高中数学：随机事件的概率

第三章 概率一．随机事件的概率1、基本概念：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩不可能事件确定事件事件必然事件随机事件（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C ……表示。

2、概率与频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)= A n n为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值A n n ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。

二．概率的基本性质1、各种事件的关系：（1）并（和）事件（2）交（积）事件（3）互斥事件（4）对立事件2、概率的基本性质：（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；（2）P(E)=1(E 为必然事件）；（3）P(F)=0(F 为必然事件）；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；（5）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；三．古典概型（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

高一随机事件的概率知识点概述：随机事件概率是高中数学中的重要内容，通过对随机事件的概率进行研究和计算，可以帮助我们理解事件发生的可能性，以及在实际问题中的应用。

本文将介绍高一阶段涉及的随机事件的概率知识点。

一、基本概念在进一步讨论高一随机事件的概率知识点之前，我们先来了解一些基本概念。

1.1 随机试验随机试验指的是满足以下三个条件的试验：试验进行前无法确定出现的结果，试验的结果有多种可能性，每次试验的结果不会受到上一次结果的影响。

1.2 样本空间与事件在随机试验中，样本空间是指所有可能结果的集合，一般用"S"表示。

而事件是样本空间的子集，是指我们感兴趣的某些结果组成的集合。

1.3 事件的概率事件的概率是指该事件在所有可能结果中出现的可能性大小，通常用"P(A)"表示。

概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

二、概率计算方法在计算随机事件的概率时，可以采用以下几种方法：2.1 等可能性原则当每个事件在样本空间中的出现是等可能的情况下，可以使用等可能性原则来计算事件的概率。

也就是说，如果一个随机试验有n个等可能的结果，而事件A有m个结果，那么事件A发生的概率可以表示为P(A) = m/n。

2.2 排列组合法当样本空间中的结果不是等可能的情况下，可以使用排列组合法来计算事件的概率。

排列和组合是高中数学中的基本概念，通过这些方法可以计算不同情况下事件的出现次数，从而求解事件的概率。

2.3 频率计算法频率计算法是通过实验的方式计算事件发生的概率。

当试验次数足够大时，事件发生次数与总试验次数的比值趋近于事件的概率。

三、概率的性质和应用在了解了概率计算方法之后，我们来探讨一些概率的性质和应用。

3.1 加法定理加法定理是指对于两个不相容事件A和B，它们的概率之和等于它们各自的概率之和。

即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

3.2 乘法定理乘法定理是指对于两个相互独立的事件A和B，它们的概率乘积等于它们各自的概率之积。

高三数学总复习讲义--概率第一讲：随机事件的概率随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

必然事件：在一定条件必然要发生的事件。

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

事件A的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。

由定义可知，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

等可能事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。

如果试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性相等，那么每个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率。

在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值：（古典概型）这样就建立了事件与集合的联系，从排列组合的角度看，m,n实际上就是事件的排列数或组合数。

题型一：与排列组合综合例1.某班委会由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是____________________；练习1.将7人（含甲、乙两人）分成三组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为________________；甲、乙分在同一组的概率P=________________。

题型二：与两个计数原理综合例2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色，再将正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，从切好的小正方体中任选一个，所得正方体的六个面均没有涂色的概率是________________；练习2.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，所得数是大于20000的偶数的概率是________________；题型三：有、无放回抽样问题例3.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有1件次品的概率。

高中数学《随机事件的概率》典型例题例1、指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件。

（1）某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；（2）一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；（3）如果，那么；（4）某人购买福利彩票中奖。

答案：（1）（4）是随机事件，（2）是不可能事件，（3）是必然事件例2、在下列试验中，哪些试验给出的随机事件是等可能的？（1）投掷一枚均匀的硬币，“出现正面”与“出现反面”；（2）一个盘子中有三个大小完全相同的球，其中红球、黄球、黑球各一个，从中任取一球，“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”；（3）一个盒子中有四个大小完全相同的球，其中红球、黄球各一个，黑球两个，从中任取一球，“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”。

解：（1）中给出的随机事件“出现正面”与“出现反面”是等可能的。

（2）中给出的三个随机事件：“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”，由于球的大小、个数相同，因此这三个事件是等可能的。

（3）中给出的随机事件：“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”，由于三种球的数量不同，因此这三个事件不是等可能的。

