(完整版)双曲线练习题(含标准答案).doc

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线， 故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（ ） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1． 由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25， 解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 。

双曲线专题训练测试卷 2013.12.141．顶点为A 1(0，－25)，A 2(0,25)，焦距为12的双曲线的标准方程是( )A.x 220－y 216＝1B.y 220－x 216＝1C.x 216－y 220＝1D.y 220－x 2124＝1 答案 B解析 顶点在y 轴上，a ＝25，c ＝6，得b ＝4.∴标准方程为y 220－x 216＝1. 2．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率是( )A.53B.43C.5＋12D.6＋12答案 C解析 由2a ·2c ＝(2b )2及b 2＝c 2－a 2，得c 2－ac －a 2＝0，e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52，由e >1得，e ＝1＋52. 3．θ是第三象限角，方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线答案 D解析 方程可化为x 2cos θ＋y 21tan θ＝1， ∵θ是第三象限角，∴cos θ<0，1tan θ>0，故选D. 4．经过点M (3，－1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是( )A ．y 2－x 2＝8B ．x 2－y 2＝±8C ．x 2－y 2＝4D ．x 2－y 2＝8答案 D解析 设双曲线方程为x 2－y 2＝k ，将M 点坐标代入得k ＝8.所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.5．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上答案 B解析 原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双线，故选B. 6．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆答案 C解析 由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．7．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－12答案 B解析 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由一个焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，c 2＝(－1k )＋(－8k )＝－9k＝9，所以k ＝－1，故选B.8．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1答案 B解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B. 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53 C ．2 D.73答案 B解析 ||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ， 即5a ≥3c ，则c a ≤53. 10．双曲线x 2n－y 2＝1(n >1)的左、右两焦点分别为F 1、F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A.12B ．1C ．2D ．4 答案 B解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2n ，由|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ，|F 1F 2|＝2n ＋1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以∠F 1PF 2＝90°.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1. 11．双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线的夹角为________．答案 90°12．P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________． 答案 33解析 在双曲线x 264－y 236＝1中，a ＝8，b ＝6，故c ＝10.由P 是双曲线上一点，得||PF 1|－|PF 2||＝16.因为|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝33.又|PF 2|≥c －a ＝2，得|PF 2|＝33.13.x 24－t ＋y 2t －1＝1表示双曲线，则实数t 的取值范围是____________． 答案 t >4或t <1解析 由题意知：(4－t )(t －1)<0，即(t －4)(t －1)>0，∴t >4或t <1.14．F 1、F 2是双曲线y 29－x 216＝1的两个焦点，M 是双曲线上一点，且|MF 1|·|MF 2|＝32，求△F 1MF 2的面积为 ___________________．答案 16解析 由题意可得双曲线的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0,5)，由双曲线定义得：||MF 1|－|MF 2||＝6，联立|MF 1|·|MF 2|＝32得|MF 1|2＋|MF 2|2＝100＝|F 1F 2|2，所以△F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S ＝12|MF 1|·|MF 2|＝16.15．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P (0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3. 解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上， 设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1. (2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3， 所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24. 故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1. 16．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线与双曲线的交点为A ，B ，求线段AB 的长． 解 双曲线焦点坐标为F 1(－2,0)、F 2(2,0)，直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)，把该直线方程代入双曲线方程，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138. |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋13×(12)2－4×(－138)＝3. ∴线段AB 的长为3.17．某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA′＝14 m ，CC ′＝18 m ，BB ′＝22 m ，塔高20 m ．建立坐标系并写出该双曲线方程．解 (1)如图建立直角坐标系xOy ，以AA ′为x 轴，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴．设双曲线方程为22221x y a b-=(a>0，b>0)，则a=21，AA ′=7.又设B(11，y 1)，C(9，y2)， 因为点B 、C 在双曲线上，所以有2212291,7y b-=① 9272－y 22b 2＝1，② 由题意知y 2－y 1＝20.③由①、②、③得y 1＝－12，y 2＝8，b ＝7 2.故双曲线方程为x 249－y 298＝1.18．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知， 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103， 且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.② 由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求方程为x 22－y 25＝1.19．设点P 到点M (－1,0)，N (1,0)的距离之差为2m ，到x 轴、y 轴的距离之比为2∶1，求m 的取值范围．解 设P 点坐标为(x ，y )，依题意有|y ||x |＝2， 即y ＝±2x (x ≠0)①因此点P ，M ，N 三点不共线，∴||PM |－|PN ||<|MN |＝2.∵||PM |－|PN ||＝2|m |>0，∴0<|m |<1.故点P 在以M ，N 为焦点的双曲线x 2m 2－y 21－m 2＝1②上． 由①，②解得x 2＝m 2(1－m 2)1－5m 2. ∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0,0<|m |<55. ∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎫0，55. 20．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过原点．解 将y ＝ax ＋1代入3x 2－y 2＝1可得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＝24－4a 2Δ>0，则a 2<6设A 、B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)则x 1＋x 2＝2a 3－a 2，x 1x 2＝2a 2－3∠AOB ＝90°，即AO ⊥BO ，∴k AO ·k BO ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(1＋a 2)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0，即(1＋a 2)2a 2－3＋a 2a 3－a 2＋1＝0， ∴a 2＝1，满足a 2<6且a 2≠3的条件．所以当a ＝±1时，以AB 为直径的圆经过原点．。

