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2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1 复数的加法与减法5.2.2 复数的乘法与除法学案（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1 复数的加法与减法5.2.2 复数的乘法与除法学案（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1 复数的加法与减法5.2.2 复数的乘法与除法学案（含解析）北师大版选修2-2的全部内容。
5。
2.1 复数的加法与减法5。
2.2 复数的乘法与除法1。
理解共轭复数的概念。
（重点）2.掌握复数的四则运算法则与运算律。
(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复数的加法与减法阅读教材P103“例1"以上部分,完成下列问题.1.复数的加法设a＋b i（a，b∈R)和c＋di（c，d∈R）是任意两个复数，定义复数的加法如下：（a＋b i）＋（c＋di）＝(a＋c）＋（b＋d）i。
2.复数的减法设a＋b i(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R）是任意两个复数，定义复数的减法如下:（a＋b i）－(c＋di)＝(a－c）＋（b－d）i。
复数z1＝2－错误!i，z2＝错误!－2i，则z1＋z2等于( )A.0B.错误!＋错误!iC.错误!－错误!i D。
错误!－错误!i【解析】z1＋z2＝错误!＋错误!i＝错误!－错误!i。
【答案】C教材整理2 复数的乘法与除法阅读教材P104“练习”以下~P106，完成下列问题.1.复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋di(a，b,c,d∈R)，则z1·z2＝（a＋b i）(c＋di)＝(ac－b d)＋(a d＋bc)i。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2复数的四则运算5.2.1复2.1复数的加法与减法课程标准要求能够以复数代数的形式进行四个运算，理解复数代数形式的加减运算的几何意义。
1.知识和技能：掌握复数加减算法；三维目标2。
过程和方法：理解和掌握实数四运算规律；3.情感、态度和价值观：理解并掌握复数的四种算法。
复数加法规则：（a+bi）+（c+DI）=（a+c）+（B+D）I（a，B，c，D）∈ R）复数的加法可以通过模仿多项式的加法规则来计算，并且不需要记忆公式。
重点：复数代数形式的加减法学科教学手段提炼教学重点和难点运用阅读理解、分析归纳、教学过程选择结合教学资源I.复数代数形式的加减法１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2.复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3.复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z1.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈r).∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.难度：复数代数形式的加减法，复数的加法规则Z2+Z1=（A2+b2i）+（a1+b1i）=（A2+a1）+（B2+B1）I又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.∴z1+z2=z2+z1。
也就是说，复数的加法满足交换定律。
4复数的加法满足结合定律：（z1+Z2）+Z3=z1+（Z2+Z3）证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈r).∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=[（a1+a2）+（b1+b2）i]+（a3+b3）i=[（a1+a2）+a3]+（（b1+b2）+b3）i=（a1+a2+a3）+（b1+b2+b3）i。
20１7－2０1８学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1 数系的扩充与复数的引入教学案北师大版选修2-2编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(201７-2018学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入教学案北师大版选修２-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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§1数系的扩充与复数的引入错误!数的概念的扩展已知方程(1)x２-2＼r(２)x+２＝0,（2）x2+1＝０.问题1:方程（１)在有理数数集中有解吗?实数范围内呢?提示：在有理数集中无解;在实数范围内有解,其解为错误!.问题2：方程(2)在实数集中有解吗?提示:没有.问题3：若有一个新数i满足i2＝－１，试想方程ｘ2+1＝0有解吗?提示:有解x=ｉ，但不是实数．1.复数的概念2.复数集复数的全体组成的集合,记作Ｃ。
显然RＣ。
复数的相等问题１：若ａ，b,c,d∈R且ａ＝ｃ,b＝d,复数a＋bｉ和c+d i相等吗?提示：相等．问题2:若a+b i=ｃ＋d i，那么实数ａ,b,c，d有何关系?提示:a＝ｃ，b=ｄ。
复数相等的充要条件设a,ｂ,c,d都是实数,那么a＋ｂi=c＋dｉ⇔a＝c且b＝ｄ。
复平面及复数的几何意义问题１：实数与数轴上的点一一对应,复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以.问题2：复数z＝a＋b i(a,ｂ∈R）与有序实数对(a,ｂ)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系?提示：一一对应,一一对应.问题3：在平面直角坐标系中点Ｚ(a,ｂ）与向量OZ=(ａ,b)有何对应关系？提示：一一对应关系．问题４：复数z=a＋b i(a,ｂ∈Ｒ）与OZ有何对应关系?提示:一一对应．1.复平面(1）当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面,x轴为实轴,y 轴为虚轴．(2)任一个复数ｚ=a+b i（a,b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．这是复数的几何意义.一个复数z=ａ+b i（ａ，b∈Ｒ)与复平面内的向量OZ＝(a，b）是一一对应的.２．复数的模设复数z=a+b i（a，b∈R)在复平面内对应的点是Ｚ(ａ,ｂ），点Z到原点的距离｜ＯZ｜叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,显然，|z|＝＼r(a２＋b2)。
2.1 复数的加法与减法随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学和技术的进步,逐步建立起来的复变数函数理论在应用于堤坝渗水的问题、建立巨大水电站时所提供的理论依据中越来越需要进行大量的加、减、乘、除、乘方、开方运算.早在1747年,法国著名的数学家达兰贝尔指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi的形式(a、b都是实数).他开创了复数四则运算的先河.高手支招1细品教材一、复数的加法1.复数的加法法则设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,复数的加法按照以下法则进行:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.两个复数和仍是一个复数,其实部为a+c,虚部为b+d.因此,两复数相加就是将两个复数的实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.【示例1】计算(7+5i)+(2+3i).思路分析:实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.解:(7+5i)+(2+3i)=(7+2)+(5+3)i=9+8i.