相交线与平行线复习提高讲义

相交线与平行线一、知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。

2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

3.垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.5．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 6．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 8．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。

相交线平行线提高辅导讲义1、 如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°，求∠AGD 的度数。

2、如图3，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于 。

3、已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.4.如右图，光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射，这时光线的入射 角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。

若已知∠1=55°，∠3=75°，求∠2的度数。

5、如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3和直线l 1、l 2交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，如果P 点在C 、D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化.若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），试探索∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系又是如何？6、如图，若AB ∥CD ，猜想∠A 、∠E 、∠D 之间的关系，并证明之。

l 1lCBDPl 2A12 3图3 E DCBA7、如图，AB ∥CD ，∠BEF ＝85°，求∠ABE ＋∠EFC+∠FCD 的度数。

8、已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（•要求给出两个答案）．9、已知：如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P .试求∠P 的大小.10、已知AB //DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD .11、如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，求∠α。

12、如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆）， 刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，求∠1+∠2的度数。

例题基础训练1.[单选题]下列语句正确的个数是（ ）①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；②两点之间直线最短；③在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交；④两点确定一条直线．A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.如图，直线AF 和AC 被直线EB 所截，∠EBC 的同位角是∠EOF ，直线DC 、AC 被直线AF 所截，∠FAC 同位角是 ．1.[单选题]如图，P 是直线l 外一点，从点P 向直线l 引PA ，PB ，PC ，PD 几条线段，其中只有PB 与l 垂直，这几条线段中长度最短的是（ ）A ．PA B ．PB C ．PC D ．PD2.指出图中各对角的位置关系：（1）∠C 和∠D 是 角；（2）∠B 和∠GEF 是 角；（3）∠A 和∠D 是 角；（4）∠AGE 和∠BGE 是 角；（5）∠CFD 和∠AFB 是 角．内容提要平移和命题例题基础训练1.[单选题]要说明命题“若a ＞b ，则a ＞b ”是假命题，可设（ ）A ．a ＝3，b ＝4 B ．a ＝4，b ＝3 C ．a ＝﹣3，b ＝﹣4 D ．a ＝﹣4，b ＝﹣3222.[单选题]如图，△ABC 沿BC 所在直线向右平移得到△DEF ，已知EC ＝2，BF ＝8，则平移的距离为（ ）A ．3 B ．4 C ．5 D ．63.如图，在正方形网格中有一个△ABC ，按要求进行下列作图（只借助网格，需要写出结论）．（1）过点B 画出AC 的平行线；（2）画出三角形ABC 向右平移5格，在向上平移2格后的△DEF ；（3）若每一个网格的单位长度为a ，求三角形ABC的面积．1.[单选题]下列哪些图形是通过平移可以得到的（ ）内容提要平行线的判定与性质例题A． B． C． D．2.[单选题]在手工制作课上，张华和李丽用铁丝制作楼梯模型，如图所示，则她们用的铁丝周长（ ）A．张华的长 B．李丽的长 C．一样长 D．不能确定1.[单选题]如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE平分ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2.已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE交BC于点F，AE平分∠BAC．求证：DF平分∠BDE基础训练模块二常见考法内容提要平行线中拐点模型1.[单选题]如图，在下列给出的条件中，可以判定AB ∥CD 的有（ ）①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠4；④∠DAB+∠ABC ＝180°；⑤∠BAD+∠ADC ＝180°．A ．①②③ B ．①②④ C ．①④⑤ D ．②③⑤2.如图，已知AD ∥EF ，∠2＝50°．（1）求∠3的度数；（2）若∠1＝∠2，问：DG ∥BA 吗？请说明理由；（3）若∠1＝∠2，且∠DAG ＝20°，求∠AGD的度数．