江苏省溧阳市戴埠高级中学 必修4学案 弧度制

课题： 1.1.2弧度制教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修4一、教学目标1．理解1弧度的角及弧度制的定义，领会其必要性和合理性．2．会根据定义求任意角的弧度数及进行角度数与弧度数的互化．3．理解任意角的集合与实数集的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式．二、教学重点弧度制的探究生成及如何约定新制度（弧度制）下的单位1.三、教学难点弧度制的生成与理解.四、教学方法与教学手段课堂采用启发引导，合作探究的教学模式，利用几何画板辅助教学，从活动中体会数形结合、以形助数的数学思想．1．创设情境，引出必要思考：点P的位置与哪些几何量有关呢？师生活动：将所得几何量分为两大类：六十进制的角及十进制的长度．小结：数学就是建立量与量关系的模型，在同一运动中，两类几何量度量进制的不一致会给我们的数学研究带来很多不便．探究：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？【设计意图】客观世界变化万千，为了研究它们的规律，我们常常需要用数学的眼光去观察我们现实生活中的各种现象，以摩天轮为例，师生一起抽象建模进行研究刻画点P的位置的几何量，发现分为角及长度这两类几何量，它们度量的不一致会给我们的数学研究带来很多的不方便，让学生体会到学习弧度制的必要性．此时适时渗透数学史并引出本节课探究主题：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？问题1：现实生活中有没有同一个几何量，它的度量结果可以用不同的单位表示呢？请举出相应例子？预设：学生举出各种具有不同单位的量的例子.小结：既然有这样的量，说明我们可以尝试去建立新的度量角的单位制. 【设计意图】引导学生通过类比生活中的量，发现同一个量存在不同的单位制，说明角的度量存在其余单位制的可能性．2．合作探究，凸显生成问题2：图中哪些几何量能唯一确定角α？师生活动：学生经过独立思考，有了自己的探究结果后，先生生交流，再师生交流．教师板书可能方案，让学生们说一说，教师追问学生“为什么？”几何画板作图验证．预设1：弧长、弧长比半径．师生活动：学生阐述，教师板书所有方案后，教师先用几何画板作图，从“形”的角度进行验证，而后教师通过追问，让学生从“数”的角度进行说理，然后学生评价学生，学生自主辨别可行方案并阐述其理由，最后师生一起总结，弧长与半径的比值可以唯一确定角的大小，而在半径给定的圆中，“弧长”也是可以唯一确定角的大小的，其实就是用lr唯一确定角的大小的一个特例！值得注意的是，当半径取1个单位长度时，弧长与角的数值相等！预设2：学生层次比较高，问角α与哪些长度有关，还未展开探究，学生直接得出利用弧长占整个圆周的比即l2πr＝n o360o，算出角α的度数．师生活动：通过追问，辨别一个几何量为何不可行，从而深化认识．小结：早在几百年前，数学家们就发现了角α的大小可以由lr唯一确定，瑞士大数学家欧拉为此也做了很多贡献，通过刚才的同学们的探究，我们也得出了同样的结论，说明同学们的认知水平很高，和大数学们家有一样的想法！【设计意图】学生先经过独立思考，再充分交流．在探究中，凸显了弧度制概念的生成，学生亲身经历探究寻找以及思辨的过程，明白了弧度制选用弧长与半径的比来度量角的合理性. 如此设计源于：章建跃教授曾在《关于弧度制的教学》中提到：弧度制定义的合理性应从：“如此度量角的大小是唯一确定的”给出．最后，以夸奖的形式适时渗透数学史：早在几百年前，数学家们就发现了角α的大小可以由lr的比值唯一确定，瑞士大数学家欧拉为此也做了很多贡献，既自然，又能让学生感受到探究成功被肯定的喜悦．3. 类比迁移，构建概念问题3：如何建立一种新的度量角的制度呢？师生活动1：为解决问题3回顾已有的经验，即类比学生身高的表示方法，可以用米表示，也可以用尺寸表示，从中寻找建立新制度的研究方向．小结：有了约定的单位1，就可以定量表示出其余的所有长度，即：一生二，二生三，三生万物！历史上，对同一个单位制，单位的约定也曾出现过不统一，例如，战国时期，一尺的长度是不一样的，这给人们的生活带来很多不便，所以秦始皇统一六国时，就统一了度量衡，推动了当时社会的发展！师生活动2：为解决问题3继续回顾已有的经验，回忆在角度制下，角的度量单位：1o的角规定．通过课堂引导性提问，阐述1o的角的规定的合理性.小结：①1o的角的大小与所在圆的半径无关；②给出这样规定后，所有角的度数就确定了；③适时渗透数学史：之所以用“圆周的1360所对应的圆心角规定为1o的角”，据说是因为古巴比伦科学家发现360个太阳刚好能围成一整圈．由以上两个活动可见，对于一种单位制，约定及认识它的单位1是多么的重要！师生活动3：学生根据之前活动经验，先自己独立探究：如何建立一种新的度量角的制度，再小组交流．预设：学生主动明确接下来研究方向，先约定单位1，即令lr=1，即l=r，从图形上，长度等于半径长的弧所对的圆心角约定为新制度的单位1，能主动提出接下来需要利用单位1，定量表示其余的角．