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教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十四章圆《复习题24》教学目标（核心素养）1.知识与技能：通过复习，学生能够巩固圆的基本概念、性质以及点与圆、直线与圆的位置关系等知识点，提高综合运用能力。
2.数学思维：培养学生归纳总结、类比推理等数学思维能力，以及解决复杂问题的能力。
3.问题解决：能够熟练运用圆的相关知识解决实际问题，包括计算、证明和作图等。
4.情感态度：激发学生对数学学习的兴趣，培养耐心细致的学习态度和良好的复习习惯。
教学重点•复习巩固圆的基本概念、性质及点与圆、直线与圆的位置关系。
•提升学生综合运用圆的知识解决问题的能力。
教学难点•复杂图形的分析与圆相关知识的综合应用。
•培养学生灵活应对各种题型，快速准确解题的能力。
教学资源•九年级人教版数学上册教材。
•《复习题24》相关练习题及解析。
•多媒体课件（包含复习要点梳理、例题解析、练习题展示等）。
•实物教具：圆规、直尺、纸板圆等（用于作图演示）。
教学方法•讲授法：梳理复习要点，强调重难点。
•讨论法：组织学生讨论解题思路和方法，促进学生间的交流与合作。
•练习法：通过大量练习巩固复习内容，提高解题能力。
•归纳法：引导学生归纳总结复习过程中的知识点和解题方法。
教学过程导入新课•情境导入：创设一个与圆相关的实际问题情境（如车轮的设计、靶心与飞镖等），引导学生思考这些问题中涉及的圆的知识点，自然过渡到复习课的主题。
•目标明确：简要介绍本节课的复习目标和要求，让学生明确学习方向。
新课教学（复习课）1.复习要点梳理•利用多媒体展示圆的基本概念、性质（如半径、直径、圆心角、圆周角等）及点与圆、直线与圆的位置关系。
•强调这些知识点之间的联系和区别，帮助学生构建完整的知识体系。
2.例题解析•选择几道具有代表性的例题（涵盖不同难度和题型），详细讲解解题步骤和思路。
•引导学生分析题目中的已知条件，运用圆的相关知识逐步推导出答案。
•强调解题过程中的关键点和易错点，帮助学生避免常见错误。
幻灯片1第24章复习数学·新课标（RJ）幻灯片2第24章复习2 ┃知识归类┃知识归纳┃1．圆的对称性圆是图形，它的对称轴是，有条对称轴．圆是图形，它的对称中心是，圆绕圆心旋转和自身重合．直径所在的直线轴对称无数中心对称圆心任意角度幻灯片3第24章复习2 ┃知识归类2．垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径，且.符号语言(如图24－12所示)：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴，，.推论：平分弦()的直径，并且.平分弦弦所对的两条弧AM＝BM不是直径垂直于弦平分弦所对的两条弧数学·新课标（RJ）幻灯片4第24章复习2 ┃知识归类符号语言(如图所示)：∵CD是⊙O的直径，CD平分AB，∴，，CD⊥AB数学·新课标（RJ）幻灯片5第24章复习2 ┃知识归类[易错点] 推论“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中“弦不是直径”是它的重要条件，因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们未必垂直．数学·新课标（RJ）幻灯片6第24章复习2 ┃知识归类3．弧，弦，圆心角之间的关系定理(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等．符号语言(如图24－13所示)：∵∠AOB＝∠COD，∴，.弧弦AB＝CD数学·新课标（RJ）幻灯片7第24章复习2 ┃知识归类(2)在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．[注意] 一定要在“在同圆或等圆中”这个前提下，才能使用这个定理．数学·新课标（RJ）幻灯片8第24章复习2 ┃知识归类4．圆周角定理及推论圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，都等于这条弧所对的圆心角的；圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是，的圆周角所对的弦是直径．相等的圆周角所对的弧.5．点与圆的位置关系d表示点到圆心的距离，r表示半径．点和圆的关系如下表：圆周角一半90°90°相等数学·新课标（RJ）幻灯片9第24章复习2 ┃知识归类图24－14数学·新课标（RJ）幻灯片10第24章复习2 ┃知识归类[注意] 要判断一个点与圆的位置关系，关键是比较d与r的大小关系；反过来，由点与圆的位置关系，也可以判定d与r的大小．6．直线与圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离.数学·新课标（RJ）幻灯片11第24章复习2 ┃知识归类1 2 d>r d ＝r d<r数学·新课标（RJ ）幻灯片12第24章复习2 ┃ 知识归类[易错点] 将圆心到直线上某一点的距离看成是圆心到直线的距离． 7．圆与圆的位置关系在同一平面内两圆做相对运动，可以得到下面五种位置关系，其中R 和r 为两圆半径(R ≥r)，d 为圆心距.数学·新课标（RJ ）幻灯片13第24章复习2 ┃ 知识归类d>R＋r1d＝R＋r2R－r＜d<R＋r1d＝R－r0≤d<R－r[注意] 两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆．[易错点] 混淆圆与圆的位置关系及相对应的d与R和r的数量关系．数学·新课标（RJ）幻灯片14第24章复习2 ┃知识归类8．三角形的外接圆和三角形的内切圆确定圆的条件：确定一个圆．三角形的外心就是三角形的交点，它到三角形的距离相等．三角形的内心就是的交点，它到三角形的距离相等．[注意] (1)经过在同一直线上的3点不能作圆；(2)找三角形外接圆只需要画出两条边的垂直平分线的交点，找三角形内切圆只需要画出两内角的角平分线交点．不在同一条直线上的三个点三个顶点三条角平分线三条边数学·新课标（RJ）幻灯片15第24章复习2 ┃知识归类9．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线平分 .10．切线的判定与性质判定定理：经过的外端并且于这条半径的直线是圆的切线．性质定理：圆的切线于过切点的半径．切线长两条切线的夹角半径垂直垂直数学·新课标（RJ）幻灯片16第24章复习2 ┃知识归类11．圆中的计算问题(1)n°的圆心角所对的弧长l＝.(2)n°的圆心角所对的扇形面积S＝＝.(3)圆锥的侧面积和全面积由于圆锥的侧面展开图是，这个扇形的半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的，所以圆锥的侧面积S＝(l为母线长，r为底面圆的半径)；圆锥的全面积等于它的与的和．nπR180nπR236012lR扇形母线长底面周长πrl侧面积底面积幻灯片17第24章复习2 ┃ 知识归类[注意] ①弧长和扇形面积公式中n 不带单位．②扇形面积公式S ＝12lR 与三角形面积公式类似．为了便于记忆，可以把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l 看成底边长，把R 看成底边上的高．③根据扇形面积公式和弧长公式，已知S 扇形，l ，n ，R 四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量．数学·新课标（RJ ）幻灯片18第24章复习2 ┃ 考点攻略 ┃考点攻略┃► 考点一 垂径定理及其逆定理例1 已知以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦CD 交小圆于点E 、F ，OE 、OF 的延长线分别交大圆于点A 、B.(1)求证：CE ＝DF ； (2)求证：AC ＝BD ； (3)若CD ＝4，EF ＝2， 求这两个圆围成圆环的面积．图24－15幻灯片19第24章复习2 ┃考点攻略[解析] 根据垂径定理及推论可得出线段相等、角相等、弧相等、三角形全等等结论；同时利用构造勾股定理列出方程求出圆环的面积．图24－16数学·新课标（RJ）幻灯片20第24章复习2 ┃考点攻略解：(1)证明：过点O作OH⊥CD于H，∵OH⊥CD，OH⊥EF，∴CH＝DH，EH＝FH，∴CH－EH＝DH－FH，∴CE＝DF.(2)证明：连接AC、BD.∵OA＝OB，OE＝OF，∴OA－OE＝OB－OF，∠OEF＝∠OFE，∴AE＝BF.∵∠OEF＝∠CEA，∠OFE＝∠DFB，数学·新课标（RJ）幻灯片21第24章复习2 ┃考点攻略∴∠CEA＝∠DFB. 由(1)可知CE＝DF，∴△AEC≌△BFD，∴AC＝BD.(3)连接OC、OD，∵CD＝4，EF＝2，∴CH＝12CD＝2，EH＝12EF＝1，∴S环＝πOC2－πOE2＝π(OC2－OE2)＝π[(OH2＋CH2)－(OH2＋EH2)]＝π(CH2－EH2)＝π(22－12)＝3π.数学·新课标（RJ）幻灯片22第24章复习2 ┃考点攻略方法技巧(1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据．利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径R 、圆心到弦的距离d 、弦长a 等数量的计算．这些量之间的关系是R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 22.数学·新课标（RJ ）幻灯片23第24章复习 ┃ 考点攻略► 考点二 圆心角与圆周角例2 如图24－17所示，C 为半圆上一点，AC ＝CE ，过点C 作直径AB 的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 交PC 于点D ，交CB 于点F.求证：AD ＝CD.图24－17数学·新课标（RJ）幻灯片24第24章复习2 ┃考点攻略[解析] 要证明AD＝CD，可连接AC，只要证明△ACD为等腰三角形即可．图24－18数学·新课标（RJ）幻灯片25图24－18幻灯片26证明：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＋∠DCB＝90°.∵CP⊥AB于P，∴∠C BA＋∠DCB＝90°.∴∠ACD＝∠C BA.又∵AC＝CE，∴∠B＝∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.第24章复习2 ┃考点攻略数学·新课标（RJ）方法技巧当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造．幻灯片27第24章复习┃考点攻略►考点三点与圆、直线与圆的位置关系例3在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，2.4 cm为半径画圆．