双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ． 二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级 素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。

高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。

修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。

2.理解数形结合的思想。

3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。

一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。

点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。

2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。

点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。

双曲线的通径为 $2a$。

3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。

双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是　． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。

双曲线综合题（含答案）一、()()0,00p x y x a ≠±是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>上一点，M,N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM,PN 的斜率之积为15．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B 两点，O 为坐标原点，3113(,),,x OC x y OC OA OB y λ⎧==+⎨⎩即为双曲线上一点，即2223355,x y b -=有1(x λ化简得：22222211221212(5)(5)2(5)5x y x y x x y y b λλ-+-+-= (2)又1122(,),(,)A x y B x y 在双曲线上，所以222222112255,55x y b x y b -=-= 由（1）式又有2212121212121255()()45()510x x y y x x x c x c x x c x x c b -=---=-++-=得：240,0, 4.λλλλ+===-解出或二、已知以原点O 为中心，()5,0F 为右焦点的双曲线C 的离心率52e =。

（I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。

解：（Ⅰ）设C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则由题意55,2c c e a ===又， 因此222,1a b c a ==-=，C 的标准方程为2214x y -=. C 的渐近线方程为1,202y x x y =±-=即和20x y +=.（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点(,)E E E x y 在直线111:44l x x y y +=和222:44l x x y y +=上，因此有1E 1E 2E 2E 4444x x y y x x y y +=+=，. 故点M 、N 均在直线E E 44x x y y +=上，因此直线MN 的方程为E E 44x x y y +=.1411222OGH G H E E E E ES OQ y y x x y x y ∆=-=++- =222424E E R E x x x y =-.解法二：设(,)E E E x y ，由方程组11224444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，， 解得2112E E 122112214(),y y x x x y x y x y x y x y --==--. 因21x x ≠，则直线MN 的斜率21E 21E 4y y x k x x y -==--. 故直线MN 的方程为E 11E()4x y y x x y -=--， 注意到1E 1E 44x x y y +=，因此直线MN 的方程为E E 44x x y y +=.下同解法一.三、已知定点A (－1，0)，F (2，0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.解：(1)设P (x ,y )221(2)2||2x y x -+=-化简得x 2－23y =1(y ≠0)………………………………………………………………4分 (2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)与双曲线x 2－23y =1联立消去y 得(3－k )2x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0 由题意知3－k 2≠0且△＞0设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)， 则2122212243433k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4] ＝k 2(222243833k k k k +---＋4)＝2293k k --因为x 1、x 2≠－1 所以直线AB 的方程为y ＝111y x +(x ＋1)因此M 点的坐标为(1131,22(1)y x +) 1133(,)22(1)y FM x =-+,同理可得2233(,)22(1)y FN x =-+ 因此2121293()22(1)(1)y y FM FN x x =-+++＝222222814343494(1)33k k k k k k --++++-- ＝0②当直线BC 与x 轴垂直时，起方程为x ＝2，则B (2,3),C (2,－3)AB 的方程为y ＝x ＋1,因此M 点的坐标为(13,)，33(,)FM =- 同理可得33(,)22FN =--因此2333()()222FM FN =-+⨯-＝0 综上FM FN ＝0，即FM ⊥FN 故以线段MN 为直径的圆经过点F …………12分四、已知12(2, 0), (2, 0)F F -，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E .（Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.（i ）设点(, 0)M m ，问：是否存在实数m ，使得直线l 绕点2F 无论怎样转动，都有0MP MQ ⋅=成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.（ii ）过P 、Q 作直线12x =的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记||||||PA QB AB λ+=，求λ的取值范围. 解：（Ⅰ）由12||||2PF PF -=<12||F F 知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，由2,22c a ==，∴23b =，故轨迹E 的方程为).1(1322≥=-x y x …（3分） （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得0344)3(2222=++--k x k x k ，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，∴2212221223004034303k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩，解得23k >………………………………………（5分） （i ）∵1212()()MP MQ x m x m y y ⋅=--+212122222121222222222()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433x m x m k x x k x x k m x x m k k k k k m m k k k =--+--=+-+++++++=-++--2223(45)3m k m k -+=+-……………………（7分） 假设存在实数m ，使得0MP MQ ⋅=，故得2223(1)(45)0m k m m -+--=对任意的32>k 恒成立，∴2210450m m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得 1.m =- ∴当1m =-时，0MP MQ ⋅=.当直线l 的斜率不存在时，由(2,3),(2,3)P Q -及(1,0)M -知结论也成立，综上，存在1m =-，使得0MP MQ ⋅=.…………………………………………（8分） （ii ）∵1,2a c ==，∴直线12x =是双曲线的右准线，…………………………（9分）由双曲线定义得：2211||||||2PA PF PF e ==，21||||2QB QF =，方法一：∴221211|||2||2||k x x PQ AB y y λ+-==-221211|2|()|k x x k x x +-=- 221111.2||2k k k +==+…………………………………………（10分） ∵23k >，∴21103k <<，∴1323λ<<………………………………………（11分） 注意到直线的斜率不存在时，21|,|||==λ此时AB PQ ，综上，.33,21⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈λ………………………………………………………………（12分）五、设四点A 、B 、C 、D 均在双曲线122=-y x 的右支上。