例题1.[单选题]如图，，，已知，，则的度数为（ ）．A ． B． C ． D ．2.如图①，直线l ∥l ，直线EF 和直线l 、l 分别交于C 、D 两点，点A 、B 分别在直线l 、l 上，点P 在直线EF 上，连结PA 、PB ．（1）猜想：如图①，若点P 在线段CD 上，∠PAC ＝15°，∠PBD ＝40°，则∠APB 的大小为 度．（2）探究：如图①，若点P 在线段CD 上，直接写出∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的数量关系．（3）拓展：如图②，若点P 在射线CE 上或在射线DF 上时，直接写出∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的数量关系．121212基础训练内容提要平行线中双角平分线模型例题1.如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．（2）把Rt△ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF ，求的值．（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数．1.已知：如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．求证：∠E＝∠F．基础训练内容提要平行线中动点问题例题1.如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．解题策略；理清动点运动轨迹，运用代数式表示线段或角，建立方程模型从而解决问题；1.问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC．（1）按照小明的思路，求∠APC的度数；（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．基础训练模块三数学思想内容提要方程思想例题1.如图，直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF（1）求∠EOB 的度数；（2）若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．1.已知，如图1，射线PE 分别与直线AB 、AD 相交于E 、F 两点，∠PFD 的平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设∠PFM ＝30°，∠EMF ＝30°， （1）直线AB 与CD 的位置关系是 ；（2）如图2，若点G 是射线MA 上任意一点，且∠MGH ＝∠PNF ，试找出∠FMN 与∠GHF 之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图3），分别与AB 、CD 相交于点M 和点N 时，作∠PM B 的角平分线M Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其1111内容提要转化思想例题值；若变化，请说明理由．1.已知点A 在射线CE 上，∠BDA ＝∠C ．（1）如图1，若AC ∥BD ，求证：AD ∥BC ；（2）如图2，若∠BAC ＝∠BAD ，BD ⊥BC ，请证明∠DAE+2∠C ＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作DF ∥BC 交射线CE 于点F ，当∠DFE ＝8∠DAE 时，求∠BAD 的度数．（直接写出结果）自主评价自主探究自主探究题目1.[单选题] 同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（ ）B． C． D．A． 2.[单选题] 如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠DCE3.[单选题] 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE＝26°，则∠COF的度数为（ ）A．116° B．148° C．154° D．158°4.[单选题]如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3的度数为（ ）A．78° B．132° C．118° D．112°5.[单选题]（2020•越秀区）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝130°，∠CDE＝110°，则∠BCD的度数为（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°6.[单选题]如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（ ）A．x+y+z＝180° B．x﹣z＝y C．y﹣x＝z D．y﹣x＝x﹣z7. 如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，∠1＝∠2＝80°，求∠BGF的度数．解：因为∠1＝∠2＝80°（已知），所以AB∥CD（ ）所以∠BGF+∠3＝180°（ ）因为∠2+∠EFD＝180°（邻补角的性质）．所以∠EFD＝ ．（等式性质）．因为FG平分∠EFD（已知）．所以∠3＝ ∠EFD（角平分线的性质）．所以∠3＝ ．（等式性质）．所以∠BGF＝ ．（等式性质）．8.直线l∥l，∠A＝125°，∠B＝105°，则∠1+∠2=__________；129.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对．10. 实践操作：如图，平移三角形ABC，使点A平移到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′（点B平移到B′，点C平移到C′，保留作图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）；猜想结论：猜想∠A′AB，∠ABC，∠BCC′的数量关系 （直接写出答案，不需证明）．参考答案模块一基本概念例题1.C解析:解：因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故①正确；因为两点之间线段最短，故②错误；因为在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交，故③正确；因为两点确定一条直线，故④正确．