初中数学知识归纳：与中点有关的问题

专题知识讲座学案复习中考总初中数学定理、公式归纳汇总、过两点有且只有一条直线。

1 、两点之间线段最短。

2 、同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等。

3 、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。

4 、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

5 、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

6 、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。

7 、同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。

8 9、两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。

10、定理：三角形两边的和大于第三边。

推论：三角形两边的差小于第三边。

三角形三个内角的和等于180°。

11、三角形内角和定理：直角三角形的两个锐角互余。

1推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论2 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

推论3 、全等三角形的对应边、对应角相等。

12SAS、边角边公理（）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

13ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

14、角边角公理（AAS推论（）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

SSS、边边边公理（）：有三边对应相等的两个三角形全等。

15HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

16、斜边、直角边公理（、定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

17 逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上。

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

1专题知识讲座学案习总复中考、等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）。

18 1推论：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。

2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

推论：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。

通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。

数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。

（1）去伪存真。

刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。

（2）科学选择。

捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。

（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。

8.1两点间距离公式和中点公式教学目标知识目标：理解两点间距离公式及中点坐标公式.能力目标：用“数形结合”的方法，介绍两个公式.培养学生解决问题的能力与计算能力.情感目标；端正学生数学学习态度，激发学生的学习兴趣.教学重点两点间距离公式及中点坐标公式的运用.教学难点对两点间距离公式及中点坐标公式的理解.教学备品教学课件、直尺.课时安排1课时.教学过程M，N"再过片作卩2必2垂线，垂足为Q.在直角三角形P X QP2中, 根据勾股左理，有I 片p2i=7ip,ei2+icp2i2=JlMM |2 +1弘“2 |2= yl(x2-x i)2 +(y2-yj2由此得到人(召,刀)，P2(x2, y2)两点间的距离公式I 片卩2 1= 7<X2-X1)2+(J2-J1)2例1求(2, -5), M2 (5, -1)两点间的距离.解：IM1M2 1= J(5 — 2严 +( —1 + 5严=^32+42=5答：两点间的距离为5.2.中点坐标公式设人(召,y J，巴(兀,儿)为平而直角坐标系内的任意两点，P(x,y)为线段许卩2的中点，中点坐标与两点许，卩2有何关系呢？通过公式推导加深学生对公式的理解.教会学生如何应用两点间距离公式.通过公式推导加深学生对公式的理解。

如图，分别过Pp P, P2向X轴作垂线，垂足分别是M lf M f M2,它们的坐标分别是X I，x,工2,根据平行线的性质，M是M X M2的中点。

所以I,即Ix-X] 1=1工2 -xl・由于M{M2与MM2方向一致，故有X-X1 =x2 -x ,即X = 土+乞,用同样的方法可以得丿=准+ >2.所以中点坐标公式2 2为工一心+兀2 丫_儿+儿一2 "一2例2求连结下列两点的线段的中点坐标：（1）匕（6,—）,匕（一2,5）：（2） A（“，O）,解：（1）根据中点坐标公式二线段许笃的中点坐标是（2,丄）（2）根据中点坐标公式/.线段AB的中点坐标是AC# , ?）.例3已知A（5, 0）, B（2, 1）, C（4, 7）求三角形ABC中AC边上的中线长.解：设 = ）是AC边上的中点，根据中点坐标公式5 + 4 9 0 + 7 7X = ------------ =— , V = ----------------------- =—2 2 丿2 297即点M的坐标是（一，一）・使学生能够综合运用两个公式解决实际问题。

动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点3x??6y?P、QO BA、点出发，两点，动点年齐齐哈尔市）直线同时从与坐标轴分别交于20091、（4yQ OAA 1沿线段个单同时到达点，运动停止．点运动，速度为每秒BO ABP→运动．位长度，点→沿路线B、A两点的坐标；1）直接写出（Ptt OPQ△Q SS之间的面积为的运动时间为与秒，（2）设点，求出xQOA 的函数关系式；48?SQ、O、P MP的求出点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，并直接写出以点（3）当时，5坐标．，6）（0）B0解：1、A（8，2S=t＜3时，2、当0＜t S=3／8(8-t)t＜t＜8时，当3 B所有时间分段分类；）问按点提示：第（2P到拐点探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不，O、P、Q第（3）问是分类讨论：已知三定点为边。

然后为对角线、OQ为边、OQ为对角线，③OP同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP 画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

年衡阳市）2、（2009，是⊙O的直径，弦BC=2cm如图，AB o．∠ABC=60 的直径；1）求⊙O（与⊙O相切；延长线上一点，连结ABCD，当BD长为多少时，CD（2）若D是点出发沿的速度从BAB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从（3）若动点E以2cm/sA点出发沿着t)?t?2)(t(s0为直角三角形．为何值时，△BEF方向运动，设运动时间为BCEF，连结，当CC CF FE ABABADOEB O O1页共11 第页）3图（）2图（）1图（．注意：第（3）问按直角位置分类讨论0)a??33(y?a(x?1)2)，0(?2A D，经过点如图，重庆綦江）已知抛物线抛物线的顶点为，3、（2009xx CO BCOMADOM∥BD．过于点作射线轴正半轴上，，．过顶点连结平行于在轴的直线交射线1）求该抛物线的解析式；（O)st(OMPP．问运动，设点运动的时间为出发，以每秒（2）若动点1从点个长度单位的速度沿射线tDAOP为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？当M yDCQ OOBOC?B个长度同时出发，分别以每秒，动点和点3（）若和动点1分别从点BOOC运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随个长度单位的速度沿和单位和2Ptt BCPQPQ)(s四边形，之停止运动．设它们的运动的时间为连接为何值时，，当AQOxB PQ的面积最小？并求出最小值及此时的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°BCPQ 的面积最小。