通过课堂引导性提问互动，得出任意角弧度数的计算公式．小结：把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角，记作1rad．有了任意角弧度数的计算公式后，任意一个角都可以定量表示了．那么，用弧度作为度量角的单位制称为弧度制．它就是我们今天探究发现的新的度量角的单位制----弧度制．【设计意图】因为学生不知该如何建立一种新的度量角的制度，所以此问题引导学生从已有经验出发，寻找解决问题的方法．这时教师通过追问，以具体“尺”和“米”为例，师生一起摸索几何量长度从构建到使用单位制的过程，让学生感受到，认识一种新的单位制，首先得明确它的单位1，只有明确单位1后，才可以定量表示其余的长度．对于具体几何量角，让学生回忆初中1o的角的规定，充分说明角度制下单位1的约定的合理性，再次强化：对于一种单位制，应该先约定单位1，才能定量表示出其余的角．最后引导学生类比迁移，自主探究完成几何量角新单位制（弧度制）中单位1的约定，然后类比所得经验，定量表示出任意角弧度数，最后完成对弧度制的构建．4. 相互转化，揭示联系追问：通过学习“弧度制”，度量角已经有两种不同的方法，接下来应该要解决什么问题？ 预设：单位换算． 追问：怎么换算？师生活动：找出换算关系：360o ＝2π rad ，1o ＝π180rad ≈ 0.01745rad ， 1rad ＝180π度≈ 57.30o ，学生独立完成换算练习后，进行方法交流．追问：这些非整角，你会互化吗？师生活动：学习先独立完成练习，然后再进行方法交流． 【设计意图】引导学生主动思考接下来应完成单位换算．课堂上以量角器形式给出互化练习，避开枯燥无味，提升课堂活跃程度．5. 运用新知，加深认识师生活动：通过课堂对话，在弧度制下，探究角的集合与实数集R 之间构成一一对应关系．小结：弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应的关系，即角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系！ 【设计意图】让学生明确：角的概念推广之后，无论是角度制还是弧度制都能在角的集合和实数的集合之间建立一种一一对应关系．练习：（1）在弧度制下，弧长公式如何表示？（2）在弧度制下，扇形面积公式如何表示？其中l 是扇形弧长，r 是圆的半径．扇形圆心角为α rad （|α|≤2π）．师生活动：学生独立计算出弧度制下的弧长公式及扇形面积公式后，给出角度制下的相应公式进行对比，发现弧度制下公式更简洁．小结：这也体现了我们数学的简洁美！其实弧度制的优越性远不止那么多，就让我们慢慢去感受，慢慢去发现吧！ 【设计意图】通过角度制与弧度制下弧长及扇形面积公式的对比，感受公式的简洁美！小活动：你能用不同的方法度量角的大小吗？ 预设：方法1：量角器量角．方法2：量出弧长，量出半径利用公式l rα=， 计算出角的弧度数．方法3：构造三角形．小结：对于方法1是同学们小学就会的，对于方法2，我们再次感受到：通过量弧长及半径，就可以唯一确定α的大小，特别提醒，当半径长度为1个单位长度时，弧有多大，角就有多少弧度，这体现了弧度制的本质：用线段长度度量角的大小．对于方法3：可以利用构造直角三角形解决α是特殊角的情况，对于更一般的角，将是我们后继将要学习的内容（利用正余弦定理解决等等）． 【设计意图】引导学生加深对弧度制本质的理解，即：弧度制的本质是用线段长度度量角的大小．6. 小结反思归纳提升小结:今天我们类比长度单位制构建的过程，探究发现了角的新单位制（弧度制）构建过程. 它们都是从现实的度量需要开始，经历了约定单位1，定量表示，单位换算这样的过程，这个过程就是我们研究单位制的一般过程．【设计意图】本节课类比长度的单位制构建的过程，探究发现了角度的新单位制（弧度制）构建的过程，设置“拓展研究”的目的是让学生去思考：构建一种单位制的一般过程，即从特殊事物中揭示一般规律．最后设置的拓展探究，实质上是对本节课进行了高度提炼概括：我们不仅要学习弧度制，我们还要明白构建一种单位制的一般过程是什么，还要会运用此经验去研究更多的量，从而完成对本节课的总结！六、教学设计说明1．关于新课导入：如何激发学生学习“弧度制”的求知欲，让学生感受到学习新知的必要性．本节课选择从生活的大场景，到本章引言中的例子摩天轮这个具体的小场景，从学生生活中熟悉的现象出发，发现同一运动中既有大量的角又有各种长度，发现度量进制不一致给数学研究带来不便，从而让学生体会到学习弧度制的必要性．2. 关于弧度制概念生成探究：这是本节课的教学重点，鼓励学生独立对度量角的新制度进行探索，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同方案进行探讨，找出可行方案．在过程中充分调动学生的学习积极性，组织学生合作交流，培养学生思辨、质疑、理性思维和创新能力，使发展学生的数学核心素养在数学课堂中真正做到落地生根．3．教学设计突出学生主体，注重知识的自主建构与生成，让学生真切感受到数学是自然可亲的，过程中体现数学研究方法、渗透数学思想方法和数学史，关注学生的情感体验，培养学生的积极情感．。