双曲线及其标准方程测试题及解析（人教版）§2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程课时目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为__________________________________________．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F1________，F2__________.(3)双曲线中a、b、c的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若ax2＋by2＝b(ab0)，则这个曲线是()A．双曲线，焦点在x轴上B．双曲线，焦点在y轴上C．椭圆，焦点在x轴上D．椭圆，焦点在y轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1D．x22－y22＝14．双曲线x2m－y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为()A．12B．1或3C．1＋22D．2－125．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为()A．抛物线B．圆C．双曲线的一支D．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()A．x24－y2＝1B．x2－y24＝1C．x22－y23＝1D．x23－y22＝1题号123456答案二、填空题7．设F1、F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→PF2→＝0，则|PF1||PF2|＝______. 8．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．9．F1、F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1||PF2|＝32，则∠F1PF2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sinB －sinC＝12sinA，求动点A的轨迹方程．能力提升12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP→FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F1F2|以F1，F2为端点的两条射线不存在(2)双曲线的焦点双曲线的焦距2．(1)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)(－c,0)(c,0)(2)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)(0，－c)(0，c)(3)c2＝a2＋b2作业设计1．B[根据双曲线的定义，乙&#8658;甲，但甲乙，只有当2a|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．] 2．B[原方程可化为x2ba＋y2＝1，因为ab0，所以ba0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]3．A[∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a2－32b2＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.]4．A[∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝12.]5．C[由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B[设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，因为c＝5，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以x2a2－y25－a2＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a2＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－y24＝1.故选B.]7．2解析∵||PF1|－|PF2||＝4，又PF1⊥PF2，|F1F2|＝25，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1||PF2|＝2.8．－1k1解析因为方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)0.所以(k＋1)(k－1)0.所以－1k1.9．90°解析设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.在△F1PF2中，由余弦定理，得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosα，∴cosα＝(r1－r2)2＋2r1r2－4c22r1r2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解方法一设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有42a2－(±15)2b2＝1，a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5. 所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.11．解设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝2R，代入sinB－sinC＝12sinA，得|AC|2R－|AB|2R＝12|BC|2R，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4.因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以a＝2，c＝4，b2＝12.所以A点的轨迹方程为x24－y212＝1(x2)．12．B[由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y2＝1.设P(x，y)(x≥3)，∴OP→FP→＝(x，y)(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋x23－1＝43x2＋2x－1(x≥3)．令g(x)＝43x2＋2x－1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g(3)＝3＋23.OP→FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，且c＝7，则a2＋b2＝7.①由MN中点的横坐标为－23知，中点坐标为－23，－53.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵x1＋x2＝－43y1＋y2＝－103，且y1－y2x1－x2＝1，∴2b2＝5a2.②由①，②求得a2＝2，b2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x22－y25＝1.。

双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。

2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。

3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。

4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。

5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。

6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。

双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-，则n = A.2- B .4 C.6 D.8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是A.B. C. D. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=,且12PF =,则e =A.B. 1C.D . 19. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+ C ．21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =A ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =，则12PF PF +=A ．B ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22． 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26． 若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:2x =与x 轴的交点,若60,PMF ∠=45PFM ∠=,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于 三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率2e =30.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点()P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若O E F =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6．C7．A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144y=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21．322．42324．2π25．826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是x=e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率2e=顶点到渐近线的距离为5；2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点()P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(13)k∴∈--，，.②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。

