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范崇澄等导波光学

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波分复用系统中的四波混频估算

波分复用系统中的四波混频估算
0 12 $ ! 0 12 !
是落入该信道内各个四波混频项
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: 6 )+

; " 直 接 利用 式进 行计算十 分 繁 琐 但 对 于 典 型 波 分 复 用 光 纤 通 信 系 统 而 言 ’, < " < /+ ) 时对应于 = ? 设 ( / > <3 4 A@ ) > -@ ) 且 = = / > / < ? <@ ) B A@ ) A+ ) ’ / > C+ ) 则 中的最小值 ,/ > <@ ) 上式可化简为
其中 假设各信道功率同为 为光纤的非线性系数 为光纤的损耗因子 为简并因 子 即当 时 为 否则 为 波矢失配因子 为
" " " " " ! ! # % & 式中 是参考角频率 取为色散绝对值 ! $ $ ’ $ ’ ’ ( $ $ )* + 最小的信道角频率 ( , . . $ )* + " $ / /为零色散点处的色散 % & % & ’ $ 光速和 ’ 斜率 而 ’ $ & ( )* + 分别是参考波长 $下的光纤色散参数 由于波分复用情况下每个信道内都可能落入多个四波混频项 而各个激光器的相位是独 立分布的随机变量 故信道 ! 内四波混频功率的期望值 0 12 $ 以 为5 功率的和 其归一化数值 ! 3 4计

光波导-1201

光波导-1201

阶跃光纤与渐变光纤
单模光纤与多模光纤
对称/非对称波导
n
对称波导：
芯区周围的介质折射率相同
n
非对称波导：
芯区周围的介质折技术
信息获取
信息传输
信息处理
其它应用
位移、振动 温度、压力 应变、应力 电流、电压 电场、磁场 流量、浓度 可以测量 70 多 个物理化学量
产学研合作平台
以华中科技大学为 以华中科技大学为 依托，建立接入系 依托，建立接入系 统工程实验研发平 统工程实验研发平 台，向国内外企业 台，向国内外企业 开放 开放 n n 理事企业优先使用 理事企业优先使用 技术平台，优先使 技术平台，优先使 用实验室的技术成 用实验室的技术成 果。 果。 n 联盟企业共享实验 n 联盟企业共享实验 室技术平台体系， 室技术平台体系， 开发新产品新技术。 开发新产品新技术。
n
光波导的进一步分类
�按纤芯折射率分布： 均匀折射率分布光波导；渐变折射率分布光波导 �按传播模式： 单模光波导；多模光波导 �按材料： 石英、塑料与红外光波导、III-V族材料光波导 �特种光波导（光纤）： 保偏(单偏振)光纤；有源光纤；晶体光纤 零/非零色散位移光纤；负色散光纤； 特殊涂层光纤；耐辐射光纤；发光光纤
光波探秘
光是什么？ n维系生命要素 n信息科学支柱 n光线的集束 n光子的集合 n一种电磁波
光波的传播
光波的重要参数 n光波强度 n光波频率 n光波长 n光波相位 n光波的偏振
光子学与光电子学
n
光子学：Photonics
– 描述光子的产生、传播、调制、放大、处理、 探测、存储等行为的一门学科 – 量子光学、分子光学、非线性光学、超快光学、 光子集成

光波导技术14-03

光波导技术14-03

光波导技术 华中科技大学·光电信息学院
7/540
平板波导应用


应用：集成光路（PLC）、光波导器件
铌酸锂晶体：具有良好的电光特性，在电光调制器中应用广泛。 InP材料：既可以制作光有源器件又可以制作光无源器件，被视 为光有源/无源器件集成的最好平台。 SOI材料：在MEMS器件中应用广泛，是光波导与MEMS混合集成的 优良平台。 聚合物波导：热光系数是SiO2的32倍，应用在需要热光调制的动 态器件中，可以大大降低器件功耗。 玻璃波导：具有最低的传输损耗和与光纤的耦合损耗，而且成本 低廉，是目前商用光分路器的主要材料。 二氧化硅光波导：具有良好的光学、电学、机械性能和热稳定性 ，被认为是无源光集成最有实用前景的技术途径。
d n0 n1 n2
光波导技术 华中科技大学·光电信息学院
11/540
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何光学分析