1.1.2 弧度制教学目标：1．理解1弧度的角及弧度的定义；2．掌握角度与弧度的换算公式并熟练进行角度与弧度的换算；3．理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．教学重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；熟练进行弧长和面积公式的应用． 教学难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．教学方法：问题链导学法．教学过程：一、问题情境探究：l 、α、r 三者之间关系. 二、学生活动1．改变α、r ,观察l 的变化 2．改变l ，r ，观察α的变化 3．分析原因 三、建构数学1．弧度角的定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2．记法：1rad ． 3．引入弧度制的概念4．通过问题构建弧长，半径，圆心角之间的关系：l = |α| r 5．通过问题引导学生进行角度制与弧度制的互换．A360°＝2πrad 180°= πrad1801π=︒rad ≈0.01745rad 1rad =︒)180(π≈57.30°6．通过问题引导学生推导出弧度制下的扇形面积公式． 四、数学应用 1．例题．例1 把下列各角从度化为弧度．（1）135° （2）-75° （3）11°15′例2 把下列各角从弧度化为度． （1）53πrad （2）34πrad例3 已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，求该扇形的面积.2．练习． （1）填表说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算． （2）用弧度制写出终边落在y 轴上和x 轴上的角集合．（3）周长为20的扇形，当圆心角为多少弧度时，其面积最大？五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1． 弧度制的定义； 2． 角度与弧度的换算公式； 3． 特殊角的弧度数．。

高中数学1.1.2 弧度制互动课堂学案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学1.1.2 弧度制互动课堂学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学1.1.2 弧度制互动课堂学案苏教版必修4的全部内容。

高中数学 1.1。

2 弧度制互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.度量角的单位制：角度制、弧度制 （1)角度制初中学过角度制，它是一种重要的度量角的制度，规定周角的3601为1度角,记作1°，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

（2)弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下，1弧度记作1 rad. (3)弧度数 如下图1，的长等于半径r,所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即rl=1。