圆锥曲线之----双曲线专题1. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得∠F 1PF 2=60°，|OP|=3b(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )A. 43B. 2√33C. 76D. √426【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的定义与余弦定理的应用，得到a 2与c 2的关系是关键，也是难点，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．利用双曲线的定义与余弦定理可得到a 2与c 2的关系，从而可求得该双曲线的离心率． 【解答】解：设该双曲线的离心率为e ，依题意，||PF 1|−|PF 2||=2a ， ∴|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2，不妨设|PF 1|2+|PF 2|2=x ，|PF 1|⋅|PF 2|=y ， 上式为：x −2y =4a 2，① ∵∠F 1PF 2=60°， ∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得，|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|⋅cos60°=4c 2，② 即x −y =4c 2，②又|OP|=3b ，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=4|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=36b2， 即|PF 1|2+|PF 2|2+|PF 1|⋅|PF 2|=36b 2，即x +y =36b 2，③由②+③得：2x =4c 2+36b 2， ①+③×2得：3x =4a 2+72b 2， 于是有12c 2+108b 2=8a 2+144b 2， ∴c 2a =76， ∴e =ca =√426． 故选D ．2. 过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，O 为坐标原点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则双曲线的离心率为( )A. 1+√52B. √52C. √5D. 1+√32【答案】C【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．设F′为双曲线的右焦点，由题设知|EF|=b ，|PF|=2b ，|PF′|=2a ，再由|PF|−|PF′|=2a ，知b =2a ，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵|OF|=c ，|OE|=a ，OE ⊥EF ，∴|EF|=b ， 设F′为双曲线的右焦点，∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则E 为PF 的中点，OE 为△FPF′的中位线，∴|PF|=2b ，|PF′|=2a ，∵|PF|−|PF′|=2a ，∴b =2a ， ∴e =√1+(ba )2=√5， 故选：C3. 已知F 1，F 2分别是双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a,b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,2) B. (2,+∞) C. (1,√2) D. (√2,+∞) 【答案】A【解析】解：如图1，不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =ab x 平行的直线为y =ab x +c ， 联立{y =a b x +cy =−a b x 解得{x =−bc2a y =c 2即M(−bc 2a ,c2) 因M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2+y 2=c 2内， 故(−bc 2a )2+(c2)2<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2−a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线离心率e =ca >1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选：A ．不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =a b x 平行的直线为y =ab x +c ，联立直线组成方程组，求出M 坐标，利用点与圆的位置关系，列出不等式然后求解离心率即可． 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力．4. 若双曲线E ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F(3,0)，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为P(−3,−6)，则E 的方程为( )A. x 25−y 24=1B. x 24−y 25=1C. x 26−y 23=1D. x 23−y 26=1【答案】D【解析】解：由题意可得直线l 的斜率为k =k PF =0+63+3=1， 可得直线l 的方程为y =x −3， 代入双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1可得(b 2−a 2)x 2+6a 2x −9a 2−a 2b 2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=6a2a2−b2，由AB的中点为P，可得6a2a2−b2=−6，即有b2=2a2，又a2+b2=c2=9，解得a=√3，b=√6，则双曲线的方程为x23−y26=1．故选：D．求出直线l的斜率和方程，代入双曲线的方程，化简可得x的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点坐标，可得a，b的方程组，解得a，b，进而得到双曲线的方程．