正切函数的性质与图象 说课稿 教案 教学设计

正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质。

2. 能够绘制正切函数的图象，理解正切函数图象的特点。

3. 能够运用正切函数的性质与图象解决实际问题。

二、教学重点：1. 正切函数的定义。

2. 正切函数的性质。

3. 正切函数图象的特点。

三、教学难点：1. 正切函数的性质的理解与运用。

2. 正切函数图象的绘制与分析。

四、教学准备：1. 教学课件。

2. 练习题。

五、教学过程：1. 导入：利用正切函数的实际应用情境，引导学生思考正切函数的定义，激发学生的学习兴趣。

2. 新课：讲解正切函数的定义，通过示例让学生理解正切函数的概念。

讲解正切函数的性质，让学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质。

讲解正切函数图象的特点，让学生通过观察、实验、探究等方式，掌握正切函数图象的特点。

3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固正切函数的性质与图象。

六、教学反思：本节课通过引导学生思考正切函数的定义，讲解正切函数的性质与图象，让学生掌握了正切函数的基本知识。

在教学过程中，注意调动学生的积极性，引导学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质与图象。

但在教学中也存在一些问题，如部分学生对正切函数的理解不够深入，需要在今后的教学中加强引导和讲解。

六、教学拓展：1. 讲解正切函数的周期性，引导学生理解正切函数周期性的含义。

2. 讲解正切函数的奇偶性，引导学生理解正切函数奇偶性的含义。

3. 讲解正切函数的单调性，引导学生理解正切函数单调性的含义。

七、课堂小结：2. 强调正切函数在实际应用中的重要性。

八、课后作业：1. 巩固正切函数的性质与图象，完成课后练习题。

2. 搜集正切函数在实际应用中的例子，加深对正切函数的理解。

1. 课后对学生进行提问，了解学生对正切函数性质与图象的掌握情况。

2. 分析学生的练习作业，评估学生对正切函数性质与图象的掌握程度。

正切函数的性质与图象●三维目标1．知识与技能(1)会用单位圆中的正切线作正切函数的图象，会用描点法作正切函数的简图．(2)会用正切函数的性质研究正切函数的图象．2．过程与方法(1)理解并掌握作正切函数图象的方法．(2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法．3．情感，态度与价值观通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生探索精神和创新思维．●重点、难点重点：正切函数的图象及其主要性质(包括周期性、奇偶性、单调性、值域、定义域)；深化研究函数性质的思想方法．难点：正切函数图象作法及其性质应用．●教学建议一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．1．需要注意的几个问题在教学中除了要注意上一小节提到的类似问题外，还要注意：(1)对正切函数的周期性，教科书是分步骤完成的．先由诱导公式说明，正切函数是周期为π的周期函数．然后在研究了它的图象之后，再从图象上观察出这一结论．关于证明，可让学有余力的学生课外完成．(2)由于研究正切函数的性质时，学生还没有学习正切函数的图象，所以教科书采取了用单位圆上的正切线来研究单调性和值域．这可以让学生再次体会单位圆在研究三角函数时的作用．(3)由于学生已经有了利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的经验，所以教科书要求学生类比正弦函数图象的作法画出正切函数的图象．教学中，还可鼓励学生利用信息技术工具画出正切函数的图象(见本节的“信息技术应用”)．(4)学生在初次接触正切函数的图象时，对“它是由被互相平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无数多支曲线组成”，以及“直线x ＝π2＋k π，k ∈Z是图象的渐近线”等的认识可能有困难．教学时应当引导学生利用正切函数的性质(例如定义域必须去掉x ＝π2＋k π，k ∈Z 各点，值域无最大值、最小值，周期是π，单调性表现为在每一单调区间内只增不减等)对图象的特征作出解释．(5)教学中，应引导学生在认识正切函数图象特征的前提下，学会画正切函数简图．正切曲线按照开区间…，(－3π2，－π2)，(－π2，π2)，(π2，3π2)，…分段，这些开区间的长度都等于π个单位．在每一个开区间(例如(－π2，π2))上，都有一支曲线与x 轴交于一点(如(0,0))，且与渐近线(如x ＝±π2)无限接近但永不相交．与x 轴的交点以及渐近线在确定图象的形状时起着关键作用，只要将它们画出后，这个开区间中的图象形状就基本确定了．所以这是用纸笔作图的一种简便方法．●教学流程【问题导思】1．仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，能根据正切线作出正切函数的图象吗？ 【提示】 能．2．我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y ＝tan x ，x ∈[－π2，π2]的简图吗？怎样画．【提示】 能．三个关键点：(π4，1)(0,0)，(－π4，－1)，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2.1．正切函数的图象：图1－4－22．正切函数的图象叫做正切曲线． 3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．知识点2正切函数的性质【问题导思】1．正切函数的定义域是什么？【提示】 {x |x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．2．诱导公式tan(π＋x )＝tan x 说明了正切函数的什么性质？ 【提示】 周期性．3．诱导公式tan(－x )＝－tan x 说明了正切函数的什么性质？ 【提示】 奇偶性．4．从正切线上看，在(0，π2)上正切函数值是增大的吗？【提示】 是．1．函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z )的图象与性质见下表：解析式y ＝tan x图象定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域 R 周期 π 奇偶性奇2.函数y ＝tan ωx (ω≠0)的最小正周期是π|w |.例1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．【思路探究】 由函数定义，得关于“tan x ”的不等式组，结合正切函数的性质，求x 的取值范围．【自主解答】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，即－1≤tan x <1.在x ∈(－π2，π2)时，x 的范围为[－π4，π4)．又y ＝tan x 的周期为π，∴函数的定义域为[k π－π4，k π＋π4)，k ∈Z .规律方法1．求三角函数参与构成的函数的定义域，自变量必须满足以下几个方面：(1)若函数含有tan x ，则x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)分式形式的分母不等于零．