传播路径 光线分类 传播时延 时延差 数值孔径
光波导技术 华中科技大学·光电信息学院
12/540
光线的传播路径

光线轨迹： 锯齿形折线 约束光线条件：
– 上界面全反射：θ10>θc10=arcsin(n3/n1) – 下界面全反射：θ12>θc12=arcsin(n2/n1) – 相位匹配：上下两次反射经历相移为2π整数倍 内全反射临界角： Sinθc10=n3/n1 Sinθc12=n2/n1
2/540
光波导技术 华中科技大学·光电信息学院
均匀介质平板光波导



平面光波导是指组成光波导不同介质的折射率分布 的分界面是一些平面的光波导。 结构：y, z方向无限延伸 x方向（厚度）尺寸d接近于传输光波长量级 （数微米） 损耗1dB/cm左右 分类：

光波导理论---第一讲

光波导理论---第一讲

模式理论新应用 @2007OE
@2009 OSA A
芯的排列/数量组合
Tomáš Čižmár and Kishan Dholakia Optics Express, Vol. 19, Issue 20, p p. 18871-18884 (2011)
“光纤之父”----高锟博士 2009 诺贝尔 奖获得者
∗ 园截面介质光波导中场分布模式的 理论和实验研究也由E.Snitzer等在 1961年发表. ∗ 直到60年代中期，最好的光学玻璃 的传输损耗仍高达1000dB/km
意味着如果要在一公里长的光纤末端检测到一个波长为 1µm的光子(其能量为hv=6.625×10-34×3×1014~2×10-19J), 在其始端应输入的能量为2×1081J,这将远远超过太阳系形 成以来其全部辐射能量的总和 全部辐射能量的总和
导波光学是研究波长范围大体为0.1～10µm的电 磁波在各种波导结构中传播特性的科学
光纤是信息时代的基础
∗ 美研制出硒化锌光纤 可使军用激光雷 达效率更高。 ∗ 硒化锌光纤却可以传送波长为15微米的 光 ∗ /2011/0301 /14847.html
光纤激光器
激光攻击导弹
天文观测 基准星
微纳光纤
∗ 寂寞了二十多年的“集成光学 集成光学”的概念重又受到人 集成光学 们的关注，并发展成为“集成光子学”和“集成光 电子学”：在很小的空间范围内，将具有多种功能 的导波光学器件、光电子器件和电子电路集成在一 起，以提高性能、降低成本。值得注意的是，这里 的“集成”主要是指各种功能的集成，而不是像集 成电路那样强调单位面积内的元件数。 ∗ Kaminow I. P. Optical Integrated Circuits: A Personal Perspective.[J]. Lightwave Technology, Journal of, 2008, 26(9): 994-1004.

导波光学

导波光学
薄，一般小于一个微米，称为薄膜。薄膜夹在折射率分别 为n2和n3的敷层与衬底之间。
光线通过内全反射被束缚在中心薄膜之中。只有当n2和n3都
小于n1时，才会发生内全反射。
电介质波导 （n1>n2,n1>n3)
衬底界面上的临界角为
n2 sin c .......... .......... ...... 4.1 n1
1
0 n3
麦克斯韦方程
H D t r r E B t r D r B r r
无源波动方程
若 Maxwell 方程组中电荷源和电流源为 0 ， 则 B D E ; H t t B 0 有 D 0 ;
导波光学理论
光波导的基本概念
导波光：受到约束的光波 光波导：约束光波传输的媒介
介质光波导三要素：
• “芯 / 包”结构 • 凸形折射率分布，n1>n2 • 低传输损耗
光波导的分类
薄膜波导（平板波导） 矩形波导（条形波导） 园柱波导（光纤） 对称与非对称波导
平板波导
n3 n1 n2
矩形波导
脊型波导
PIC: Photon
OEIC: Optoelectronic MCVD: Modified MOCVD:
Metal Oxide chemical vapour deposit Phase Epitaxy
MBE:
Molecular Beam Epitaxy
LPE: Liquid
PCVD: Plasmon chemical vapour deposit
光波导技术的广阔应用领域
光波导技术
信息获取
信息传输
信息处理
其它应用

