探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F 分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的
点,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.
求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
证明:延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,
∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,
∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α
内,又在平面β内.
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
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反思感悟 证明点、线共面问题常用方法有: (1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内, 即用“纳入平面法”; (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个 平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”; (3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”. 注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合 图形写出已知与求证,再证明.
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证明:(方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R 也在平面ABC与平面α的交线上, ∴P,Q,R三点共线. (方法二)∵AP∩AR=A, ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α=P,AC∩α=R, ∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α, ∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