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的焦点和联立方程组，运用韦达定理、中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. √2D. √5【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，则c=√a2+b2=√3a，进而得到离心率．【解答】解：设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，由|ON|=a，且ON为△F1F2A的中位线，可得|F2A|=2a，|F1N|=√c2−a2=b，即有|F1A|=2b，在直角三角形MF2A中，可得|MF2|=2√2a，即有|MF1|=2b+2a，由双曲线的定义可得|MF1|−|MF2|=2b+2a−2√2a=2a，可得b=√2a，∴c=√a2+b2=√3a，∴e=ca=√3．故选：A ．6. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若∠F 1MF 2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,√2) B. (√2,+∞) C. (1,2) D. (2,+∞) 【答案】D【解析】【分析】可得M ，F 1，F 2的坐标，进而可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，结合abc 的关系可得关于ac 的不等式，结合离心率的定义可得范围．本题考查双曲线的离心率，考查学生解方程组的能力，属中档题． 【解答】解：联立{x 2a 2−y 2b2=1y =b a(x −c)，解得{x =c 2y =−bc 2a，∴M(c 2,−bc2a )，F 1(−c,0)，F 2(c,0)， ∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3c 2,bc 2a)，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c 2,bc2a )， 由题意可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即b 2c 24a 2−3c24>0，化简可得b 2>3a 2，即c 2−a 2>3a 2， 故可得c 2>4a 2，c >2a ，可得e =ca >2 故选D ．7. 设双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N ，连结MF 2，NF 2，若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √6【答案】B【解析】解：若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得△MNF 2为等腰直角三角形，设|MF 2|=|NF 2|=m ，则|MN|=√2m ， 由|MF 2|−|MF 1|=2a ，|NF 1|−|NF 2|=2a ，两式相加可得|NF 1|−|MF 1|=|MN|=4a ，即有m =2√2a ，在直角三角形HF 1F 2中可得4c 2=4a 2+(2a +2√2a −2a)2， 化为c 2=3a 2，即e=ca=√3．故选：B．由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|=|NF2|=m，则|MN|=√2m，运用双曲线的定义，求得|MN|=4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为(√3−1)a，则其离心率为()A. √3B. 2C. √3+1D. 2√3【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c−a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：如图：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S△AF1F2=12|AF2|⋅|F1F2|=12r(|AF1|+|AF2|+|F1F2|)，由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=|AF2|+|F1F2|−|AF1|2=2c−2a2=c−a=(√3−1)a，从而可以得出c=√3a，则离心率e=ca=√3，故选A．9.已知O为坐标原点，双曲线x2−y2b2=1(b>0)上有一点P，过点P作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的离心率为()A. √17B. √15C. √5D. √3【答案】C【解析】解：由双曲线方程可得渐近线方程bx±y=0，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，则l的方程为：bx+y−bm−n=0，l与渐近线bx−y=0交点为A，则A(bm+n2b ,bm+n2)，|OA|=|bm+n2b|√1+b2，P点到OA的距离是：d=√b2+1，∵|OA|⋅d=1，∴|bm+n2b |√1+b2⋅bm−n√b2+1=1，∴b=2，∴c=√5，∴e=√5故选：C．求得双曲线的渐近线方程，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得b，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和两直线平行的条件：斜率相等，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.倾斜角为30°的直线l经过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±xB. y=±12x C. y=±√32x D. y=±√52x【答案】A【解析】解：如图MF2为△ABF2的垂直平分线，可得AF2=BF2，且∠MF1F2=30°，可得MF2=2c⋅sin30°=c，MF1=2c⋅cos30°=√3c，由双曲线的定义可得BF1−BF2═2a，AF2−AF1=2a，即有AB=BF1−AF1=BF2+2a−(AF2−2a)=4a，即有MA=2a，AF2=√MA2+MF22=√4a2+c2，AF1=MF1−MA=√3c−2a，由AF2−AF1=2a，可得√4a2+c2−(√3c−2a)=2a，可得4a2+c2=3c2，即c=√2a，b=√c2−a2=a，则渐近线方程为y=±x．