初中数学复习解析几何中的距离与中点解析几何是数学中的重要分支之一，通过运用坐标系和代数方法，研究几何图形的性质和关系。

在解析几何中，距离与中点是两个基本概念，它们在问题求解和证明中都起着重要的作用。

一、距离的定义和性质距离是解析几何中的一个基本概念，它描述了两个点之间的长度。

我们以平面上的两点A(x1，y1)和B(x2，y2)为例来说明距离的定义和性质。

距离的定义：设A、B是平面上的两个点，以AB表示线段AB的长度，记为|AB|。

距离的性质：1. 非负性：对于任意两个点A、B，有|AB| ≥ 0；2. 同一性：对于任意两个点A、B，有|AB| = 0当且仅当A、B重合；3. 对称性：对于任意两个点A、B，有|AB| = |BA|；4. 三角不等式：对于任意三个点A、B、C，有|AB| ≤ |AC| + |CB|。

二、中点的定义和性质中点是指线段的中心点，它将线段分成两等分。

以线段AB上的某点M为中点，可以得到以下中点的定义和性质。

中点的定义：设M为线段AB上的一点，若AM = MB，则M为线段AB的中点。

中点的性质：1. 唯一性：线段AB的中点存在且唯一；2. 分点式表示：设中点为M(x，y)，则M的坐标满足x = (x1 + x2) / 2，y = (y1 + y2) / 2；3. 分线段相等：若M为线段AB的中点，则|AM| = |MB|。

三、应用举例距离和中点的概念在解析几何的问题求解中经常用到，下面通过一些具体例子来说明它们的应用。

例1：已知平面上两点A(2，3)、B(4，5)，求线段AB的长度和中点坐标。

解：根据距离的定义和性质，可以得到线段AB的长度为|AB| =√[(4-2)² + (5-3)²] = √8。

根据中点的定义和性质，可以求得中点坐标为M((2+4)/2， (3+5)/2) = (3，4)。

例2：若平面上点A(1，2)和点B(x，y)满足|AB| = 5，求点B的坐标。

初中数学中的中点问题类型及其解决方案一、引言初中数学作为学生数学学习的重要阶段，对于培养学生的逻辑思维、解决问题能力和科学素养具有重要意义。

中点问题作为初中数学的核心内容，涵盖了方程式、不等式、二次函数等多个方面，对于提高学生数学成绩和实际应用能力至关重要。

本文将详细介绍初中数学中点问题的类型、解题方法与技巧、教育改革和拓展活动的影响以及学习建议与策略。

二、初中数学中点问题的类型1. 方程式：方程式是初中数学中点问题的基础，包括一元一次方程、二元一次方程等。

这类问题通常在实际生活中有着广泛的应用，如购物时的价格计算、工程中的进度控制等。

2. 不等式：不等式是初中数学中另一个重要的中点问题。

它描述了数量之间的大小关系，常用于解决实际问题中的范围和限制问题。

例如，在制定预算、安排人员等场景中，不等式可以用来确定各部分之间的数量关系。

3. 二次函数：二次函数是初中数学中的难点之一，但对于培养学生数学思维和解决问题的能力具有重要意义。

二次函数在实际生活中有着广泛的应用，如物理学中的抛物线运动、经济学中的股票价格波动等。

三、解题方法与技巧1. 方程式：首先需要认真审题，找出未知量和已知量之间的关系，然后利用适当的公式或方法进行计算。

在解方程时，要注意去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的正确运用。

2. 不等式：解题时需要注意不等式的性质和运算规则，如不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变等。

此外，还需要掌握解不等式的基本步骤，如去分母、去括号、移项、合并同类项等。

3. 二次函数：解题时需要掌握二次函数的表达式、图像和性质，利用这些知识解决实际问题。

例如，在解决最大值或最小值问题时，可以通过配方或顶点式等方法来求解；在解决实际生活中的问题时，可以根据实际情况选择适当的函数表达式进行建模和分析。

四、深化理解与培养能力教育改革和拓展活动对于深化学生对中点问题的理解、培养他们的独立思考和解决问题能力至关重要。

初二数学知识点归纳临近考试了，各科都会整理好知识点复习。

接下来是小编为大家整理的初二数学知识点归纳，希望大家喜欢!初二数学知识点归纳一第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。

12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13、公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°。

⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。

②边形共有条对角线。

第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1、基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。

②一个动点速度是参数字母。

③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。

④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。

①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

1.中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要2.托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC初中竞赛需要，重要3.梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1初中竞赛需要，重要4.梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要5.梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R 三点共线。

不用掌握6.梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线不用掌握7.、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中竞赛需要，重要8.塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M不用掌握9.塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要10.塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮11.塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。

不用掌握12.西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理13.西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角15.圆的外切四边形的两组对边的和相等16.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 第一角元形式的梅涅劳斯定理 且因为AF=BF 所以AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。