所以正确的个数是3．故选：C．2.∠COF．解析:解：根据同位角的图形特点，可得∠FAC的同位角是∠COF，故答案为∠COF．基础训练基础训练题目1.B解析:解：直线外一点P与直线l上各点连接的所有线段中，最短的是PB，依据是垂线段最短，故选：B．2.（1）同旁内角 （2）同位角 （3）内错角 （4）邻补角 （5）对顶角解析:解：（1）∠C和∠D是同旁内角；（2）∠B和∠GEF是同位角；（3）∠A 和∠D 是内错角；（4）∠AGE 和∠BGE 是邻补角；（5）∠CFD 和∠AFB 是对顶角；故答案为：（1）同旁内角 （2）同位角 （3）内错角 （4）邻补角 （5）对顶角例题1.C解析:解：当a ＝﹣3，b ＝﹣4时，a ＝9，b ＝16，a ＞b ，而a ＜b ，∴命题“若a ＞b ，则a ＞b ”是假命题，故选：C ．2.A解析:解：由平移的性质可知，BE ＝CF ，∵BF ＝8，EC ＝2，∴BE+CF ＝8﹣2＝6，∴BE ＝CF ＝3，∴平移的距离为3，故选：A ．3.解：（1）如图，直线BP 为所作．（2）如图，△DEF 为所作；（3）三角形ABC 的面积3a×2a ＝3a．解析:基础训练基础训练题目1.B解析:解：A 、通过旋转得到，故本选项错误；B 、通过平移得到，故本选项正确；C 、通过轴对称得到，故本选项错误；D 、通过旋转得到，故本选项错误．故选：B ．2.C2222222解析:解：因为经过平移两个图形可变为两个长和宽都相等长方形，所以她们用的铁丝周长一样长．故选：C．例题1.C解析:解：∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴∠FGD＝∠ADB＝90°，∴FG∥AD，故①正确；∵DE∥AC，∠BAC＝90°，∴DE⊥AB，不能证明DE为∠ADB的平分线，故②错误；∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∵DE⊥AB，∴∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠B＝∠ADE，故③正确；∵∠BAC＝90°，DE⊥AB，∴∠CFG+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，∴∠CFG+∠BDE＝90°，故④正确，综上所述，正确的选项①③④，故选：C．2.证明：∵AE平分∠BAC（已知）∴∠1＝∠2（角平分线的定义）∵AC∥DE（已知）∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）故∠2＝∠3（等量代换）∵DF∥AE（已知）∴∠2＝∠5，（两直线平行，同位角相等）∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠4＝∠5（等量代换）∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）．解析:基础训练基础训练题目1.D解析:解：①∠1＝∠2不能判定AB ∥CD ，不符合题意；②∵∠1＝∠3，∴AB ∥CD ，符合题意；③∵∠2＝∠4，∴AB ∥CD ，符合题意；④∠DAB+∠ABC ＝180°；不能判定AB ∥CD ，不符合题意；⑤∵∠BAD+∠ADC ＝180°，∴AB ∥CD ，符合题意．故选：D ．2.（1）∠3＝50°；（2）DG ∥BA ；（3）∠AGD ＝110°．解析:解：（1）∵AD ∥EF ，∴∠3＝∠2＝50°；（2）DG ∥BA ，理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DG ∥BA ；（3）∵∠1＝∠2＝50°，∠GAD ＝20°，∴∠AGD ＝180°﹣∠GAD ﹣∠1＝110°．模块二常见考法例题1.D解析:2.（1）55；（2）∠PAC ＝∠APB ﹣∠PBD ，（3）∠PAC ＝∠PBD ﹣∠APB 或∠PAC ＝∠APB+∠PBD ，解析:解：（1）猜想：如图①，过点P 作PG ∥l，∵l ∥l ，∴l ∥l ∥PG ，∴∠APG ＝∠PAC ＝15°，∠BPG ＝∠PBD ＝40°，∴∠APB ＝∠APG+∠BPG ＝∠PAC+∠PBD ＝15°+40°＝55°，∴∠APB 的大小为55度，故答案为：55；11212（2）探究：如图①，∠PAC ＝∠APB ﹣∠PBD ，理由如下：∵l ∥l ∥PG ，∴∠APG ＝∠PAC ，∠BPG ＝∠PBD ，∴∠APB ＝∠APG+∠BPG ＝∠PAC+∠PBD ，∴∠PAC ＝∠APB ﹣∠PBD ；（3）拓展：∠PAC ＝∠PBD ﹣∠APB 或∠PAC ＝∠APB+∠PBD ，理由如下：如图，当点P 在射线CE上时，过点P 作PG ∥l ，∴l ∥l ∥PG ，∴∠APG ＝∠PAC ，∠BPG ＝∠PBD ，∴∠PAC ＝∠APG ＝∠BPG ﹣∠APB ，∴∠PAC ＝∠PBD ﹣∠APB ；当点P 在射线DF上时，过点P 作PG ∥l ，∴l ∥l ∥PG ，∴∠APG ＝∠PAC ，∠BPG ＝∠PBD ，∴∠PAC ＝∠APG ＝∠APB+∠BPG ，∴∠PAC ＝∠APB+∠PBD ，综上所述：当点P 在射线CE 上或在射线DF 上时，∠PAC ＝∠PBD ﹣∠APB 或∠PAC ＝∠APB+∠PBD ．基础训练基础训练题目1.（1）∠C ＝∠1+∠2，（2）；（3）∠ACB+∠ADB ＝75°．解析:解：（1）∠C ＝∠1+∠2，证明：过C 作l ∥MN ，如下图所示，12112112∵l∥MN，∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），∵l∥MN，PQ∥MN，∴l∥PQ，∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等），∴∠3+∠4＝∠1+∠2，∴∠C＝∠1+∠2；（2）∵∠BDF＝∠GDF，∵∠BDF＝∠PDC，∴∠GDF＝∠PDC，∵∠PDC+∠CDG+∠GDF＝180°，∴∠CDG+2∠PDC＝180°，∴∠PDC＝90°∠CDG，由（1）可得，∠PDC+∠CEM＝∠C＝90°，∴∠AEN＝∠CEM，∴；（3）∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC＝25°，∴∠PBD＝2∠PBC＝50°，∠CAM＝∠MAD，∵PQ∥MN，∴∠BMA＝∠PBD＝50°，∴∠ADB＝∠AMB﹣∠MAD＝50°﹣∠MAD＝50°﹣∠CAM，由（1）可得，∠ACB＝∠PBC+∠CAM，∴∠ACB+∠ADB＝∠PBC+∠CAM+50°﹣∠CAM＝25°+50°＝75°．