故选：A．由垂直平分线性质定理可得AF2=BF2，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得AB= 4a，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．11. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为( )A. √62B. √52C. 2√33D. √3【答案】B【解析】解：如图，不妨设直线l 的斜率为−ab ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立{y =−a b (x −c)x 2a2−y 2b 2=1，得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0． ∴y =ab 3±a 2b 2(b 2−a 2)c．由题意，方程得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0的两根异号， 则a >b ，此时y A =ab 3+a 2b 2(b 2−a 2)c<0，y B =ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c>0．则ab 3+a 2b 2(a 2−b 2)c =3ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c，即a =2b ．∴a 2=4b 2=4(c 2−a 2)，∴4c 2=5a 2，即e =ca=√52． 故选：B ．不妨设直线l 的斜率为−a b ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解． 本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45°，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√3xC. y =±xD. y =±2x 【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a ，b 的关系，进而得到所求渐近线方程． 【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ， 由|ON|=a ，且ON 为△F 1F 2A 的中位线，可得 |F 2A|=2a ，|F 1N|=√c 2−a 2=b ， 即有|F 1A|=2b ， 因为∠F 1MF 2=45°，所以在等腰直角三角形MF 2A 中，可得|MF 2|=2√2a ， 即有|MF 1|=2b +2a ，由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2b +2a −2√2a =2a ， 可得b =√2a ，则双曲线的渐近线方程为y =±√2x. 故选A ．13. 已知点F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线x =a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，若AF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. √5B. 1+√2C. 1+√5D. −1+√5【答案】D【解析】解：设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1的右焦点F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y =ba x ， 由x =a 代入渐近线方程可得y =b ， 则A(a,b)，可得AF 的中点为(a+c 2,12b)，代入双曲线的方程可得(a+c)24a 2−14=1，可得4a 2−2ac −c 2=0， 由e =ca ，可得e 2+2e −4=0，解得e =√5−1(−1−√5舍去)， 故选：D ．设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点A 的坐标，运用中点坐标公式，可得中点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．14. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 的直线切圆x 2+y 2=a 2于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. y =±x B. y =±2xC. y =±12xD. y =±√32x 【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义和渐近线方程，属于中档题． 由已知可得|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′，由P 为线段FQ 的中点，知|QF′|=2a ，|QF|=2b ，由双曲线的定义知：2b −2a =2a ，由此能求出双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的渐近线方程．【解答】解：∵过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为P ，∴|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′， 由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得，P 为线段FQ 的中点， ∴|QF′|=2|OP |=2a,|QF |=2|PF |=2b,，由双曲线的定义知：|QF |−|QF′|=2b −2a =2a ， ∴b =2a ． ∴双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x =±2x ， 故选B ．