波动光学专题实验

波动光学专题实验
波动光学是现代激光光学、信息光学、非线性光学和应用光学的重要基础。 光的波动性最重要的特征是具有干涉、衍射和偏振现象，本章将就光的这三种现 象分三个专题进行实验研究。
§ 8.1 干涉测量专题
光的干涉是重要的光学现象之一，是光的波动性的重要实验依据。两列频率 相同、振动方向相同且相位差恒定的相干光在空间相交区域将会发生相互加强或 减弱现象，即光的干涉现象。光的波长虽然很短(在 10-7m量级)，但干涉条纹的间 距和条纹数却很容易用光学仪器测得。根据干涉条纹数目和间距的变化与光程差、 波长等的关系式，可以推出微小长度变化(光波波长数量级)和微小角度变化等， 因此干涉现象在照相技术、测量技术、平面角检测技术、材料应力及形变研究等 领域有着广泛的应用。
光的本性是光学研究的重要课题，微粒说和波动说两种理论的争论构成了光 学发展史中最具魅力的风景线。波动光学的体系初步形成于 19 世纪初。1801 年 托马斯·杨（Thomas Yong）圆满地解释了薄膜颜色和双缝干涉现象，并第一次成 功地测定了光的波长。1819 年菲涅尔（A.J. Fresnel）实验观察到光通过障碍物 后的衍射图样，并补充了惠更斯原理，形成了人们熟知的惠更斯-菲涅尔原理，圆 满地解释了光的干涉和衍射现象，以及光的直线传播等现象，奠定了波动光学的 基础。此后，麦克斯韦（J.C. Maxwell）、赫兹（H.R. Hertz）等人进一步完善了 光的电磁理论。
圆环条纹的级数 k 越高，在中心
处，i = 0 级次最高。当M1和M2′ 的间距 d 逐渐增大时，对任一级
干涉条纹 k 级，必定是以减少
cos ik 的值来满足式 (E1-2)的，故 该干涉条纹间距向 ik 变大的方向
移动，即向外扩展。这时，观察者
将看到条纹好像从中心向外“涌

波动光学


p O
§2.单缝衍射 单缝衍射 一.实验装置 二.衍射条纹 衍射条纹 明纹等间距
I
2.平行光会聚在 的焦平 平行光会聚在L的焦平 平行光会聚在 面上.平行于主光轴的光 面上 平行于主光轴的光 会聚在O点 平行于副光轴 会聚在 点,平行于副光轴 的光会聚于P点 的光会聚于 点. 3.各子波在 点光程相 各子波在O点光程相 各子波在 点为亮条纹(中 同,故O点为亮条纹 中 故 点为亮条纹 央明纹). 央明纹
a sinθ = 0
(3)暗纹条件 暗纹条件: 暗纹条件 a sinθ = ±kλ，k = 1,2,3… 明纹中心条件: 明纹中心条件 λ a sinθ = ±(2k′ +1) ， 2 k′ =1 2,3… , 中央明纹中心: 中央明纹中心
a sinθ = 0
注:上述暗纹和中央明纹 中心)位置是准确的， (中心)位置是准确的， 其余明纹中心的位置较 上稍有偏离. 上稍有偏离. (4)中央明纹的角宽度 两 中央明纹的角宽度(两 中央明纹的角宽度 旁第一暗纹对应的角度) 旁第一暗纹对应的角度
1 2 1′ ′ 2′ ′
半波带 半波带
θ
a B 半波带 半波带 A
1 2 1′ ′ 2′ ′
把光程差δ分为的半波长 把光程差 分为的半波长 λ/2倍数进行分析 倍数进行分析. 倍数进行分析 a a sinθ = λ 时，可将缝分 两个“半波带” 为两个“半波带”
λ/2
两个“ 半波带” 两个 “ 半波带 ” 上发的 光在 P处干涉相消形成暗 3 . 当 a sinθ = 2 λ 可将缝分成三个“ 时 ， 可将缝分成三个 “ 半波带” 半波带”
缝较大时， 缝较大时，光是直线传 播的
惠更斯——菲涅耳原理 二. 惠更斯 菲涅耳原理 表述: 表述 : 波传到的任何一点 都可看作发射子波的波源, 都可看作发射子波的波源, 从同一波阵面上各点发射 的子波在空间某点相遇而 的子波在空间某点相遇而 相干叠加, 相干叠加,决定该点波的光强 . n