例3、有5副不同的手套，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再取一只，求下列事件的概率：（1）A={甲正好取到2只配对手套}；（2）B={乙正好取到2只配对手套}。

解：（1）A含基本事件数：① 先取一双，方法数为；② 将取到的一双放到第一、三位，分法数为2；③ 在余下的8只手套中，任取2只放到二、四位，分法数为，由分步计数原理，A含基本事件数为，故；（2）B含基本事件数：① 先取一双，放到二、四位，分法数为；② 在余下的8只手套中任取2只放到一、三位，分法数为。

由分步计数原理，B含基本事件数为，故。

例4、从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率。

（1）三个数字完全不同；（2）三个数字中不含1和5；（3）三个数字中5恰好出现两次。

高中概率知识点总结概率是高中数学中的重要内容，它在现实生活中的应用非常广泛，如抽奖活动、保险行业、数据分析等。

下面就来对高中概率的知识点进行一个全面的总结。

一、随机事件和概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

比如抛掷一枚硬币，正面朝上或者反面朝上就是随机事件。

2、概率概率是用来描述随机事件发生可能性大小的数值。

对于一个随机事件 A，它的概率记为 P(A)，取值范围在 0 到 1 之间。

如果 P(A) ＝ 0，表示事件 A 不可能发生；如果 P(A) ＝ 1，表示事件 A 必然发生；如果0 ＜ P(A) ＜ 1，则表示事件 A 有可能发生。

二、事件的关系与运算1、包含关系如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，那么称事件 B 包含事件 A，记作 A⊆B。

2、相等关系如果 A⊆B 且 B⊆A，那么称事件 A 与事件 B 相等，记作 A ＝ B。

3、和事件事件 A 或事件 B 至少有一个发生的事件称为事件 A 与事件 B 的和事件，记作 A∪B。

4、积事件事件 A 和事件 B 同时发生的事件称为事件 A 与事件 B 的积事件，记作A∩B。

5、互斥事件如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，那么称事件 A 与事件 B 互斥，即A∩B ＝∅。

6、对立事件如果事件 A 和事件 B 满足 A∪B 为必然事件，A∩B 为不可能事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件，此时 P(B) ＝ 1 P(A) 。