图1 图2在图2中，圆心角∠AOC 所对的的长l=2r ，那么∠AOC 的弧度数就是22==rrr l如果圆心角所对的弧长l=2πr （即弧长是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是rrr l π2==2π.如果圆心角表示一个负数，且它所对的弧的长l=4πr，那么这个角的弧度数的绝对值是rrr l π4==4π，即这个角的弧度数是—4π。

一般地，正确的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是零。

2。

弧长公式与 扇形面积公式（1）设l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r 是圆的半径，则有l=｜α|·r,其中α是角的弧度数.（2)扇形面积公式S=21lr=21α·r 2. 3。

课 题：1.1.2弧度制（二） 教学目的：1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系． 教学重点：运用弧度制解决具体的问题． 教学难点：运用弧度制解决具体的问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。

二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。

2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。

三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。

2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。

四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。

五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。

板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。

同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。

第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

1.1.2 弧度制1．弧度制与角度制 (1)概念：①规定周角的1360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．②长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(2)弧度与角度的换算：①360°＝2π rad ；②1°＝π180 rad ≈0.017 45 rad ；③1 rad ＝180π度≈57.30°.α＝k ·360°＋π3(k ∈Z )这种写法正确吗？为什么？提示：不正确．虽然弧度制与角度制都可度量角的大小，但单位不同，所以不能混用． 2．弧长公式及弧度数与实数间的关系 (1)扇形的弧长及面积公式：设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为圆心角的弧度数，则l ＝|α|r ，扇形的面积S 扇形＝12rl＝12|α|r 2. (2)角的集合与实数集之间的关系：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：即每一个角都对应惟一的一个实数(即这个角的弧度数)；反过来，每一个实数也都对应惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)．预习交流2(1)将5π12化为角度制是__________，5 rad 是第__________象限角；(2)将54°化为弧度制是__________；(3)地球的赤道半径约为6 370 km ，则赤道上1度的圆心角所对的弧长是__________，1弧度的圆心角所对的弧长是__________．提示：(1)75° 四 (2)3π10 (3)637π18km 6 370 km预习交流弧度制与角度制有何区别与联系？提示：区别：(1)单位不同：弧度制是以“弧度”为单位，角度制是以“度”为单位；(2)进位制不同：弧度制是10进制，角度制是60进制；(3)单位“1”不同：弧度制中“1”代表长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，角度制中“1”代表周角的1360为1度的角．联系：(1)角度与弧度可以相互转化；(2)无论角度制还是弧度制，角的大小都是一个与半径无关的定值；(3)两种单位制下，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应关系.一、角度数与弧度数的换算将下列各角的弧度化为度，度化为弧度：(1)92°30′；(2)－1 080°；(3)－7π18；(4)2.思路分析：对于角度与弧度之间的换算问题，解题的关键是要抓住π＝180°的关系，由比例关系得：弧度数＝度数×π180，度数＝弧度数×⎝⎛⎭⎫180°π. 解：(1)92°30′＝92.5°＝92.5×π180＝37π72；(2)－1 080°＝－1 080×π180＝－6π；(3)－7π18 rad ＝－7π18×180°π＝－70°；(4)2 rad ＝2×180°π＝⎝⎛⎭⎫360π°.将下列各角的弧度化为度，度化为弧度：(1)－9π4；(2)2 160°；(3)－11π5；(4)33°45′.解：(1)－9π4 rad ＝－9π4×180°π＝－405°；(2)2 160°＝2 160×π180＝12π；(3)－11π5 rad ＝－11π5×180°π＝－396°；(4)33°45′＝33.75°＝33.75×π180＝3π16.二、用弧度制表示终边相同的角将下列各角化成2k π＋α(k ∈Z )且0≤α＜2π的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－1725°；(2)64π3.思路分析：先把－1 725°化成k ·360°＋α(k ∈Z )的形式，再用弧度制表示． 解：(1)∵－1 725°＝－5×360°＋75°，∴－1 725°＝－10π＋5π12.∴－1 725°角与5π12角的终边相同．又5π12角是第一象限角， ∴－1 725°角是第一象限角．(2)∵64π3＝20π＋4π3，∴64π3角与4π3角的终边相同．∴64π3角是第三象限角．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－11π4；(2)1 485°；(3)－4.解：(1)－11π4＝－4π＋5π4，是第三象限角．(2)1 485°＝1 485×π180＝33π4＝8π＋π4，是第一象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π，是第二象限角．在角度制中，所有与α终边相同的角可以写成α＋k ·360°(k ∈Z )的形式，而在弧度制中可以写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，0≤α＜2π，且α为弧度数；判断一个用弧度数表示的角所在的象限，一般是先将其化成2k π＋θ(k ∈Z,0≤θ＜2π)的形式，然后再根据θ所在的象限进行判断．三、与弧长和扇形面积有关的问题一扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？思路分析：设扇形圆心角、半径→求圆心角→求面积→转化为二次函数 解：设扇形圆心角为θ，半径为r ， 则2r ＋θ·r ＝20.∴θ＝20－2r r .∴S 扇形＝12θr 2＝12·20－2r r·r 2＝(10－r )r＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜20)．∴当r ＝5时，扇形面积的最大值为25. 此时θ＝2.圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为__________． 答案：2解析：如图．设内切圆半径为r ，则OO ′＝2r ，R ＝3r .由弧长公式得2π＝π3·3r ，解得r ＝2.弧度制下涉及扇形问题的解题思想：(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．1．72°对应的弧度数为__________，4π5化为角度是__________．答案：2π5144° 解析：72°＝72×π180＝2π5；4π5＝4π5×180°π＝144°.2．下列各命题中，正确命题的个数是__________． ①用弧度来表示的角都是正角；②“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；③1°的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π；④根据弧度的定义，180°一定等于π弧度；⑤不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关． 答案：3解析：①⑤不正确．②③④正确． 3．把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为______．答案：－4π＋5π6解析：方法一：－570°＝－⎝⎛⎭⎫570×π180＝－196π， ∴－196π＝－4π＋5π6.方法二：－570°＝－2×360°＋150°，∴－570°＝－4π＋5π6.4．如图，公路弯道处 AB 的长度l (精确到1 m ，图中长度单位：m)为__________m.答案：47解析：∵60°＝π3，∴l ＝|α|r ＝π3×45＝15π≈47(m)．5．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，写出终边相同的角的集合，并指出它们是第几象限角：(1)－46π3；(2)－1 485°.解：(1)－46π3＝－8×2π＋2π3，是第二象限角，终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈Z .(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，是第四象限角，终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋7π4，k ∈Z .。