【示例2】计算:①(-2+3i)+(5-i);②(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).思路分析:直接运用复数的加减运算法则进行计算.解:①原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.②原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.2.复数加法的交换律、结合律对任何z1,z2,z3∈C,复数运算律如下:(1)交换律:z1+z2=z2+z1.证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i.则:z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,而z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i,由a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1及复数相等的定义得:(a1+a2)+(b1+b2)i=(a2+a1)+(b2+b1)i,∴z1+z2=z2+z1.(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iz1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).状元笔记因为复数可以用向量表示,而向量的加法遵循平行四边形法则,所以复数的加法遵循平行四边形法则.3.复数加法的几何意义复数用向量表示以后,如果复数对应的向量不在同一直线上,那么这些复数的加法就可按向量加法的平行四边形法则来进行.设1OZ 及2OZ 分别与复数a+bi,c+di 对应,且1OZ 、2OZ 不在同一直线上,以1OZ 及2OZ 为两条相邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2,画x 轴的垂线PZ 1、QZ 2及RZ,并且画Z 1S⊥RS. 于是,点Z 的坐标是(a+c,b+d)，这说明OZ 就是复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量. 由此可知,求两个复数的和,可以先画出与这两个复数对应的向量1OZ 、2OZ ,如果1OZ 、2OZ 不在同一直线上,再以这两个向量为两条邻边作平行四边形,那么与这个平行四边形的对角线OZ 所表示的向量OZ 对应的复数,就是所求两个复数的和.如果两个复数对应的向量在同一直线上,则画一条直线,平移2OZ ,使2OZ 的起点与1OZ 的终点Z 1重合,就得向量OZ ,OZ 对应的复数就表示复数z 1与复数z 2的和.【示例】 已知复数z 满足z+|z|=2+8i,求复数z.思路分析:常规解法为设出z=a+bi(a,b∈R ),代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a 、b.也可以将复数从实部与虚部角度来理解,即将方程化为:z=(2-|z|)+8i,则其实部为2-|z|，虚部为8,然后利用复数求模运算求得|z|.解法1:将z=a+bi(a,b∈R )代入等式,得a+bi+22b a +=2+8i, ∴⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==++,8,15,8,222b a b b a a 解得∴z=-15+8i. 解法2:将方程化为:z=(2-|z|)+8i,∵|z|∈R ,∴2-|z|是z 的实部,于是,|z|=228|)|2(+-z ,即|z|2=68-4|z|+|z|2,∴|z|=17,∴z=(2-|z|)+8i=(2-17)+8i=-15+8i.二、复数的减法1.复数的减法法则设z 1=a+bi,z 2=c+di 是任意两个复数,复数的减法按照以下法则进行:z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.证明:根据复数的加法法则和复数相等的定义,有c+x=a,d+y=b,即x=a-c,y=b-d,∴(x+yi)=(a -c)+(b-d)i,∴(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.两个复数差仍是一个复数,其实部为a-c,虚部为b-d.因此,两复数相减就是将两个复数的实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.【示例】 计算(1-3i)-(2+5i).思路分析:实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.解:(1-3i)-(2+5i)=(1-2)+(-3-5)i=-1-8i.状元笔记复数z 1-z 2所对应的向量，实质上就是从复数z 2所对应的点指向复数z 1所对应点的向量;而两复数z 1与z 2差的模就是这两个复数所对应的两点之间的距离.两复数的加法和减法的几何意义均可用平行四边形法则来表达.2.复数减法的几何意义复数减法的运算同样适应向量的平行四边形法则和三角形法则.设OZ 与复数a+bi 对应,1OZ 与复数c+di 对应,如图以OZ 为一条对角线,1OZ 为一边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边2OZ 所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i 对应.这是因为Z 1与2OZ 平行且相等,所以向量Z 1也与这个差对应,实际上,两个复数差z-z 1(即OZ -Z Z 1)与连结两个终点,并指向被减数的向量对应,这是复数减法的几何意义.【示例】 已知z-|z|=-1+i,求复数z.思路分析:设z=x+yi(x,y∈R )将原复数方程转化为实数方程问题.解:设z=x+yi(x,y∈R ),由题意,得x+yi-22y x +=-1+i,即(x-22y x +)+yi=-1+i,根据复数相等的定义得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-,1,122y y x x 解得⎩⎨⎧==,1,0y x ∴z=i. 高手支招2基础整理本节内容主要阐述了复数的四则运算中的加法运算、减法运算,复数加减法的几何意义.本节的知识结构如下:。
2.1 复数的加法与减法 2.2 复数的乘法与除法1.理解共轭复数的概念.(重点)2.掌握复数的四则运算法则与运算律.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复数的加法与减法阅读教材P 103“例1”以上部分，完成下列问题. 1.复数的加法设a ＋b i(a ，b ∈R )和c ＋di(c ，d ∈R )是任意两个复数，定义复数的加法如下：(a ＋b i)＋(c ＋di)＝(a ＋c )＋(b ＋d)i.2.复数的减法设a ＋b i(a ，b ∈R )和c ＋di(c ，d ∈R )是任意两个复数，定义复数的减法如下：(a ＋b i)－(c ＋di)＝(a －c )＋(b －d)i.复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A.0B.32＋52iC.52－52i D.52－32i 【解析】 z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2i ＝52－52i.【答案】 C教材整理2 复数的乘法与除法阅读教材P 104“练习”以下～P 106，完成下列问题. 1.复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋di)＝(ac －b d)＋(a d＋bc )i.2.复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有3.共轭复数如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数.复数z 的共轭复数用z 来表示，即z -＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.4.复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋di(c ＋di ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋di ＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －a dc ＋d i.