三、古典概型1、定义具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。

2、古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) ＝ m ／ n 。

四、几何概型1、定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。

人教版高中数学必修三第三章统计3.1.1《随机事件的概率》要点梳理【学习目标】在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．【要点梳理·夯实知识基础】12.频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______________为事件A出现的频数，称______________________为事件A 出现的频率．[答案]事件A出现的次数nA 事件A出现的比例fn(A)＝nAn3．概率(1)含义：概率是度量随机事件发生的________的量.(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用__________来估计概率P(A)．[答案](1)可能性(2)概率P(A) 频率fn(A)【考点探究·突破重点难点】考点一：事件类型的判断1.下列事件:①明天下雨;②3>2;③航天飞机发射成功;④x∈R,x2+2<0;⑤某艘商船遭遇索马里海盗;⑥任给x0∈R,x0+2=0.其中随机事件的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:D2.下列说法正确的是()A.某人购买福利彩票一注,中奖500万元,是不可能事件B.三角形的两边之和大于第三边,是随机事件C.没有空气和水,人类可以生存下去,是不可能事件D.科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现,是必然事件答案:C3.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后,从中一次随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这件事情()A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生答案:D解析:∵若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张,一定还有1张黑桃;若抽出了全部的梅花与黑桃共7张,则还会有3张红桃;若抽出了全部的红桃与黑桃共8张,则还会有2张梅花;∴这个事件一定发生,是必然事件.考点而：试验的结果分析4.下列命题中正确的个数是()①先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果为正面,正面;正面,反面;反面,反面,共计3种.②从12个同类产品(其中10个是正品,2个次品)中,任意抽取3个产品的每一个结果中一定含有正品.③某地举行运动会,从来自A学校的a,b志愿者中选一人,从来自B学校的c,d,e志愿者中选一人共2人为体操馆服务,则有ac,ad,ae,bc,bd,be,共6种选法. A.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析:①中应该有4个结果,即正面,正面;正面,反面;反面,正面;反面,反面.故①不正确.②③正确.5.先后投掷2枚均匀的一分、二分的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则包含3个试验结果的是()A.至少一枚硬币正面向上B.只有一枚硬币正面向上C.两枚硬币都是正面向上D.两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上答案:A解析:“至少一枚硬币正面向上”包括“一分正面向上,二分正面向上”,“一分正面向上,二分正面向下”,“一分正面向下,二分正面向上”3种试验结果.6.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).(1)写出这个试验的所有结果.(2)“x+y=5”包含的结果有哪些?“x<3且y>1”呢? (3)“xy=4”包含的结果有哪些?“x=y ”呢?解:(1)结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)“x+y=5”包含的结果为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).“x<3且y>1” 包含的结果为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4). (3)“xy=4”包含的结果为(1,4),(2,2),(4,1). “x=y ”包含的结果为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4). 考点三：随机事件的频率与概率7.下列说法:①频率反映的是事件发生的频繁程度.概率反映的是事件发生的可能性大小;②做n 次随机试验,事件A 发生m 次,则事件A 发生的频率nm就是事件A 的概率;③频率是不能脱离具体的n 次的试验值,而概率是确定性的,不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确说法的序号是 . 答案:①③④解析:由频率及概率的定义可知①是正确的.在②中,nm是事件A 发生的频率,虽然概率是与频率接近的一个常数,但是概率不一定等于频率,故②是错误的.由概率的定义知③④是正确的.8.在抛掷骰子的游戏中,将一枚质地均匀的骰子抛掷6次,对于点数4的出现有下列说法:①一定会出现;②出现的频率为61;③出现的概率是61;④出现的频率是32.其中正确的是 . 答案:③9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布:经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):(1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以下.解:由题意知总人数为40+200+400+100+40+20=800.则选修李老师高等数学的学生考试成绩在90分以上,60~69分,60分以下的频率分别为80040＝201；800100＝81；80060＝403.用以上信息估计王小慧得分的概率情况如下:(1)“得90分以上”的概率为201,(2)“得60~69分”的概率为81,(3)“得60分以下”的概率为403.[3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.32.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .45.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.517.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2%12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确B.错误C.不一定D.无法解释二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .15.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 .18.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .三、解答题19.从含有两个正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A对应的结果.20.对一批U盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测解答一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.3答案:A2.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 答案:D解析:三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边.3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定答案:B4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案:B解析:①为必然事件;④为不可能事件. 5.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边 答案: C6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.51答案:B7.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 答案:B解析:从A ,B ,C ,D ,E 五人中选2人,不同的选法有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E )共10种.8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个答案: C9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A解析:①错误;②出现正面的概率为21,故错误;③频率与概率不是一回事,故错误. 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}答案: C11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2% 答案: D解析:抽取出次品的频率是1002=2%,用频率估计概率,抽出次品的概率大约是2%. 12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确 B.错误 C.不一定D.无法解释答案: B 二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).答案:52解析:数据在155.5~170.5之间有8名学生,则身高在此范围内的频率为208＝52,所以概率约为52.14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .答案: 52 0.5215.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 答案:(-1,2),(1,-2) 解析:由直线与圆相切知,543b a +=1,所以3a+4b=±5,依次取a=-2,-1,0,1,2,验证知,只有⎩⎨⎧=-=21b a ，⎩⎨⎧==2-1b a 满足等式.16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为 . 答案: 0.51 241 800 0.5解析:a=200102=0.51,b=500×0.482=241;c=505.0404=800. 易知正面向上的频率在0.5附近,所以若掷硬币一次,正面向上的概率应为0.5.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 . 答案: 0.3518.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 . 答案: 0.03 三、解答题19.从含有两个正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A 为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A 对应的结果. [解析](1)试验所有结果:a 1,a 2;a 1,b 1;a 2,b 1;a 2,a 1;b 1,a 1;b 1,a 2.共6种. (2)事件A 对应的结果为:a 1,b 1;a 2,b 1;b 1,a 1;b 1,a 2. 20.对一批U 盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U 盘,至少需进货多少个U 盘?[解析](1)表中各个次品频率分别为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a 越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘,为保证其中有2 000个正品U 盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x 是正整数,所以x ≥2 041,即至少需进货2 041个U 盘.21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.解：(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为1513.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为87.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为87.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.[解析] 设水库中鱼的尾数为n,从水库中任捕一尾,每尾鱼被捕的频率(代替概率)为n2000,第二次从水库中捕出500尾,带有记号的鱼有40尾,则带记号的鱼被捕 的频率(代替概率)为50040,由n 2000=50040,得n=25 000.所以水库中约有25 000尾.。

