2]
1
x y z 1
所以：
2
1 1
2
将 3 、2 w v
实际上固结初期水头梯度大，排水快、压缩速度也快， ∂εv / ∂t大；
后期随固结度的增加，孔隙水压力消散，水头梯度减小， 排水慢，压缩也慢， ∂εv / ∂t逐渐变小，到达固结稳定时， ∂εv / ∂t=0， ∂εv / ∂t是随时间t而变化的。
由此可以断定： ∇2Θ也是随时间而变的。
在太沙基理论中，假定Θ随时间不变化是不能满足相容方
K t
3 代入上式，得：
2 3 2 1 2 (3 1 ) 2
1
1
2 (1 2 ) w v 1 K t
从上式中可以看出：只有当体积应变εv是时间的线性函数 （即∂εv / ∂t不随时间而变时）,∇2Θ才会不随时间而变。
这意味着固结一开始，以等速率压缩，此后没完没了、 永无休止、终了，而且得在某一时该体积压缩到“0”， 再压缩到负体积，显然这是不可能的，无意义。
化，符合太沙基假定。
同样是此问题，如果按三维问题的一种特殊情况考虑，则：
x y z ，在 t 0 时， 3 即： 3 p ，
t 时， x y ko p ， z p ， 0
则： (1 2 Ko ) p
当时间t从0变化到无穷时，Θ是不断变化的， 严格来讲，对于这样一个简单情况， Θ也不是常量。 我们再用理论推导来说明Θ的变化。
弹性问题的三维相容方程（密切尔方程）
(1 )2 x
2 x 2
1 [(2 ) X
1
2 y 2
1 1
[(2
)
Y y
Z z
X x
]
(1
)2 z
2 z 2
1 [(2 ) Z
1
z
X x
Y ] y
见80年 人教版 徐芝纶 弹性力 学简明 教程 P240式