2021-2022年高考数学回归课本 整数问题教案 旧人教版

高考数学回归课本教案第十六章 平面几何一、常用定理〔仅给出定理，证明请读者完成〕梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，假设',','C B A 三点共线，那么.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，假设.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 那么',','C B A 三点共线。

塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，假设',','CC BB AA 三线平行或共点，那么.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，假设.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 那么',','CC BB AA 三线共点或互相平行。

角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，那么',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BAB CBB CBC ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABCD 为任意凸四边形，那么AB •CD+BC •AD ≥AC •BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。

高中数学回归讲解教案
教案主题：回归分析
教学目标：
1. 了解回归分析的基本概念和原理
2. 掌握简单线性回归分析和多元线性回归分析的计算方法
3. 能够应用回归分析方法解决实际问题
4. 培养学生的数理统计思维和分析能力
教学内容：
1. 回归分析的概念和基本原理
2. 简单线性回归分析
3. 多元线性回归分析
4. 实际问题的回归分析方法应用
教学步骤：
第一步：导入（5分钟）
介绍回归分析的基本概念和作用，引起学生对回归分析的兴趣和重要性。

第二步：简单线性回归分析（20分钟）
1. 讲解简单线性回归的定义和公式
2. 演示简单线性回归的计算方法
3. 给出一个简单线性回归的实例，让学生自行计算
第三步：多元线性回归分析（20分钟）
1. 讲解多元线性回归的定义和公式
2. 演示多元线性回归的计算方法
3. 给出一个多元线性回归的实例，让学生自行计算
第四步：实际问题应用（15分钟）
1. 给出一个实际问题，让学生利用回归分析方法进行分析
2. 引导学生思考回归分析在实际问题中的应用价值
第五步：总结（10分钟）
1. 总结回归分析的基本原理和方法
2. 强调回归分析在实际问题中的重要性和应用价值
3. 解答学生的问题并进行互动交流
教学反思：
通过本节课的教学，学生了解了回归分析的基本概念和原理，掌握了简单线性回归和多元线性回归的计算方法，并通过实际问题的应用进行了综合训练。

同时，也培养了学生的数理统计思维和分析能力，提高了他们解决实际问题的能力。

希望学生能够在今后的学习和工作中，充分运用回归分析方法，发挥其应用价值。

高考数学回归课本教案 第九章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b ⇔a-b>0； （2）a>b, b>c ⇒a>c ； （3）a>b ⇒a+c>b+c ； （4）a>b, c>0⇒ac>bc ；（5）a>b, c<0⇒ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd;（7）a>b>0, n ∈N +⇒a n>b n; （8）a>b>0, n ∈N +⇒n n b a >; （9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a 2+b 2≥2ab;（12）x, y, z ∈R +，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ≥前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若n n b a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n n b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|, -|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y ≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x 3+b 3+c 3-3abc =(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc -ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3≥3abc ，即x+y+z ≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。

回归分析教案高中数学
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握回归分析的基本概念、原理和应用方法，具备运用回归分析解决实际问题的能力。

教学重点：回归分析的基本概念、原理和应用方法。

教学难点：如何运用回归分析方法解决实际问题。

教学准备：
1. 教师准备课件、教材、笔记等教学资源；
2. 学生准备纸笔、计算器等学习工具。

教学过程：
一、导入
教师通过引入生活实例，引发学生的思考，如“某家电公司想要了解销售额与广告投入的关系，该如何进行分析？”引导学生思考回归分析的重要性。

二、讲解回归分析的基本概念
1. 简要介绍回归分析的定义和应用背景；
2. 讲解简单线性回归和多元线性回归的基本原理；
3. 分析回归方程、残差、相关系数等重要概念；
4. 演示如何通过回归分析来确定自变量与因变量之间的关系。

三、案例分析
教师给出一个实际案例，让学生在小组中进行讨论和分析，探讨如何利用回归分析方法解决问题，并展示实际操作过程。

四、练习与提问
1. 给学生一些练习题，让他们独立思考并解答；
2. 提问学生对回归分析的理解和掌握程度，并解答学生提出的问题。

五、总结与展望
1. 总结本节课的重点内容和要点；
2. 展望回归分析的应用领域及未来发展。

3. 帮助学生理清知识点，回答问题，加深印象。

教学反思：本节课主要围绕回归分析的基本概念展开讲解，并通过案例分析和练习加深学生对知识的理解，但在未来的教学中，可以加强实践操作环节，提高学生的应用能力和解决问题的能力。