让学生学会学习
§5.1（2）弧度制
1、1弧度的定义：_____________________________________________
2、圆心角弧度公式：圆半径为r,圆心角α所对弧长为l ，则___________________
3、弧度制与角度制换算关系
4、
5、特殊角的弧度数
6、满足下列条件的角的集合的弧度制表示
终边落在x 轴正半轴上： 终边落在y 轴正半轴上：
终边落在x 轴负半轴上： 终边落在y 轴负半轴上：
终边落在x 轴上： 终边落在y 轴上：
终边落在坐标轴上：
7、象限角的集合表示
第一象限角 第二象限角
第三象限角 第四象限角
例题1、扇形的圆心角为3π，弧长为45
π，扇形的面积为_____________ 例题2、一个扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
思考：已知角α，试分析2α所在象限 (02),r l S
ααπ<<扇形的圆心角为，半径为，弧长为面积为扇形弧长公式_______________扇形面积公式__________________。

课题：弧度制教材：苏教版（必修4）一、教材及内容分析本节课是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容.在此之前，学生已经学习了角度制的概念及任意角，了解生活中度量同一个物理量可以有不同的度量单位，而弧度制概念的建立不仅是为度量角多了一个新的制度，更为今后学习三角函数奠定基础.通过本节课弧度制的学习，我们可以了解为何要建立弧度制及弧度制在简化运算方面的作用，同时我们会认识到两种制度相互联系的辩证统一的思想.本节课内容设为一课时.二、教学目标1、知识与技能（1）经历1弧度角定义的过程，感受定义的合理性；（2）会进行弧度制与角度制的换算；（3）会在弧度制下求弧长及扇形面积公式；（4）了解在弧度制下角的集合与实数集R之间一一对应的关系.2、过程与方法类比角度制单位角的定义过程，尝试规定其它类型的单位角，体验单位角在制定过程中的合理性，体会到1弧度角定义的合理性.由特殊到一般的思想找到弧度制与角度制之间的互化的方法，初步感受弧度制下运算的简洁性.3、情感态度与价值观（1）经历长度单位的再熟悉过程认识到单位与我们的生活息息相关，同时意识到规定单位角的大小是定义新的度量单位的前提；（2）经历单位角的定义过程，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念，体会1弧度角定义的合理性；（3）经历角度制与弧度制的互化及应用弧长公式与扇形面积公式体会到弧度制建立的优越性.三、教学重点、难点教学重点：弧度制的定义及弧度制与角度制的换算.教学难点：弧度制的定义.四、教学方法与手段探究式学习与讲授结合五、教学过程：一、创设情境、引入课题常州环球港竖立着美丽的摩天轮，当摩天轮不断旋转时，摩天轮上点P会周而复始运动，用怎样的数学模型来刻画这样的运动呢？为了研究这个问题，我们已经将角推广到任意角，今天我们继续为研究这个模型做准备，学习度量角的另一种单位制——弧度制.设计意图：指出本章学习的主要内容是建立刻画周期现象的数学模型，我们今天的学习是为了建立这样的模型作准备，为学生的学习指明方向.二、数学建构探索新知（1）回顾度量长度的几种单位，指出怎样规定度量单位当规定好1米有多长，我们可以用米作为单位来度量长度当规定好1尺有多长，我们可以用尺作为单位来度量长度，一米=3尺当规定好1度角有多大，我们可以用度作为单位来度量角的大小.问题1：（1）1°角是怎么规定的？（2）能用平分圆周的方法得到1°角吗？（3）现在我们要建立新的单位来度量角，那先要对什么做出规定？（单位角的大小）试一试：请您尝试利用圆周来定义一个单位的角的大小.(学生活动)问题2：如果以半径长为单位对圆周进行度量，把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为一个单位角的大小，合理吗？（学生探究角的大小不会随着半径的改变而改变） 设计意图：类比1°角定义的过程，弧度制定义的本质是用半径r 对圆周进行度量，可以理解为是对圆周不同的平分方式.