(3)偶次根式的被开方数不小于零．(4)对数式中真数大于零．2．此类问题常常归结为解三角不等式(组)问题，这时可以利用基本三角函数的图象或单位圆中的三角函数线直观地求解集． 变式训练求函数y ＝3tan x －3的定义域． 【解】 由3tan x －3≥0得tan x ≥33. 在(－π2，π2)内满足上述不等式的x 的取值范围为[π6，π2)．又y ＝tan x 的周期为π.所以所求x 的范围是{x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z }例2 (1)求函数y ＝3tan(π4－2x )的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．【思路探究】 解(1)可先用诱导公式将x 的系数化为正数，再把2x －π4看作整体，代入相应的区间，解出x 的范围；解(2)可先把角化到一个单调区间中，再利用单调性比较大小．【自主解答】 (1)原函数＝y ＝－3tan(2x －π4)，由－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得－π8＋k π2＜x ＜3π8＋k π2，k ∈Z .∴函数的单调减区间是(－π8＋k π2，3π8＋k π2)，k ∈Z .(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 又∵π2＜2＜π，∴－π2＜2－π＜0.∵π2＜3＜π，∴－π2＜3－π＜0， 显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2) 内是增函数，∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1， 因此tan 2＜tan 3＜tan 1. 规律方法1．对于求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x 的系数化为正值，再由k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．2．运用正切函数的单调性比较大小的步骤： (1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系． 变式训练(1)求函数y ＝－tan(x 4－π6)的单调减区间；(2)比较tan(－134π)与tan(－125π)的大小．【解】 (1)∵y ＝－tan(x 4－π6)的单调减区间满足k π－π2＜x 4－π6＜k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π3＜x 4＜k π＋23π(k ∈Z )，∴4k π－43π＜x ＜4k π＋83π(k ∈Z )，∴y ＝－tan(x 4－π6)的单调减区间是(4k π－43π，4k π＋83π)(k ∈Z )．(2)tan(－134π)＝tan(－134π＋4π)＝tan(－134π＋164π)＝tan 34π，tan(－125π)＝tan(－125π＋3π) ＝tan(－125π＋155π)＝tan 35π.∵y ＝tan x 在(π2，π)内单调递增，且π2<35π<34π<π，∴tan 34π＞tan 35π.即tan(－134π)＞tan(－125π)．类型3 正切函数图象的应用例3 画出函数y ＝|tan x |【思路探究】 画y ＝tan x 图象→ y ＝|tan x |图象→研究性质 【自主解答】 由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x ， k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ， －π2＋k π＜x ＜k π(k ∈Z )，其图象如图：由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 函数y ＝|tan x |的周期T ＝π.函数y ＝|tan x |的单调递增区间[k π，k π＋π2)(k ∈Z )，递减区间为(k π－π2，k π](k ∈Z )．规律方法1．可用“三点两线法”作正切函数的简图：“三点”是指点(－π4，－1)，(0,0)，(π4，1)，“两线”是指直线x ＝－π2，x ＝π2.2．为了画出函数图象，有时需对给出的函数式进行变形、化简，在变形、化简过程中一定要注意等价变形． 互动探究若把例题中“函数y ＝|tan x |”改为“函数y ＝tan|x |”，请回答同样的问题． 【解】 f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎨⎧tan x ， x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )－tan x ， x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示：由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，π2)，(k π＋π2，k π＋32π)(k ∈N )；单调减区间为(－π2，0]，(k π－32π，k π－π2)(k ＝0，－1，－2，…)． 易错易误辨析误认为正切函数在定义域内是增函数致误典例 关于正切函数的单调性，有下列命题：①正切函数y ＝tan x 是增函数；②正切函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数；③正切函数y ＝tan x 在每一个开区间(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )内是增函数； ④正切函数y ＝tan x 在(0，π2)∪(π2，π)上是增函数． 其中正确的是________(填序号)．【错解】 正切函数在定义域上是递增的，是增函数．【答案】 ②③④【错因分析】 不能正确理解每个区间段内递增，与整个定义域内是否为增函数的联系．【防范措施】 正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数． 【正解】 (1)正切函数在定义域内不是增函数，如x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2；(2)正切函数在每一个开区间内图象从左向右是上升的，故③正确；(3)令x 1＝π4，x 2＝34π，虽有x 1<x 2，但tan x 1>tan x 2，故④错误．从而正确的命题只有③.【答案】 ③课堂小结1．正切函数的图象：正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z . 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质：(1)函数y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，值域为R .(2)函数y ＝tan x 的最小正周期为π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为π|ω|.(3)正切函数在整个定义域内不具有单调性，但在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上递增，正切函数无单调减区间．。