例题1.证明：∵∠BAP与∠APD互补，∴AB∥CD．（同旁内角互补两直线平行），∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2（已知）由等式的性质得：∴∠BAP﹣∠1＝∠APC﹣∠2，即∠EAP＝∠FPA，∴AE∥FP（内错角相等，两直线平行），∴∠E＝∠F（由两直线平行，内错角相等）．解析:基础训练基础训练题目1.证明：连接EF．∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°．∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠DEF＝∠EFC．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．解析:例题1.（1）∠APC＝110°．（2）∠APC＝∠α+∠β，（3）∠CPA＝∠β﹣∠α或∠CPA＝∠α﹣∠β；解析:（1）解：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．（2）∠APC＝∠α+∠β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA＝∠α﹣∠β；如图所示，当P在DB延长线上时，∠CPA＝∠β﹣∠α．基础训练基础训练题目1.（1）∠EOB＝40°；（2）∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．解析:解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝∠EOF，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB∠AOC80°＝40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB＝∠OBC，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠FOB＝∠OBC，∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE∠AOC80°＝20°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．模块三数学思想例题1.（1）AB∥CD；（2）结论∠FMN+∠GHF＝180°． （3）结论：的值不变， 2解析:（1）证明：∵∠PFM＝∠MFN＝30°，∠EMF＝30°，∴∠EMF＝∠MFN，∴AB∥CD；（2）解：∠FMN+∠GHF＝180°．理由：∵AB∥CD，∴∠MNF＝∠PME，∵∠MGH＝∠MNF，∴∠PME＝∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM＝∠FMN，∵∠GHF+∠GHM＝180°，∴∠FMN+∠GHF＝180°．（3）解：的值不变， 2．理由：如图3中，作∠PEM的平分线交M Q的延长线于R．11∵AB ∥CD ，∴∠PEM ＝∠PFN ，∵∠PER ∠PEM ，∠PFQ ∠PFN ，∴∠PER ＝∠PFQ ，∴ER ∥FQ ，∴∠FQM ＝∠R ，设∠PER ＝∠REB ＝x ，∠PM R ＝∠RM B ＝y ，则有：，可得∠EPM ＝2∠R ，∴∠EPM ＝2∠FQM ∴2．例题1.（1）证明：∵AC ∥BD ，∴∠DAE ＝∠BDA ，∵∠BDA ＝∠C ，∴∠DAE ＝∠C ，∴AD ∥BC ；（2）证明：如图2，设CE 与BD 相交于点G ，∠BGA ＝∠BDA+DAE，∵BD ⊥BC ，∴∠BGA+∠C ＝90°，∴∠BDA+∠DAE+∠C ＝90°，∵∠BDA ＝∠C ，∴∠DAE+2∠C ＝90°；（3）如图3，设∠DAE ＝α，则∠DFE ＝8α，11111111∵∠DFE+∠AFD＝180°，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵2∠C+∠DAE＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝∠ABD∠CBD＝45°，△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．答：∠BAD的度数是99°．解析:自主探究自主探究题目1.D解析:2.C解析:3.B解析:4.D解析:解：延长直线，如图：，∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，∴∠5＝180°﹣∠1＝180°﹣68°＝112°，∵∠2＝∠4+∠5，∵∠3＝∠4，∴∠2﹣∠3＝∠5＝112°，故选：D．5.B解析:解：作DE 的反向延长线交BC 于M ，∵AB ∥DE ，∠ABC ＝130°，∴∠BMD ＝∠ABC ＝130°，∴∠CMD ＝180°﹣∠BMD ＝50°，∵∠CDE ＝110°，∴∠BCD ＝∠CDE ﹣∠CMD ＝110°﹣50°＝60°，故选：B ．6.B解析:解：如图所示，延长AB 交DE 于H ，∵BC ∥DE ，∴∠ABC ＝∠AHE ＝x ，∵CD ∥EF ，AB ∥EG ，∴∠D ＝∠DEF ＝z ，∠AHE ＝∠DEG ＝z +y ，∴∠ABC ＝∠DEG ，即x ＝z +y ，∴x ﹣z ＝y ，故选：B ．7.同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；100°； ；50°；130°．解析:8.∠1+∠2＝50°．解析:解：如图，分别过A 、B 作l 的平行线AC 和BD ，∵l ∥l ，∴AC ∥BD ∥l ∥l ，∴∠1＝∠EAC ，∠2＝∠FBD ，∠CAB+∠DBA ＝180°，∵∠EAB+∠FBA ＝125°+105°＝230°，∴∠EAC+∠CAB+∠DBA+∠FBD ＝230°，即∠1+∠2+180°＝230°，∴∠1+∠2＝50°．9.2411212解析:解：∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12条线段．又∵每条线段两侧各有一对同旁内角，∴共有同旁内角 12×2＝24对．故答案为：24．10.解：如图所示，△A′B′C′即为所求，∵AA′∥BB′∥CC′，∴∠A′AB＝∠ABD，∠BCC′＝∠DBC，∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠A′AB+∠BCC′，即∠ABC＝∠A′AB+∠BCC′，故答案为：∠ABC＝∠A′AB+∠BCC′．解析:。