15. 已知F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点.过点F 向C 的一条渐近线引垂线.垂足为A.交另一条渐近线于点B.若|OF|=|FB|，则C 的离心率是( )A. √62B. 2√33C. √2D. 2【答案】B【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单几何性质，考查求双曲线性质的常用方程，考查数形结合思想，属于中档题．方法一：由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求得|AF|，分别求得|OB|，|根据勾股定理|OB|2=|OA|2+|AB|2，求得a 和b的关系，即可求得双曲线的离心率； 方法二：利用余弦定理求得：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB =2c 2+2bc ，即可求得求得a 和b 的关系，即可求得双曲线的离心率；方法三：根据三角形的面积相等及渐近线方程求得A 点坐标，利用直角三角形的性质，即可求得a和b的关系，即可求得双曲线的离心率；方法四：求得双曲线的渐近线及AB的方程，联立即可求得A和B点坐标，根据等腰三角形的性质，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：方法一：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，|AB|=b+c，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，|OB|2=OA|2+|AB|2=a2+ (b+c)2．∴4a2=a2+(b+c)2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33，故选B．方法二：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a由∠OFB=π−∠OFA，cos∠OFB=cos(π−∠OFA)=−cos∠OFA=−bc，由余弦定理可知：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB=2c2+2bc，∴2c2+2bc=4a2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33故选B．方法三：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，根据三角形的面积相等，则A(a2c ,abc)，∴在Rt△OAB中，2a=2×2×abc ，即c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca=2√33故选B．方法四：双曲线的一条渐近线方程为y=ba x，直线AB的方程为：y=−ab(x−2)，{y=baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2cy=abc，则A(a2c,abc)，{y=−baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2ca2−b2y=−abca2−b2，则B(a2ca2−b2,abca2−b2)，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，则2×abc =abca2−b2，整理得：a2=3b2，∴e=c a=√1+b 2a =2√33， 故选：B ．16. 已知双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，P 是该双曲线上的点，P 在该双曲线两渐近线上的射影分别是A ，B ，则|PA|⋅|PB|的值为( )A. 45B. 35C. 43D. 34【答案】A【解析】解：双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，可得e 2=c 2a 2=(m+1)2+m 2(m+1)2=54， 解得m =1，即双曲线的方程为x 24−y 2=1，渐近线方程为x ±2y =0， 设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4， 由题意可得|PA|⋅|PB|=√1+4⋅√1+4=|s 2−4t 2|5=45．故选：A ．运用离心率公式，解方程可得m =1，求得渐近线方程，设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4，运用点到直线的距离公式，化简整理，即可得到所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，化简整理的运算能力，属于中档题．17. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 29的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √173B. √176C. √105D. √102【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的性质，以及双曲线的定义和中位线定理，勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，知E 为PF 的中点，令右焦点为F′，则O 为FF′的中点，则|PF′|=2|OE|=23a ，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，由此能求出离心率． 【解答】解：由若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得E 为PF 的中点， 令右焦点为F′，O 为FF′的中点， 则|PF′|=2|OE|=23a ，由E 为切点，可得OE ⊥PF ， 即有PF′⊥PF ，由双曲线的定义可得|PF|−|PF′|=2a ， 即|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，即649a 2+49a 2=4c 2，即c =√173a ，则离心率e =c a =√173．