广东省深圳实验学校高中部2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角2022,Z 180k k α-⋅∈= ，则符合条件的最大负角为（）A ．–42B ．–220C ．–202D ．–1582．若函数243x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则3πsin 2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．5-B ．5-C D 3．已知12cos(),cos()33αβαβ+=-=，则cos cos αβ的值为（）A ．0B ．12-C ．12D ．0或±124．设集合{}2|42A y y x x a ==-+，{}2|sin 2sin B y y x x ==-+，若A B A ⋃=，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎝⎦B ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[)7,+∞5．已知函数()2log f x x =，()2sin g x a x =-，若[]11,2x ∃∈，[]20,2πx ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．()(),23,-∞-⋃+∞B ．(][),23,-∞-+∞C ．()2,3-D ．[]2,3-6．已知5πsi 2n 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2125-B ．1725-C ．52-D ．257．函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>对任意实数x ，都有()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．πB ．π3C ．π4D ．π68．已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()()sin πF x f x x =-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)5,5.5二、解答题9．下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．sin y x =B ．sin y x=C ．πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan cos y x x=-三、多选题10．已知0log 2022log 2022a b <<，则下列说法正确的是（）A ．1b a >>B ．22a b --<C ．222b a a b+>D ．若0m >，则b b ma a m+<+11．若函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且()()()2sin cos f x g x x x +=+，则（）A ．()cos 2f x x =B ．()sin 2g x x =C ．()()()()f g x g f x <D ．()()()()f g x g f x >12．下列说法正确的是（）A ．()lg ,f x x =且()(),f m f n =则10m n ⋅=B ．πcos 34πlog 3,sin ,23a b c -===的大小关系为b a c>>C ．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为13π8D ．函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是(,2)(1,)-∞-+∞ 四、填空题13．πtan8=______．14．e 2.71828= 为自然对数的底数，则2ln sin 30e ︒=____________．15．已知,αβ∈R ，且满足22sin 1αβ-=，则4sin αβ+的值域为______.16．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧 AB 的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.五、解答题17．已知ABC 为斜三角形．(1)证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；(2)若1sin cos 2A A +=，求tan A 的值．18．已知函数()e cos 0xf x =-，e 为自然对数的底数e 2.71828= ．(1)写出()f x 的单调区间；(2)若()()()1212f x f x x x =≠时，证明：120x x +<．19．已知函数()2ππ2cos cos 33f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ．(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠，求m 的最小值．20．已知函数()212xxf x a=++(1)若(1cos10tan10sin 50a ︒=︒︒，证明()f x 为奇函数；(2)若()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求a 的取值范围．21．已知函数ππ()sin sin(π)4242x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线π4x =对称．(1)若R θ∃∈，使得()2cos g x θ<成立，求x 的集合；(2)若存在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使等式2[()]()20g x mg x -+=成立，求实数m 的最大值和最小值22．已知函数()ln f x x =，以下证明可能用到下列结论：(0,1)x ∈时，①sin tan <<x x x ；②ln 1x x <-．(1)(0,1)x ∈，求证：1ln 1x x<-；(2)证明：()111sinsin sin ln 2,N 23n n n n+++<≥∈ ．参考答案：1．A【分析】直接代入k 的值即可求解.【详解】依题意，2022,Z 180k k α-⋅∈= ，取11k =时，有最大负角01118420222α-=⋅=- .故选：A.2．C【分析】求出点A 的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得3πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】当240x +=，即2x =-时，4y =，所以()2,4A -，所以cos 5θ=-，由诱导公式可得3πsin cos 2θθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：C.3．C【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得.【详解】因为()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=两式相加可得2cos cos 1αβ=，即1cos cos 2αβ=.故选：C.4．A【分析】分别求出集合A 、B 的范围，利用A B A ⋃=的性质即可求解.【详解】依题意，对于A 集合：()224222424y x x a x a a =-+=-+-≥-，所以{}|24A y y a =≥-；对于B 集合：()22sin 2sin sin 11y x x x =-+=--+，因为1sin 1x -≤≤，所以31y -≤≤，所以{}|31B y y =-≤≤；因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以243a -≤-，解得12a ≤，故选：A.5．D【分析】求出函数()f x 在[]1,2上的值域为[]0,1，求出函数()g x 在[]0,2π上的值域为[]2,2a a -+，分析可知，[][]0,12,2a a -+≠∅ ，结合补集思想可求得实数a 的取值范围.【详解】当[]11,2x ∈时，()[]121log 0,1f x x =∈，当[]20,2πx ∈时，()[]222sin 2,2g x a x a a =-∈-+，因为[]11,2x ∃∈，[]20,2πx ∃∈，使得()()12f x g x =，所以，[][]0,12,2a a -+≠∅ ，考查[][]0,12,2a a -+=∅ 的情形，则20a +<或21a ->，解得2a <-或3a >，故当[][]0,12,2a a -+≠∅ 时，23a -≤≤.故选：D.6．B【分析】利用诱导公式和倍角公式即可求解.【详解】依题意，πππcos 2cos 2πcos 2333ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π21712135252sin α=⎛⎫⎛⎫--=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.7．C【分析】由已知()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值或最小值，π8x =是函数图象的对称轴，利用正弦函数的对称轴可得结论．【详解】解：由()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭知π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值或最小值，所以，π8x =是()f x 的一条对称轴的方程，所以，满足ππ2π82k ϕ⨯+=+，Z k ∈，所以()ππZ 4k k ϕ=+∈，因为0ϕ>，所以最小值为π4.故选：C.8．A【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f =，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤<故选：A 9．AB【分析】逐项研究函数的奇偶性与单调性即可.【详解】对于A ，∵sin sin x x -=，且函数sin y x =的定义域为R ，∴函数sin y x =为偶函数，又0x >时，sin sin x x =，且函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故A 符合题意；对于B ，∵()sin sin x x -=，且函数sin y x =定义域为R ，∴函数sin y x =为偶函数，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin sin y x x ==-，且函数sin y x =-在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，∴函数sin y x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故B 符合题意；对于C ，∵πcos sin 2y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴函数πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 不符合题意；对于D ，记()tan cos y f x x x ==-，则()()()tan cos tan cos f x x x x x -=---=--，∴()()f x f x -≠，∴函数tan cos y x x =-不是偶函数，故D 不符合题意.故选：AB.10．BCD【分析】根据题干条件得到1a b >>判断A ；由2y x -=在()0,∞+上单调性判断B ；由基本不等式得到222b a a b+>判断C ；作差法比较出b b m a a m +<+ D.【详解】解：因为0log 2022log 2022a b <<，所以1,1a b >>，不妨令0log 2022log 2022a b m <<=，则2022,2022m m a b >=，故1a b >>，故A 错误，因为2y x -=在()0,∞+上单调递减，故22a b --<，B 正确；因为22b a a b +>2>，故C 正确；若0m >，因为()()()()()0b a m a b m b a m b b m a a m a a m a a m +-+-+-==<+++，故b b ma a m+<+，D 正确.故选：BCD 11．BD【分析】根据函数的奇偶性列出方程组即可分别求出()f x ，()g x 即可求解.【详解】依题意，因为函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，所以()()=f x f x -，()()g x g x -=-，因为()()()2sin cos 1sin 2f x g x x x x +=+=+，所以()()1sin 2f x g x x -+-=-，所以()()1sin 2f x g x x -=-，由()()()()1sin 21sin 2f x g x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，解得()1f x =，()sin 2g x x =，所以A 选项错误，B 选项正确；因为()()()sin 21f g x f x ==，()()()1sin 21g f x g ==<，所以()()()()f g x g f x >，所以C 选项错误，D 选项正确；故选：BD.12．BD【分析】根据函数()lg ,f x x =的图象性质可求解A ，根据对数函数的性质结合三角函数的定义可比较B ，结合钟表图形可判断C ，利用函数的单调性和奇偶性解不等式可判断D.【详解】由()(),f m f n =可得lg lg m n =，不妨设m n <，则有lg lg m n -=，所以1⋅=m n ，A 错误；π1cos 32πsin 223b c --=====所以b c >，因为3223<=，所以44log log 32=<，所以c a <，因为02<<，所以2>，所以2444log log log32b ==>=，所以b a >，所以b a c >>，B 正确；八点二十分，如图，1812π25π32π,2π331218AOB AOC ∠=⨯=∠=⨯=,所以25π2π13π18318BOC ∠=-=，C 错误；2()ln(1)22x x f x x -=-++中，令210x ->解得1x <-或1x >，所以定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，2()ln(1)22()x x f x x f x --=-++=，所以函数为偶函数，当1x >时，设22x t =>，此时122x xy t t-=+=+单调递增，再结合复合函数单调性可知2ln(1)y x =-单调递增，所以2()ln(1)22x x f x x -=-++在(1,)+∞单调递增，则在(),1-∞-单调递减，所以由(1)(2)f x f x +<可得112x x <+<即22321020x x x x ⎧-->⎨+>⎩，解得<2x -或1x >，故D 正确，故选:BD.131-##1-+【分析】利用同角三角函数的商数关系及二倍角的正弦余弦公式，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】ππππsin2sin sin1cos1π8884tan1ππππ8cos2cos s4in sin8882⋅--====⋅.1-.14．14##0.25【分析】根据对数运算求解即可.【详解】解：2111ln2ln ln2ln sin302241e e e e4⎛⎫⎪︒⎝⎭====.故答案为：1415．1⎡-+⎣【分析】根据已知条件22sin1αβ-=，运用三角函数的有界性，可得α，再结合三角函数的单调性，即可求解值域．【详解】解：22sin1αβ-=，则22si1nαβ=-∴21112α--，可得α，2114sin422αβαα+=+-，α，设211()422fααα=+-，α()fα的对称轴为4α=-，()fα∴在区间⎡⎣上单调递增，∴()(1minf fα==-，()1maxf fα==+4sinαβ∴+的值域为1⎡-+⎣．故答案为：1⎡-+⎣．16．(18π【分析】由弧长公式可求得等边ABC的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个ABC的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.【详解】解：由题意可知π3ABC ACB BAC ∠=∠=∠=，设AB r =，则弧 AB 的长度为π2π3r =，所以6r =，设弧 AB 所对的扇形的面积为S ，1πsin23ABC S AB AC =⋅⋅⋅=则该鲁洛克斯三角形的面积为(21π3236218π23ABC S S -=⨯⨯⨯-⨯= .故答案为：(18π.17．(1)证明见解析(2)43+-【分析】（1）直接利用诱导公式与正切函数的和差公式即可求解.（2）式子1sin cos 2A A +=两边同时平方，求出3sin cos 8A A =-，再求出sin cos2A A -=，联立方程即可求解.【详解】（1）依题意，证明：180A B C +=- ，所以()tan tan A B C +=-．因为90C ≠ ，所以tan tan 1A B ≠，所以()tan tan tan 1tan tan A B A B A B ++=-．由tan tan tan 1tan tan A B C A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．（2）因为1sin cos 2A A +=，所以221sin cos 2sin cos 4A A A A ++=，则3sin cos 8A A =-，又0πA <<，所以sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos A A -=则114sin ,cos tan443A A A ==⇒=-.18．(1)单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞(2)证明见解析【分析】根据()e 1,01e ,0x x x f x x ⎧-≥=⎨-<⎩，结合指数函数单调性求解即可；（2）不妨设12x x <，进而根据12e 1e 1x x t -=-=，结合指对互化得()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+，01t <<，再结合t 的范围即可得答案.【详解】（1）解：因为函数()e 1,0e cos 0e 11e ,0x x xx x f x x ⎧-≥=-=-=⎨-<⎩所以，根据指数函数的单调性得，当0x ≥时，()f x 单调递增；当0x <时，()f x 单调递减；所以，()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞（2）解：由（1）知，当0x <时，()()0,1f x ∈，当0x ≥时，()[)0,f x ∈+∞()()12f x f x = ，不妨设12x x <，∴120x x <<∴12e 1e 1x x t -=-=，01t <<，∴121e e 1x x t -=-=，即12e 1,e 1x x t t =-=+，∴两边取以e 为底的对数得()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+，()212ln 1x x t ∴+=-01t << ，()2ln 10t-<，∴120x x +<19．(1)π(2)4π3【分析】（1）根据倍角公式、和差公式化简，代入周期公式即可求解.（2）利用整体换元思想，代入正弦函数最大值的相关性质即可求解.【详解】（1）依题意，由已知2π()cos 21)3f x x x =++2π2πcos 212coscos 2sin33x x x =++1π2cos 21sin(2)126x x x =-+=-+，所以最小正周期是2ππ2T ==；（2）π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠，等价于()f x 在区间π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的有两最大值为2，则ππ22π62m -≥+，4π3m ≥，所以m 的最小值是4π3．20．(1)证明见解析(2)1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据三角恒等变换得12a =-，()11212x f x =-+，再判断函数奇偶性即可；（2）由题知()min 0f x ≥，再令2x t =，进而得111y a t -=+++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，再根据单调性求最值即可得答案.【详解】（1）解：(()a 1sin10cos10t n10tan 60sin 50sin n 5ta 100a ︒︒︒︒︒︒-⋅=-= sin10sin 60sin10cos10cos 60sin 50︒︒︒︒︒︒⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭sin10cos 60sin 60cos10cos10cos 60cos10sin 50︒︒︒︒︒︒︒︒-=⋅sin(6010)cos1012cos 60cos10sin 50cos 60︒︒︒︒︒︒︒-=-⋅=-=-．所以，12a =-，即()21211111122122212x x x x xf x +-=-==-+++，定义域为R ，所以，()()2111122122x x x f x f x ---=-=-=-++，所以，()f x 为奇函数.（2）解：∵()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，∴()min 0f x ≥．令2x t =，因为[]1,1x ∈-，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，1111t y a a t t -=+=++++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为111y a t -=+++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 1111312y a a -=++=++，即()min 13f x a =+，所以103a +≥，解得13a ≥-，所以a 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．