求(1)AB的中点D与⊙C的位置关系；(2)直线AB与⊙C的位置关系．图24－19数学·新课标（RJ）幻灯片28第24章复习2 ┃考点攻略[解析] 因为⊙C的半径已经给出，所以只需求出点D到点C 的距离和点C到直线AB的距离即可．数学·新课标（RJ）幻灯片29第24章复习2 ┃考点攻略解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝32＋42＝5(cm)．∵点D是AB的中点，∴CD＝12AB＝2.5 cm>2.4 cm.∴点D在⊙C的外部．(2)作CE⊥AB于点E，根据三角形面积公式，得AC·BC＝AB·CE，∴3×4＝5·CE，解得CE＝2.4 cm.∴直线AB与⊙C相切．数学·新课标（RJ）幻灯片30第24章复习┃考点攻略►考点四圆和圆的位置关系例4⊙O1的半径为3 cm，⊙O2的半径为5 cm，圆心距O1O2＝2 cm，两圆的位置关系是()A．外切B．相交C．内切D．内含C [解析] C 圆心距O1O2＝2 cm，是两圆的半径之差，所以两圆内切．幻灯片31第24章复习┃考点攻略►考点五切线的判定和性质例5已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.(1)如图24－20①所示，若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长(结果保留根号)；(2)如图24－20②所示，若D为AP的中点，求证：直线CD 是⊙O的切线．数学·新课标（RJ）幻灯片32第24章复习2 ┃考点攻略图24－20数学·新课标（RJ）幻灯片33第24章复习2 ┃考点攻略解：(1)∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP＝90°.在Rt△PAB中，AB＝2，∠P＝30°，∴BP＝2AB＝2×2＝4.由勾股定理，得AP＝BP2－AB2＝42－22＝2 3.图24－21数学·新课标（RJ）幻灯片34第24章复习2 ┃考点攻略(2)如图24－21，连接OC、AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，有∠ACP＝90°.在Rt△APC中，D为AP的中点，∴CD＝12AP＝AD.∴∠DAC＝∠DCA. 又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.数学·新课标（RJ）幻灯片35第24章复习2 ┃考点攻略∵∠OAC＋∠DAC＝∠PAB＝90°，∴∠OCA＋∠DCA＝∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴直线CD是⊙O的切线．数学·新课标（RJ）幻灯片36第24章复习2 ┃考点攻略方法技巧圆的切线的判定常见方法有两种类型：(1)当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．(2)当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第一种类型．数学·新课标（RJ）幻灯片37第24章复习┃考点攻略►考点六圆的相关计算例6如图24－22所示，已知在⊙O中，AB＝43，AC是⊙O 的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．数学·新课标（RJ）幻灯片38第24章复习2 ┃考点攻略数学·新课标（RJ）幻灯片39第24章复习2 ┃考点攻略解：(1)连接AD.∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BF＝FD，BC＝CD.∴∠BAD＝2∠BAC＝60°，故∠BOD＝2∠BAD＝120°.∵BF＝12AB＝23，根据勾股定理得AF＝AB2－BF2＝(43)2－(23)2＝6.在Rt△OBF中，OB2＝BF2＋OF2，数学·新课标（RJ）幻灯片40第24章复习2 ┃考点攻略即(23)2＋(6－OB)2＝OB2.∴OB＝4.∴S阴影＝120π×42360＝163π.(2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴2πr＝120π×4180，∴r＝43.数学·新课标（RJ）幻灯片41第24章复习2 ┃考点攻略易错警示(1)扇形的周长等于弧长与经过弧的两个端点的半径的和，千万不要错误地认为扇形的周长等于扇形的弧长．(2)计算圆锥的侧面积时，要注意各量之间的关系，不要把圆锥底面圆的半径当成扇形的半径，也不要把圆锥的母线长当成扇形的弧长．数学·新课标（RJ）幻灯片42第24章复习┃考点攻略►考点七与圆有关的综合运用问题例7如图24－24所示，已知点A(63，0)，B(0,6)，经过A、B 的直线l以每秒1个单位的速度向下做匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向做匀速运动．设它们运动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示点P的坐标；(2)过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．数学·新课标（RJ）幻灯片43第24章复习2 ┃考点攻略数学·新课标（RJ）幻灯片44第24章复习2 ┃考点攻略[解析] 求点P的坐标，即求点P到x轴与到y轴的距离．因此需过点P作x轴或y轴的垂线．然后探索运动过程中，点P的运动情况．