5.1函数

5.1 变量与函数
【教学目标】
1.知识与能力
（1）探索实际生活中的一些简单事例的数量关系和变化规律。

（2）从具体的事例中了解常量、变量的意义，了解函数的概念和表示方法，能说出一些函数的实例。

（3）能根据图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。

2.过程与方法
在探究问题的过程中，体会从具体的事例中寻找常量、变量并判断两个变量之间是否满足函数关系的过程．
3.情感、态度与价值观
（1）通过列举学生身边的事例，激发学生探究问题的兴趣．
（2）渗透事物是运动的以及运动是有规律的辨证思想.
【教学重点】
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律。

2.从具体的事例了解常量、变量的意义。

3.结合实例，了解函数的概念。

【教学难点】
函数的概念以及根据图象对实际问题中的函数进行分析。

【教学方法】
创设情境－激发诱导－合作建构－应用提高。

【教学过程】
一、创设情境，引入新课
新课引入：“请你欣赏”（五幅运动画面）
提问：你能看出这些画面具有什么共同特征吗？（运动变化）
我们所生活的大千世界，大到天体运动，小到分子结构，无不充斥着运动变化，如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢? 今天，我们就来探讨这一课题.
二、引导探究具体问题的数量关系
1. 问题(1)
在升旗的过程中，国旗以0.8米/秒的速度匀速上升。

若国旗上升的时间为t 秒，上升的高度为s米，先填写下表，再试用含t 的式子表示s。

解：用含t的式子表示s：S =0.8 t
在这个变化过程中，
数值发生变化的量：时间t; 高度s
数值始终不变的量：速度0.8米/秒
2. 问题(2)
汽车油箱中原有油40升，行驶过程中每小时耗油5升，若行驶的时间为x 小时，油箱中剩余的油量为Q升。

先填写下表，再试用含x的式子表示Q。

解：用含x的式子表示Q：Q=40-5x
在这个变化过程中，随着的变化而变化
数值发生变化的量：时间x; 余油量Q
数值始终不变的量：原有油40升每小时耗油5升
3. 问题(3)
世博会中国馆的门票分为两种，其中普通票为每张20元，如果售出普通票数为x张，总收入为y元。

（1）在这个变化过程中，随着的变化而变化。

（2）在这个变化过程中，哪些量的数值发生了变化？
哪些量的数值始终不变？
（3）你会用含x的式子表示y吗？
解：（1）总收入y随着售出票数x的变化而变化；
（2）售出票数x、总收入y发生了变化；
每张票价20元始终不变；
（3）用含x的式子表示y：y=20x
思考：通过对以上三个问题的研究，你发现它们有什么共同特征？
三、归纳
1、在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量（constant）,
可以取不同数值的量叫做变量(variable).
探索一
工作人员根据水库的水位变化与水库蓄水量变化情况列成下表：
思考: 这一变化过程中有几个变量？他们有怎样的关系呢？
水库蓄水量随着水位的升高而增大，随着水位的下降而减小，当水位稳定不变时，蓄水量也稳定不变。

利用表格，工作人员就能根据测得的水位，及时报告水库蓄水量。

探索二
我市10年元旦一天内的气温变化图
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别大约为多少度？
(2)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ (3)在以上变化过程中有几个变量？它们之间有怎样的关系？
两个变量，温度和时间
温度随着时间的变化而变化。

探索三
用火柴棒搭小鱼，动画演示
可以看到：当小鱼的条数变化时，所需火柴的根数也随着变化；当小鱼条数确定时，所需火柴的根数也确定。

(1)搭一条小金鱼需要8根火柴，每增加1条小金鱼需要增加几根火柴？
6根 (2)小金鱼条数n 与火柴棒根数S 关系如何？S=8+6(n-1) (3)搭100条小金鱼,需要多少根火柴? 602根
(4)在这变化过程中有几个变量？它们的关系如何呢？
小金鱼条数n 与火柴棒根数S
用一石子投入平静的水面，你会发现什么现象？
会形成以落水点为圆心的一系列不断变化的圆。

圆的面积随着半径的变化而变化；随着半径的确定而确定。

图17.1.1
思考：回头再看上述问题，都是反映的什么过程？（变化过程）都有几个变量？（两个）
这两个变量之间有什么联系吗？（对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应）
我们就把其中的这个变量称为自变量，而把另一个变量称为因变量，并且说因变量是自变量的函数。

归纳：
一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x 和y ，并且对于变量x 的每一个值，变量y 都有惟一的值与它对应，那么我们称y 是x 的函数（function）. 其中，x 是自变量，y 是因变量.
说明：理解函数概念要把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③唯一对应关系。

水库蓄水量是水位的函数其中水位是自变量，水库蓄水量是因变量
由学生回答其余三个探索中的函数关系及自变量和因变量。

再回到开头的三个问题，回答其中的函数关系及自变量和因变量。

四、随堂练习：书本第142页练习1,2
补充：
1、用一根1m长的铁丝围成一个长方形.
（1）当长方形的宽为0.1m时，长为——m;
（2）当长方形的宽为0.2m时，长为——m;
（3）当长方形的宽为 a m时，长为——m;
（4）长方形的长b是宽a的函数吗？为什么？
0.4 0.3 0.5-a
长方形的长b是宽a的函数
长方形的长=0.5×周长-宽
b = 0.5－a
2、用一根1m长的铁丝围成一个长方形.求长方形面积S（m2）与一边长a （ｍ）之间的关系式，并判断S是否是a的函数。

a
S = a(0.5-a) 即S = 0.5a－a2
S是a的函数. a是自变量，S是应变量。

五、收获
今天我们学了什么？
1.变量与常量——在某一变化过程中，数值保持不变的量叫常量;
可以取不同数值的量叫做变量。

2.函数———一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且
对于变量x的每一个值，变量y都有惟一的值与它对应，那么
我们称y是x的函数。

其中，x是自变量，y是应变量。

六、作业
完成课本第145~146页第1,2,4题。

【设计意图】在本课中，设计了三个问题情景，目的是让学生在现实情景中感知变量和常量。

后面设计了四个探索，运用了三种不同的表达方式（图象、列表、数学表达式）来表述四个问题，目的是给学生呈现函数的三种表示方式（下一课的知识）。

函数的概念是初中数学的一个非常抽象的概念，对函数概念本质上的理解需要高中的知识作为支撑，因此在初中阶段我们能做的，是让学生通过实例来感知函数的概念，让学生在熟悉的现实情景中感知变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律。

通过对几个问题进行具体的讲评来理解函数概念，使学生体验从具体到抽象的认知过程。

【教学反思】函数这部份知识在初中教学中是一大难点，这主要是因为概念的抽象性，学生理解起来相当不容易，接受起来就更难。

函数研究的主要是“变量”与“变量”之间的关系，要求用变量的眼光，运动变化的关点去看侍和接触相关问题。

所以我先设计了3个问题情景，目的是让学生在现实情景中感知变量和常量。

然后给出常量和变量的定义。

接下来设计了4个探索，运用了三种不同的表达方式（图象、列表、数学表达式）来表述四个问题，目的是给学生呈现函数的三种表示方式（下一课的知识）。

有单独提问学生，也有学生集体回答：有老师的讲解，也和学生一起讨论，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。

最后在学生讨论了函数的特征后给出函数的定义，从而突破了难点，取得较好的教学效果。