21．(1)π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭(2)最小值为.3【分析】（1）根据对称性求得()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，进而将问题转化为πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭求解即可；（2）令()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，进而将问题转换为方程2m y y =+，[]1,2y ∈有解,再结合基本不等式求解即可.【详解】（1）π()sin 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin x x =+π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数()y g x =的图象上取点(,)x y ，其关于直线π4x =对称点的坐标为π,2x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()5πππ2sin 2sin π2sin 666y g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为R θ∃∈，使得()2cos g x θ<成立，所以，()2g x <，即πsin 16x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以，ππ2π,Z 62x k k +≠+∈，解得π2π(Z)3x k k ≠+∈所以，x 的集合为π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭（2）解：因为()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，ππ2π,,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦[]1,2y ∈，所以，等式2[()]()20g x mg x -+=，可化为2m y y=+，[]1,2y ∈，所以，存在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使等式2[()]()20g x mg x -+=成立时，方程2m y y=+，[]1,2y ∈有解,所以，由基本不等式的性质知，当y =时，m 的最小值为1y =或2时，m 的最大值为3；所以，实数m 的最大值为3，最小值为.22．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用(0,1)x ∈时，ln 1x x <-，通过多次代换即可证明；（2）首先（1）得1sin ln 1x x x <<-，令12x =，13x =L 1x n=得到一系列不等式，相加即可.【详解】（1）由已知(0,1)x ∈时，ln 1x x <-，用1x +代换x 得()ln 1x x +<，再以x -代换x 得()ln 1x x -<-，即()ln 1x x -->，即1ln 1x x>-，得证1ln .1x x <-（2）由（1）可知(0,1)x ∈时，1sin ln1x x x <<-则1sin ln ,1(0,1)x x x<-∈，令12x =得11sin ln ln 21212<=-，令13x =得113sin ln ln 13213<=-，令x n =得11sin ln ln 111n n n n<=--，相加得111111sin sin sin ln ln ln 1112311123n n+++<+++--- 33ln 2ln ln ln 2ln 2121n n n n n =+++=⨯⨯⨯=-- ，（2,N n n ≥∈）。

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（ ）A.B.C.D.2．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.43．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]4．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A.15B.25C.40D.605．从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm)，甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165．据此估计甲、乙两班学生的平均身高x 甲,x 乙及方差2s 甲,2s 乙的关系为( )A ．x 甲>x 乙,2s 甲>2s 乙B ．x 甲>x 乙,2s 甲<2s 乙C ．x 甲<x 乙,2s 甲<2s 乙D ．x 甲<x 乙,2s 甲>2s 乙6．设x ∈R ，则“|x－2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．若非零向量a r ，b r 满足||||a b =r r ，向量2a b +r r与b r 垂直，则a r 与b r 的夹角为（ ） A.150︒B.120︒C.60︒D.30°8．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =9．在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为（ ）（参考数据：，）A ．5B ．7C ．9D ．1010．一个三棱柱的三视图如图所示，正视图为直角三角形，俯视图，侧视图均为矩形，若该三棱柱的各个顶点均在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）A.244πB.24461πC.2443πD.613π11．有下列叙述，①函数tan y x =的对称中心是(0),k π；②若函数()2sin()f x x ωφ=+（0>ω，0φπ<<）对于任意x ∈R 都有()()66f x f x ππ+=-成立，则()26f π=；③函数()sin f x x x =-在R 上有且只有一个零点； ④已知定义在R 上的函数sin cos sin cos ()22x x x xf x -+=+，当且仅当222k x k ππππ-<<+（k Z ∈）时，()0f x >成立.则其中正确的叙述有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ）A ．3πB ．23πC ．34πD ．56π 二、填空题13．已知,a b r r 均为单位向量，且它们的夹角为120o，则|2|a b +=r r______．14．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则A =______；ϕ=______．15．已知△中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 ．16．已知数列{}n a 满足11a =，若1114()n n nn N a a *+-=∈，则数列{}n a 的通项n a =______. 三、解答题17．某班在一次个人投篮比赛中，记录了在规定时间内投进n 个球的人数分布情况： 进球数n （个） 0 1 2 3 4 5 投进n 个球的人数（人）12725个以下，人均投进2.5个球．（1）投进3个球和4个球的分别有多少人？（2）从进球数为3，4，5的所有人中任取2人，求这2人进球数之和为8的概率． 18．已知函数的定义域为，且对任意的有. 当时，，.（1）求并证明的奇偶性；（2）判断的单调性并证明； （3）求；若对任意恒成立，求实数的取值范围.19．已知函数2()(1)1()f x x a x a R =-++∈.（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集是{}|2x m x <<，求a ，m 的值；（2）设关于x 的不等式()0f x ≤的解集是A ，集合{|01}B x x =≤≤，若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围.20．已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，且8+=b c .(Ⅰ) 求A 的值；(Ⅱ)求ABC ∆面积的最大值； 21． 已知向量，，且.（1）求及；（2）求函数的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值22．如图, 在直三棱柱中，，，，，点是的中点．（1）求证：； （2）求证：//平面．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B C A B A B A BB二、填空题 13．3 14．3π15． 16．341n- 三、解答题17．（1）投进3个球和4个球的分别有2人和2人；（2）13. 18．（1）0,证明略，为奇函数；（2）单调递增，证明略；（3）.19．(1) 32a =，12m =. (2){}|1a a <. 20．（Ⅰ）3π；（Ⅱ）4321．（1）,;（2）3,22．略2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．直线()()21210a x ay a R +-+=∈的倾斜角不可能为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．56π 2．某快递公司在我市的三个门店A ，B ，C 分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A ，B 与门店C 都相距a km ，而门店A 位于门店C 的北偏东50o 方向上，门店B 位于门店C 的北偏西70o 方向上，则门店A ，B 间的距离为（ ） A.a kmB.2a kmC.3a kmD.2a km3．若函数()()()()lg 1lg 3lg f x x x a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是 A ．13a <?或134a = B ．1334a ≤< C ．1a ≤或134a =D ．134a >4．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，侧面对角线1AB ，1BC 上分别有一点E ，F ，且11B E C F =，则直线EF 与平面ABCD 所成的角的大小为（ ）A.0°B.60°C.45°D.30°5．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2AB C = ，则ABC ∆是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形D.等腰直角三角形6．已知角α是第四象限角，且满足()3312sin cos πααπ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则tan （π-α）是（ ） A 3B ．3-C 3D ．37．已知向量m r 、n r 满足2m =r ，3n =r，17m n -=r r m n +=r r（ ） A.3717D.98．设,αβ为两个不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若//αβ，l α⊂，则l β//；②若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβ；③若//l α，l β⊥，则αβ⊥；④若m α⊂，n ⊂α，且l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥.其中正确命题的序号是（ ） A.①③B.①②③C.①③④D.②④9．设a ，b ，c R ∈，且0b a <<，则（ ） A.ac bc >B.22ac bc >C.11a b< D.1ab> 10．已知()()()()()()()()()2,522{,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ≥=-=≥若＝－，，若，则F （x ）的最值是（ ） A ．最大值为3，最小值B ．最大值为，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值 11．设 1.2a (2)=，353b log =，3c ln 2=，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a b c >>B.c b a >>C.c a b >>D.a c b >> 12．在△ABC 中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形二、填空题13．已知304παβ∈，（，），3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4πα-=________ 14．设θ为向量,a b r r的夹角，且2a b a b +=-r r r r ，3a =r ，则cos θ的取值范围是_____.15．已知sin cos 2sin cos x xx x+=-，则tan x =____．16．已知,x y 满足约束条件101010x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值为__三、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=o ，2AB AC ==，13AA =，,M N 分别为1,BC CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点（Ⅰ）求证：平面APM ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）若P 为线段1BB 的中点，求证：1//A N 平面APM ；（Ⅲ）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直。

广东省实验中学2019-2020学年(上)高一级模块一､四考试数学【高一上学期期末考试】 一､选择题:(每小题5分,共60分) 1.已知集合A ={x |x 2﹣x ≤0},{|22}x B x =≤,则A ∩B =( )A. 1{|1}2x x -≤≤ B. 1{|0}2x x ≤≤C. 1{|0}2x x -≤≤ D.1{|1}2x x ≤≤ 【★答案★】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，集合B ，再利用交集的定义求解.【详解】因为集合A ={x |x 2﹣x ≤0}{}|01x x =≤≤ ，1{|22}{|}2=≤=≤x B x x x ，所以A ∩B =1{|0}2x x ≤≤.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3b C. a 3−b 3>0 D. │a │>│b │【★答案★】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3.已知tan 3θ=，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 32-B.32C. 0D.23【★答案★】B 【解析】【详解】因为tan θ=3，∴()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭=3cos 333.cos sin 1tan 132θθθθ---===--- 故选B ．4.如图，若OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A. 2136c b a =- B. 4133c b a =+ C. 4133c b a =- D. 2136c b a =+ 【★答案★】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可求出★答案★.【详解】13c OC OB BC OB AB ==+=+()141333OB OB OA OB OA =+-=-4133b a =-.故选C .【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象关于直线π3x =对称,它的最小正周期为π,则函数()f x 图象的一个对称中心是 （ ） A. ,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B. π,13⎛⎫⎪⎝⎭C. 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭【★答案★】D 【解析】 【分析】 由周期求出2ω=，再由图象关于直线3x π=对称，求得6πϕ=-，得到函数()26f x Asin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,6x k k π-=π∈Z 求得212k x ππ=+，从而得到图象的一个对称中心.【详解】由2ππω=，解得2ω=，可得()()2f x Asin x ϕ=+， 再由函数图象关于直线3x π=对称，故233f Asin A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=±⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故可取6πϕ=-， 故函数()26f x Asin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令2,6x k k π-=π∈Z ， 可得,212k x k Z ππ=+∈，故函数对称中心,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 令0k =可得函数()f x 图象的对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.6.已知平面内一点P 及△ABC ,若PA PB PC BC ++=,则P 与△ABC 的位置关系是( ) A. P 在△ABC 外部 B. P 在线段AB 上 C. P 在线段AC 上 D. P 在线段BC 上【★答案★】B 【解析】 【分析】根据PA PB PC BC ++=，通过加减运算整理为2PA PB =-，再利用共线向量定理判断. 【详解】因为PA PB PC BC ++=， 所以PA PB PC PC PB ++=-， 所以2PA PB =-， 所以P 在线段AB 上. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的加减运算和共线向量定理，属于基础题. 7.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A. y =x 2B. 1y lnx= C. y =2|x |D. y =cosx【★答案★】B 【解析】 【分析】A. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2yx 的图象判断单调性.B. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据ln y x = 的图象判断单调性.C. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2xy = 的图象判断单调性.D. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据cos y x =的图象判断单调性. 【详解】因为()22x x -=，所以2y x 是偶函数，又因为2y x 在（0，+∞)上单调递增，故A 错误. 因为11=-lnln x x ，所以1y ln x =是偶函数，又因为10,ln >==-x y ln x x，在(0，+∞)上单调递减，故B 正确.因为22x x -=，所以 2xy =是偶函数，又因为 0,22>==xx x y 在(0，+∞)上单调递增，故C 错误.因为()cos cos x x -=，所以cos y x =是偶函数，又因为cos y x =在 (0，+∞)上不单调，故D 错误. 故选;D【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性和基本函数的图象和性质，属于基础题.8.若510cos(),cos 2,510αβα-==并且,αβαβαβ+均为锐角，且〈，则的值为（ ） A.6πB.4π C.34π D.56π 【★答案★】C 【解析】∵α、β均为锐角且α＜β， ∴ 2π-＜α-β＜0， ∵cos （α-β）=55 ， ∴sin （α-β）=255-∵cos 2α=1010，α为锐角∴sin 2α=31010， ∴cos （α+β）=cos [2α-（α-β）]=cos 2αcos （α-β）+sin 2αsin （α-β） =22-， ∵α+β∈（0，π），∴α+β= 34π． 本题选择C 选项.9.下列给出的关系式中正确的是( ) A. ()()a b c a b c +⋅=+B. 若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cC. a ∥b ⇒a 在b 上的投影为|a | D. (a b a b +)•(a b a b -)=0【★答案★】D 【解析】 【分析】A. 根据数量积的运算律判断.B. 取0b =判断.C. 根据a ∥b 时，夹角为0或180判断.D. 由数量积的运算判断.【详解】A. 由数量积的运算律得()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ，故A 错误. B. 当0b =时，不成立.故B 错误.C. 当a ∥b 时，夹角为0或180，所以a 在b 上的投影为±a 故C 错误.D. 