随机事件的概率-例题解析1.有了概率的统计定义,我们可以通过频率与概率,估计不同事件发生的可能性的大小. 【例1】 为了确定某类种子的发芽率,从一大批种子中抽出若干批做发芽试验,其结果如下.从以上的数据可以看出,这类种子的发芽率约为0.9.比较本例和教科书中的“掷图钉试验”的结果,我们可以说,这类种子的发芽率比“钉尖朝上”的概率(约为0.6)要大得多.2.对随机事件和基本事件的理解既是一个重点,也是一个难点.我们可以把随机事件理解为基本事件空间的子集.下面通过一个例子来说明什么是基本事件、基本事件空间和怎样用基本事件来表示一个事件.【例2】连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币是出现正面还是反面. (1)写出这个试验的基本事件空间;解：用(正,反,正)来表示连续掷3次硬币,第一次出现正面,第二次出现反面,第三次出现正面. 这个试验的基本事件空间用Ω表示.Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)};(2)求这个试验的基本事件的总数; 解：基本事件的总数是8;(3)“恰有两枚正面朝上”这一事件包含哪几个基本事件?解:“恰有两枚正面朝上”包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).典型例题规律发现【例题】掷一枚硬币，出现“正面朝上”的概率是21，是指一枚硬币掷两次恰好出现1次“正面朝上”吗?如果不是，应如何理解?分析：前提是掷一枚硬币，出现“正面朝上”的概率是21，后面的解释偷换概念，误解了概率的意义.解：不是.掷一枚硬币，出现“正面朝上”的概率为21，是指抛掷一次的话，其可能性是21；若抛掷多次，出现“正面朝上”的可能性是21.也就是说，重复多次这样的试验，“正面朝上”的次数接近一半.概率是对一件事是否发生而言的，是一种预测，不是一种结果.【例1】甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布).求:(1)平局的概率; (2)甲赢的概率; (3)乙赢的概率.解:甲有3种不同的出拳方法,每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果,可以认为这9种结果是等可能的,所以一次游戏(试验)是古典概型,它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同.例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪,甲出剪且乙出布,甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪,乙出剪且甲出布,乙出布且甲出锤这3种情况.设平局为事件A ,甲赢为事件B ,乙赢为事件C.甲布剪锤※※※☉☉☉△△△ 由上图容易得到:(1)平局含3个基本事件(图中的△); (2)甲赢含3个基本事件(图中的☉); (3)乙赢含3个基本事件(图中的※). 由古典概率的计算公式,可得P (A )=93=31;P (B )=93=31;P (C )=93=31.【例2】 抛掷两枚骰子,求: (1)点数之和出现7点的概率;解：作图,从图中容易看出基本事件空间与点集S ={(x ,y )|x ∈N ,y ∈N ,1≤x ≤6,1≤y ≤6}中的元素一一对应.因为S 中点的总数是6×6=36(个),所以基本事件总数n =36.Ox123456记“点数之和出现7点”的事件为A ,6个:(6,1)、(5,2)、(4,3)、(3,4)、(2,5)、(1,6),所以P (A )=366(2)出现两个4点的概率.解:记“出现两个4点”的事件为B ,则从图中可看到事件B 包含的基本事件数只有1个:(4,4).所以P (B )=361.。

数学高中概率知识点总结一、基本概念1. 随机事件：在相同条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

例如抛硬币、掷骰子、抽牌等都属于随机事件。

2. 样本空间：对一个随机事件进行研究，所有可能发生的基本结果的集合称为样本空间，用S表示。

例如抛硬币的样本空间为S={正面，反面}。

3. 事件：样本空间的子集称为随机事件。

例如抛硬币，事件A={正面}，事件B={反面}。

4. 事件的概率：事件A在随机试验中发生的可能性大小，称为事件A的概率，通常用P(A)表示。

0≤P(A)≤1。

二、概率的计算1. 古典概率：如果一个试验的所有基本结果能够被认为等可能，那么事件A的概率P(A)就可以用下式来计算：\[P(A) = \frac{m}{n}\]其中m是事件A中有利于A发生的基本结果的个数，n是样本空间S中基本结果的总个数。