《正切函数的性质与图像》的教学设计一.教材分析1.地位与作用《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。

在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。

2.教材处理教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。

我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。

这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。

二．学情分析通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。

这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。

三．教学目标确定正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.知识目标：1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。

2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。

3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2. 能力目标：1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、德育目标：使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

第4课时正切函数的性质与图象【教学目标】1．知识目标（1）理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质。

（2）会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。

2．能力目标培养学生作图能力，运用函数图象分析、探究问题的能力。

3．情感目标经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用。

【重点难点】重点正切函数的性质与图象。

难点利用正切线研究正切函数的单调性及值域。

案例（一）教学过程板书设计案例（二） 教学过程1． 正切函数的性质探讨。

教师――前面对正弦函数、余弦函数性质进行研究时，同时运用了函数的图象和诱导公式，也就是采用的数行结合方法。

对正切函数性质的研究咱们换一新视角来研究，不先研究图象，而先研究性质，根据性质再做图象。

下面请你借助研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，根据诱导公式、正切线依次对正切函数的周期性、奇偶性、单调性、最值做出研究。

学生――探究正切函数的周期性，根据诱导公式x x tan )tan(=+π来研究。

师生――教师重点解析，指出正切函数的周期是，不予证明，后面结合图象会看到。

进一步指明，正切函数的基本周期区间常取为（－)2,2ππ学生――自主探究正切函数的奇偶性，教师引导学生注意正切函数的定义域。

师生――共同说明正切函数的奇偶性。

学生――自主探究正切函数的单调性，遇到障碍。

教师――单调性无法根据诱导公式来说明，引导学生利用正切线，数行结合探究正切函数在一个基本区间（－)2,2ππ内的单调性，再根据其周期性研究正切函数的所有单调区间。

学生――画出正切线，观察思考正切线在基本区间内的变化规律，说明正切函数的单调性。

师生――教师结合图１.４－８进一步解释正切函数的单调性，规范给出正切函数的单调区间。

学生――结合图１.４－８中的正切线，利用极限思想求正切函数在一个周期的区间（－)2,2ππ上y 的取值范围，即得正切函数的值域。

师生――共同归纳正切函数的值域是实数集R ２．正切函数的图象教师――正切函数的性质通过诱导公式和正切线进行了研究，下面转向函数图象研究。

正切函数的性质与图象
【教学目标】
●知识目标
1. 能根据已有的知识（如正切函数的定义、诱导公式、正切线等）自主探究
正切函数的性质。

2. 类比正弦函数图象的作法能画出正切函数的图象。

3. 借助正切函数的图象理解其性质并能解决一些简单三角问题。

●能力目标
1.借助单位圆的直观，引导学生自主地探究正切函数的有关性质，培养学生观
察能力、化归转化能力、分析问题和解决问题的能力。

2.运用类比的方法画出正切函数的图象，引导学生运用类比的思想解决问题。

3.经历先讨论正切函数的性质，再利用性质作图，最后由图象再理解性质的过
程，充分体现了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，培养学生运用“数形结合”的思想从不同角度解决函数问题。