由数量积的运算得(a b a b +)•(a b a b -)=220⎛⎫⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b a b ，故D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算律，投影及基本运算，属于基础题.10.幂函数y ax =，当a 取不同的正数时，在区间[]01，上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点()()A 10B 01，，，，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y y abx x 、==的图像三等分，即有BM MN NA ==，那么1a b-=（ ）A. 0B. 1C.12D. 2【★答案★】A 【解析】 【分析】先根据题意结合图形分别确定M N 、的坐标，然后分别代入y y a bx x 、==中求得b a 、的值，最后再求出1a b-的值，即可得出★答案★． 【详解】因为BM MN NA ==，点()()A 10B 01，，，，所以1221M N 3333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，分别代入y y abx x 、==中，213312log b log 33a ==， 所以2313111log 023log 3a b -=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数的性质以及指数与对数的转化，考查了数形结合思想，考查了对数的计算法则，考查了计算能力与推理能力，是基础题． 11.将函数()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线g (x )=x ﹣1的所有交点从左到右依次记为A 1,A 2,A 3,A n …,若P 点坐标为(0,1),则12n PA PA PA +++=( )A. 52B. 32C. 2D. 0【★答案★】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3， A 4，A 5，根据()31,0A 为()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点，得到15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称，再用中点坐标公式得到1234535+=+++PA PA PA PA PA PA 求解.【详解】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，如图所示：所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3， A 4，A 5， 因为()31,0A 是()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点， 所以15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称， 所以1532432,2==++PA PA PA PA PA PA ， 所以1234535+=+++PA PA PA PA PA PA ， 因为()331,1,2=-=PA PA ，所以1252+++=n PA PA PA .故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象和平面向量的运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是( ) 下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论: ①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1; ②函数f (x )偶函数; ③函数f (x )的值域是{0,1};④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立; ⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形.A. 2B. 3C. 4D. 5【★答案★】D 【解析】 【分析】①分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况从内到外，利用()1,0,R x Qf x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩求值判断.②分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况，利用奇偶性定义判断.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =判断.④分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断. 【详解】①当x Q ∈时，()1f x =，则()()()11ff x f ==；当Rx C Q ∈时，()0f x =，则()()()01f f x f ==，所以对于任意的x ∈R ，都有f (f (x ))=1;故正确.②当x Q ∈时，x Q -∈，()()1f x f x -==；当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，()()0f x f x -==，所以函数f (x )偶函数;故正确.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =，所以函数f (x )的值域是{0，1};故正确. ④当x Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈T x Q ，则f (x +T )=1=f (x )；当 R x C Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈R T x C Q ，则f (x +T )=0=f (x )，所以对任意的x ∈R 恒成立;故正确.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭构成以233为边长的等边三角形，故正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.二､填空题:(每小题5分,共20分)13.已知向量a =(﹣2,3),b =(x ,1),若a ⊥b ,则实数x 的值是_____. 【★答案★】32【解析】【分析】已知向量a =(﹣2，3)，b =(x ，1)，根据a ⊥b ，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】已知向量a =(﹣2，3)，b =(x ，1)， 因为a ⊥b ， 所以230x -⨯+=解得32x =故★答案★为：32【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14.计算102554(1)2100.25log log π-++++=_____.【★答案★】72【解析】 【分析】根据指数、对数的运算法则和性质求解. 【详解】102554(1)2100.25π-++++log log ，551211000.1254=+++log log ，511252=++log 171222=++=. 故★答案★为：72【点睛】本题主要考查了对数，指数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.已知12,1(){32,1x x f x x x -≥=-< ，若不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则整数λ的最小值为______________． 【★答案★】1 【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且11()22f =-，所以不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于211cos sin 42θλθ+-≥对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设sin ,[0,1]t t θ=∈ ，则2104t t λ--≤ ，当0t =时，R λ∈ ；当(0,1]t ∈ 时max 133(),444t t λλλ≥-=∴≥的最小值为1. 16.如图所示,矩形ABCD 的边AB =2,AD =1,以点C 为圆心,CB 为半径的圆与CD 交于点E ,若点P 是圆弧EB (含端点B ､E )上的一点,则PA PB ⋅的取值范围是_____.【★答案★】222,0⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】以点C 为原点，以直线EC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， A (﹣2，﹣1)，B (0，﹣1)，设P (cos θ，sin θ)，()2,1PA cos sin θθ=----，(),1PB cos sin θθ=---，再利用数量积的坐标运算得222θθ⋅=++PA PB cos sin 2224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin ，然后利用三角函数的性质求解. 【详解】如图所示：以点C 为原点，以直线EC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则:A (﹣2，﹣1)，B (0，﹣1)，设P (cos θ，sin θ)，(32ππθ≤≤)， ∴()2,1PA cos sin θθ=----，(),1PB cos sin θθ=---，∴2222224PA PB cos sin sin πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭，∵32ππθ≤≤， ∴57444πππθ≤+≤， ∴2142sin πθ⎛⎫-≤+≤- ⎪⎝⎭， ∴2220PA PB -≤⋅≤，∴PA PB ⋅的取值范围是222,0⎡⎤-⎣⎦. 故★答案★为：222,0⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三､解答题:(共70分)17.已知非零向量,a b 满足1a =,且()()34a b a b +⋅-=. (1)求b ;(2)当14a b ⋅=-时,求2a b +和向量a 与2a b +的夹角θ的值. 【★答案★】(1)12b =;(2)1，3πθ=.【解析】 【分析】(1) 根据()()34a b a b +⋅-=，得到2234a b -=，再将1a =代入求解.(2)利用求向量模的公式2222||44||+=+⋅+a b a a b b 求解2a b +;利用向量的夹角公式()22θ⋅+=+a a b cos a a b，求θ的值.【详解】(1)∵1a =，且()()34a b a b +⋅-=， ∴2234a b -=，则231||4b -=， ∴12b =; (2)222112||44||144144a b a a b b ⎛⎫+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，∴21a b +=;∴()2112221411122a a b a a b cos a a bθ⎛⎫+⨯- ⎪⋅++⋅⎝⎭====⨯+， ∵0≤θ≤π， ∴3πθ=.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积综合运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知函数()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的取值集合. 【★答案★】(1)最小正周期T =π, 单调递减区间为[8k ππ+,58k ππ+],(k ∈Z ).(2)最大值为2, x 的取值集合为:{x |x 8k ππ=+,k ∈Z }.【解析】 【分析】(1)将()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用两角和与差的正弦公式转化为：()2f x =sin (2x 4π+)，再利用正弦函数的性质求解.(2)利用正弦函数的性质，当 2242x k πππ+=+，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值求解.【详解】(1)∵函数()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=22(sinxcos4π+cosxsin 4π)cosx ﹣1 =2sinxcosx +2cos 2x ﹣1 =sin 2x +cos 2x2=sin (2x 4π+)，∴函数f (x )的最小正周期T 22π==π， 由2π+2k 32242x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ， 解得函数f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+]，(k ∈Z ). (2)∵f (x )224sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数f (x )的最大值为2， 取得最大值时x 的取值集合满足:2242x k πππ+=+，k ∈Z .解得x 8k ππ=+，k ∈Z .∴函数f (x )取得最大值时x 的取值集合为:{x |x 8k ππ=+，k ∈Z }.【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.【★答案★】(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【解析】 【分析】(1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解.(2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴.(3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴.【详解】(1)()()2113322ωωωωωω=+-=+-f x sin x sin x cos x sin x sin xcos x ， 31222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ; (3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=.【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 20.已知幂函数221()(1)m f x m m x--=--在(0,)+∞上单调递增，又函数()22xxmg x =+. （1）求实数m 的值，并说明函数()g x 的单调性；（2）若不等式(13)(1)0g t g t -++≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【★答案★】（1）见解析；（2）1t ≤ 【解析】 【分析】（1）由f （x ）是幂函数，得到m 2﹣m ﹣1＝1，再由f （x ）在（0，+∞）上单调递增，得到﹣2m ﹣1＞0，从而求出m ＝﹣1，进而g （x ）122xx=-，由此能求出函数g （x ）在R 上单调递增； （2）由g （﹣x ）＝2﹣x 12x --=-（122xx-）＝﹣g （x ），得到g （x ）是奇函数，从而不等式g （1﹣3t ）+g （1+t ）≥0可变为g （1﹣3t ）≥﹣g （1+t ）＝g （﹣1﹣t ），由此能求出实数t 的取值范围．【详解】（1）因为()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =， 又因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以210m -->，即12m <-， 即1m =-，则()122xx g x =-， 因为2xy =与12xy =-均在R 上单调递增， 所以函数()g x 在R 上单调递增. （2）因为()()112222xx x x g x g x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以()g x 是奇函数，所以不等式()()1310g t g t -++≥可变为()()()1311g t g t g t -≥-+=--， 由（1）知()g x 在R 上单调递增，所以131t t -≥--， 解得1t ≤.【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.如图一块长方形区域ABCD ,AD =2(km ),AB =1(km ).在边AD 的中点O 处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF 始终为4π,设∠AOE =α,探照灯O 照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S .(1)当0≤α2π<时,写出S 关于α的函数表达式; (2)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE 自OA 转到OC ,再回到OA ,称“一个来回”,忽略OE 在OA 及OC 反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB 边上有一点G ,且∠AOG 6π=,求点G在“一个来回”中,被照到的时间.【★答案★】(1),S 11102244111()32424tan tan tan tan ππαααππαπαα⎧⎛⎫⎛⎫---≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪ ⎪+<<⎪⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩(2)2分钟 【解析】 【分析】(1) 根据AD =2，AB =1，0≤α2π<，确定点E ，F 的位置，分0≤α4π≤，4π<α2π<，两种情况，利用三角形面积公式求解.(2)先得到“一个来回”中，OE 共转了23342ππ⨯=，其中点G 被照到时，共转了263ππ⨯=，再利用角度关系求解. 【详解】如图所示：(1)过O 作OH ⊥BC ，H 为垂足. ①当0≤α4π≤时，E 边AB 上，F 在线段BH 上(如图①)，此时，AE =tan α，FH =tan (4π-α)， ∴S =S 正方形OABH ﹣S △OAE ﹣S △OHF =112-tan α12-tan (4π-α).②当4π<α2π<时，E 在线段BH 上，F 在线段CH 上(如图②)，此时，EH 1tan α=，FH 134tan πα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得EF 1134tan tan παα=+⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴S =S △OEF 12=(1134tan tan παα+⎛⎫- ⎪⎝⎭).综上所述，S 11102244111()32424tan tan tan tan ππαααππαπαα⎧⎛⎫⎛⎫---≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪ ⎪+<<⎪⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ (2)在“一个来回”中，OE 共转了23342ππ⨯=， 其中点G 被照到时，共转了263ππ⨯=∴在“一个来回”中，点G 被照到的时间为9332ππ⨯=2(分钟).【点睛】本题主要考查了三角函数再平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.对数函数g （x ）=1og a x （a ＞0，a ≠1）和指数函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1）互为反函数．已知函数f （x ）=3x ，其反函数为y=g （x ）．（Ⅰ）若函数g （kx 2+2x+1）的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若0＜x 1＜x 2且|g （x 1）|=|g （x 2）|，求4x 1+x 2的最小值；（Ⅲ）定义在I 上的函数F （x ），如果满足：对任意x ∈I ，总存在常数M ＞0，都有-M ≤F （x ）≤M 成立，则称函数F （x ）是I 上的有界函数，其中M 为函数F （x ）的上界．若函数h （x ）=()()1mf x 1mf x -+，当m ≠0时，探求函数h （x ）在x ∈[0，1]上是否存在上界M ，若存在，求出M 的取值范围，若不存在，请说明理由．【★答案★】（Ⅰ）k ＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）因为g （x ）=1og a x 与f （x ）=3x ，互为反函数，所以a=3，得g （kx 2+2x+1）= log 3（kx 2+2x+1）的定义域为R ，所以kx 2+2x+1＞0恒成立，可求解k 的范围；（Ⅱ）由|g （x 1）|=|g （x 2）|，得|log 3x 1|=|log 3x 2|，分析化简得x 1x 2=1，4x 1+x 2=4x 1+11x ，利用双勾函数求其最值；（Ⅲ）由h （x ）=xx1m 31m 3-⋅+⋅=－1+x 21m 3+⋅，分m ＞0和m ＜0分别求出h （x ）的取值范围，然后讨论其上下界.