概率论与数理统计试题库
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《概率论与数理统计》试题(1)
一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”)
⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( )
⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( )
⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( )
⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( )
⑸ 样本方差2n
S =
n
1
21
)(X X
n
i i
-∑=是母体方差DX 的无偏估计
( )
二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来
(1)仅A 发生,B 、C 都不发生;
(2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为
2101
31111115651530
X
P
-- 求2Y X =的分布列.
五、(10分)设随机变量X 具有密度函数||1
()2
x f x e -= ,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差. 六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤.
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布
1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<,
的样本,试求未知参数p 的极大似然估计.
《概率论与数理统计》试题(1)评分标准 一 ⑴ ×;⑵ ×;⑶ √;⑷ √;⑸ ×。
二 解 (1)ABC
(2)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ;
(3)A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ; (4)ABC ABC ABC ;
(5)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC 每小题4分;
三 解 设A =‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为,,x y a x y --,则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<,不等式构成平面域S .------------------------------------5分
A 发生0,0,22
2
a a a
x y x y a ⇔<<<<<+< 不等式确定S 的子域A ,
分
所以 1
()4
A P A =
=的面积S 的面积
-----------------------------------------15分
四 解 Y 的分布列为
0149
17111530530
Y
P
. Y 的取值正确得2分,分布列对一组得2分;
五 解 ||1
02
x EX x e dx +∞
--∞=⋅=⎰,(因为被积函数为奇函数)--------------------------4分 2
2
||
2012x x DX EX x e dx x e dx +∞
+∞---∞
===⎰⎰ 2002x x x e xe dx +∞
+∞--=-+⎰
2[] 2.x x xe
e dx +∞+∞
--=-+=⎰
----------------------------------
------10分
六 解 X ~b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分
(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ---------------------------10分 (2.5)( 1.5)=Φ-Φ-
=0.994+0.933--1
0.927=.--------------------------------------------------15分 七 解 1
1
11(,,;)(1)
(1)n
i i i n
x n
x n
n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏----------5分
1
ln ln ()ln(1),n
i i L n p X n p ==+--∑
1ln 0,1n
i i X n
d L n dp p p
=-=--∑--------------------------------10分
解似然方程
11n
i
i n X n
p
p
=-+=
-∑,
得p 的极大似然估计
1p X
=
。
--------------------------------------------------------------------15分
《概率论与数理统计》期末试题(2)与解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B
A ,至少有一个不发生的概率为__________.
2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______.
3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2
X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________.
4. 设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2)1(-=>e X P ,则=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________. 5. 设总体X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,
0,
10,)1()(x x x f θ
θ 1->θ.
n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为
_________.
解:1.3.0)(=+B A B A P
即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P
9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .
2.λλ
λ
λλ---=
=+==+==≤e X P e e X P X P X P 2
)2(,)1()0()1(2