波动光学与光谱学

波动光学与光谱学光谱学是研究光的各种性质和特征的科学学科，其中涉及的一个领域便是波动光学。

波动光学是一种研究光的传播和相互作用的分支学科，它通过对光波的动力学特性进行研究，揭示了光的行为和光与物质之间的相互作用现象。

波动光学的研究对于理解光的本质和应用于光学技术的发展至关重要。

一、波动光学的基础波动光学的研究基础来源于波动现象的相关原理。

1873年，英国科学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦提出了电磁波理论，即光是由电磁波组成的。

这一理论奠定了波动光学的基础，描述了电磁波在介质中的传播和相互作用的规律。

在波动光学中，光被视为一种电磁波，通过一系列数学公式和方程来描述光的传播和光场的变化。

波动光学的发展也借鉴了其他波动现象的研究成果，如声波、水波等，将部分波动理论和方法应用到光学中。

二、波动光学的主要研究内容波动光学的研究内容包括波动光学基本原理、衍射、干涉、瑞利理论、相干光与非相干光等。

其中，衍射和干涉是波动光学中最为重要的内容，它们解释了光的传播和相互作用现象。

衍射是指光波在遇到遮挡物或通过狭缝时发生的偏折现象。

衍射现象是波动光学的核心内容之一，它研究了光的传播和弯曲现象，解释了为什么我们可以看到明亮的光点背后会出现暗纹。

干涉是指两个或多个光波相遇时，相互作用和干涉产生的现象。

干涉现象也是波动光学的重要内容，它研究了光波之间的相位差和干涉条纹的形成原理，揭示了光波的传播和叠加规律。

瑞利理论是波动光学中的一项重要成果，它研究了光的散射和衍射现象。

瑞利理论描述了光在传播过程中的衍射限制和衍射模糊现象，对于解释光传播的一些特殊现象具有重要意义。

相干光与非相干光是波动光学中的概念，它们用来描述光波的相位差和波面的统计性质。

相干光是指光波具有确定相位关系的状态，而非相干光则是指光波的相位关系是随机的。

相干光和非相干光对于光的干涉、衍射和成像等现象有着重要影响。

三、波动光学的应用波动光学的研究成果在光学领域的应用非常广泛。

第二章光的衍射《光学教程》范长江


二、合振幅的计算
以a1、a2、a3、…分别表 示各半波带发出的次波在 P点所产生的振幅。
P点叠加的合振幅Ak为：
Ak a1 a2 a3 a4 a5 ....... (1)k1ak
§2.3 菲涅耳半波带
S 2 R2 (1 cos)
cos R2 (R r0 )2 rk2
2R(R r0 ) 将上列两式分别微分
一、菲涅耳半波带
S
R
O
rk=r0+k(λ/2)
B3
B2 B1 B0
r3=r0+3(λ/2) r2=r0+2(λ/2) r1=r0+λ/2
r0
P
令PB0＝r0
r1
r 0
r2
r1
r3
r2
rk
rk 1
2
光学
§2.3 菲涅耳半波带
由任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达P点时的光 程差为/2，即它们的相位差为，这样分成的环形带叫做 菲涅耳半波带，简称半波带。
45
§2.3 夫琅禾费单缝衍射
x
L2
·· B D
MN
P0
B
P
Ap
A0
sin u u
A0
sin cu
4、狭缝上所有次波在
P 的叠加（附录2.1）
E dE
A0
sin
b
sin
b
sin
ei
b sin
K
t
I p I0 sin c2u
46
§2.3 夫琅禾费单缝衍射
三、衍射花样的强度分布 （1）单缝衍射中央最大位置
ak缓慢
由此可得
a1 a2 a3 a4 ak