2. 几何概率：几何概率是指通过几何方法来计算事件的概率，常用于连续随机变量的概率计算。

3. 频率概率：频率概率是指在大量独立重复试验中，事件A发生的频率会趋向于事件A的概率。

例如掷骰子、抽球的实验中。

4. 条件概率：事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B的条件下发生的概率，记为P(A|B)，计算公式为：\[P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\]其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率。

5. 乘法定理：在概率计算中，事件A与事件B同时发生的概率可以用下式表示：\[P(AB) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)\]6. 加法定理：对于两个互斥事件A和B（即A和B不能同时发生），它们的概率可用下式表示：\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]对于两个不互斥事件A和B，它们的概率可用下式表示：\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\]三、常见的概率分布1. 二项分布：二项分布是由n个独立的是/非试验组成的概率分布，其中每次试验的概率是p，成功的次数（假设记为X）的概率分布称为二项分布。

教学过程(4)性质①E(aξ＋b)＝aE(ξ), V(aξ＋b)＝a2V(ξ)；②X～B(n, p), 则E(X)＝np, V(X)＝np(1－p)；③X～两点分布, 则E(X)＝p, V(X)＝p(1－p).考点一古典概型与几何概型例1已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}, 分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b, 求函数y＝f(x)在区间[1, ＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a, b)是区域内的随机点, 求函数y＝f(x)在区间[1, ＋∞)上是增函数的概率．(1)解答有关古典概型的概率问题, 关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数, 这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)在求基本事件的个数时, 要准确理解基本事件的构成, 这样教学效果分析教学过程(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时, 应考虑使用几何概型求解.(1)(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn, 其中正整数m, n(m≤7, n≤9)可以任意选取, 则m, n都取到奇数的概率为________.(2)(2013·四川)节日前夕, 小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．考点二相互独立事件和独立重复试验例2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试, 考试分笔试和面试两部分, 笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取), 两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析, 甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6.0.5.0.4, 能通过面试的概率分别是0.6.0.6.0.75.(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后, 至少有一人被该高校预录取的概率.教学效果分析概率模型的应用, 需熟练掌握以下常考的五种模型: (1)基本事件的发生具有等可能性, 一般可以抽象转化为古典概型问题, 解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的基本事件个数m；(2)与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题, 一般可以应用几何概型求解, 即随机事件A的概率可用“事件A包含的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示；(3)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题, 可转化为互斥事件来解决, 解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；(4)事件是否发生相互不影响的实际应用问题, 可转化为独立事件的概率问题, 其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题, 应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；(5)有关平均值和稳定性的实际应用问题, 一般可抽象为随机变量的期望与方差问题, 先求出事件在各种情况下发生的概率, 再应用公式求随机变量的期望和方差.课堂练习1. 如图, 用K、A1.A2三类不同的元件连结成一个系统. 当K正常工作且A1.A2至少有一个正常工作时, 系统正常工作. 已知K、A1.A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8, 则系统正常工作的概率为________.2. 某保险公司新开设了一项保险业务, 若在一年内事件E发生, 该公司要赔偿a元. 设在一年内E发生的概率为p, 为使公司收益的期望值等于a的百分之十, 公司应要求顾客交保险金为________元.3．甲乙两支球队进行总决赛, 比赛采用七场四胜制, 即若有。

高中数学随机事件与概率
随机事件指的是在试验过程中，可能发生也可能不发生的事件。

而概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。

高中数学中，常常涉及到两类随机事件：简单事件和复合事件。

简单事件指的是只包含一个基本结果的随机事件，比如掷一次骰子，出现点数1的事件。

复合事件指的是包含多个基本结果的随机事件，比如掷两次硬币，出现正反的事件。

在概率论中，随机事件可以用概率来描述其发生的可能性大小。

概率的定义是：事件发生的可能性大小与样本空间中包含事件的基本结果个数的比值。

用数学表达式表示为：P(A) = n(A) /
n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A包
含的基本结果个数，n(S)表示样本空间中包含的基本结果个数。

