高三第一学期期末考试
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高三第一学期期末考试
数学（理）试题
本试题分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式
)()()(B P A P B A P +=+ Sh V =
如果事件A 、B 相互独立，那么
其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的
高
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅
棱锥的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 Sh V 3
1
= n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的
高
k n k
k n n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k =
球的表面积公式
棱台的体积公式
24R S π=
)(3
1
2211S S S S h V ++=
球的体积公式
其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积， 34
3
V R π=
h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径
第I 卷（选择题部分 共50分）
一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共50分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合2{|ln(1),},R A y y x x R C A ==+∈则= A ．∅
B ．（—∞，0]
C ．（—∞,0）
D ．[0,+∞）
2．已知a ，b 是实数，则“||a b a b -≥+”是“ab<0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．函数15,0
(),51,0
x
x
x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩则该函数为 A ．单调递增函数，奇函数 B ．单调递增函数，偶函数
C ．单调递减函数，奇函数
D ．单调递减函数，偶函数
4．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2
f x x x m π
=+-在上有两个零点，则m 的取
值范围是
A ．（1,2）
B ．[1,2）
C ．（1,2]
D ．[l,2]
5．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中BC 1与截面BB 1D 1D 所成的角是 A ．6
π
B ．4
π
C ．3
π
D ．2
π
6．已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该四棱锥的体积是 A ．333cm B ．
3
433
cm
C ．
3
833
cm D ．33cm
7．设实数列{}{}n n a b 和分别为等差数列与等比数列，且
11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是
A ．22a b >
B ．33a b <
C ．55a b >
D ．66a b >
8．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满
足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2， 则曲线C 的离心率等于 A ．2332
或
B ．23
或2
C ．12
或2
D ．1322
或
9．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且
2,||3||,A B A C A O A B O A C
A C
B +==⋅
则的值是 A ．3 B ．3 C ．
32
D ．1
10．已知1,0
(),()0[0,5)(1)1,0
x e x f x f x x f x x ⎧-≤=-=⎨-+>⎩则方程在区间上所有实根
和为 A ．15 B ．10 C ．6 D ．4
第Ⅱ卷（非选择题部分 共1 00分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，
11．已知a ，b 是实数，且2(4)40b i b ai ++++=（其中i 是虚数单位），
则||a bi +的值是。
12．如果双曲我的两个焦点分别为12(0,3)(0,3)F F 和，其中一条渐近线的
方程是2
2
y x =
，则双曲线的实轴长为． 13．设等差数列{}n a 的前n 项和为1,1,n S a =首项且对任意正整数n 都有
241
21
n n a n a n -=
-，则n S =。
14．执行如图所示的程序框图，则输出的s 值是。
15．61(2)x x
-的展开式中的常数项为（用数字作答）．
16．已知D 是由不等式组20
30
x y x y -≥⎧⎨
+≥⎩所确定的平面区域，则圆
224x y +=在区域D 内的弧长是。
17．已知两条直线1212:2,:4,3,x l y l y y l l ===设函数与分别交于点A ，B ，
函数127,x y l l =与分别交于点C ，D ，则直线AB 与直线CD 的交点坐标是。
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）在△ABC 中，已知AC=2，AB=1，且角A 、B 、
C 满足2
cos 22sin 1.2
B C
A ++= （I ）求角A 的大小和BC 边的长；
（II ）若点P 是线段AC 上的动点，设点P 到边AB 、BC 的距离分
别是x ，y ．试求xy 的最大值，并指出P 点位于何处时xy 取得最大值．
19．（本题满分14分）已知正方体ABCD、EFGH的棱长为1，现从8个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示取出的三角形的面积。
（I）求概率1
P X
();
2
（II）求X的分布形列及数学期望().
E X
20．（本题满分15分）已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，
∠BAD=120°，PA=AD=1，AB=2。
M、N分别是PD、CD的中点。
（I）求证：MN⊥AD；
（II）求三面角A—MN—C的平面角的余弦值．
21．（本题满分15分）如图，设点2213(,):(1)4
P m n C x y ++=是圆上的动
点，过点P 作抛物线22:(0)C x ty t =>的两条切线，切点分别是A 、B 。
已知圆C 1的圆心M 在抛物线C 2的准线上。
（I ）求t 的值；
（Ⅱ）求PA PB ⋅
的最小值，以及取得最小值时点P 的坐标。
22．（本题满分14分）设函数31
(),2
t f x x tx t R -=-+
∈。
（I ）试讨论函数()f x 在区间[0,1]上的单调性：
（II ）求最小的实数h ，使得对任意x ∈[0，1]及任意实数t ，
1
()|
|02
t f x h -++≥恒成立．。