4.通过小组讨论，培养学生合作探究的学习能力。

●情感价值观
通过数形结合，培养学生勇于探索、勤于思考的精神，渗透由抽象到具体思想方法，让学生理解动与静的唯物辨证观，进一步培养学生合作学习和数学交流的能力，增强对数学的应用意识。

【教学重点】
1.正切函数的性质与图象。

2.深化研究函数性质的思想方法—数形结合。

【教学难点】
1.利用单位圆中的正切线探究正切函数的单调性和值域。

2.关于正切函数的单调性的理解。

【教学方法】
1.电脑多媒体辅助教学，加强教学的直观性和感染力。

2.教师以问题为中心，层层推进，引导学生积极思维，多角度探究问题，有
效地展开师生双边活动。

【教具准备】 1.电脑课件 2.学生自备尺规。

【课时安排】1课时
【教学情境设计】。

《正切函数的性质与图象》教学设计1．经历先利用诱导公式、正切函数的定义研究正切函数的部分性质，然后根据性质与定义画图，再依据图象研究其它性质的过程，发展逻辑推理素养．2．初步理解和掌握正切函数的图象与性质，并通过初步应用正切函数的性质，发展数学运算素养．教学重点：正切函数的性质与图象，研究函数图象与性质的一般思路和方法．教学难点：正切函数图象．Geogebra软件、PPT课件．利用Geogebra软件呈现作正切函数图象的过程．资源引用：【知识点解析】如何作正切函数的图象【数学探究】正切函数的图象【知识点解析】正切函数的图象与性质（一）整体感知引导语：前面我们研究了正弦、余弦函数的图象与性质，接下来我们研究正切函数．1．研究思路问题1：（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？预设的师生活动：师生交流，整理出可能的研究思路．预设答案：可以有两种思路．思路1，按照正余弦函数图象与性质的研究思路，先描点画图，得到图象，根据图象观察获得性质，再证明．思路2，也可以换一种研究思路，即先从数的角度出发，利用函数解析式分析其性质，然后再根据性质画图，之后再观察图象得到更多的性质．追问：我们选择思路2进行研究．结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，你觉得应该先研究哪个性质？预设的答案：先研究周期性，再研究奇偶性．设计意图：规划思路，整体把握，有序研究，在“森林”里研究“树木”．（二）新知探究2．周期性和奇偶性问题2：类比正弦函数周期得出过程，判断正切函数是周期函数吗？如何求正切函数的周期？预设的师生活动：先让学生独立思考，然后交流．预设答案：由诱导公式tan （x ＋π）＝tan x ，x ∈R ，且x ≠2π＋k π，k ∈Z ． 根据周期函数的定义及周期的定义可知：正切函数是周期函数，并且周期是π． 问题3：你能用简洁的办法判断正切函数的奇偶性吗？请你试一试．预设的师生活动：学生可以独立完成，之后互相核对、规范过程．预设答案：由诱导公式tan （－x ）＝－tan x ，x ∈R ，且x ≠2π＋k π，k ∈Z ． 可知：正切函数是奇函数．问题4：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？据此确定的研究方案是什么？可以类比正弦函数性质的研究进行思考．预设的师生活动：学生可以独立完成，交流之后进一步确定后续的研究路径．预设答案：根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，比如区间（－2π，2π）内的图象与性质即可．再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，比如区间[0，2π）内的图象与性质即可． 因此接下来的研究方案是：先考察函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．3．正切函数的图象问题5：如何画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象呢？ 追问1：画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法画图的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释．预设的师生活动：先让学生画图，根据定义写出tan x ，并给出几何解释．预设答案：如图1所示，设x ∈[0，2π），在直角坐标系中画出角x 的终边与单位圆的交点B （x 0，y 0）．过点B 作x 轴的垂线，垂足为M 则tan x ＝00x y ＝OMMB ．① 追问2：①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显然是不方便画图的．回想利用正弦函数的几何意义为什么可以方便地描点？据此你将如何优化①式，以方便描出正切函数图象上的点呢？★资源名称：【知识点解析】如何作正切函数的图象★使用说明：本资源给出作正切函数的图象的两种方法，可以作为课堂展示辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：正弦函数的几何意义就是角的终边与单位圆交点的纵坐标，是一条线段，而正切函数的几何意义是两条线段的长度比，因此应该设法优化这个比，使它在数值上也可以表示为一条线段，即让分母中的线段数值上为1．于是得到：如图2，过点A (1，0)作x 轴的垂线与角x 的终边交于点T ，则tan x ＝00x y ＝OM MB ＝OAAT ＝AT ．② 图2由②式可知，当x ∈[0，2π）时，线段AT 的长度就是相应角x 的正切值．因此可以利用线段AT 画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象． 追问3：请你利用②式，在坐标纸上画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象．并观察图象有哪些特征？