故选A ．18. 已知双曲线M ：x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=2c.若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A. (1,2+√73) B. (1,2+√73] C. (1,2) D. (1,2]【答案】A【解析】解：由a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，在△PF 1F 2中，由正弦定理可得PF 2sin∠PF 1F 2=PF1sin∠PF 2F1， 可得3c ⋅PF 2=a ⋅PF 1，且PF 1−PF 2=2a联立可得PF 2=2a 23c−a >0，即得3c −a >0，即e =ca >13，…①又PF 2>c −a(由P 在双曲线右支上运动且异于顶点)， ∴PF 2=2a 23c−a >c −a ，化简可得3c 2−4ac −a 2<0， 即3e 2−4e −1<0，得2−√73<e <2+√73…②又e >1，③由①②③可得，e 的范围是(1,2+√73).故选：A ．利用正弦定理及双曲线的定义，可得a ，c 的不等式，结合PF 2>c −a ，即可求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，考查化简整理的圆能力，属于中档题．19. 设F 1，F 2是双曲线x 24−y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值等于( )A. 2B. 2√2C. 4D. 8【答案】A【解析】解：由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，则|F 1F 2|=2√5．即{|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20||PF 1|−|PF 2|=4， 得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选A ．先由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，得出|F 1F 2|=2√5.再由向量的数量积为0得出直角三角形PF 1F 2，最后在此直角三角形中利用勾股定理及双曲线的定义列出关于的方程，即可解得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．本题主要考查了双曲线的应用及向量垂直的条件．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．20. 已知双曲线y 2a 2−x2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 2，F 1，过F 1且倾斜角为锐角的直线1与圆x 2+y 2=a 2相切，与双曲线的上支交于点M.若线段MF 1的垂直平分线过点F 2，则该双曲线的渐近线的方程为( )A. y =±43xB. y =±34xC. y =±53xD. y =±35x【答案】B【解析】解：设MF 1与圆相切于点E ，因为|MF 2|=|F 1F 2|=2c ，所以△MF 1F 2为等腰三角形， N 为MF 1的中点， 所以|F 1E|=14|MF 1|，又因为在直角△F 1EO 中，|F 1E|2=|F 1O|2−a 2=c 2−a 2， 所以|F 1E|=b =14|MF 1|①又|MF 1|=|MF 2|+2a =2c +2a ②， c 2=a 2+b 2 ③ 由①②③可得c 2−a 2=(c+a 2)2， 即为4(c −a)=c +a ，即3c =5a ， b =√c 2−a 2=√259a 2−a 2=43a ， 则双曲线的渐近线方程为y =±ab x ， 即为y =±34x.故选：B ．先设MF 1与圆相切于点E ，利用|MF 2|=|F 1F 2|，及直线MF 1与圆x 2+y 2=a 2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．21. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF 交双曲线右支于点B ，且B 为线段AF 的中点，则该双曲线的离心率是( )A. 2B. √62C. 2√105D. √2【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出FA 的中点B 的坐标是解题的关键．设渐近线方程为y =b a x ，则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)，代入渐近线方程求得A 的坐标，由中点公式求得中点B 的坐标，再把点B 的坐标代入双曲线求得离心率． 【解答】解：由题意设渐近线方程为y =ba x ， 则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)， 代入渐近线方程y =b a x 可得A 的坐标为(a 2c ,abc)，B 是线段AF 2的中点(c+a 2c2,ab2c )，根据中点B 在双曲线C 上， ∴(a 2c +c)24a 2−a 2b 24b 2c 2=1，∴c 2a 2=2， 故e =ca =√2， 故选：D ．22. 已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM|=2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2=( )A. 1+√172B. 1+√174C. 2+√52D. 2+√54【答案】A【解析】解：由题意可设F(c,0)，一条渐近线方程为y =ba x ， 可得M(c,bca )， 即有2a =bc a ，即bc =2a 2，即b 2c 2=4a 4，即(c 2−a 2)c 2−4a 4=0，由e=c可得e4−e2−4=0，a(负的舍去)，解得e2=1+√172故选：A．设出F的坐标和一条渐近线方程，求得M的坐标和|FM|，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。