导波光学

导波光学清华大学电子工程系范崇澄等编著内容简介本书系1988年出版的同名教材的修改版。

全书由九章增至十二章，系统讨论了用于光通信、光传感和光信息处理的光波导的基本原理和特性。

内容包括光波理论的一般问题、平面与条形光波导、耦合波理论、阶跃和渐变折射率光导纤维中的场解、光波导中的损耗、信号沿光波导传输时的弥散、单模光纤中的双折射和偏振态的演化、光纤光栅、有源掺杂光纤以及光纤中的非线性等内容。

在叙述中强调基本物理概念和处理方法的思路，并介绍了本学科近期发展的某些重要成果。

本书适合于有关光通信、信息光电子学、电子物理、以及微波技术等专业的大学高年级学生及研究生阅读，并可作为有关领域的教学、科学研究和工程技术人员参考。

教学大纲总学时：60。

授课方式：讲课+自学。

主要内容（根据需要有所取舍）：第一章光导波理论的一般问题§1-1 导波光学的基本问题及研究方法§1-2 几何光学方法§1-3 波动光学方法及波动方程§1-4 电磁波在介质界面上的反射及古斯-汉欣位移§1-5 光波导中模式的基本性质§1-6 弱导近似§1-7 传播常数（本征值）的积分表达式及变分定理§1-8 相速、群速及色散特性§1-9 本地平面波方法§1-10 光束的衍射·几何光学及本地平面波方法的应用范围§1-11 介质波导与金属波导的若干比较第二章平面及条型光波导§2-1 用本地平面波方法平面光波导的本征值方程§2-2 用电磁场方法求解平面光波导§2-3 条形光波导的近似解析解§2-4 条形光波导的数值解法概述第三章耦合模理论§3-1 模式正交性的及模式展开§3-2 导波模式的激励§3-3 耦合模方程及耦合系数§3-4 耦合模理论的局限及其改进第四章导波光束的调制§4-1 光波调制的一般概念§4-2 晶体的电-光特性§4-3 光波导的电-光调制§4-4 定向耦合型调制器/开关第五章阶跃折射率光纤中的场解§5-1 数学模型及波动方程的解§5-2 模式分类准则及模式场图(本征函数)§5-3 导波模的色散特性及U值的上、下限§5-4 色散特性的进一步简化§5-5 弱导光纤中场的标量近似解—线偏振模§5-6 平均功率与功率密度§5-7 模式场的本地平面波描述第六章渐变折射率弱导光纤中的场解§6-1 无界抛物线折射率弱导光纤中场的解析解§6-2 WKB法求解导波模的本征函数及本征值§6-3 模式容积及主模式号·泄漏模§6-4 单模光纤的近似解法（一）——高斯近似§6-5 单模光纤的近似解法(二) -- 等效阶跃光纤近似（ESF）§6-6 单模光纤的近似解法(三) - 矩等效阶跃折射率近似及其改进§6-7 单模光纤的模场半径§6-8 单模光纤的截止波长第七章光波导中的传输损耗§7-1 损耗起因和损耗谱§7-2 本征吸收及瑞利散射损耗§7-3 杂质吸收§7-4 弯曲损耗§7-5 弯曲过渡损耗§7-6 连接损耗第八章信号沿线性光波导传输时的畸变§8-1 脉冲沿线性光波导传输时畸变的起因及描述方法§8-2 材料色散§8-3 g型多模光纤的模间弥散§8-4 单模光纤的色散§8-5 单模光纤的色散对系统色散的影响§8-6 新型石英系光纤第九章单模光波导中的双折射及偏振态的演化§9-1 双折射现象及其意义§9-2 双折射光纤的参数及其分类§9-3 光纤中的线双折射§9-4 光纤中的圆双折射§9-5 偏振态沿光纤的演化（一）—琼斯矩阵法§9-6 单模光纤中偏振态的演化(二)—邦加球法§9-7 偏振模色散在邦加球上的描述第十章光纤光栅§10-1 概述§10-2光纤布拉格光栅(FBG)的基本原理、结构和分析方法§10-3 常见的FBG§10-4 采样布拉格光栅(SBG)§10-5 长周期光纤光栅第十一章掺铒光纤放大器§11-1 引言§11-2 掺铒光纤放大器的基本工作原理与特性§11-3 EDFA内部物理过程的进一步讨论和Giles参数§11-4 EDFA的稳态工作特性§11-5 EDFA中的增益瞬态过程§11-6 EDFA的设计原则第十二章光纤中的非线性效应§12-1 引言§12-2 光纤中的非线性薛定鄂方程§12-3 光纤中的受激散射§12-4 光纤中的四波混频效应§12-5 自相位调制（SPM）§12-6 非线性色散光纤中信道内的噪声演化与调制不稳定性§12-7 信道间的串扰噪声：互相位调制(XPM)和受激拉曼散射(SRS) 结语。