高考数学回归课本教案第三章 函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。

定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。

定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。

定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。

定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。

A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。

集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。

通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A→B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。

例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。

定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

定义7 函数的性质。

（1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)<f (x 2)(f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。

2019-2020年高考数学回归课本 组合教案 旧人教版一、方法与例题1．抽屉原理。

例 1 设整数n ≥4,a 1,a 2,…,a n 是区间(0,2n)内n 个不同的整数，证明：存在集合{a 1,a 2,…,a n }的一个子集，它的所有元素之和能被2n 整除。

[证明] （1）若n ∉{a 1,a 2,…,a n },则n 个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。

由抽屉原理知其中必存在两个数a i ,a j (i ≠j)属于同一集合，从而a i +a j =2n 被2n 整除；（2）若n ∈{a 1,a 2,…,a n }，不妨设a n =n ，从a 1,a 2,…,a n-1(n-1≥3)中任意取3个数a i , a j , a k (a i ,<a j < a k )，则a j -a i 与a k -a i 中至少有一个不被n 整除，否则a k -a i =(a k -a j )+(a j -a i )≥2n ，这与a k ∈(0,2n)矛盾，故a 1,a 2,…,a n-1中必有两个数之差不被n 整除；不妨设a 1与a 2之差(a 2-a 1>0)不被n 整除，考虑n 个数a 1,a 2,a 1+a 2,a 1+a 2+a 3,…,a 1+a 2+…+a n-1。

ⅰ）若这n 个数中有一个被n 整除，设此数等于k n ，若k 为偶数，则结论成立；若k 为奇数，则加上a n =n 知结论成立。

ⅱ）若这n 个数中没有一个被n 整除，则它们除以n 的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n 的余数相同，它们之差被n 整除，而a 2-a 1不被n 整除，故这个差必为a i , a j , a k-1中若干个数之和，同ⅰ）可知结论成立。

2．极端原理。

例2 在n ×n 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n 。

2021-2022年高中数学《回归分析的初步应用》教案1说课稿新人教A版选修1-2一、教学目标a) 知识与技能＊能根据散点分布特点，建立不同的回归模型。

＊知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。

＊通过散点图及相关指数比较体验不同模型的拟合效果。

b) 过程与方法＊通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的思想。

＊让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用。

＊通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法。

c) 情感、态度与价值观＊从实际问题中发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。

＊通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力。

＊通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取之生活，用于生活”的意识，提高学习兴趣。

二．教学重点、难点＊重点：通过探究使学生体会有些非线性模型运用等量变换、对数变换可以转化为线性回归模型。

＊难点：如何启发学生“对变量作适当的变换（等量变换、对数变换）”，变非线性为线性，建立线性回归模型。

四、教学设计说明：高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修3和选修1-2（文科）、选修2-3（理科）。

《数学3》中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路。

“线性回归分析”是其介绍的一种分析整理数据的方法。

在这一章中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容。

然而在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，他们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，本课时就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如何建立非线性关系的回归模型。