预设的师生活动：教师提前给学生准备好坐标纸，纸上画着单位圆及坐标系．先让学生在坐标纸上画图，画完图之后观察图象，说出特征．然后教师用课件直观展现函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象的特征．特别是通过演示，直观解释“无限逼近直线2π=x ”． 预设答案：如图3所示，可以画出函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象． 观察图象可知：当x ∈[0，2π）时，随着x 的增大，线段AT 的长度也在增大，而且当x 趋向于2π时，AT 的长度趋向于无穷大．相应地，函数y ＝tan x ，x∈[0，2π）的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线2π=x ，但不会与该直线相交． 设计意图：通过一个个追问，帮助学生理解正切函数的几何意义，并利用它画出函数的图象．问题6：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？预设的师生活动：先由学生独立完成，而且学生应该能够完成该问题．之后师生一起再把过程规范条理了．图3★资源名称：【数学探究】正切函数的图象★使用说明：本资源为“正切函数的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：如图4，第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）图象关于原点的对称图形，就可得到y ＝tan x ，x ∈(－2π，0]的图象； 第二步，根据正切函数的周期性，只要把函数y ＝tan x ，x ∈(－2π，2π）图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R ，且x ≠2π＋k π，k ∈Z 的图象， 我们把它叫做正切曲线(tan gent curve)．观察图象，可以看出：正切曲线是被与y 轴平行的一系列直线x ＝2π＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．设计意图：画出函数的图象，并观察图象特征．4．单调性和值域 问题7：从函数图象与性质研究的基本套路看，还需要研究正切函数的什么性质？观察图4函数y ＝tan x ，x ∈[0，2π）的图象，你得到的结论是什么？ 预设的师生活动：先让学生独立完成，再进行展示交流，并予以规范．预设答案：还需要研究正切函数的单调性与值域．（1）单调性观察正切曲线可知，正切函数在(−π2，π2)上单调递增．由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间(−π2+kπ，π2+kπ)(k ∈Z)上都单调递增．（2）值域当x ∈(−π2，π2)时，tan x 在(−∞，+∞)内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值． 因此，正切函数的值域是实数集R ．5．应用例1．求函数ππtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期及单调区间． 追问：类比正余弦函数图象与性质的应用，求解该题目的思路是什么？预设答案：通过换元转化为函数y ＝tan x 的性质问题求解．解：自变量x 的取值应满足π2x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠2k +13，k ∈Z ． 所以，函数的定义域是{x|x ≠2k +13，k ∈Z}． 设z =3π2π+x ，由tan (z ＋π)=tan z ，得：tan [(π2x +π3)+π]=tan (π2x +π3)， 即tan [π2(x +2)+π3] =tan (π2x +π3)．因为对任意x ∈{x|x ≠2k +13，k ∈Z}都有 tan [π2(x +2)+π3] =tan (π2x +π3)，所以，函数的周期为2．由−π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得：−53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z ．所以，函数在区间(−53+2k ，13+2k)，k ∈Z 上单调递增．练习：第213页练习第1，2，5题．（三）归纳小结问题7：本节课是按照怎样的研究套路进行的？获得了关于正切函数图像与性质的哪些基本知识、技能？在应用中有哪些经验？★资源名称：【知识点解析】正切函数的图象与性质★使用说明：本资源展现“正切函数的图象与性质”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂小结进行展示播放．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生梳理，师生一起完善．预设答案：按照函数研究的基本套路确定了研究内容．并采用了新的研究路径：性质——图象——性质．知道了正切函数的周期、奇偶性、单调性及值域．会画正切函数的图象．特别是知道了函数图象无限逼近直线x ＝2π＋k π，k ∈Z ． 在利用正切函数求解与例1类似的问题时，要先求定义域．（四）布置作业教科书习题5.4第7，8，9，12，13，14，15题．（五）单元检测设计求下列函数的定义域、周期和单调区间：（1）y ＝tan 2x ；（2）y ＝5tan2x ． 预设答案：（1）定义域：{x |x ∈R ，且x ≠π4+kπ2(k ∈Z )}；周期2π； 单调递增区间（－π4+kπ2，π4+kπ2）k ∈Z ； （2）定义域：{x |x ∈R ，且x ≠(2k +1)π(k ∈Z )}；周期2π； 单调递增区间（－π+2k π，π+2k π）k ∈Z ．设计意图：检测学生对本节课学习到的基本知识的掌握情况．。