【详解】（Ⅰ）由题意得g （x ）=log 3x ，因为g （kx 2+2x+1）=log 3（kx 2+2x+1）的定义域为R ， 所以kx 2+2x+1＞0恒成立， 当k=0时不满足条件， 当k≠0时，若不等式恒成立， 则{k 044k 0>=-<，即{k 0k 1>>，解得k ＞1；（Ⅱ）由|g （x 1）|=|g （x 2）|，得|log 3x 1|=|log 3x 2|， 因为0＜x 1＜x 2，所以0＜x 1＜1＜x 2，且－log 3x 1=log 3x 2， 所以log 3x 1+log 3x 2=log 3x 1x 2=0， 所以x 1x 2=1， 所以则4x 1+x 2=4x 1+11x ，0＜x 1＜1， 因为函数y=4x+1x 在（0，12）上单调递减，在（12，1）上单调递增， 所以当x 1=12时，4x 1+x 2取得最小值为4． （Ⅲ）h （x ）=xx1m 31m 3-⋅+⋅=－1+x 21m 3+⋅，（m≠0）， （i ）当m ＞0，1+m3x ＞1，则h （x ）在[0，1]上单调递减， 所以13m 13m -+≤h（x ）≤1m1m-+，①若|1m 1m -+|≥|13m 13m -+|，即m∈（0，33]时，存在上界M ，M∈[|1m 1m -+|，+∞）， ②若|1m 1m -+|＜|13m 13m -+|，即m∈（33，+∞）时，存在上界M ，M∈[|13m 13m -+|，+∞）， （ii ）当m ＜0时， ①若－13＜m ＜0时，h （x ）在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[1m 1m -+，13m 13m -+]，存在上界M ，M∈[13m 13m-+，+∞），②若m=－13时，h （x ）=－1+x 21133-⋅在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[2，+∞），故不存在上界．③若－1＜m ＜－13时，h （x ）在[0，log 3（－1m ））上单调递增，h （x ）在（log 3（－1m），1]上单调递增，h （x ）∈（－∞，1m 1m -+]∪[13m 13m-+，+∞）故不存在上界， ④若m=－1，h （x ）=－1+x 213-在（0，1]上单调递增，h （x ）∈（－∞，－2]，故不存在上界 ⑤若m ＜－1，h （x ）在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[1m 1m -+，13m 13m -+]，而13m 13m-+＜0，存在上界M ，M∈[|1m 1m-+|，+∞）； 综上所述，当m ＜－1时，存在上界M ，M∈[|1m 1m-+|，+∞）， 当－1≤m≤－13时，不存在上界， 当－13＜m ＜0时，存在上界M ，M∈[13m 13m -+，+∞）， 当m∈（0，33]时，存在上界M ，M∈[|1m 1m -+|，+∞）， 当m∈（33，+∞）时，存在上界M ，M∈[|13m 13m -+|，+∞）． 【点睛】本题考查了反函数的概念，对数函数的定义域，恒成立问题与分类讨论，综合性较强，属于难题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A D C C D ABC B C A B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（13）π4； （14）17 ； （15）3-； （16）①③⑤ 三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）解：（1）因为0x >，0y >，由基本不等式，得25210x y xy +≥．…………………2分又因为2520x y +=，所以21020xy ≤，10xy ≤，………………………………3分当且仅当2520,25,x y x y +=⎧⎨=⎩即5,2,x y =⎧⎨=⎩时，等号成立． 此时xy 的最大值为10． …………………………………4分 所以lg lg lg 1g101u x y xy =+=≤=．所以当5x =，2y =时，lg lg u x y =+的最大值为1；………………………………5分（2）因为0x >，0y >， 所以101101251502()(25)2020x y y x x y x y x y++=+=++ 15029(252)204y x x y ≥+⋅=， …………………………………7分 当且仅当2520,502,x y y x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩即20,34,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立． 所以101x y+的最小值为94． …………………………………8分 不等式21014m m x y +≥+恒成立，只要2944m m +≤，解得9122m -≤≤．………9分 所以m 的取值范围是91[,]22-． ……………………………………10分（未指出等号成立的条件，扣1分）18．（12分）解：（1）由图可得2A =，2πππ2362T =-=，所以πT =，所以2ω=．……………………2分 当π6x =时，()2f x =，可得π2cos(2)26ϕ⋅+=，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-．……3分 所以函数()f x 的解析式为π()2cos(2)3f x x =-，…………………………………4分 令ππ2π32x k -=+（k ∈Z ），则5ππ12x k =+（k ∈Z ），…………………………5分 所以函数)(x f 的对称中心为5π(π,0)12x k =+（k ∈Z ）； …………………………6分 （2）2()()8sin g x f x x =+2π2cos(2)8sin 3x x =-+ 132(cos 2sin 2)4(1cos 2)22x x x =++- 3sin 23cos 24x x =-+π23sin(2)43x =-+ ． …………………………………………9分 ()7g x ≤即为π3sin(2)32x -≤， 所以4πππ2π22π333k x k -+≤-≤+，（k ∈Z ）…………………………………10分 ππππ23k x k -+≤≤+，（k ∈Z ） …………………………………………11分 所以()7g x ≤的解集为ππ{|ππ}23x k x k -+≤≤+（k ∈Z ）．…………………12分 19．（12分）解：（1）由题设sin sin 2A C a b A +=，及正弦定理得，sin sin sin sin 2A C AB A +=， 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2A CB +=， ……………………………………………2分 由πA BC ++=，可得πsin sin cos 222A CB B +-==， 故cos 2sin cos 222B B B =． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，所以π3B =，…………………………………………4分 因为2b ac =，又由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以22a c ac ac +-=，即2()0a c -=，所以a c =，故π3A C ==， 所以△ABC 是等边三角形； ………………………………………6分（2）解法一： △ABC 的周长6l a b c a c =++=++．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，22222()6()3()34a c a c ac a c ac a c +=+-=+-≥+-， ……………………………8分故2()24a c +≤，26a c +≤， ……………………………………………9分 所以636l a b c a c =++=++≤， ………………………………………………10分 当且仅当6a c ==时，等号成立．又在△ABC 中a c b +>，所以226l a b c b =++>=．……………………………………………11分所以△ABC 周长l 的取值范围为(26,36]．…………………………………………………………12分解法二：因为π3B =，6b =，由正弦定理， 得222sin sin sin a c b R AC B====， ……………………………………7分 所以△ABC 的周长6622(sin sin )l a b c a c A C =++=++=++2π622(sin sin())3A A =++- 31622(sin cos sin )22A A A =+++ 33622(sin cos )22A A =++π626sin()6A =++，……………………10分 因为2π03A <<，所以ππ5π666A <+<，1πsin()126A <+≤， π26626sin()366A <++≤． ………………………………………11分 所以△ABC 周长l 的取值范围为(26,36]．………………………………………12分20．（12分）解：（1）21311()83()2()84222x x x x f x λλ-=-+=-+， 设1()2x t =，得2()328g t t t λ=-+，124t ≤≤，……………………………………2分 当32λ=时，22129()3383()24g t t t t =-+=-+，124t ≤≤， …………………4分 所以min 129()()24g t g ==，max ()(2)14g t g ==， 所以函数()f x 的值域为29[,14]4； …………………………………………6分 （2）方程()0f x =有解等价于函数2()328g t t t λ=-+在124t ≤≤上有零点， 也即342t t λ=+在124t ≤≤上有解， …………………………………………9分 而函数342y t t =+在124t ≤≤上的值域为131[26,]8； 所以实数λ的取值范围为131[26,]8． ……………………………………………12分21．（12分）解：（1）在△ABC 中，由12cos 13C =，3cos 5A =，可得 5sin 13C =，4sin 5A =， 所以63sin sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=，……………………………2分 由正弦定理sin sin AB AC C B =得，12605sin 50063sin 1365AC AB C B ==⨯=；………………3分 （2）设乙出发t min ，甲、乙的距离为d ， 由余弦定理得，2223(5050)(100)2(5050)(100)5d t t t t =++-+⋅⋅，………………5分 即22500(1325)d t t =-+，因为5000100t ≤≤，即05t ≤≤，…………………………6分 故当113t =时，d 最小， 所以当乙出发了113min 后，乙在缆车上与甲的距离最短时；…………………………7分 （3）由正弦定理sin sin AB BC C A =得5004sin 10405sin 513AB BC A C ==⨯=，……………8分 乙从B 出发时，甲已经走了50(151)350++=m ，还需走910m 才能到达C ，设乙步行的速度为v m/min ，则1040910||350v -≤，…………………………………10分 故10409103350v -≤-≤，解得520260555319v ⨯≤≤⨯，即49.168.4v ≤≤，………11分 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在[49.1,68.4]范围内． ………………………………………12分22．（12分）解：（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，60COE θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在△BOD 和△COE 中，分别应用正弦定理可得，sin sin(120)BD BO θθ=︒-， ……………………………………1分 sin(60)sin(60)CE CO θθ=︒-︒+， ……………………………………2分 故sin sin(120)BD θθ=︒-，sin(60)sin(60)CE θθ︒-=︒+， 所以sin 2sin(120)AD θθ=-︒-，sin(60)2sin(60)AE θθ︒-=-︒+，(0,60)θ∈︒．……………3分 从而sin sin(60)4sin(120)sin(60)AD AE θθθθ︒-+=--︒-︒+ sin sin(60)4sin(60)sin(60)θθθθ︒-=--︒+︒+31sin cos sin sin sin(60)22443sin(60)31cos sin 22θθθθθθθθ+-+︒-=-=-=︒++， 从而3AD AE +=为定值； ……………………………………5分（2）当60DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，120COE θ∠=︒-，CEO θ∠=， 在△BOD 和△COE 中，分别应用正弦定理可得，sin sin(120)BD BO θθ=︒-，sin(120)sin CE CO θθ=︒-， 故sin sin(120)BD θθ=︒-，sin(120)sin CE θθ︒-=， 所以sin 2sin(120)AD θθ=-︒-，sin(120)2sin AE θθ︒-=-，(30,90)θ∈︒︒ sin sin(120)4sin(120)sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，(30,90)θ∈︒︒． 令sin sin(120)sin(120)sin y θθθθ︒-=+︒-，(30,90)θ∈︒︒，……………………………7分 下面先求y 的取值范围：解法一：sin sin(120)sin(120)sin y θθθθ︒-=+︒- 2223131cos sin sin (cos sin )sin 2222sin 3131cos sin sin cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ+++=+=++ 22225333sin cos sin cos 442413131sin cos sin sin cos sin 2222θθθθθθθθθθ++==+++ 33441111311sin(230)sin 2cos 224444θθθ=+=+-︒+-+ 312sin(230)1θ=+-︒+， ……………………………………10分 由于(30,90)θ∈︒︒，230(30,150)θ-︒∈︒︒，2sin(230)1(2,3]θ-︒+∈， 所以351[2,)2sin(230)12θ+∈-︒+， 因此34(,2]2AD AE y +=-∈． ……………………………………12分 解法二：sin sin(120)sin(120)sin y θθθθ︒-=+︒-，设sin(120)sin u θθ︒-=，则1y u u=+，……6分31cos sin sin(120)31122sin sin 2tan 2u θθθθθθ+︒-===⋅+，………………………………7分 由(30,90)θ∈︒︒，3tan (,)3θ∈+∞，1(0,3)tan θ∈， 3111(,2)2tan 22u θ=⋅+∈， …………………………………………10分 又1y u u =+在1(,1)2上单调递减，在(1,2)上单调递增， 而当12u =或2时，52y =，当1u =时，2y =，所以5[2,)2y ∈，……………………11分 因此34(,2]2AD AE y +=-∈． ……………………………………………12分。

2024届广东省深圳市高级中学高一数学第一学期期末联考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知sin cos 1sin 2cos 2θθθθ+=-，则tan θ的值为（ ）A.-4B.14-C.14D.42．在空间直角坐标系O xyz -中，已知球A 的球心为()1,0,0，且点(B -在球A 的球面上，则球A 的半径为（） A.4 B.5 C.16D.253．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为,,a b c （单位：cm ），这个规定用数学关系式表示为（） A.130a b c ++< B.130a b c ++> C.130a b c ++≤D.130a b c ++≥4．在ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，则C 等于A.6πB.4π C.3π D.23π5． “2,3k k πθπ=+∈Z ”是 “sin 2θ=”的（ ） A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件6．已知0,0x y >> ，且11112x y +=+，则x y +的最小值为 A.3 B.5 C.7D.97．直线l ：mx y 10-+=与圆C ：22x (y 1)5+-=的位置关系是( )A.相切B.相离C.相交D.不确定8．已知定义在R 上的偶函数()f x ，在(,0]-∞上为减函数，且(3)0f =，则不等式(3)()0x f x +<的解集是（） A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞ B.(,3)(0,3)-∞-C.(3,0)(0,3)-⋃D.(,3)(3,3)-∞--9．已知函数()cos()0,02f x A x b πωϕωϕ⎛⎫=++>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A.()4cos 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B.()4cos 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C.()4cos 233f x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭D.()4cos 236f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭10．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点P （-2，4），则下列不等关系正确的是（ ） A.()()12f f -< B.()()33f f -< C.()()45f f >-D.()()66f f >-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角83πθ=的终边经过点(,P x ，则x 的值为（ ） A. ±2 B. 2C. ﹣2D. ﹣4【答案】C 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得x 的值．【详解】∵已知角83πθ=的终边经过点(,P x ，∴82tan tan tan 333πππ==-==，则2x =-，故选C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 2.在ABC ∆中，60A =︒，AC ==BC C =（ ）A. 30°B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理得sin sin AC BC B A=，先求出B ，进而可得到C【详解】因为sin sin AC BC B A =，即sin B = 所以1sin 2B =因为()0,180B ∈︒所以30B =︒或150B =︒（舍） 因为180A B C ++=︒ 所以90C =︒故选：D【点睛】本题考查的是正弦定理的应用，较简单. 3.下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ） A. ()f x x = B. ()f x x x =-C. ()1f x x =+D. ()f x x =-【答案】C 【解析】试题分析：A中()()2222f x x x f x ===，B中()()2222f x x x f x =-=，C中()()2212f x x f x =+≠，D 中()()222f x x f x =-=考点：函数求值4.函数2sin(2)3y x π=- ([0,])x π∈为增函数的区间是（ ）A. 5[0,]12π B. [0,]2πC. 511[,]1212ππ D. 11[,]12ππ 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可． 【详解】Q 2sin 22sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴求2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间，等价于求2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递减区间，由3222,232k x k k z πππππ+≤-≤+∈得511222,66k x k k z ππππ+≤≤+∈得511,1212k x k k z ππππ+≤≤+∈当k ＝0时，5111212x ππ≤≤，即函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的递减区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决本题的关键．根据y =sin t 和t x ωϕ=+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间.5.函数sin cos y x x =+，x ∈R 的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可选出答案【详解】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图像如下：所以只看0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象即可排除A 、B 、C ，选D故选：D【点睛】由函数的解析式选图象，一般采用排除法，看函数的单调性、奇偶性、函数值或某一部分图象即可.6.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”，设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则S =.