学生经历单位角的定义过程，感受1弧度角定义的合理性.(2)概念 ：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad. 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制. 历史介绍： 1748年欧拉在它的著作《无穷小分析概论》 中提出把圆的半径作为弧长的度量单位,这一思想将线段 与弧的度量统一起来，大大简化了三角的运算.数学教师汤姆生（James Thomson ）在北爱尔兰首府贝尔法斯特（Belfast ）女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了“弧度一词”，当时它将“半径”（radius ）的前四个字母与“角（angle ）的前两个字母合在一起，构成radian,并被人们广泛接受和引用. 在半径为r 的圆中①若圆心角α（正角）所对的弧长为2r ,那么,角α的弧度数是多少? ②若圆心角α（正角）所对的弧长为r π,那么,角α的弧度数是多少? ③若圆心角α（正角）所对的弧长为2r π，那么角α的弧度数是多少？ ④若圆心角α（正角）所对的弧长为l ，那么角α的弧度数是多少？设计意图：根据1弧度角的定义，写出弧度角与半径及弧长之间的关系，弄清1弧度角的概念是了解弧度制的关键.A三、新旧融合 知识应用问题3：弧度制与角度制之间如何换算？3602rad π︒= 1 rad =180π度例1 ：把下列各角从弧度化为度（1） （2）3.5解：33180110855rad πππ︒︒=⨯=（） 例2：把下列各角从度化为弧度'(1)252(2)1115︒︒解 7(1)2522521805rad rad ππ︒=⨯=用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R 之间建立一一对应的关系：练习.写出一些特殊角对应的角度和弧度180o radπ=01180radπ=180(2) 3.5 3.5200.54oorad π=⨯≈'(2) 111511.2511.2518016o o rad radππ==⨯=35π问题4：在弧度制下，弧长与面积公式是什么？并与角度制下的公式比较（弧长公式）（扇形面积公式）结论：在弧度制下，弧长公式与扇形面积公式简洁了，这也是引入弧度制的原因之一.例3（1） 已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2rad设计意图：（1）角度制与弧度制的互化紧扣 （2）体会弧度制下扇形的弧长公式与面积公式的简洁性. 四、课堂小结 五、课后作业 教学设计说明：本节课是度量角的另一种单位制——弧度制. 学生对弧度制概念的学习比较困难，为何会这样定义1弧度角，一方面可以从角α与lr的对应关系理解，另一方面可以从弧度制定义的本质出发，用半径度量圆周定义1弧度角的大小.本节课采用的是后一种方式，所以弄清1弧度角的概念是了解弧度制的关键.为了突破这些难点，本节课弧度制概念的学习分以下几个步骤完成：1.基于学生已有的知识基础，从熟悉的长度单位入手，了解当规定了单位长度时就可以用它作为单位度量长度，渗透了“单位”的思想.2.从熟悉的角度制入手，体会1°角定义的合理性.3.探究尝试其它方式定义一个单位角的大小，体会1弧度角定义的合理性.4.在1弧度角定义的基础上认识角的大小与lr的关系，同时揭示1弧度角定义的过程中角度与弧度之间的关系.2211.222r S r lr πααπ===2,4.r l =⎧⎨=⎩解得21S 4().2rl cm ==故扇形的面积为 r l 解设扇形的半径为，弧长为，28, 2,r l l r +=⎧⎨=⎩则有A||l rα=180oradπ=弧度制的学习一方面是使进位制统一，由角的60进制转为实数的10进制，拓展了角在实数领域研究的范围，为三角函数的学习做铺垫，另一方面弧度制的使用简化了微积分中公式的计算.由于学生的知识有限，所以体会弧度制下弧长公式与面积公式的简洁性及来初步感受弧度制使用的优越性。