正切函数的性质与图象学习目的：1、熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；2、渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。

学习重点：正切函数的图象和性质的运用。

学习难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．授课类型：新授课学习模式：讲练结合教 具：多媒体、实物投影仪学习过程：一、复习引入：1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。

2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。

二、讲解新课：例1：求下列函数的周期：（1）3tan 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 答：T π=。

（2）tan 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 答：3T π=。

说明：函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω=． 例2：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。

解：由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ， ∴所求定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且，值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数，在区间()z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。

将tan y x =图象向右平移3π个单位，得到tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将 tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），就得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的图象。

例3：用图象求函数y =的定义域。

解：由tan 0x ≥ 得tan x ≥ 利用图象知，所求定义域为(),32k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，。

§1.4.3 《正切函数的图像与性质》教学设计一、教材分析《正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修二中的直线斜率问题。

研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。

教材的安排是先研究正切函数的性质，再根据性质来画出图像。

但是我对这节课进行了调整，先由正切线和正切函数部分性质来画出图像，再更加直观的研究正切函数的其他性质。

正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把问题留给学生思考，采用让学生自己选择周期，并比较得出最优区间，激发学生的思考能力。

二、教学目标 1．知识与技能体会类比方法在画正切函数图像发挥的作用，会画正切函数的草图。

通过图像观察性质，培养观察分析、归纳总结的能力。

在对性质进行归纳总结后，还要能对性质进行简单的应用。

2. 过程与方法 引导学生分析正切函数的周期性和在（2,2ππ-）的奇偶性，简化用正切线画正切函数图像的方法，让学生学会思考从本身函数性质入手简化问题，再反过来由图像归纳其性质的研究方法。

3. 情感态度与价值观在画图像过程中，感受其对称美。

三、教学重点与难点 1. 教学重点画正切函数的图像，归纳其性质，会简单应用性质。

2. 教学难点分析并用正切线画出正切函数的图像。

四、教学流程设计 （一）复习引入如何用正弦线作正弦函数图像的呢？引导学生用同样的方法作正切函数图像。

（二）探究用正切线作正切函数图像 师生活动：回顾：正切线的作法师生活动：分析：正切函数x y tan =是否为周期函数？（教师作适当引导，得出正切函数的最小正周期为π，大部分学生会认为是π2）学生活动：思考问题：先作正切函数哪个区间上的图像呢？（可以是()π,0吗？（图像会间断）引发学生思考）[设计意图] 引导学生用类比的思维方法得到先画出正切函数一个周期内的图像，并放手让学生自己去选择区间，从而自然地解释选择的最优区间为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ。

《正切函数的性质与图像》高一数学说课稿
《正切函数的性质与图像》高一数学说课稿
1,4.3 正切函数的性质与图像的说课稿
各位领导教师同仁：
我说课的`内容是正切函数的性质和图像。

教材理解分析
《1,4.3 正切函数的性质与图像》是人教社A版必修4第一章第4节的第3小节的内容。

是前面系统的学习了正弦与余弦函数的概念，图像及其性质以后滴内容
学习目标
1、掌握正切函数的性质及其应用
2、理解并掌握作正切函数图象的方法;
3、体会类比、换元、数形结合等思想方法。

学情分析
由于我们文科平行班基础不太好加之学习函数的图像及性质又是一个难点，自主学习必然会出现困难。

加之教学时间紧，任务重，前面地学习也不是很好。

根据教材结构和学情我对具体地教学过程和设计作如下说明：
在学法上大胆采用高效课堂模式，让学生探究，大胆去掉非主线知识内容，内容程序尽量简洁明了，一课一得，便于学生掌握。

教学过程共有这样几个方面
一、复习引入
(1)画出下列各角的正切线
(2)复习相关诱导公式
二、探究新知
探究一正切函数的性质
探究二正切函数的图像
三、新知运用
例1 求函数的定义域、周期和单调区间.
四、课堂练习
1、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间。

2、观察正切曲线，写出满足下列条件x的范围：
(1) ; (2) ; (3)
五.小结与课后作业。