若2sin 4sin c A C =，3B π=，则用“三斜求积术”求得的ABC ∆的面积为（ ）A.B. 2C. D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由2sin 4sin c A C =可得4ac =，然后由余弦定理可得2224b a c =+-，代入即可求出ABC ∆的面积 【详解】因为2sin 4sin c A C = 所以24c a c =，即4ac =由余弦定理可得222222cos 4b a c ac B a c =+-=+- 所以2224a c b +-=所以S ===故选：A【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，较简单.7.ABC ∆的内角A ，C 的对边分别为a ，c ，若45C ∠=︒，c =且满足条件的三角形有两个，则a 的取值范围为（ ）A. ,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.)2C. ()1,2D. (【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理用a 表示出sin A ，由C 的度数及正弦函数的图象可知满足题意的A 的范围，然后得出sin A 的范围，进而可求出a 的范围【详解】由正弦定理得：sin sin c a C A =即sin 45sin aA=︒ 所以1sin 2A a =由题意得，当45135A ︒<<︒时，满足条件的三角形有两个所以1122a <<2a << 故选:B【点睛】本题考查了正弦定理及特殊角的三角函数，要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件，属于基本知识的考查. 8.已知函数()f x 是奇函数，()g x 为偶函数，若()()xf xg x e +=，则()1f 等于（ ）A. 1e e+B. 1e e-C.122e e- D.122e e+ 【答案】C 【解析】 【分析】将()()xf xg x e +=中的x 换成x -可得()()xf xg x e--+-=，然后利用奇偶性可得()()xf xg x e--+=，从而可解出()f x【详解】因为()()xf xg x e +=①所以()()xf xg x e--+-=因为()f x 是奇函数，()g x 为偶函数所以()()f x f x -=-，()()g x g x -= 所以()()xf xg x e--+=②由①②可得()=2x xe ef x --所以1122(1)=2e e f e e-=--故选：C【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，较简单 9.已知曲线1215:sin ,:cos()26C y x C y x π==-，则下列说法正确的是（ ） A. 把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移3π，得到曲线2C B. 把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移23π，得到曲线2CC. 把1C 向右平移3π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2CD. 把1C 向右平移6π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2C 【答案】B 【解析】对于A ，1115sin sinsin cos 22626y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ,1115sin sinsin =cos 22326y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 对于C ，215sin sin sin 2cos 3326y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 对于D ，15sin sin sin 2cos 6626y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1511cos()cos sin ,2622323y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B.【方法点晴】本题主要考查诱导公式、函数三角函数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是先对函数图象经过“放缩变换”再“平移,变换”后，根据诱导公式化简得到的.10.已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ） A.12B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ，然后由单调性建立不等式求出ω的范围. 【详解】因为()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数 所以(0)cos 0f ϕ==，所以2ϕπ= 所以()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为()f x 在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以sin y x ω=在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以242232k k ππωπππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得82()362k k Z k ωω≤-+⎧⎪∈⎨≤+⎪⎩因为0>ω，所以0k =时得302ω<≤ 所以ω的最大值为32故选：C【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和单调性的应用，对于函数sin(y A x ωϕ=+）有关问题的处理方法是把x ωϕ+当成整体. 11.若sin 25α=，sin()10βα-=，且[,]4παπ∈，3[,]2πβπ∈，则αβ+的值是（）A.94π B.74π C.54π或74πD.54π或94π 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，可求得[4πα∈，]2π，2[2πα∈，]π，进一步可知[2πβα-∈，]π，于是可求得cos()βα-与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【详解】[4πα∈Q ，]π，[βπ∈，3]2π， 2[2πα∴∈，2]π，又10sin 22α<=<， 52(6πα∴∈，)π，即5(12πα∈，)2π，(2πβα∴-∈，13)12π，cos2α∴=；又sin()βα-=， (2πβα∴-∈，)π，cos()βα∴-==cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()(αβαβααβααβα∴+=+-=---=2=又5(12πα∈，)2π，[βπ∈，3]2π， 17()(12παβ∴+∈，2)π，74παβ∴+=. 故选B【点睛】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转 化思想与综合运算能力，属于难题． 12.设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ）A. 322ab a b ab >+> B. 322ab a b ab <+<C. 32ab a b ab <+< D. 32ab a b ab >+>【答案】B 【解析】 【分析】0.121log 2=log 0.1a =，3021log 2log 30b ==，然后运用对数的运算性质分别判断出2a b ab +-和32a b ab +-的符号即可.【详解】由对数的性质得：0.121log 2=log 0.1a =，3021log 2log 30b == 所以22221log 122log 0.1log 0.1log 3030a b ab -+-=+⨯2222222log 0.1log 3log 0.1log 30log l 0.1log 32og 302+==⨯-⨯-因为222log 32,log 0.10,log 300<<> 所以20a b ab +->，即2a b ab +>22221log 3132log 0.12log 0.1log 3300a b ab -+-=+⨯22222222log 0.122log 32log 0.1log 302log l 0.1log 33og 303-+==⨯⨯-因为2223log 9log 802log 3-=->所以302a b ab +-<，即32a b ab +< 综上：322ab a b ab <+<故选：B【点睛】作差法是比较大小常用方法，作为本题来说，要熟练掌握对数的运算性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，将三个相同的正方形并列，则AOB AOC ∠+∠=______.【答案】4π 【解析】 【分析】由图可得出tan AOB ∠和tan AOC ∠，然后算出()tan AOB AOC ∠+∠即可 【详解】由图可知1tan =3AOB ∠，1tan =2AOC ∠ 所以()11tan +tan 32tan =111tan tan 16AOB AOC AOB AOC AOB AOC +∠∠∠+∠==-∠∠- 因为()0AOB AOC π∠+∠∈， 所以=4AOB AOC π∠+∠故答案为：4π 【点睛】本题考查的是两角和的正切公式，较简单. 14.若三角形的一内角θ满足sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos sin cos θθθθ+=-______. 【答案】17【解析】 【分析】由sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得1sin cos 5θθ+=，然后利用()2sin cos 12sin cos θθθθ±=±即可求出sin cos θθ-【详解】因为sin sin 42210πθθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭所以1sin cos 5θθ+= 所以112sin cos 25θθ+=，即12sin cos 25θθ=- 所以()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-= 因为sin cos 0θθ<，所以,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 所以7sin cos 5θθ-= 所以1sin cos 157sin cos 75θθθθ+==- 故答案：17【点睛】本题考查的是同角的基本关系，较简单，但要注意符号的判断.15.已知sin10cos102cos140m +=o o o ，则m =__________．【答案】【解析】【分析】先将已知等式中m 分离出来，然后利用诱导公式以及两角和的余弦公式进行化简，由此求得m 的值.【详解】由题可得2cos140sin102cos40sin10cos10cos10m ---===o o o oo o()2cos 3010sin10cos10-+-==o o oo 【点睛】本小题主要考查方程思想，考查诱导公式，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，给出下列命题：①若222a b c +<，则2C π>； ②若2ab c >，则3C π>；③若333a b c +=，则2C π<；④若()2ab a b c >+，则2C π>； ⑤若()222222a b c a b +<，则3C π<.其中正确的是______.（写出所有正确命题的编号）【答案】①③⑤【解析】【分析】①直接可以用余弦定理得出cos 0C <，②用余弦定理和222a b ab +≥可求出cos C 的范围，③中将333a b c +=变形为331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得33221a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即222a b c +>，可得出2C π<，④和⑤运用基本不等式可向②进行转化.【详解】①因为222a b c +< 所以余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=< 所以2C π>，故正确②因为2ab c > 所以2222221cos 2222a b c ab c ab ab C ab ab ab +---=≥>= 所以03C π<<，故错误③因为333a b c += 所以331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以01,01a b c c<<<< 所以33221a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即222a b c +>，故2C π<，故正确④因为()2ab a b c >+，所以2ab c a b <+ 所以222222242ab a b c a b a b ab ⎛⎫<= ⎪+++⎝⎭因为222a b ab +≥， 所以22222224424a b a b c ab a b ab ab <≤=++ 由②知03C π<<，故错误 ⑤因为()222222a b c a b +< 所以222222a b a c b <+，因为222a b ab +≥ 所以2222222222a b a b a b c ab ab <=+≤ 由②知03C π<<，故正确故答案为：①③⑤【点睛】本题考查的是用余弦定理和基本不等式来判断三角形中角的范围，较难.三、解答题：共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知正实数x ，y 满足等式2520x y +=.（1）求lg lg u x y =+的最大值；（2）若不等式21014m m x y+≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）91,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】(1) 求lg lg u x y =+的最大值即求xy 的最大值， 2520x y +=≥(2)先求出101x y +的最小值为94，然后解不等式2944m m +≤即可【详解】(1)因为0x >，0y >，由基本不等式，得25x y +≥.又因为2520x y +=，所以20≤，10xy ≤，当且仅当252025x y x y +=⎧⎨=⎩，即52x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 此时xy 的最大值为10.所以lg lg lg 1g101u x y xy =+=≤=.所以当5x =，2y =时，lg lg u x y =+的最大值为1；(2)因为0x >，0y >， 所以101101251502252020x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1925204⎛≥+= ⎝， 当且仅当2520502x y y x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即20343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 所以101x y +的最小值为94. 不等式21014m m x y+≥+恒成立， 只要2944m m +≤，解得9122m -≤≤. 所以m 的取值范围是91,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】1.运用基本不等式需满足三个条件：一正二定三相等2.恒成立问题一般转化为最值问题处理.18.已知函数()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式和对称中心；（2）设()()28sin g x f x x =+，求()7g x ≤的解集. 【答案】（1）()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()5,012x k k Z ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；（2）()|23x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】 （1）由图象观察出()f x 的最大值、周期和过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，即可分别求出、、A ωϕ，然后再把对称中心解出来（2）先将()g x 化成基本型，然后解出来即可 【详解】(1)由图可得2A =，22362T πππ=-=， 所以T π=，所以2ω=. 当6x π=时，()2f x =，可得2cos 226πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 因为2πϕ<，所以3πϕ=-.所以函数()f x 的解析式为()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令()232x k k Z πππ-=+∈，则()512x k k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 的对称中心为()5,012x k k Z ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；(2)()()228sin 2cos 28sin 3x g x f x x x π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭=()12cos 2241cos 222x x x ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭23cos 24x x =-+243x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ()7g x ≤即为sin 232x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 所以()4222333k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈ 所以()23k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以()7g x ≤的解集为()|23x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查的是三角函数的综合知识，要求我们要掌握三角函数的公式、图象及其性质. 19.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sinsin 2A C a b A +=. （1）若2b ac =，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若b ，求ABC ∆周长l 取值范围. 【答案】（1）等边三角形，见解析；（2）(【解析】【分析】（1）由sinsin 2A C a b A +=可推出3B π=，然后2b ac =结合余弦定理可得a c =，从而可推出ABC ∆是等边三角形 （2）法一：知道角B 和边b ，由余弦定理得226a c ac =+-，然后利用基本不等式可求出a c +的范围；法二：用正弦定理可得sin sin sin a c b A C B===)sin sin l a b c a c A C =++=+=+，然后利用三角函数的知识求出范围即可【详解】（1）由题设sin sin 2A C a b A +=，及正弦定理得 sin sinsin sin 2A C AB A +=， 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2A CB +=，由A BC π++=， 可得sin sin cos 222A C B B π+-==， 故cos 2sin cos 222B B B =. 的因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，所以3B π=， 因为2b ac =，又由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以22a c ac ac +-=，即()20a c -=，所以a c =，故3A C π==，所以ABC ∆是等边三角形；（2）解法一：ABC ∆的周长l a b c a c =++=+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， ()()()222226334a c a c ac a c ac a c +=+-=+-≥+-，故()224a c +≤，a c +≤所以l a b c a c =++=+≤，当且仅当a c ==.又在ABC ∆中a c b +>，所以2l a b c b =++>=，所以ABC ∆周长l 的取值范围为(.解法二：因为3B π=，b ，由正弦定理，得2sin sin sin a c b R A C B ====，所以ABC ∆的周长)sin sin l a b c a c A C =++=+=+2sin sin 3A A π⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭1sin sin 2A A A ⎫=++⎪⎪⎭3sin 26A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，因为203A π<<，所以5666A πππ<+<，1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，6A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.所以ABC ∆周长l 的取值范围为(.【点睛】本题较为典型，考查了两种求周长（面积）范围的方法.20.