2.3.2 平面向量的坐标运算（1）一、学习目标1. 掌握平面向量的坐标表示及坐标运算；2. 会熟练进行向量的坐标运算.二、数学建构1、在直角坐标平面内一点M 是如何表示的？ .2、以原点O 为起点，M 为终点，能不能也用坐标来表示OM 呢？例：)4,3(M3、平面向量的坐标表示.4、平面向量的坐标运算.已知()11,x y =a ，()22,x y =b ，实数λ，那么+=a b ；-=a b ；λ=a .三、数学运用例1、如图，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，34||=，︒=∠60xOA ，求向量的坐标.24xy例2、如图，已知)3,1(-A ，)3,1(-B ，)1,4(C ，)4,3(D ，求向量OA ，OB ，AO ，CD 的坐标.例3、用向量的坐标运算解决：如图，质量为m 的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对物体的摩擦力f .例4、已知),(111y x P ，),(222y x P ，P 是直线21P P 上一点，且)1(21-≠=λλPP P P ，求点P 的坐标.四、课后作业1. 若向量()2,0=a ，()1,3=-b ，则+=a b ，-=a b .2. 已知()1,2=-a ，终点坐标是)1,2(，则起点坐标是 .3. 已知)2,1(A ，)2,3(B ，向量()3,34x x y =+--a 与AB 相等.则=x .4. 已知点)4,2(-P ，)5,1(-N ，)2,3(-M ，则=+32 .5. 与向量()12,5=a 平行的单位向量为（ ）A 、)135,1312(B 、)135,1312(--C 、)135,1312(或)135,1312(--D 、)135,1312(±± 6. 已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，2||=OA ，︒=∠150xOA ，则向量的坐标为 .7. 已知O 是坐标原点，)1,2(-A ，)8,4(-B ，且3AB BC +=0，则的坐标为 .8. 已知四边形ABCD 的顶点分别为)1,2(A ，)3,1(-B ，)4,3(C ，)2,6(D ，求向量，的坐标，并证明四边形ABCD 是平行四边形.9. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别为A )1,2(，B )3,1(-，C )4,3(，求第四个顶点D 的坐标.10. 已知向量()3,1=a ，()2,1=-b ，点O 为坐标原点，若向量3OA =-a b ，2BA =-b a ，求向量的坐标.11. 已知点)2,1(-A ，)8,2(B 及14AC AB =，13DA BA =，求点C ，D 和CD 的坐标.。