这个内容在人教A版教材中只安排了一道关于“红铃虫”的例题，但是它却代表了一种“回归分析”的类型。

如何利用这道例题使学生掌握这类问题的解决方法呢？为此，我设计了“引导发现、合作探究”的教学方法。

§3.2 回归分析(2)教学目标（1）通过实例了解相关系数的概念和性质，感受相关性检验的作用； （2）能对相关系数进行显著性检验，并解决简单的回归分析问题； （3）进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用． 教学重点，难点相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤． 教学过程一．问题情境1．情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义． 二．学生活动对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量x 与y 的线性相关性进行检验（简称相关性检验）． 三．建构数学1．相关系数的计算公式：对于x ，y 随机取到的n 对数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n =，样本相关系数r 的计算公式为()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑．()22．相关系数r 的性质： （1）||1r ≤；（2）||r 越接近与1，x ，y 的线性相关程度越强；（3）||r 越接近与0，x ，y 的线性相关程度越弱．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关． 3．对相关系数r 进行显著性检验的步骤：相关系数r 的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数r 进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是： （1）提出统计假设0H ：变量x ，y 不具有线性相关关系；（2）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05-=与2n -（n 是样本容量）在附录2（教材P111）中查出一个r 的临界值0.05r （其中10.950.05-=称为检验水平）； （3）计算样本相关系数r ；（4）作出统计推断：若0.05||r r >，则否定0H ，表明有95%的把握认为变量y 与x 之间具有线性相关关系；若0.05||r r ≤，则没有理由拒绝0H ，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量y 与x 之间具有线性相关关系．说明：1．对相关系数r 进行显著性检验，一般取检验水平0.05α=，即可靠程度为95%． 2．这里的r 指的是线性相关系数，r 的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系．3．这里的r 是对抽样数据而言的．有时即使||1r =，两者也不一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释． 4．对于上节课的例1,可按下面的过程进行检验： （1）作统计假设0H ：x 与y 不具有线性相关关系；（2）由检验水平0.05与29n -=在附录2中查得0.050.602r =； （3）根据公式()2得相关系数0.998r =；（4）因为0.9980.602r =>，即0.05r r >，所以有95﹪的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系,线性回归方程为527.59114.453y x =+是有意义的． 四．数学运用 1．例题：例1．下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨y 与x 之间的关系．因为()1541571638159.25x =+++÷=，()1551561668161y =+++÷=，()82222218()1541638159.2559.5ii xx =-=++-⨯=∑， ()82222218()1551668161116ii yy =-=++-⨯=∑，()8181541551631668159.2516180iii x y x y =-⨯++⨯-⨯⨯=∑，所以963.01165.5980≈⨯=r ，由检验水平0.05及26n -=，在附录2中查得707.005.0=r ，因为0.9630.707>,所以可以认为x 与y 之间具有较强的线性相关关系．线性回归模型y a bx ε=++中,a b 的估计值,a b 分别为()8182218 1.345,8i ii ii x y x yb xx==-=≈-∑∑ 53.191a y b x =-≈-，故y 对x 的线性回归方程为x y 345.1191.53+-=．例2．要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中随（1）计算入学成绩x 与高一期末成绩y 的相关系数；（2）如果x 与y 之间具有线性相关关系，求线性回归方程；（3）若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩． 解：(1)因为()16367767010x =⨯+++=，()16578757610y =⨯+++=，101()()1894xy i i i L x x y y ==--=∑，2101()2474xx i i L x x ==-=∑，1021()2056yy i i L y y ==-=∑．因此求得相关系数为10()()0.840iix x y y L r --===∑．结果说明这两组数据的相关程度是比较高的； 小结解决这类问题的解题步骤：（1）作出散点图，直观判断散点是否在一条直线附近； （2）求相关系数r ；（3）由检验水平和2n -的值在附录中查出临界值，判断y 与x 是否具有较强的线性相关关系；（4）计算a ，b ，写出线性回归方程． 2．练习：104P 练习第1题． 五．回顾小结：1．相关系数的计算公式与回归系数b 计算公式的比较； 2．相关系数的性质；3．探讨相关关系的基本步骤． 六．课外作业：106P 习题3.2第1题．。

