63知识讲解_函数的极值与最值_提高

函数的极值与最值函数是数学中常见的概念，它描述了一种输入与输出之间的关系。

在数学的研究中，我们经常需要探讨函数的极值与最值，这些信息对于理解函数性质以及解决实际问题非常重要。

一、极值的概念及求解方法极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

函数的极大值对应于其图像的局部最高点，而极小值对应于其图像的局部最低点。

要找到一个函数在定义域内的极值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 找到函数的导数，导数可以帮助我们找到函数的增减性以及临界点。

2. 求解导数为零的点，这些点即为函数的可能的极值点。

3. 利用导数的符号确定这些临界点是极大值还是极小值。

4. 在临界点以及函数定义域的端点处进行比较，找到函数的极值。

举个例子来说明。

考虑函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1在定义域[-3, 4]上的极值问题：1. 首先求解导数f'(x) = 6x^2 - 18x + 12。

2. 将导数置为零并解方程，得到6x^2 - 18x + 12 = 0，化简后得到x = 1。

3. 利用导数的符号，可以得出当x < 1时，导数为负，即函数单调递减；当x > 1时，导数为正，即函数单调递增。

所以x = 1是函数的极小值点。

4. 比较临界点x = 1以及函数定义域的端点x = -3和x = 4处的函数值，找到函数的极小值为f(1) = 6。

二、最值的概念及求解方法最值是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。

与极值不同的是，最值不要求在一定的区间内取得，而是考虑了整个定义域。

要找到一个函数在定义域内的最值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 首先找到函数的定义域，即函数取值的范围。

2. 在定义域内比较函数取值，找到最大值与最小值。

继续以函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1为例：1. 函数f(x)的定义域为整个实数集，因此我们需要在全局范围内找到最值。