相交线与平行线【知识梳理】一、三线八角1、两条直线被第三条直线所截产生了八个角。

2、同位角、内错角和同旁内角：二、平面内两条直线有啥关系？、 .三、平行线的性质1、2、3、4、平行公理：过平面内一点有且只有一条直线平行于已知直线四、平行线的判定1.同位角相等，两直线平行．2.同旁内角互补，两直线平行．3.内错角相等，两直线平行.4.平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

(传递性)5.平面内垂直于同一直线的两条直线平行【中考真题训练】1．如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=124°，则∠2= .图—1 图—2图—32．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为 . 3．如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为 .4．如图所示，AB与CD相交于点O，∠AOD+∠BOC=280°，则∠AOC= 。

图—4图—5图—65．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠DFE C．∠1=∠AFD D．∠2=∠AFD6．如图，与∠1是同旁内角的是 .7．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°图—7图—8图—98．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（）A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠79．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为 .10．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED= .11．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为 .图—10图—11图—12 12．如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3= .13．一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数是 .14．如图，已知BD∥AC，∠1=65°，∠A=40°，则∠2的大小是．图-14图-15图-1615．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BFA=34°，则∠DAE=度．16．如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β=．17．如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是．图-17 图-1818．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为度．【经典模型】19．分别探讨这AB∥CD，四个图形中∠A，∠C和∠P的关系，将它们用等式表示出这三个角之间的关系，并说明成立的理由。

相交线与平行线复习课最新教案和讲义模版一、教学目标1. 复习巩固相交线与平行线的基本概念及性质。

2. 提高学生运用相交线与平行线解决实际问题的能力。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容1. 相交线与平行线的定义及性质。

2. 平行线的判定与证明。

3. 相交线的判定与证明。

4. 平行线与相交线在实际问题中的应用。

5. 巩固练习及拓展思考。

三、教学重点与难点1. 教学重点：相交线与平行线的基本概念、性质及应用。

2. 教学难点：平行线的判定与证明，相交线的判定与证明。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究相交线与平行线的性质。

2. 利用多媒体辅助教学，直观展示相交线与平行线的关系。

3. 结合实例，让学生体会相交线与平行线在实际问题中的应用。

4. 采用小组讨论与合作交流的方式，提高学生的参与度。

五、教学过程1. 导入新课：回顾上节课的内容，引导学生复习相交线与平行线的基本概念。

2. 知识讲解：讲解相交线与平行线的性质，并通过多媒体展示实例，让学生直观理解。

3. 课堂互动：设置问题，让学生判断直线的位置关系，巩固平行线与相交线的判定方法。

4. 应用拓展：结合实际问题，让学生运用相交线与平行线解决实际问题，培养学生的应用能力。

5. 课堂练习：布置针对性的练习题，让学生巩固所学知识。

7. 课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习完成情况评价：检查学生课堂练习和课后作业的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。