已知函数()()1381242x x x f x λ-=-+-≤≤. （1）当32λ=时，求函数()f x 的值域； （2）若方程()0f x =有解，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）29,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)令 12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得()23()28t f x g t t λ=-+=，当32λ=时利用二次函数的知识即可求出值域 (2) 将23280t t λ-+=变形为342t t λ=+，求λ的取值范围即求342y t t=+的值域. 【详解】（1）()2131183284222x x x x f x λλ-⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()2328t g t t λ=-+，124t ≤≤， 当32λ=时，()22129338324g t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，124t ≤≤， 所以()min 12924g g t ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()max 214g t g ==， 所以函数()f x 的值域为29,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）方程()0f x =有解等价于函数 ()2328t g t t λ=-+在124t ≤≤上有零点， 也即342t t λ=+在124t ≤≤上有解， 函数83433()22y t t t t=+=+在1,43t ⎡∈⎢⎣⎦上单调递减在,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增所以当3t =时取得最小值当14t =时1318y =，当2t =时5y = 所以最大值为1318y =所以值域为1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以实数λ的取值范围为1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】含参的方程根的个数问题，常用分离变量法，方程()a f x =有根等价于a 要在()f x 的值域当中. 21.如图，游客从某旅游景区的景点A 处上山至景点C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处出发，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m .在甲出发1min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为100/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量得12cos 13C =，3cos 5A =. （参考数据：26013.6819≈，5209.8153≈，第（3）问结果精确到0.1）（1）求索道AB 的长；（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min ？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，问乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）500；（2）1min 13；（3）[]49.1,68.4 【解析】【分析】（1）先求出sin B ，然后由正弦定理即可求出AB（2）设乙出发min t ，甲、乙的距离为d ，由余弦定理得()225001325d t t =-+，即可求出最小值时t 的值（3）乙从B 出发时，甲还需走910m 才能到达C ，设出乙的步行速度，即可建立不等式.【详解】（1）在ABC ∆中，由12cos 13C =，3cos 5A =， 可得5sin 13C =，4sin 5A =， 所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理sin sin AB AC C B=得 12605sin 50063sin 1365AC AB C B ==⨯=； （2）设乙出发min t ，甲、乙的距离为d ，由余弦定理得，()()()()22235050100250501005d t t t t =++-+⋅⋅， 即()225001325d t t =-+，因为5000100t ≤≤， 即05t ≤≤，故当113t =时，d 最小， 所以当乙出发了1min 13时，乙在缆车上与甲的距离最短； （3）由正弦定理sin sin AB BC C A =得5004sin 10405sin 513AB BC A C ==⨯=， 乙从B 出发时，甲已经走了()50151350m ++=，还需走910m 才能到达C ， 设乙步行的速度为/min v m ，则1040910350v -≤， 故10409103350v -≤-≤，解得520260555319v ⨯≤≤⨯， 即49.168.4v ≤≤，为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在[]49.1,68.4范围内.【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，将实际问题转化为数学问题是关键. 22.如图，边长为2的等边三角形ABC 中，O 是BC 的中点，D ，E 分别是边AB ，AC 上的动点（不含端点），记BOD θ∠=.① ②（1）在图①中，120DOE ∠=︒，试将AD ，AE 分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD AE +为定值； （2）在图②中，60DOE ∠=︒，问此时AD AE +是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD AE +的取值范围.【答案】（1）()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒，理由见解析；（2）AD AE +不是定值，范围是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=得120BDO θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可用θ表示出BD 和CE ，然后就可得出AD +AE（2）先得出()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，然后转化为双勾函数求范围 【详解】（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，60COE θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE CO θθ=︒-︒+ 故()sin sin 120BD θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE θθ︒-=︒+， 所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-， ()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒.从而()()()sin 60sin 4sin 120sin 60AD AE θθθθ︒-+=--︒-︒+ ()()()sin 60sin 4sin 60sin 60θθθθ︒-=--︒+︒+ ()()sin sin 604sin 60θθθ+︒-=-︒+1sin sin 43θθθ+-=-=， 从而3AD AE +=为定值；（2）当60DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，120COE θ∠=︒-，CEO θ∠=，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()sin 120sin CE CO θθ=︒-， 故()sin sin 120BD θθ=︒-，()sin 120sin CE θθ︒-=， 所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-， ()sin 1202sin AE θθ︒-=-，()30,90θ∈︒︒， ()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，()30,90θ∈︒︒. 令()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-，()30,90θ∈︒︒， ()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-， 设()sin 120sin u θθ︒-=，则1y u u =+， ()1sin sin 12022sin sin u θθθθθ+︒-==112tan 2θ=+，由()30,90θ∈︒︒，tan 3θ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，(1tan θ∈，111,22tan 22u θ⎛⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭， 又1y u u =+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增， 而当12u =或2时，52y =，当1u =时，2y =，所以52,2y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 因此34,22AD AE y ⎛⎤+=-∈⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数的变换和函数的值域问题，难度较大.。

深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角83πθ=的终边经过点(,3)P x ，则x 的值为（）A.±2B.2C.﹣2D.﹣4【答案】C 【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得x 的值．【详解】∵已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，∴82tantan tan 3333πππ==-==3x，则2x =-，故选C．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.在ABC ∆中，60A =︒，2AC =，6=BC ，则C =（）A.30°B.45︒C.60︒D.90︒【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理得sin sin AC BCB A=，先求出B ，进而可得到C 【详解】因为sin sin AC BC B A =，即26sin s 60in B =︒所以1sin 2B =因为()0,180B ∈︒所以30B =︒或150B =︒（舍）因为180A B C ++=︒所以90C =︒故选：D【点睛】本题考查的是正弦定理的应用，较简单.3.下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（）A.()f x x= B.()f x x x=- C.()1f x x =+ D.()f x x=-【答案】C 【解析】试题分析：A 中()()2222f x x x f x ===，B 中()()2222f x x x f x =-=，C 中()()2212f x x f x =+≠，D 中()()222f x x f x =-=考点：函数求值4.函数2sin(2)3y x π=-([0,])x π∈为增函数的区间是（）A.5[0,]12π B.[0,2π C.511[,]1212ππ D.11[,]12ππ【答案】C 【解析】【分析】根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可．【详解】 2sin 22sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴求2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间，等价于求2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递减区间，由3222,232k x k k z πππππ+≤-≤+∈得511222,66k x k k zππππ+≤≤+∈得511,1212k x k k zππππ+≤≤+∈当k ＝0时，5111212x ππ≤≤，即函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的递减区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决本题的关键．根据y =sin t 和t x ωϕ=+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间.5.函数sin cos y x x =+，x ∈R 的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可选出答案【详解】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图像如下：所以只看0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象即可排除A、B、C，选D 故选：D【点睛】由函数的解析式选图象，一般采用排除法，看函数的单调性、奇偶性、函数值或某一部分图象即可.6.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”，设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.若2sin 4sin c A C =，3B π=，则用“三斜求积术”求得的ABC ∆的面积为（）A.3B.2C.23D.4【答案】A 【解析】【分析】由2sin 4sin c A C =可得4ac =，然后由余弦定理可得2224b a c =+-，代入即可求出ABC ∆的面积【详解】因为2sin 4sin c A C =所以24c a c =，即4ac =由余弦定理可得222222cos 4b a c ac B a c =+-=+-所以2224a cb +-=所以S =故选：A【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，较简单.7.ABC ∆的内角A ，C 的对边分别为a ，c ，若45C ∠=︒，c =，且满足条件的三角形有两个，则a 的取值范围为（）A.,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.)C.()1,2 D.(【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理用a 表示出sin A ，由C 的度数及正弦函数的图象可知满足题意的A 的范围，然后得出sin A 的范围，进而可求出a 的范围【详解】由正弦定理得：sin sin c a C A =即sin 45sin aA=︒所以1sin 2A a =由题意得，当45135A ︒<<︒时，满足条件的三角形有两个所以1122a <<，解得2a <<故选:B【点睛】本题考查了正弦定理及特殊角的三角函数，要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件，属于基本知识的考查.8.已知函数()f x 是奇函数，()g x 为偶函数，若()()xf xg x e +=，则()1f 等于（）A.1e e+B.1e e-C.122e e- D.122e e+【答案】C 【解析】【分析】将()()x f x g x e +=中的x 换成x -可得()()xf xg x e --+-=，然后利用奇偶性可得()()x f x g x e --+=，从而可解出()f x 【详解】因为()()xf xg x e +=①所以()()xf xg x e--+-=因为()f x 是奇函数，()g x 为偶函数所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=所以()()xf xg x e--+=②由①②可得()=2x xe ef x --所以1122(1)=2e e f e e-=--故选：C【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，较简单9.已知曲线1215:sin ,:cos()26C y x C y x π==-，则下列说法正确的是（）A.把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移3π，得到曲线2C B.把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移23π，得到曲线2C C.把1C 向右平移3π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2C D.把1C 向右平移6π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2C 【答案】B 【解析】对于A ，1115sin sinsin cos 22626y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ,1115sin sinsin =cos 22326y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对于C ，215sin sin sin 2cos 3326y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,对于D ，15sin sin sin 2cos 6626y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1511cos(cos sin ,2622323y x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=-⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B.【方法点晴】本题主要考查诱导公式、函数三角函数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是先对函数图象经过“放缩变换”再“平移变换”后，根据诱导公式化简得到的.10.已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（）A.12 B.23C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ，然后由单调性建立不等式求出ω的范围.【详解】因为()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数所以(0)cos 0f ϕ==，所以2ϕπ=所以()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为()f x 在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减所以sin y x ω=在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增所以242232k k ππωπππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得82()362k k Z k ωω≤-+⎧⎪∈⎨≤+⎪⎩因为0>ω，所以0k =时得302ω<≤所以ω的最大值为32故选：C【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和单调性的应用，对于函数sin(y A x ωϕ=+）有关问题的处理方法是把x ωϕ+当成整体.11.若5sin 25α=，10sin()10βα-=，且[,]4παπ∈，3[,]2πβπ∈，则αβ+的值是（）A.94π B.74πC.54π或74πD.54π或94π【答案】B 【解析】【分析】依题意，可求得[4πα∈，2π，2[2πα∈，]π，进一步可知[2πβα-∈，]π，于是可求得cos()βα-与cos 2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【详解】[4πα∈ ，]π，[βπ∈，3]2π，2[2πα∴∈，2]π，又10sin 252α<=<，52(6πα∴∈，)π，即5(12πα∈，2π，(2πβα∴-∈，13)12π，cos 2α∴=-；又sin()10βα-=，(2πβα∴-∈，)π，cos()10βα∴-=-，cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()(αβαβααβααβα∴+=+-=---=---22=又5(12πα∈，2π，[βπ∈，3]2π，17()(12παβ∴+∈，2)π，74παβ∴+=.故选B【点睛】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．12.设0.1log 2a =，30log 2b =，则（）A.322ab a b ab >+> B.322ab a b ab <+<C.32ab a b ab <+< D.32ab a b ab>+>【答案】B 【解析】【分析】0.121log 2=log 0.1a =，3021log 2log 30b ==，然后运用对数的运算性质分别判断出2a b ab +-和32a b ab +-的符号即可.【详解】由对数的性质得：0.121log 2=log 0.1a =，3021log 2log 30b ==所以22221log 122log 0.1log 0.1log 3030a b ab -+-=+⨯2222222log 0.1log 3log 0.1log 30log l 0.1log 32og 302+==⨯-⨯-因为222log 32,log 0.10,log 300<<>所以20a b ab +->，即2a b ab+>22221log 3132log 0.12log 0.1log 3300a b ab -+-=+⨯22222222log 0.122log 32log 0.1log 302log l 0.1log 33og 303-+==⨯⨯-因为2223log 9log 802log 3-=->所以302a b ab +-<，即32a b ab +<综上：322ab a b ab<+<故选：B【点睛】作差法是比较大小的常用方法，作为本题来说，要熟练掌握对数的运算性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，将三个相同的正方形并列，则AOB AOC ∠+∠=______.