城东蜊市阳光实验学校2021高考复习数学回归课本：函数一．考试内容：映射.函数.函数的单调性.奇偶性. 反函数.互为反函数的函数图像间的关系.指数概念的扩大.有理指数幂的运算性质.指数函数. 对数.对数的运算性质.对数函数. 函数的应用. 二．考试要求：(1)理解映射的概念，理解函数的概念.(2)理解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. (3)理解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数. (4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质. (5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质.掌握对数函数的概念、图像和性质. (6)可以运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.【注意】函数是高中数学的核心内容，也是学习高等数学的根底.在历年高考试卷中，占分多，比重大.考生在复习函数部分时:①一要加深对函数概念、性质的理解；②纯熟掌握与函数有关的各种解题方法和技巧；③严密联络与本部分有关的知识，掌握综合题的解题通法和技巧. 三．根底知识:1.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.2..解连不等式()Nf x M<<常有以下转化形式⇔11()f x N M N>--. 3.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程)0(02≠=++a c bx ax有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于)()(21<k f k f ,或者者0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或者者)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 4.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处获得，详细如下：(1) 当a>0时，假设[]q p abx ,2∈-=，那么 (2) {}min max max ()(),()(),()2bf x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =， {}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，假设[]q p abx,2∈-=，那么{}min ()min (),()f x f p f q =，假设 []q p abx ,2∉-=，那么{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 5..一元二次方程的实根分布 根据：假设()()0f m f n <，那么方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根.设q px x x f ++=2)(，那么〔1〕方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或者者2402p q pm ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩； 〔2〕方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或者者2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或者者()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或者者()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；〔3〕方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或者者2402p q pm ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩. 6.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件根据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L 〔形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同〕上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或者者2040a b ac <⎧⎨-<⎩. 7.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，假设0)(>'x f ，那么)(x f 为增函数；假设0)(<'x f ，那么)(x f 为减函数.7.假设函数)(x f 和)(x g 都是减函数,那么在公一一共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;假设函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,那么复合函数)]([x g f y =是增函数.8．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，假设一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；假设一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 9.假设函数)(x f y =是偶函数，那么)()(a x f a x f --=+；假设函数)(a x f y +=是偶函数，那么)()(a x f a x f +-=+.10.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,那么函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. 11.假设)()(a x f x f +--=,那么函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;假设)()(a x f x f +-=,那么函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.12．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.13.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.14.两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.15.假设将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；假设将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.16．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.17.假设函数)(b kx f y +=存在反函数,那么其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx fy +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 18.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 19.几个函数方程的周期(约定a>0)〔1〕)()(a x f x f +=，那么)(x f 的周期T=a ； 〔2〕0)()(=+=a x f x f ，或者者)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或者者1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或者者[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,那么)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，那么)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，那么)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,那么)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，那么)(x f 的周期T=6a.20.分数指数幂(1)m na =〔0,,am n N *>∈，且1n >〕.(2)1m nm naa-=〔0,,am n N *>∈，且1n >〕.21．根式的性质〔1〕n a =.〔2〕当na =；当n为偶数时，,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. 22．有理指数幂的运算性质(1)(0,,)rs r s aa a a r s Q +⋅=>∈.(2)()(0,,)r srs aa a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr r ab a b a b r Q =>>∈.注：假设a ＞0，p 是一个无理数，那么ap 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.23.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.24.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠,0N >).推论loglog mn a anb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠,0N >). 25．对数的四那么运算法那么 假设a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0，那么 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2)log log log a a a MM N N=-; (3)log log ()n aa M n M n R =∈.26.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.假设)(x f 的定义域为R ,那么0>a ，且0<∆;假设)(x f 的值域为R ,那么0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.27.对数换底不等式及其推广 假设0a>,0b >,0x >,1x a≠,那么函数log ()ax y bx = (1)当ab >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.，(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1nm >>，0p >，0a >，且1a ≠，那么〔1〕log ()log m p m n p n ++<.〔2〕2log log log 2aa a m nm n +<. 四．根本方法和数学思想 1.复合函数的有关问题〔1〕复合函数定义域求法：假设f(x)的定义域为［a ，b ］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出即可；假设f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域〔即f(x)的定义域〕；〔2〕复合函数的单调性由“同增异减〞断定； 2.函数的奇偶性〔1〕假设f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ;〔2〕定义域含零的奇函数必过原点〔可用于求参数〕；〔3〕判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或者者1)()(±=-x f x f 〔f(x)≠0〕; (4)假设所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；〔5〕奇函数在对称的单调区间内有一样的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； 3.函数图像〔或者者方程曲线的对称性〕(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心〔对称轴〕的对称点仍在图像上； 〔2〕证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心〔对称轴〕的对称点仍在C2上，反之亦然；〔3〕曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y －a,x+a)=0(或者者f(－y+a,－x+a)=0);〔4〕曲线C1:f(x,y)=0关于点〔a,b 〕的对称曲线C2方程为：f(2a －x,2b －y)=0;〔5〕假设函数y=f(x)对x∈R 时，f(a+x)=f(a －x)恒成立，那么y=f(x)图像关于直线x=a 对称； 〔6〕函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=2ba +对称； 4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R 时，f(x+a)=f(x －a)或者者f(x －2a)=f(x)(a>0)恒成立,那么y=f(x)是周期为2a 的周期函数；〔2〕假设y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，那么f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；〔3〕假设y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，那么f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数； 〔4〕假设y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，那么f(x)是周期为2ba -的周期函数；〔5〕y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，那么函数y=f(x)是周期为2ba -的周期函数；〔6〕y=f(x)对x∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或者者f(x+a)=)(1x f -，那么y=f(x)是周期为2a 的周期函数；5.方程k=f(x)有解⇔k∈D(D 为f(x)的值域)；6.a≥f(x)⇔a≥［f(x)］max,;a≤f(x)⇔a≤［f(x)］min;7.〔1〕n a ab b n log log =(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=aNb b log log (a>0,a≠1,b>0,b≠1); (3)logab 的符号由口诀“同正异负〞记忆; (4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);8.能纯熟地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。