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)
(
x)∞
exp(− jχ) (x 2 − ν2 )1/
4
其中
χ = (x 2 − ν2 )1/ 2 − ν arccos⎜⎛ ν ⎟⎞ − π ⎝x⎠ 4
当 x < ν 且 ν − x >> ν1/3 时
Jν (x) ≈
1 exp(−χ) ; 2π (ν2 − x 2 )1/ 4
H
(2) ν
(x
)∞
n→∞
⎢⎣
n 1
1 m
−
ln
n⎥⎦⎤
=
0.577215664901...
的自然指数,
即 γ = ec 。
2．x>>1 时
Jν(x) ≈
2 πx
cos⎜⎛ x ⎝
−
νπ 2
−
π ⎟⎞ 4⎠
H
( 2) ν
(x
)
2 πx
exp⎨⎧− ⎩
j⎜⎛ ⎝
x
−
νπ 2
−
π 4
⎟⎞⎬⎫ ⎠⎭
Iν (x) ≈
ex 2πx
(ν
exp χ 2 − x 2 )1/
4
其中
χ = νch⎜⎛ ν ⎟⎞ − (ν2 − x 2 )1/ 2 ⎝x⎠
（A2-27） （A2-28） （A2-29） （A2-30） （A2-31）
（A2-32） （A2-33）
（A2-34） （A2-35）
3
范崇澄等：导波光学 附录 A2
4. 积分关系
(
x)}
dJ0 (x) dx
=
−J1(x); ；
dI0 (x) dx
=
I1 (x )
；
dK0 (x) dx
=
−K1(x)
（A2-13） （A2-14）
(A2-15） （A2-16）
A2.4 朗斯基关系式
定义：
W{F1
(x),
F2
(x)}
≡
F1
(x)
dF2 (x) dx
−
F2
(x)
dF1 (x ) dx
为函数 F1(x) 和 F2 (x) 的朗斯基关系式，则下列诸等式成立：
W{J
ν
(x
),
H
(1) ν
(x)}
=
j2 πx
=
J
ν+1
(x
)H
(1) ν
(x
)
−
J
ν
(
x
)H
(1) ν+1
(
x)
=
Jν
(
x
)H
(1) ν−1
(x)
−
H
(1) ν
(x)J
ν−1
(x)
W{J
ν
(
x),
H
(2) ν
(x
)}
=
−
j
2 πx
范崇澄等：导波光学 附录 A2
附录 A2 贝塞尔函数
A2.1 微分方程
第一类和第二类贝塞尔函数
J
ν
(
x)
、
N
ν
(
x
)
以及第一类和第二类汉克尔函数
H
(1) ν
(
x
)
、
H
(2) v
(x
)
均满足下列微分方程
x 2 d2F + x dF + (x 2 − ν2 )F = 0 dx 2 dx
（A2-1）
第一类和第二类变态贝塞尔函数 Iν (x) 、 K ν (x) 均满足下列微分方程
J −ν (x) = (−1)ν Jν (x)
K
ν
(−
jx)
=
⎜⎛ ⎝
π 2
⎟⎞ ⎠
jν+1H
(1) ν
(x
)
K−ν (x) = Kν (x)
（A2-3） （A2-4） （A2-5） （A2-6）
A2.3 递推关系及微分关系
有关 Jν (x)
的公式同样适用于
N
ν
(x
)
、
H
(1) ν
(
x)
、
H
(2) ν
=
m
ν x
Iν
(x)
+
Iνm1 (x)
（A2-7）
（A2-8） （A2-9） （A2-10）
A2-11） （A2-12）
1
范崇澄等：导波光学 附录 A2
=
1 2
{I ν−1 (x )
+
Iν+1 (x)}
dKν (x) dx
=
m
பைடு நூலகம்
ν x