【答案】4π【解析】【分析】由图可得出tan AOB ∠和tan AOC ∠，然后算出()tan AOB AOC ∠+∠即可【详解】由图可知1tan =3AOB ∠，1tan =2AOC ∠所以()11tan +tan 32tan =111tan tan 16AOB AOC AOB AOC AOB AOC +∠∠∠+∠==-∠∠-因为()0AOB AOC π∠+∠∈，所以=4AOB AOC π∠+∠故答案为：4π【点睛】本题考查的是两角和的正切公式，较简单.14.若三角形的一内角θ满足sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos sin cos θθθθ+=-______.【答案】17【解析】【分析】由2sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得1sin cos 5θθ+=，然后利用()2sin cos 12sin cos θθθθ±=±即可求出sin cos θθ-【详解】因为sin 42210πθθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭所以1sin cos 5θθ+=所以112sin cos 25θθ+=，即12sin cos 25θθ=-所以()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=因为sin cos 0θθ<，所以,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭所以7sin cos 5θθ-=所以1sin cos 157sin cos 75θθθθ+==-故答案为：17【点睛】本题考查的是同角的基本关系，较简单，但要注意符号的判断.15.已知sin10cos102cos140m += ，则m =__________．【答案】【解析】【分析】先将已知等式中m 分离出来，然后利用诱导公式以及两角和的余弦公式进行化简，由此求得m的值.【详解】由题可得2cos140sin102cos40sin10cos10cos10m ---===()2cos 3010sin10cos10cos10-+-==.【点睛】本小题主要考查方程的思想，考查诱导公式，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，给出下列命题：①若222a b c +<，则2C π>；②若2ab c >，则3C π>；③若333a b c +=，则2C π<；④若()2ab a b c >+，则2C π>；⑤若()222222a bca b +<，则3C π<.其中正确的是______.（写出所有正确命题的编号）【答案】①③⑤【解析】【分析】①直接可以用余弦定理得出cos 0C <，②用余弦定理和222a b ab +≥可求出cos C 的范围，③中将333a b c +=变形为331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得33221a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即222a b c +>，可得出2C π<，④和⑤运用基本不等式可向②进行转化.【详解】①因为222a b c +<所以余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<所以2C π>，故正确②因为2ab c >所以2222221cos 2222a b c ab c ab ab C ab ab ab +---=≥>=所以03C π<<，故错误③因为333a b c +=所以331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以01,01a b c c<<<<所以33221a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即222a b c +>，故2C π<，故正确④因为()2ab a b c >+，所以2abc a b<+所以222222242ab a b c a b a b ab ⎛⎫<= ⎪+++⎝⎭因为222a b ab +≥，所以22222224424a b a b c ab a b ab ab<≤=++由②知03C π<<，故错误⑤因为()222222a bca b +<所以222222a b a c b <+，因为222a b ab +≥所以2222222222a b a b a b c abab<=+≤由②知03C π<<，故正确故答案为：①③⑤【点睛】本题考查的是用余弦定理和基本不等式来判断三角形中角的范围，较难.三、解答题：共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知正实数x ，y 满足等式2520x y +=.（1）求lg lg u x y =+的最大值；（2）若不等式21014m m x y+≥+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1；（2）91,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)求lg lg u x y =+的最大值即求xy的最大值，2520x y +=≥即可求出(2)先求出101x y +的最小值为94，然后解不等式2944m m +≤即可【详解】(1)因为0x >，0y >，由基本不等式，得25x y +≥.又因为2520x y +=，所以20≤，10xy≤，当且仅当252025x y x y +=⎧⎨=⎩，即52x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，此时xy 的最大值为10.所以lg lg lg 1g101u x y xy =+=≤=.所以当5x =，2y =时，lg lg u x y =+的最大值为1；(2)因为0x >，0y >，所以101101251502252020x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1925204⎛≥+= ⎝，当且仅当2520502x y y x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即20343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，所以101x y +的最小值为94.不等式21014m m x y+≥+恒成立，只要2944m m +≤，解得9122m -≤≤.所以m 的取值范围是91,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】1.运用基本不等式需满足三个条件：一正二定三相等2.恒成立问题一般转化为最值问题处理.18.已知函数()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式和对称中心；（2）设()()28sin g x f x x =+，求()7g x ≤的解集.【答案】（1）()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()5,012x k k Z ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；（2）()|23x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）由图象观察出()f x 的最大值、周期和过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，即可分别求出、、A ωϕ，然后再把对称中心解出来（2）先将()g x 化成基本型，然后解出来即可【详解】(1)由图可得2A =，22362T πππ=-=，所以T π=，所以2ω=.当6x π=时，()2f x =，可得2cos 226πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，因为2πϕ<，所以3πϕ=-.所以函数()f x 的解析式为()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()232x k k Z πππ-=+∈，则()512x k k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的对称中心为()5,012x k k Z ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；(2)()()228sin 2cos 28sin 3x g x f x x x π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭=()12cos 2sin 241cos 222x x x ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭23cos 24x x =-+243x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.()7g x ≤即为sin 232x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以()4222333k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈所以()23k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以()7g x ≤的解集为()|23x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查的是三角函数的综合知识，要求我们要掌握三角函数的公式、图象及其性质.19.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 2A Ca b A +=.（1）若2b ac =，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若b ，求ABC ∆周长l 的取值范围.【答案】（1）等边三角形，见解析；（2）(【解析】【分析】（1）由sinsin 2A Ca b A +=可推出3B π=，然后2b ac =结合余弦定理可得a c =，从而可推出ABC ∆是等边三角形（2）法一：知道角B 和边b ，由余弦定理得226a c ac =+-，然后利用基本不等式可求出a c +的范围；法二：用正弦定理可得sin sin sin a c bA C B===转化可得)sin sin l a b c a c A C =++=+=+，然后利用三角函数的知识求出范围即可【详解】（1）由题设sinsin 2A Ca b A +=，及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=，因为sin 0A ≠，所以sin sin 2A CB +=，由A BC π++=，可得sin sin cos 222A C B Bπ+-==，故cos2sin cos 222B B B =.因为cos02B ≠，故1sin 22B =，所以3B π=，因为2b ac =，又由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以22a c ac ac +-=，即()20a c -=，所以a c =，故3A C π==，所以ABC ∆是等边三角形；（2）解法一：ABC ∆的周长l a b c a c =++=+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，()()()222226334a c a c ac a c ac a c +=+-=+-≥+-，故()224a c +≤，a c +≤所以l a b c a c =++=+≤，当且仅当a c ==又在ABC ∆中a c b +>，所以2l a b c b =++>=，所以ABC ∆周长l 的取值范围为(.解法二：因为3B π=，b ，由正弦定理，得2sin sin sin a c bR A C B====，所以ABC ∆的周长)sin sin l a b c a c A C =++=+=+2sin sin 3A A π⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎭31sin cos sin 22A A A ⎫=+++⎪⎪⎭3sin cos 226A A A π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为203A π<<，所以5666A πππ<+<，1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，6A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.所以ABC ∆周长l 的取值范围为(.【点睛】本题较为典型，考查了两种求周长（面积）范围的方法.20.已知函数()()1381242x x x f x λ-=-+-≤≤.（1）当32λ=时，求函数()f x 的值域；（2）若方程()0f x =有解，求实数λ的取值范围.【答案】（1）29,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1318⎡⎤⎢⎣⎦【解析】【分析】(1)令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得()23()28t f x g t t λ=-+=，当32λ=时利用二次函数的知识即可求出值域(2)将23280t t λ-+=变形为342t t λ=+，求λ的取值范围即求342y t t=+的值域.【详解】（1）()2131183284222xxx x f x λλ-⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()2328t g t t λ=-+，124t ≤≤，当32λ=时，()22129338324g t t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，124t ≤≤，所以()min 12924g g t ⎛⎫==⎪⎝⎭，()()max 214g t g ==，所以函数()f x 的值域为29,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）方程()0f x =有解等价于函数()2328t g t t λ=-+在124t ≤≤上有零点，也即342t t λ=+在124t ≤≤上有解，函数83433(22y t t t t =+=+在1,43t ⎡∈⎢⎣⎦上单调递减在26,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增所以当263t =时取得最小值当14t =时1318y =，当2t =时5y =所以最大值为1318y =所以值域为1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以实数λ的取值范围为1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】含参的方程根的个数问题，常用分离变量法，方程()a f x =有根等价于a 要在()f x 的值域当中.21.如图，游客从某旅游景区的景点A 处上山至景点C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处出发，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m .在甲出发1min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为100/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量得12cos 13C =，3cos 5A =.（参考数据：26013.6819≈，5209.8153≈，第（3）问结果精确到0.1）（1）求索道AB 的长；（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min ？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，问乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）500；（2）1min 13；（3）[]49.1,68.4【解析】【分析】（1）先求出sin B ，然后由正弦定理即可求出AB（2）设乙出发min t ，甲、乙的距离为d ，由余弦定理得()225001325d t t =-+，即可求出最小值时t 的值（3）乙从B 出发时，甲还需走910m 才能到达C ，设出乙的步行速度，即可建立不等式.【详解】（1）在ABC ∆中，由12cos 13C =，3cos 5A =，可得5sin 13C =，4sin 5A =，所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=，由正弦定理sin sin AB AC C B =得12605sin 50063sin 1365AC AB C B ==⨯=；（2）设乙出发min t ，甲、乙的距离为d ，由余弦定理得，()()()()22235050100250501005d t t t t =++-+⋅⋅，即()225001325d t t =-+，因为5000100t ≤≤，即05t ≤≤，故当113t =时，d 最小，所以当乙出发了1min 13时，乙在缆车上与甲的距离最短；（3）由正弦定理sin sin AB BC C A =得5004sin 10405sin 513AB BC A C ==⨯=，乙从B 出发时，甲已经走了()50151350m ++=，还需走910m 才能到达C ，设乙步行的速度为/min v m ，则1040910350v -≤，故10409103350v -≤-≤，解得520260555319v ⨯≤≤⨯，即49.168.4v ≤≤，为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在[]49.1,68.4范围内.【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，将实际问题转化为数学问题是关键.22.如图，边长为2的等边三角形ABC 中，O 是BC 的中点，D ，E 分别是边AB ，AC 上的动点（不含端点），记BOD θ∠=.①②（1）在图①中，120DOE ∠=︒，试将AD ，AE 分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD AE +为定值；（2）在图②中，60DOE ∠=︒，问此时AD AE +是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD AE +的取值范围.【答案】（1）()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒，理由见解析；（2）AD AE +不是定值，范围是3,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=得120BDO θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可用θ表示出BD 和CE ，然后就可得出AD +AE（2）先得出()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，然后转化为双勾函数求范围【详解】（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，60COE θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE CO θθ=︒-︒+故()sin sin 120BD θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE θθ︒-=︒+，所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒.从而()()()sin 60sin 4sin 120sin 60AD AE θθθθ︒-+=--︒-︒+()()()sin 60sin 4sin 60sin 60θθθθ︒-=--︒+︒+()()sin sin 604sin 60θθθ+︒-=-︒+31sin cos sin 224322θθθ+-=，从而3AD AE +=为定值；（2）当60DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，120COE θ∠=︒-，CEO θ∠=，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BDBO θθ=︒-，()sin 120sin CE COθθ=︒-，故()sin sin 120BD θθ=︒-，()sin120sin CE θθ︒-=，所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()sin 1202sin AE θθ︒-=-，()30,90θ∈︒︒，()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，()30,90θ∈︒︒.令()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-，()30,90θ∈︒︒，()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-，设()sin 120sin u θθ︒-=，则1y u u =+，()1sin sin 12022sin sin u θθθθθ+︒-==112tan 2θ=⋅+，由()30,90θ∈︒︒，tan 3θ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，(1tan θ∈，111,22tan 22u θ⎛⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭，又1y u u =+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，而当12u =或2时，52y =，当1u =时，2y =，所以52,2y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，因此34,22AD AE y ⎛⎤+=-∈ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数的变换和函数的值域问题，难度较大.。