2. 比较函数在定义域内的取值，可以通过求导并求解导函数为零的点，或者观察函数的图像来找到最大值与最小值。

函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。

在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。

本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。

一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。

而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。

二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。

驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。

2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。

3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。

同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。

4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。

确保所比较的点处于函数的定义域内。

三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。

以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。

例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。

在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。

比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。

此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。

在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。

结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。

通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。

本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。

导数的应用二------函数的极值与最值【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。

2. 会用导数求函数的极大值、极小值。

3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。

4. 掌握函数极值与最值的简单应用。

【要点梳理】 要点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。

函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。

本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。

一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。

极值分为两种情况：局部极值和全局极值。

1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。

设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。

其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。

2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。

设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。

其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。

二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。

首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。

这些点就是可能的极值点。

接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。

当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。

2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。

首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。

然后，通过比较函数值得出极值。

例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。

三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。

例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。

2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。

函数的极值与最值函数的极值与最值是数学中一个重要的概念，它帮助我们了解函数在特定区间内的最大值和最小值，对于解决实际问题和优化函数的性能具有重要意义。

在本文中，我们将探讨函数的极值和最值的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。

1. 函数的极值与最值概述函数的极值指的是函数在某个区间内取到的最大值或最小值。

极大值是指函数在该点的函数值大于或等于该点邻近的其他点的函数值，而极小值则是指函数在该点的函数值小于或等于该点邻近的其他点的函数值。

函数的最大值和最小值则是函数在整个定义域内取到的最大和最小的函数值。

2. 求解函数的极值与最值为了求解函数的极值与最值，我们可以采用以下方法：2.1 导数法对于可导的函数，我们可以通过求导来找到函数的极值。

首先，我们计算函数的导数，然后求解导数为零的点，即可得到函数的极值点。

通过求二阶导数，我们可以进一步判断该点是极大值还是极小值。

2.2 边界法如果函数在一个闭区间上连续，我们可以通过计算该区间的边界点和函数在这些点上的函数值，来找到函数的最值。

比较边界点上的函数值，即可得出函数的最大值和最小值。

3. 函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中有广泛的应用。

以下是几个例子：3.1 经济学在经济学中，函数的极值与最值可以用来优化生产效益、成本最小化和利润最大化的问题。

例如，一个公司可以通过求解该公司的生产函数的最大值，来确定最优的生产量和工人数量。

3.2 物理学在物理学中，函数的极值与最值可以用于研究运动的轨迹、优化物体的能量和速度等问题。

通过求解物体的加速度函数或能量函数的极值，可以找到物体在特定条件下的最优运动轨迹。

3.3 工程学在工程学中，函数的极值与最值可以用于设计和优化工程系统。

例如，通过求解某个系统的效率函数的最大值，可以找到系统的最佳工作点，从而提高工程系统的性能和效益。

总结：函数的极值与最值是数学中的重要概念，它们帮助我们优化函数和解决实际问题。

专题六《导数》讲义6.3导数与函数的极值、最值知识梳理.极值与最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．题型一. 极值、最值的概念1．函数y＝x sin x+cos x的一个极小值点为（）A．x=−π2B．x=π2C．x＝πD．x=3π22．（2017·全国2）若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1 3．（2013·全国2）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C ．若x 0是f （x ）的极小值点，则f （x ）在区间（﹣∞，x 0）上单调递减D ．若x 0是f （x ）的极值点，则f ′（x 0 ）＝04．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣4x +5在x ＝﹣2处取极值（a ∈R ）． （1）求f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[﹣3，3]上的最大值．题型二.已知极值、最值求参 考点1.利用二次函数根的分布1．若函数f （x ）＝x 3﹣3bx +b 在区间（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（0，1）C ．（1，+∞）D ．（﹣1，0）2．已知函数f （x ）=13x 3−12ax 2+x 在区间（12，3）上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞）C ．（2，52）D ．（2，103）考点2.参变分离3．若函数f （x ）=x 33−a 2x 2+x +1在区间（12，3）上有极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（2，52）B ．[2，52）C ．（2，103） D ．[2，103）4．已知函数f(x)=e xx 2+2klnx −kx ，若x ＝2是函数f （x ）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−∞，e 24] B ．(−∞，e 2]C ．（0，2]D ．[2，+∞）考点3.分类讨论5．已知函数f （x ）＝ax −1x −（a +1）lnx +1在（0，1]上的最大值为3，则实数a ＝ ． 6．已知函数f(x)=(12x 2−ax)lnx −12x 2+32ax ．（1）讨论函数f （x ）的极值点；（2）若f （x ）极大值大于1，求a 的取值范围．7．已知函数f （x ）＝lnx −a x（a ∈R ） （1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）若函数f （x ）在[1，e ]上的最小值为32，求a 的值．考点4.初探隐零点——设而不求，虚设零点8．（2013·湖北）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．f(x1)＞0，f(x2)＞−12B．f(x1)＜0，f(x2)＜−12C．f(x1)＞0，f(x2)＜−12D．f(x1)＜0，f(x2)＞−129．已知f（x）＝（x﹣1）2+alnx在(14，+∞)上恰有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)x2的取值范围为（）A．(−3，12−ln2)B．(12−ln2，1)C．(−∞，12−ln2)D．(12−ln2，34−ln2)10．（2017·全国2）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．课后作业.极值、最值1．若函数f （x ）＝（x 2+ax +3）e x 在（0，+∞）内有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣∞，﹣2]C ．（﹣∞，﹣3）D ．（﹣∞，﹣3]2．已知函数f(x)=xe x −13ax 3−12ax 2有三个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，e ）B ．(0，1e)C ．（e ，+∞）D ．(1e，+∞)3．已知f （x ）＝e x ，g （x ）＝lnx ，若f （t ）＝g （s ），则当s ﹣t 取得最小值时，f （t ）所在区间是（ ） A ．（ln 2，1）B ．（12，ln 2）C ．（13，1e）D ．（1e，12）4．已知函数f （x ）＝lnx +x 2﹣ax +a （a ＞0）有两个极值点x 1、x 2（x 1＜x 2），则f （x 1）+f （x 2）的最大值为（ ） A ．﹣1﹣ln 2B ．1﹣ln 2C ．2﹣ln 2D ．3﹣ln 25．已知函数f(x)=lnx +12ax 2+x ，a ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得函数f （x ）的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．。

函数的极值和最值函数是数学中的一种重要概念，它描述了不同变量之间的关系。

在函数中，极值和最值是十分重要的概念，它们能够帮助我们找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的性质和特点。

本文将介绍函数的极值和最值的概念及其求解方法。

一、函数的极值在数学中，函数的极值是指函数在某个点上取得的最大值或最小值。

根据极值的概念，我们可以将其分为两种类型：极大值和极小值。

当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都大时，该点上的极值称为极大值；当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都小时，该点上的极值称为极小值。

为了找到函数的极值，我们可以通过求函数的导数来实现。

首先，我们需要求函数的导数，然后将导数为零的点找出来。

这些点就是函数可能存在极值的点。

接下来，我们可以通过求二阶导数来判断这些点是否是极值点，也就是通过判断导数的变化来确定函数的极值。

二、函数的最值函数的最值是指函数在某个区间或整个定义域上取得的最大值或最小值。

与极值相似，最值也可以分为最大值和最小值两种类型。

当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都大时，该函数值称为最大值；当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都小时，该函数值称为最小值。

要求解函数的最值，我们需要先找到函数的临界点和边界点。

临界点是指导数为零或导数不存在的点，而边界点是指函数定义域的端点。

然后，我们将这些点代入函数式中计算函数值，最后找到其中的最大值和最小值。

综上所述，函数的极值和最值是函数分析中的重要内容。

通过求导数和二阶导数，我们可以找到函数可能存在极值的点，并通过判断导数的变化来确定函数的极值。

而求解函数的最值则需要找到临界点和边界点，通过计算函数值来确定最大值和最小值。

这些方法可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

最后，需要提醒的是，在实际问题中，函数的极值和最值往往对应着一些有意义的物理量或经济量，通过求解函数的极值和最值，我们能够找到最优解或者最优方案，为实际问题的解决提供有力的理论基础。

函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。

在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。

本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。

一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。

根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。

1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。

定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。

2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。

3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。

如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。

二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。

1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。

根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。

2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。

（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。

三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。

解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

令f'(x) = 0，解得x = 1/3。

然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。

函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

本文将对函数的极值和最值进行详细总结。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。

1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。

极大值点和极小值点合称为极值点。

1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。

1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。

这是极值判定的充分条件。

2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。

2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。

但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。

2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。

首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。

从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。

3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。

3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。

首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。

计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。