3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。

七、教学资源1. 多媒体教学课件：制作精美的课件，展示相交线与平行线的图形和实例。

2. 练习题库：准备一定数量的练习题，包括判断题、解答题等，用于巩固所学知识。

3. 教学素材：收集相关的实际问题，用于引导学生运用相交线与平行线解决实际问题。

七年级寒假讲义38页第一讲相交线第二讲三线八角第三讲平行线及其判定第四讲平行线性质第五讲平行线判定与性质综合第六讲习题课（格式规范训练）第一讲相交线【相交线、对顶角、邻补角】4．三条直线AB，CD，EF相交于点O，如图所示，∠AOD的对顶角是_________ ，∠FOB的对顶角是_________ ，∠EOB的邻补角是_________ ．5．如图，图中有_________ 对对顶角，_________ 对邻补角．6．如图所示，已知三条直线AB、CD、EF两两相交于点P、Q、R，则图中邻补角共有_________ 对，对顶角共有_________ 对（平角除外）．7．下列说法：①对顶角的角平分线在同一条直线上；②相等的角是对顶角；③一个角的邻补角只有一个；④补角即为邻补角．其中正确的有_________ ．9．如图，三条直线交于同一点，∠1：∠2：∠3＝2：3：1，则∠4＝_________ ．10．如图，直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于（）【垂线、垂线段、点到直线距离】11．在同一平面内，过一点有_________ 条直线与已知直线垂直．12．如图，AB⊥BC，则AB_________ AC（填“＞”或“＝”或“＜”），其理由是_________ ．13．已知如图，CD⊥AD于D，BE⊥AC于E．（1）点B到AC的距离是_________ ；（2）线段AD的长度表示_________ 的距离或_________ 的距离．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则点A到BC的距离为线段_________ 的长度；点A到CD的距离为线段_________ 的长度；点B到AC的距离为线段_________ 的长度；点B到CD的距离为线段_________ 的长度．15．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（）16．分别过点P作线段MN的垂线．17．如图，P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且PB与l垂直，在从点P到点A、从点P到直线l的多条道路中，点P到点A的最短路线是_________ ，点P到直线l的最短路线是_________ （只填写序号即可）．18．如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是_________ ．19．某中学创建绿色和谐校园活动中要在一块三角形花园里种植两种不同的花草，同时拟从点A修建一条花间小径到边B C．若要使修建小路所使用的材料最少，请在图中画出小路AD，你这样画的理由是_________ ．20．直线m外有一定点A，A到直线m的距离是7cm，B是直线m上的任意一点，则线段AB的长度：AB_________ 7cm．（填＞或者＜或者＝或者≤或者≥）．21．如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，AC＝5cm，BC＝12cm，AB＝13cm，则点C到AB的距离是___ cm．【拓展练习】22．平面内有a、b、c三条直线，则它们的交点个数可能是_________ 个．23．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（）个．24．（1）三条直线相交，最少有_________ 个交点，最多有_________ 个交点，分别画出图形，并数出图中对顶角和邻补角的个数（2）四条直线相交，最少有_________ 个交点，最多有_________ 个交点，分别画出图形，并数出图中对顶角和邻补角的个数（3）依此类推，n条直线相交，最少有_________ 个交点，最多有_________ 个交点，对顶角有_________ 对，邻补角有_________ 对．25．（1）在图1中以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．（2）量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是_________ ．（3）同样在图2和图3中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，分别写出图2和图3中∠P和∠1的之间数量关系．（不要求写出理由）图2：_________ 图3：_________（4）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角_________ ．（不要求写出理由）第二讲三线八角【同位角、同旁内角、内错角】1．看图填空：（1）∠1和∠4是____________角；（2）∠1和∠3是____________角；（3）∠2和∠D是____________角；（4）∠3和∠D是____________角；（5）∠4和∠D是____________角；（6）∠4和∠B是____________角．2．看图填空：（1）若ED，BC被AB所截，则∠1与____________是同位角．（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与____________是内错角．（3）∠1与∠3是AB和AF被____________所截构成的____________角．（4）∠2与∠4是____________和____________被BC所截构成的____________角．3．如图，下列结论正确的有__________________．①∠ABC与∠C是同位角；②∠C与∠ADC是同旁内角；③∠BDC与∠DBC是内错角；④∠ABD的内错角是∠BDC；⑤∠A与∠ABD是由直线AD，BD被直线AB所截得到的同旁内角．4．在图中，∠1与∠2是同位角的有__________________．）6．如图，与∠B是同旁内角的角有__________________．