Kν
(x)
−
K νm1 (x)
=
−
1 2
{K
ν−1
(
x)
+
K
ν
+1
(x
)
J νm1 (x)
=
2ν x
J(x)
−
J v±1 (x)
I
νm1
(
x)
=
±
2ν x
Iν
(x)
+
I
ν±1
(x
)
K νm1(x)
=
m
2ν x
Kν (x) +
K ν±1 (x)
dJν (x) dx
=
m
νJν (x) x
±
J νm1 (x)
=
1 2
{J
ν−1
(x
)
−
Jν+1 (x)}
dIv (x) dx
x 2 d 2G + x dG − (x 2 + ν 2 )G = 0 dx 2 dx
（A2-2）
A2.2 贝塞尔函数、汉开尔函数以及变态贝塞尔函数之间的关系
H (1) ν
(x)
=
Jν
(x)
+
jN ν
(x)
；
H(2) ν
(x)
=
Jν
(x)
−
jN
ν
(x)
Jν ( jx) = jνIν (x); J0 ( jx) = I0 (x) ； J1( jx) = jI1(x)
0);
N0 (x)
≈
2 π
ln
x
H
(1) ν
(
x
)
≈
−
j(ν − π
1)!⎜⎛ ⎝
2 x
⎟⎞ν ⎠
(ν
≠
0);
H
(1) 0
(x
)
≈
2j π
ln
x
Iν
(x)
≈
ν1!⎜⎝⎛
x 2
⎟⎞ν ; ⎠
I0
(x)
≈
1+
x2 4
;
I1 (x )
≈
x 2
+
x3 16
Kν (x)
≈
(ν −1)!⎜⎛ 2⎝
2 x
⎟⎞ν ⎠
W{H
(1) ν
(
x
),
H
(2) ν
(
x)}
=
j
4 πx
W{J ν
(x), Nν
(x)}
=
2 πx
A2.5 近似表达式 1． x → 0 时
Jν
(x)
≈
1 ⎜⎛ ν!⎝
x 2
⎟⎞ν ; ⎠
J0
(x)
≈
1−
x2 4
;
J1(x)
≈
x 2
−
x3 16
Nν (x)
≈
(ν
−π1)!⎜⎝⎛
2 x
⎟⎞ν ⎠
(ν
≠
(ν
≠
0);
K
0
(x
)
≈
ln
⎡ ⎢⎣
2 γx
⎤ ⎥⎦
（A2-17）
(A2-18) (A2-19) (A2-20) (A2-21)
（A2-22） （A2-23） （A2-24） （A2-25） （A2-26）
2
范崇澄等：导波光学 附录 A2
∑ 其中 γ=1.781 072
418
是欧拉常数 C ≡
⎡
lim
∫ xJ
ν
(ux
)J
ν
(vx
)dx
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
u
mx 2 −v
2
[
vJ
x2 2
[J
2 ν
(ux)
ν (ux)Jν±1(vx) − uJν±1 − Jν−1(ux)Jν+1(ux)]
(ux)J
v
(
vx
)]
(u ≠ v) (u = v)
∞
∫x xKν (ux)Kν (vx)dx =
（A2-36）
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
u2 x2 2
x − v2 [uK
[K
2 ν
(ux
)
ν (vx)Kν±1(ux) − vKν − Kν+1(ux)K ν−1(ux)]
(ux)K
ν±1
(vx)]
(u ≠ v) (u = v)
（A2-37）
∫x
0
x ν K ν−1 (x)dx
=
−xνKν
(x)
（A2-38）
4
⎧ ⎨1
−
⎩
4ν2 −1⎫
8x
⎬ ⎭
Kν (x) ≈
π 2x
e−x
⎨⎧1 + ⎩