需要注意的是，概率是一个介于0和1之间的数值，表示事件发生的可能性大小。

当事件不可能发生时，概率为0；当事件
一定会发生时，概率为1。

当事件发生的可能性大小等于样本
空间中包含的基本结果个数时，概率为1/2，表示事件发生和
不发生的可能性大小相等。

在高中数学中，概率的计算方法包括：古典概率、几何概率和统计概率。

古典概率是基于样本空间中基本结果的等可能性，通过计算事件包含的基本结果个数来计算概率。

几何概率是通
过几何方法计算事件发生的概率。

统计概率则是通过大量实验的结果来估计事件发生的概率。

总之，高中数学中的随机事件与概率是描述随机现象的工具，可以帮助我们理解和解决与概率相关的问题。

高中概率知识点高考考点易错点归纳高中数学——概率知识要点3.1 随机事件的概率3.1.1 随机事件的概率在条件S下，一定会发生的事件称为相对于条件S的必然事件。

在条件S下，一定不会发生的事件称为相对于条件S的不可能事件。

必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。

在条件S下可能发生也可能不发生的事件称为相对于条件S的随机事件。

在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数nA。

事件A出现的比例称为频率f(A)=nA/nn。

随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值。

3.1.2 概率的意义随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。

认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。

抽签的公平性是游戏的公平性的一个例子。

在从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务中，“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。

极大似然法和小概率事件也与概率思想相关。

天气预报的概率解释是明天本地下雨的机会是70%。

XXX的豌豆试验是试验与发现的例子。

遗传机理中的统计规律也与概率相关。

3.1.3 概率的基本性质对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作B A(或A B)。

不可能事件记作。

若B A且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B。

事件A与事件B的并事件（和事件）是某事件发生当且仅当事件A发生或事件B 发生。

事件A与事件B的交事件（积事件）是某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。

事件A与事件B互斥是AB为不可能事件，即AB=，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。

事件A与事件B互为对立事件是AB为不可能事件，AB为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。

概率的几个基本性质包括：1）0≤P(A)≤1；2）必然事件的概率为1，即P(E)=1；3）不可能事件的概率为0，即P(F)=0.3.2 古典概型古典概型是一种具有有限个基本事件且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。

高中数学概率专题随机事件的概率一、知识点1.随机事件的概念事件是指在一定条件下所出现的某种结果。

随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，必然事件指在一定条件下必然要发生的事件，不可能事件指在一定条件下不可能发生的事件。

2.随机事件的概率事件A的概率指在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。

由定义可知0 ≤ P（A）≤ 1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.3.概率与频率的关系概率是固定的，频率是不固定的，随着试验次数的增加，频率接近于概率。

4.事件间的关系互斥事件是指不能同时发生的两个事件，对立事件是指不能同时发生，但必有一个发生的两个事件，包含是指事件A 发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B 包含事件A）。

5.事件间的运算并事件（和事件）是指若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。

交事件（积事件）是指若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件。

二、题型讲解题型一：随机事件概率1.下面事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②掷一枚硬币，出现反面；③实数的绝对值不小于零。

是不可能事件的有（）A。

②；B。

①；C。

①②；D。

③答案：D2.某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示年降水量（单位：mm）［100，150）［150，200）［200，250）［250，300）概率0.12 0.25 0.16 0.14则年降水量在［150，300］（mm）范围内的概率为（）答案：0.553.下列叙述错误的是（）B．若随机事件A发生的概率为p(A)，则0≤p(A)≤1C．互斥事件一定是对立事件，但是对立事件不一定是互斥事件D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同改写：B选项中的符号错误，应该是0≤p(A)≤1；C选项中的顺序错误，应该是对立事件不一定是互斥事件，但互斥事件一定是对立事件；D选项中的表述错误，应该是乙与甲抽到有奖奖券的概率相等。

随机事件的概率》的说课稿各位老师，下午好，今天我要说的课题是：随机事件的概率一、教材分析1.教材所处的地位和作用随机事件的概率》是高中数学教材人教版教材必修3、第三章、第1节内容，是学生研究《概率》的入门课，也是研究后续知识的基础。