2019学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 集合，，则（）A．________________________ B．C ．___________________________________D ．2. 若，，，则有（）A ．_______________________B ．______________________C ． ______________D ．3. 函数的零点所在的区间为（）A ．___________________________________B ．___________________________________ C ． D ．4. 函数则（）A ．________________________B ．______________C ．______________ D ．5. 已知定义域为R的偶函数在（－∞，0]上是减函数，且，则不等式的解集为（）A．B．______________C．___________D ．二、填空题6. 计算____________________________ ．7. 已知符号函数，则函数的零点个数为______________ ．三、解答题8. 已知函数，其中为常数．（1）若，判断函数的奇偶性；（2）若函数在其定义域上是奇函数，求实数的值．9. 已知函数（）．（1）若，求的单调区间；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．四、选择题10. 已知直线不经过第三象限，则应满足（） A．，B．，C．，D ．，11. 在正四面体中，若为棱的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于（）A ．_________________________________B ．___________________________________ C ．___________________________________ D ．12. 已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A ．，，B ．，，C ．，，___________________________________D ．，，13. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则的面积为（）A．______________________________ B．____________________________ C．_________________________________ D．14. 已知圆锥的全面积是底面积的倍，那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为（）A ． 90度 ____________________B ． 120度______________________________________ C ． 150度 _________ D ． 180度15. 已知圆的标准方程为，直线的方程为，若直线和圆有公共点，则实数的取值范围是（）A．___________B．_________C．_________________D ．16. 设直三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则四棱锥的体积为（）A ．B ．C ．___________________________________ D ．五、填空题17. 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于 ___________18. 半径为，且与圆外切于原点的圆的标准方程____________ ____ ．六、解答题19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，．平面，点为的中点．（1）求证：平面；（ 2 ）求证：．20. 已知圆过点和，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．21. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．（1）求证：；（2）若，求锐二面角的大小．22. 已知圆的标准方程为，圆心为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，，切点分别为，．（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（ 3 ）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

2020-2020学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．（5分）函数的零点为1，则实数a的值为（）A．﹣2 B．C．D．22．（5分）下列方程表示的直线倾斜角为135°的是（）A．y=x﹣1 B．y﹣1=（x+2）C．+=1 D．x+2y=03．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a⊥b，a⊥α，则b∥α②若a∥α，α⊥β，则a⊥β③a⊥β，α⊥β，则a∥α④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确的命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（5分）以下四个命题中，正确命题是（）A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面5．（5分）如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．6．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是（）A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=x2﹣1 C．f（x）=2x D．f（x）=ln（﹣x）7．（5分）已知三棱锥的四个面中，最多共有（）个直角三角形？A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm29．（5分）2001年至2013年北京市电影放映场次的情况如图所示．下列函数模型中，最不合适近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A．y=ax2+bx+c B．y=ae x+b C．y=a ax+b D．y=alnx+b10．（5分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4 B．2 C．D．811．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（）A．有无数条B．有2条C．有1条D．不存在二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AD的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线MN与BD所成角的大小是．14．（5分）已知A（3，2），B（﹣4，1），C（0，﹣1），点Q线段AB上的点，则直线CQ的斜率取值范围是．15．（5分）边长为2的两个等边△ABD，△CBD所在的平面互相垂直，则四面体ABCD的体积是．16．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）已知A（5，﹣1），B（m，m），C（2，3）三点．（1）若AB⊥BC，求m的值；（2）求线段AC的中垂线方程．18．（12分）已知集合A={a|一次函数y=（4a﹣1）x+b在R上是增函数}，集合B=．（1）求集合A，B；（2）设集合，求函数f（x）=x﹣在A∩C上的值域．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的正视图1是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图2、图53分别是四棱锥P﹣ABCD的侧视图和俯视图．（1）求证：AD⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的侧面积．20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，设平面PAD∩平面PBC=l．（Ⅰ）求证：l∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：PB⊥BC．21．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；（II）若AC=1，PA=1，求圆心O到平面PBC的距离．22．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．2020-2020学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．（5分）函数的零点为1，则实数a的值为（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵函数的零点为1，即解得a=﹣，故选B．2．（5分）下列方程表示的直线倾斜角为135°的是（）A．y=x﹣1 B．y﹣1=（x+2）C．+=1 D．x+2y=0【解答】解：根据题意，若直线倾斜角为135°，则其斜率k=tan135°=﹣1，依次分析选项：对于A、其斜率k=1，不合题意，对于B、其斜率k=，不合题意，对于C、将+=1变形可得y=﹣x+5，其斜率k=﹣1，符合题意，对于D、将x+2y=0变形可得y=﹣x，其斜率k=﹣，不合题意，故选：C．3．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a⊥b，a⊥α，则b∥α②若a∥α，α⊥β，则a⊥β③a⊥β，α⊥β，则a∥α④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确的命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①可能b∈α，命题错误②若α⊥β，只有a与α，β的交线垂直，才能够推出a⊥β，命题错误③a可能在平面α内，命题错误④命题正确．故选B．4．（5分）以下四个命题中，正确命题是（）A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面【解答】解：不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E可能不共面，故B为假命题；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能不共面，故C为假命题；依次首尾相接的四条线段可能不共面，故D为假命题；故选：A5．（5分）如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2=2故选D．6．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是（）A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=x2﹣1 C．f（x）=2x D．f（x）=ln（﹣x）【解答】解：根据已知条件知f（x）需在（﹣∞，0）上为增函数；一次函数f（x）=﹣x+1在（﹣∞，0）上为减函数；二次函数f（x）=x2﹣1在（﹣∞，0）上为减函数；指数函数f（x）=2x在（﹣∞，0）上为增函数；根据减函数的定义及对数函数的单调性，f（x）=ln（﹣x）在（﹣∞，0）上为减函数；∴C正确．故选C．7．（5分）已知三棱锥的四个面中，最多共有（）个直角三角形？A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：如果一个三棱锥V﹣ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角．因为BC垂直于VA的射影AB，所以VA垂直于平面ABC的斜线VB，所以∠VBC是直角．由VA⊥底面ABC，所以∠VAB，∠VAC都是直角．因此三棱锥的四个面中∠ABC；∠VAB；∠VAC；∠VBC都是直角．所以三棱锥最多四个面都是直角三角形．故选：A8．（5分）一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，表面积为4π2=12π．故选B．9．（5分）2001年至2013年北京市电影放映场次的情况如图所示．下列函数模型中，最不合适近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A．y=ax2+bx+c B．y=ae x+b C．y=a ax+b D．y=alnx+b【解答】解：根据图象得出单调性的规律，单调递增，速度越来越快，y=ax2+bx+c，单调递增，速度越来越快，y=ae x+b，指数型函数增大很快，y=e ax+b，指数型函数增大很快，y=alnx+b，对数型函数增大速度越来越慢，所以A，B，C都有可能，D不可能．故选：D．10．（5分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4 B．2 C．D．8【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是2×2×3=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的，如图所示，则这个几何体的体积为12×=8．故选D．11．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增【解答】解：由x（e x﹣e﹣x）＞0，得f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），而f（﹣x）=ln=ln=f（x），∴f（x）是偶函数，x＞0时，y=x（e x﹣e﹣x）递增，故f（x）在（0，+∞）递增，故选：D．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（）A．有无数条B．有2条C．有1条D．不存在【解答】解：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与面D1EF平行；故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AD的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线MN与BD所成角的大小是60°．【解答】解：如图，连接BC1，DC1，则：MN∥BC1，且△BDC1为等边三角形；∴MN与BD所成角等于BC1与BD所成角的大小；又∠DBC1=60°；∴异面直线MN与BD所成角的大小是60°．故答案为：60°．14．（5分）已知A（3，2），B（﹣4，1），C（0，﹣1），点Q线段AB上的点，则直线CQ的斜率取值范围是．【解答】解：k CA==1，k CB==．∵点Q线段AB上的点，则直线CQ的斜率取值范围是：．故答案为：．15．（5分）边长为2的两个等边△ABD，△CBD所在的平面互相垂直，则四面体ABCD的体积是1．【解答】解：如图，取DB中点O，连结AO，CO，∵△ABD，△CBD边长为2的两个等边△‘∴AO⊥BD，CO⊥BD，又∵面ABD⊥面BDC；∴AO⊥面BCD，AO=，四面体ABCD的体积v=，故答案为：1．16．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是④．【解答】解：函数①y=2x不存在零点且为非奇非偶函数，故不满足条件；函数②y=2﹣2x存在零点1，但为非奇非偶函数，故不满足条件；函数③f（x）=x+x﹣1不存在零点，为奇函数，故不满足条件；函数④f（x）=x﹣x﹣3存在零点1且为奇函数，故满足条件；故答案为：④．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）已知A（5，﹣1），B（m，m），C（2，3）三点．（1）若AB⊥BC，求m的值；（2）求线段AC的中垂线方程．【解答】解：（1），…（2分）…（5分）（2）…（6分）中垂线的斜率…（7分）AC的中点是（）…（8分）中垂线的方徎是化为6x﹣8y﹣13=0…（10分）18．（12分）已知集合A={a|一次函数y=（4a﹣1）x+b在R上是增函数}，集合B=．（1）求集合A，B；（2）设集合，求函数f（x）=x﹣在A∩C上的值域．【解答】解：（1）∵集合A={a|一次函数y=（4a﹣1）x+b在R上是增函数}，∴4a﹣1＞0，解得：a＞，故…（1分），由得：当0＜a＜1时，log a＜1=log a a，解得：0＜a＜，当a＞1时，log a＜1=log a a，解得：a＞，而a＞1，故a＞1，∴…（6分）（2）…（7分）∵函数y=x在（0，+∞）是增函数，在（0，+∞）上是减函数，∴在（0，+∞）是增函数…（9分）所以当时…（12分）有…（11分）即函数的值域是…（12分）19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的正视图1是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图2、图53分别是四棱锥P﹣ABCD的侧视图和俯视图．（1）求证：AD⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的侧面积．【解答】（1）证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE，则PE⊥平面ABCD．…（1分）∵AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PE．…（2分）∵AD⊥CD，CD∩PE=E，CD⊂平面PCD，PE⊂平面PCD，∴AD⊥平面PCD．…（4分）∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC．…（5分）（2）解：依题意，在等腰三角形PCD中，PC=PD=3，DE=EC=2，在Rt△PED中，，…（6分）过E作EF⊥AB，垂足为F，连接PF，∵PE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PE．∵EF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，EF∩PE=E，∴AB⊥平面PEF．∵PF⊂平面PEF，∴AB⊥PF．依题意得EF=AD=2．在Rt△PEF中，，…（9分）∴四棱锥P﹣ABCD的侧面积．…（12分）20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，设平面PAD∩平面PBC=l．（Ⅰ）求证：l∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：PB⊥BC．【解答】（本题满分为12分）证明：（Ⅰ）∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，AD∥BC，∴BC∥平面PAD…（2分）又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，∴BC∥l．…（4分）又∵l⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴l∥平面ABCD．…（6分）（Ⅱ）取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，又∵OP∩OB=O，∴AD⊥平面POB，…（10分）∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴BC⊥PB．…（12分）21．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；（II）若AC=1，PA=1，求圆心O到平面PBC的距离．【解答】解：（1）证明：由AB是圆的直径得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC∴BC⊥平面PAC，…（4分）又∴BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC…（6分）（2）过A点作AD⊥PC于点D，则由（1）知AD⊥平面PBC，…（8分）连BD，取BD的中点E，连OE，则OE∥AD，又AD⊥平面PBCOE⊥平面PBC，所以OE长就是O到平面PBC的距离．…（10分）由中位线定理得…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由为奇函数得：f（﹣x）+f（x）=0，即，（2分）所以，解得a=1，（4分）（Ⅱ）当b＞1时，设，则h（x）是偶函数且在（0，+∞）上递减又所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零点，方徎g（x）=ln|x|有2个实数根．…（8分）（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤lgg（x）等价于，即在有解，故只需，（10分）因为，所以，函数，所以，所以b≥﹣13，所以b的取值范围是[﹣13，+∞）．（12分）。