(1＋i)2－2－i 2＋i＝________.【解析】 ∵(1＋i)2－2－i 2＋i ＝2i －（2－i ）25＝－35＋145i.【答案】 －35＋145i[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2i ＝________.(2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z .【精彩点拨】 (1)根据复数的加法与减法法则计算.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，根据复数相等计算或把等式看作z 的方程，通过移项求解. (3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，再根据复数相等求解. 【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i＝1＋i. 【答案】 1＋i(2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，又|z |＋z ＝1＋3i ，所以x 2＋y 2＋x ＋y i＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以z ＝－4＋3i.1.复数加法与减法运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.(2)把i 看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项.2.当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般要用待定系数法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).[再练一题]1.(1)复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A.－1＋I B.1－i C.i D.－i【解析】 (1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A. 【答案】 A(2)已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________.【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴x 2＋y 2＝3①，且z ＋3i ＝x ＋y i ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋3≠0，由①可得y ＝3. ∴z ＝3i. 【答案】 3i12(1)z 1·z 2和z 41； (2)z 1÷z 2和z 22÷z 1.【精彩点拨】 按照复数的乘法和除法法则进行. 【自主解答】 (1)z 1·z 2＝3－2i ＋3i －2i 2＝5＋i.z 41＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i 2＝－4.(2)z 1÷z 2＝1＋i 3－2i ＝（1＋i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝1＋5i 13＝113＋513i.z 22÷z 1＝（3－2i ）21＋i ＝5－12i 1＋i ＝（5－12i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－7－17i 2＝－72－172i.1.实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立.2.复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减.3.常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i.[再练一题] 2.(1)满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C.－12＋12iD.－12－12i(2)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A.1 B.2 C. 2D. 3【解析】 (1)∵z ＋iz＝i ，∴z ＋i ＝z i ，∴i ＝z (i －1). ∴z ＝i i －1＝i （－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝1－i 2＝12－12i.(2)∵z (1＋i)＝2i ，∴z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）2＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2. 【答案】 (1)B (2)C[探究共研型]探究1 【提示】 若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z -＝a －b i ，则z ＋z -＝2a ∈R .因此，和一定是实数；而z －z -＝2b i.当b ＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b ≠0时，两共轭复数的差是纯虚数.探究2 若z 1与z 2是共轭复数，则|z 1|与|z 2|之间有什么关系？ 【提示】 |z 1|＝|z 2|.已知z ∈C ，z -为z 的共轭复数，若z ·z -－3i z -＝1＋3i ，求z .【精彩点拨】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z -＝a －b i.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.【自主解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z -＝a －b i ，(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [再练一题]3.已知复数z 1＝(－1＋i)(1＋b i)，z 2＝a ＋2i1－i，其中a ，b ∈R .若z 1与z 2互为共轭复数，求a ，b 的值.【解】 z 1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i ＋i －b ＝(－b －1)＋(1－b )i ，z 2＝a ＋2i 1－i ＝（a ＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a ＋a i ＋2i －22＝a －22＋a ＋22i ，由于z 1和z 2互为共轭复数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝－b －1，a ＋22＝－（1－b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. [构建·体系]1.设z1＝2＋i，z2＝1－5i，则|z1＋z2|为( )A.5＋26B.5C.25D.37【解析】|z1＋z2|＝|(2＋i)＋(1－5i)|＝|3－4i|＝32＋（－4）2＝5.【答案】 B2.已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )A.－3＋iB.－1＋3iC.－3＋3iD.－1＋i【解析】(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.【答案】 B3.设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x＝________. 【解析】∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.【答案】－24.若21－i＝a＋b i(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.【导学号：94210084】【解析】因为21－i＝2（1＋i）（1－i）（1＋i）＝1＋i，所以1＋i＝a＋b i，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.【答案】 25.