就知识的应用价值上来看:概率是反映自然规律的基本模型。

概率已经成为一个常用词汇,为人们做决策提供依据。

就内容的人文价值上来看：研究概率涉及了必然与偶然的辨证关系，是培养学生应用意识和思维能力的良好载体。

2.重点：①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；②正确理解概率的意义。

难点：①理解频率与概率的关系；②正确理解概率的含义。

二、学情分析1．学生心理特点虽然高中学生有一定的抽象思惟本领，但是几率的定义过于抽象。

学生较难理解。

2．学生已有的认知结构1）初中已经研究过随机事件，不可能事件，必然事件的概念2）学生在日常生活中，对于几率可能有一些模糊的认识。

3）学生思惟比较灵活，有较强的动手操作本领和较好的实验基础。

3．动机和兴趣几率与生活息息相关，这部分知识能够引起学生的兴趣。

三.教学目标：根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：1、知识与技能：1）由日常生活中的事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件等概念。

2）通过抛掷硬币实验，正确理解频率、概率概念，及其两者关系。

3）利用几率知识，正确相识生活中的实际问题。

2、过程与方法：学生在课堂上经历试验、统计等举动过程，进一步发展合作交流的意识和本领.3、情绪、态度、价值观：1）通过试验，培养学生观察、动手和总结的能力，以及同学之间的交流合作能力。