(2)中探索⊙P与直线CD的位置关系，即探索圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系．图24－25数学·新课标（RJ）幻灯片45第24章复习2 ┃考点攻略解：(1)作PH ⊥OB 于H(如图24－25①)，∵OB ＝6，OA ＝63，∴∠OAB ＝30°.∵PB ＝t ，∠BPH ＝30°，∴BH ＝12t ，HP ＝32t. ∴OH ＝6－t －12t ＝6－32t ， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32t ，6－32t . (2)当⊙P 在左侧与直线OC 相切时(如图24－25②)，∵OB ＝6－t ，∠BOC ＝30°，数学·新课标（RJ ）幻灯片46第24章复习2 ┃ 考点攻略∴BC ＝12(6－t)＝3－12t.∴PC ＝3－12t －t ＝3－32t. 由3－32t ＝1，得t ＝43(s )．此时⊙P 与直线CD 相交． 当⊙P 在右侧与直线OC 相切时(如图24－25③)，PC ＝t －12(6－t)＝32t －3. 由32t －3＝1，得t ＝83﹙s ﹚，此时⊙P 与直线CD 相交． 综上，当t ＝43 s 或83s 时，⊙P 与直线OC 相切，⊙P 与直线CD 相交．数学·新课标（RJ ）幻灯片47第24章复习2 ┃ 考点攻略方法技巧解决动态问题的关键是善于抓住运动变化中暂时静止的一瞬间，进行观察、猜想，分析“主动”与“被动”，并探索“变”中的“不变”．寻找等量关系式，达到解题的目的．数学·新课标（RJ ）。
24章《圆》复习课知识清单一、回味你学到了什么？基础填空。
1、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做。
固定的端点叫做，线段叫做。
2、叫做弦。
叫做直径。
3、叫做圆弧，简称。
叫做半圆。
4、叫做等圆。
叫做等弧。
5、圆的对称性：圆既是对称图形，又是对称图形，对称中心是，对称轴是。
6、垂径定理：垂直于弦的直径，并且。
推论：平分弦（）的直径，并且。
7、叫做圆心角。
叫做圆周角。
8、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等。
推论1：。
推论2：。
9、圆周角定理：在同圆或等圆中，或所对的圆周角相等，都等于这条的一半。
推论1：。
推论2：10、中线判R t⊿定理：。
11、叫做圆内接多边形，这个圆叫做。
12、圆内接四边形的对角。
13、点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心O的距离OP=d,则有：点P在圆外⇔；点P在圆上⇔；点P在圆内⇔。
14、三点共圆的条件是：三点不在15、叫做三角形的外接圆，外心是。
16、反证法的三步是：、、。
17、直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，直线l到圆心O的距离为d,则有：直线和圆相交⇔或直线与圆有个交点；直线和圆相切⇔或直线与圆有个交点；直线和圆相离⇔或直线与圆有个交点。
18、圆切线的判定定理和性质定理：判定定理：。
性质定理：。
19、切线长定理：。
20、叫做三角形的内切圆，内心是交点。
21、半径不等的圆与圆的位置关系有：、、、、，这时两圆的交点个数分别是个、个、个、个、个。
设两圆半径分别为R、r（R＞r），圆心距为d,则以上几种位置关系存在时的数量关系分别是：、、 、 、 。
半径相等的圆与圆的 位置关系有： 、 、 、 。
22、正多边形的中心是正多边形的 。
半径是 。
中心角是 。
边心距是 。
23、弧长公式是：l= , 扇形面积公式是：S 扇形= ，或 S 扇形= 。
24、母线是 。
二、检测，你学的怎么样？1、如图，A 、B 、C 、是⊙O 上的三点， ∠BAC=30°，则∠BOC 的大小是 ( )A 、60°B 、45°C 、30°D 、15°2、⊙O 的半径cm r 10=，圆心到直线l 的距离cm OM 8=，在直线l 上有一点P且cm PM 6=，则点P （ ）.（A ）在⊙O 内 （B ）在⊙O 上（C ）在⊙O 外（D ）在⊙O 内或在⊙O 外 3、如图，⊙O 的半径为2，弦AB=E 为AB 的中点，OE 交AB 于点F ，则OF 的长为（ ）．A . 12BC . 1D .4、小明作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为10cm ，母线长为50cm ，则圆锥形纸帽的侧面积为( ). A ．2250cm π B ．2500cm πC ．2750cm πD ．21000cm π5、.已知：如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=130°， 过D 点的切线PD 与直线AB 交于P 点， 则∠ADP 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50° D．65° 6、已知两圆的半径分别为4 cm 和7 cm ，如果它们的圆心距是8 cm ，那么这两个圆的位置关系是( ).A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离7、下列正确命题的个数为( ) （1）三点确定一个圆 （2）垂直于半径的直线是圆的切线 （3）等弧所对的圆周角相等 （4）平分弦的直径垂直于弦 A ． 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B 。