已知复数z满足|z|＝5，且(1－2i)z是实数，求z.【解】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)·(a＋b i)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝5，所以a2＋b2＝5，解得a＝±1，b ＝±2，∴z ＝1＋2i 或－1－2i ， ∴z -＝1－2i 或－1＋2i ， ∴z -＝±(1－2i).我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(十九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A.1 B.2 C.－2D.－1【解析】 z 1－z 2＝y ＋x i －(y i －x )＝x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1. ∴xy ＝1. 【答案】 A2.已知复数z ＋3i －3＝3－3i ，则z ＝( ) A.0 B.6i C.6D.6－6i【解析】 ∵z ＋3i －3＝3－3i ， ∴z ＝(3－3i)－(3i －3) ＝6－6i. 【答案】 D 3.复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( )【导学号：94210085】A.1B.2C.12D.14【解析】 由z ＝32－a i ，a ∈R ，得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×a i ＋(a i)2＝34－a 2－3a i ，因为z 2＝12－32i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12.【答案】 C4.A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】 复数z 1对应向量OA →，复数z 2对应向量OB →. 则|z 1＋z 2|＝|OA →＋OB →|，|z 1－z 2|＝|OA →－OB →|， 依题意有|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|.∴以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形是矩形. ∴△AOB 是直角三角形. 【答案】 B5.已知复数z ＝3＋i （1－3i ）2，z －是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A.14 B.12 C.1D.2【解析】 ∵z ＝3＋i（1－3i ）2＝－3i 2＋i（1－3i ）2＝i （1－3i ）（1－3i ）2＝i1－3i ＝i （1＋3i ）4＝－34＋i 4，∴z －＝－34－i 4，∴z ·z －＝14.【答案】 A 二、填空题6.复数（1＋2i ）23－4i 的值是________ .【解析】 （1＋2i ）23－4i ＝－3＋4i3－4i ＝－1.【答案】 －1 7.已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵a ＋2ii＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ， ∴a ＝－1，b ＝2， ∴a ＋b ＝1. 【答案】 18.已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝______. 【解】 法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ). 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，∴z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部， 于是|z |＝（2－|z |）2＋82， 即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17. 代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 【答案】 －15＋8i 三、解答题9.在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1，2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积.【解】 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形. (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.10.已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数；(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围.【解】 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ， 所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2，4＋a )，其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.[能力提升]1.(2016·宁夏高二检测)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A.若|z 1－z 2|＝0，则z 1－＝z 2－B.若z 1＝z 2，则z 1－＝z 2C.若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1－＝z 2·z 2－D.若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22【解析】 A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1－＝z 2－，真命题； B ，z 1＝z 2－⇒z 1－＝z 2=＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1－＝z 2·z 2－，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题. 【答案】 D2.复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x＋4y的最小值为( ) A.2 B.4 C.4 2 D.16 【解析】 由|z －4i|＝|z ＋2|，得小初高试卷教案类K12小学初中高中 |x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|，∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，即x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ＋2y ＝223＝42， 当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y 取得最小值4 2. 【答案】 C3.若复数z ＝7＋a i 2－i的实部为3，则z 的虚部为__________. 【解析】 z ＝7＋a i 2－i ＝（7＋a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝（14－a ）＋（7＋2a ）i 5＝14－a 5＋7＋2a 5i.由题意知14－a 5＝3，∴a ＝－1，∴z ＝3＋i. ∴z 的虚部为1.【答案】 14.已知z 为复数，z －1i 为实数，z1－i为纯虚数，求复数z . 【导学号：94210086】 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －1i ＝a －1＋b i i ＝(a －1＋b i )·(－i)＝b －(a －1)i.因为z －1i 为实数，所以a －1＝0，即a ＝1.又因为z1－i ＝（a ＋b i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝（a －b ）＋（a ＋b ）i 2为纯虚数， 所以a －b ＝0，且a ＋b ≠0，所以b ＝1.故复数z ＝1＋i.。