2）通过教学，培养学生把实际问题与数学理论相结合的本领，提高学生的探究本领。

3）强化辨证思维，通过数学史渗透，培育学生刻苦严谨的科学精神．四、教学策略为了突出重点，突破难点，从而实现教学目标。

在教学过程中计划进行如下操作：1.教学手段1）精心设计教学结构，使学生经历质疑——解惑——应用的体验探究过程。

高中数学讲义版块一：事件及样本空间1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．版块二：随机事件的概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的．3．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =．若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．5．互斥事件的概率加法公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生． 6．互为对立事件知识内容板块二.随机事件的概率计算高中数学讲义 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ．有()1()P A P A =-． <教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率； ⑵ 互斥事件有一个发生的概率； ⑶ 相互独立事件同时发生的概率； ⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率； ⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率； ⑹ 对立事件的概率． 另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．题型一 概率与频率【例1】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；典例分析高中数学讲义②做n次随机试验，事件A发生的频率mn就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是（）A．①④⑤B．②④⑤C．①③④D．①③⑤【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下：950件合格品，大约需要抽查多少件产品？【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：（（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？【例4】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确命题的序号为．【例5】盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？⑴A=“取出的球是白球”；⑵B=“取出的球是蓝球”；⑶C=“取出的球是黄球”；⑷D=“取出的球是白球或黄球”．高中数学讲义题型二 独立与互斥【例6】（2010辽宁高考）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．512C ．14D ．16【例7】掷两枚均匀的骰子，记A =“点数不同”，B =“至少有一个是6点”，判断A 与B 是否为独立事件．【例8】设M 和N 是两个随机事件，表示事件M 和事件N 都不发生的是（ ）A ．M N +B ．M N ⋅C ． M N M N ⋅+⋅D ．M N ⋅【例9】判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴ 甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加 演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”． ⑵ 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．【例10】⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．①A 与C ；②B 与E ；③B 与D ；④B 与C ；⑤C 与E ．高中数学讲义【例11】抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A．A与B B．B与C C．A与D D．C与D【例12】每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是14，我每题都选择第一个选择支，则一定有3题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（）A．正确的B．错误的C．模棱两可的D．有歧义的题型三随机事件的概率计算【例13】（2010丰台二模）一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P，点P恰好落在正三角形外的概率是_________．【例14】（2010崇文一模）从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率为_______．【例15】（2010朝阳一模）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃高中数学讲义 容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ）A ．18B ．116C ．127D ．38【例16】（2010东城二模）在直角坐标系xOy 中，设集合{}(,)01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，在区域Ω内任取一点(,)P x y ，则满足1x y +≤的概率等于 ．【例17】（2010朝阳一模）在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数22()2πf x x ax b =+-+有零点的概率为（ ）A ．78B ．34C ．12D ．14【例18】（2010东城一模）某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ）A ．113B ．19 C ．14 D ．12【例19】（2010西城一模）在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为 ．【例20】（2010丰台二模）已知(){},|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)4,0,20A x y x y x y =-≤≥≥．若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率是_________．高中数学讲义【例21】（2010朝阳一模）袋子中装有编号为,a b的2个黑球和编号为,,c d e的3个红球，从中任意摸出2个球．⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个黑球的概率．【例22】（2010崇文二模）在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标(,)x y满足225x y+≤，从区域W中随机取点(,)M x y．⑴若x∈Z，y∈Z，求点M位于第四象限的概率；⑵已知直线:(0)l y x b b=-+>与圆22:5O x y+=y x b-+≥的概率．【例23】（2010西城一模）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．高中数学讲义【例24】（2010海淀一模）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．（例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．⑴若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？⑵若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？【例25】（2010石景山一模）为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标．其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．⑴企业E中标的概率是多少？高中数学讲义⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？【例26】（2010湖北高考）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰于向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A．512B．12C．712D．34【例27】盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【例28】（2010江西高考）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在100箱中各任意检查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为12,p p，则（）A．12p p=B．12p p<C．12p p>D．以上三种情况都有可能【例29】（2010陕西卷高考）铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的2CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：高中数学讲义2最少费用为______（百万元）．【例30】甲、乙两人进行击剑比赛，甲获胜的概率是0.41，两人战平的概率是0.27，那甲不输的概率为________甲不获胜的概率为_______．【例31】已知A B ，是相互独立事件，且()0.3P A =，()0.6P B =，则()P A B ⋅=______．【例32】某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ）A ．120B ．110C ．25D ．35【例33】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴ 摸出2个或3个白球； ⑵ 至少摸出一个黑球．【例34】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．⑴ 10件产品中至多有一件废品；⑵ 10件产品中至少有一件废品．【例35】（2009湖南卷文）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16．现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．【例36】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？【例37】（2009全国卷Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例38】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例39】从甲口袋摸出一个红球的概率是13，从乙口袋中摸出一个红球的概率是12，则23是（）A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有一个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率【例40】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率；⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率．【例41】现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为．【例42】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35，试求：⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率．【例43】（08天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．⑴求乙投球的命中率p；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例44】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各个，32从两个盒子中各取个球，求取出的两个球是不同颜色的概率．【例45】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．第1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，A B C ，求： ⑴()()()，，P A P B P C ； ⑵1张奖券的中奖概率；⑶1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【例46】把10张卡片分别写上0129，，，，后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于3的奇数”为事件A ，“抽到小于7的奇数”为事件B ，求()P A ，()P B 和()P A B ．【例47】甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7，下成和棋的概率为0.5，分别求出甲、乙获胜的概率．1【例48】黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：⑴任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？⑵任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？【例49】在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色的，其余为白球．求：⑴如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是13114，且2≥n，那么，袋中的红球共有几个？⑵根据⑴的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．【例50】某射手射击一次射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.120.320.270.11，，，，计算这名射手射击一次：⑴射中9环或8环的概率；⑵至少射中7环的概率；⑶至多射中8环的概率．【例51】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例52】在12345，，路车的到来．假如汽车，，，，条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着134经过该站的次数平均来说2345，，，路车是相等的，而1路车是其他各路车次数的总和．试求首先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概率．【例53】（2007年全国I卷文）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例54】（2007年全国II卷文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A ．⑴求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等P B．品”的概率()【例55】（2009全国卷Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例56】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例57】某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.90.80.7，，．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：⑴只有丙柜面需要售货员照顾的概率；⑵三个柜面恰好有一个需要售货员照顾的概率；⑶三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．【例58】（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．，，，且三门课程考试是否及格相互假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c之间没有影响．⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）【例59】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例60】（2009陕西卷文）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012，，的概率分别为0.4，0.5，0.1⑴求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例61】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．题型四 条件概率【例62】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_____．【例63】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110，设A =“刮风”，B =“下雨”，求()()P B A P A B ，．【例64】（09上海春）把一枚硬币抛掷两次，事件A =“第一次出现正面”，事件B =“第二次出现反面”，则()_____P B A =．【例65】（2010宣武二模）抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为{}1,2,3,4,5,6S =．令事件{}2,3,5A =，高中数学讲义21 思维的发掘 能力的飞跃 事件{}1,2,4,5,6B =，则()P A B 的值为（ ）A ． 35B ． 12C ． 25D ．15【例66】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率．【例67】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为 ．【例68】掷两枚均匀的骰子，记A =“点数不同”，B =“至少有一个是6点”，求(|)P A B 与(|)P B A ．。