7．如图所示，与∠C构成同旁内角的有__________________．8．如图，在∠1，∠2，∠3，∠4中，是内错角的是（）9．如图，在所标识的角中，是内错角的是（）10．如图，CM、ON被AO所截，那么（）11．如图，下列说法不正确的是（）12．如图，下列说法中，错误的是（）13．如图，下列判断错误的是（）14．如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．15．观察下图，图中有多少同位角、内错角、同旁内角？请把它们列出来．16．如图所示，同位角一共有_________对，内错角一共有_________对，同旁内角一共有有_________对．17．如图，有下列说法：①若DE∥AB，则∠DEF＋∠EFB＝180°；②能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个；③能与∠BFE构成同位角的角的个数有2个；④能与∠C构成同旁内角的角的个数有4个．其中结论正确的是（）【拓展练习】18．图中，与∠1成同位角的个数是__________对19．图中所标出的角中，共有同位角__________对20．如图所示，同位角共有__________对21．如图，其中同旁内角有__________对22．如图所示，直线AB∥CD，两相交直线EF、GH与AB、CD都相交，图中的同旁内角共有__________对23．如图所示，图中能与∠C构成同旁内角的有__________个．24．如图所示，与∠A是同旁内角的角共有_________个．25．如图所示，图中共有内错角__________对26．如图，若直线MN与△ABC的边AB、AC分别交于E、F，则图中的内错角有__________对27．如图一共有__________对内错角．第三讲平行线及其判定【平行线定义、平行线公理与推论】4．如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上．理由是：_________．6．如图，直线AB，CD表示一条公路的两边，且AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点，现过点E作边CD的平行线，只需过点E作_________的平行线即可，其理由是_________．8．下列说法中正确的个数为（）①不相交的两条直线叫做平行线②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③平行于同一条直线的两条直线互相平行9．下列结论正确的个数是（）（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，不相交的两条射线是平行线；【平行线判定】11．如图，直线a，b被直线c所截，若要a∥b，需增加条件_________（填一个即可）．12．如图，下列条件中，不能判定直线a平行于直线b的是（）13．如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）14．如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1＝140°，则当∠2等于（）时，AB∥C D．16．某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（）17．几何推理，看图填空：（1）∵∠3＝∠4（已知）∴_________∥_________（___________________________）（2）∵∠DBE＝∠CAB（已知）∴_________∥_________（___________________________）（3）∵∠ADF＋_________＝180°（已知）∴AD∥BF（__________________________）18．如图，∠B＝55°，∠EAC＝110°，AD平分∠EAC，AD与BC平行吗？请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：AD∥BC，理由如下：∵AD平分∠EAC，∠EAC＝110°（已知）∴∠EAD＝∠EAC＝_________ °又∠B＝55°（已知）∴∠B＝∠_________∴AD∥BC（___________________________）19．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．证明：DF∥AE．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90°．（___________________________）∴∠CDA＝∠DA B．（等量代换）又∠1＝∠2，∴∠CDA﹣∠1＝∠DAB﹣_________．（等式的性质）即∠3＝_________．∴DF∥AE．（___________________________）．20．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，∠1＝∠B，求证：AB∥EF，DE∥B C．21．如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？22．如图所示，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠DNF，∠1＝∠2，那么MQ∥NP．为什么？23．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1＋∠2＝90°．求证：AB∥C D．24．如图所示，FG平分∠CFN，∠1＝∠3＝60°，求证：AB∥C D．25．已知，如图∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？为什么？【拓展练习】26．如图，已知∠ABE＋∠E＋∠CDE＝360°，证明：AB∥C D．27．如图，已知∠BED＝∠B＋∠D，求证：AB∥C D．28．如图，∠BEC＝95°，∠C＝45°，∠ABE＝130°，则AB与CD平行吗？请说明理由．29．如图，若∠ABC＋∠CDE﹣∠C＝180°，试证明：AB∥DE．30．已知：E是AB、CD外一点，∠D＝∠B＋∠E，求证：AB∥C D．第四讲平行线性质第五讲平行线判定与性质综合第六讲习题课（格式规范训练）。

《相交线与平行线》全章复习与巩固（提高）知识讲解【知识网络】【要点梳理】要点一、两条直线的位置关系1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行.要点诠释：（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示.2.对顶角、补角、余角（1）定义：①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等．3.垂线（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．（2）垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②垂线段最短．（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.要点三、用尺规作线段和角1.用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段.（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.2.用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角.（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.（3）用尺规作一个角等于已知角的和.（4）用尺规作一个角等于已知角的差.【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1. (1)如图（1）已知直线AB，CD相交于点0．(2)如图（2）已知直线AE，BD相交于点C．分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角?【答案与解析】解： (1)邻补角是∠DOA与∠AOC，∠AOE与∠EOB，∠BOC与∠COA，∠COE与∠DOE，∠DOA 与∠DOB，∠DOB与∠BOC；对顶角是∠AOD与∠COB，∠AOC与∠DOB.(2)邻补角是∠ACB与∠ACD，∠ECD与∠DCA，∠DCE与∠ECB，∠ECB与∠ACB；对顶角是∠ACB与∠DCE，∠BCE与∠ACD．【总结升华】当需要写出的角较多时，写完后再计算一下个数，可以检验是否写全.2.如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且∠AOM=∠CON=90°①若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数．②若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD．【答案与解析】解：①∠AOM=∠CON=90°，OC平分∠AOM，∴∠1=∠AOC=45°，∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°；②∵∠AOM=90°，∴∠BOM=180°﹣90°=90°，∵∠1=∠BOC，∴∠1=∠BOM=30°，∴∠AOC=90°﹣30°=60°，∠MOD=180°﹣30°=150°．【总计升华】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，解此题的关键是能根据角平分线定义和已知求出各个角的度数．举一反三：【变式】如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=28°，求∠BOD的度数．【答案】解：由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣COF=90°﹣28°=62°．由角平分线的性质，得∠AOF=∠EOF=62°．由角的和差，得∠AOC=∠AOF﹣∠COF=62°﹣28°=34°．由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=34°．类型二、平行线的性质与判定3.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE．【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系．【答案与解析】解：过E点作EF∥AB，因为AB∥CD(已知)，所以EF∥CD．所以∠4＝∠D(两直线平行，内错角相等)．又因为∠D＝∠2(已知)，所以∠4＝∠2(等量代换)．同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1．因为∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定义)，所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠BED＝90°．故BE⊥DE．【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的．举一反三：【变式1】已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是( ).A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDEB．∠BED＝∠ABE-∠CDEC．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDED．∠BED＝∠CDE-∠ABE【答案】C （提示：过点E作EF∥AB）【变式2】如图，两直线AB、CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ .【答案】900°4.如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF.【答案与解析】证明：如图，过点C做CK∥FG，并延长GF 、CD交于点H，∵ CD∥EF （已知），∴∠CHG＝∠1(两直线平行，同位角相等）.又∵ CK∥FG，∴∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(两直线平行，同旁内角互补）.∴∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代换）.∵∠1＋∠2＝∠ABC（已知），∴∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代换）.∴ CK∥AB（同旁内角互补，两直线平行）.∴ AB∥GF（平行的传递性）.【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.类型三、用尺规作线段和角5. 已知：如图，AB//CD，BC//DE，∠B＝70°，（1）求∠D的度数.（2）用尺规在图上作一个∠α，使∠α=∠D—∠B（不写作法，保留痕迹）.A B EDC【思路点拨】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出；（2）根据平行线的性质即可求解．【答案与解析】解：（1）∵AB//CD，BC//DE，∴∠C＝∠B＝70°，∠D＝180°－∠C＝180°－70°＝110°.（2）作法如图：【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角的差，以及平行线的性质定理，正确掌握基本作图是关键．类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF的度数吗？【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠EGC＝180°－∠DEG，问题可解.【答案与解析】解：因为AD∥BC（已知），所以∠DEF＝∠EFG＝30°（两直线平行，内错角相等）.因为∠GEF＝∠DEF＝30°（对折后重合部分相等），所以∠DEG＝2∠DEF＝60°.所以∠EGC＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）. 【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质．举一反三：【变式】（山东滨州）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（）．A．60° B．30° C．45° D．90°【答案】C。