问题分析
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Y3 0.000000 0.8333333E-01
Row Slack or Surplus Dual Price
1 465.1218 -1.000000
2 1800.000 0.000000
3 0.000000 -0.1666667E-01
4 0.000000 -0.1429487E-01
5 0.000000 -0.1666667E-01
模型建立：
目标函数：S1+S2+S3+S4
65S1 5X1
65S2 5X2
65S3 5X3
65S4 5X4
S1=120+ X1-Y1、S2= 0.85S1+ X2-Y2、S3= 0.85S2+ X3-Y3、S4= 0.85S3+ X4-Y4；
S1、S2、S3、S4、X1、X2、X3、X4、Y1、Y2、Y3、Y4 0
模型分析：此问题可以让公司的利润作为目标函数建立一个规划模型，使得在A、B两种产品含硫量不超标且满足不超过市场需求量的情况下公司的利润最大。可以设甲、乙、丙、丁四种原料用于生产A,B质量分别为L1、L2、M1、M2、N1、N2、P1、P2
模型建立：
目标函数：9（L1+M1+N1+P1）+15（L2+M2+N2+P2）-(6（L1+L2）+16（M1+M2）+10（N1+N2）+15（P1+P2）)化简得３L1＋９L2－７M1－M2－N1－５N2－６P1
模型建立：
目标函数：S1+S2+S3+S4
三个季度要在保姆（包括新招进公司的保姆）工作65天的情况下要达到规定的工作量所以有：65S1 5X1
65S2 5X2
65S3 5X3
65S4 5X4
且：S1=120+X1、S2=0.85S1+X2、S3=0.85S2+X3、S4=0.85S3+X4；
S1、S2、S3、S4、X1、X2、X3、X4
9 0.000000 0.8333333E-01
对上面结果取整数，所以四个季度公司应招聘保姆的数量分别为0、15、0、59人。
第二问
模型分析：若公司在每季度结束后允许解雇保姆，那么只需要在上述模型中减去每个季度公司解雇保姆的数量，使公司能完成每个季度需求量的情况下所招保姆最少。可设每个季度公司解雇的保姆数量为Y1、Y2、Y3、Y4。
S4 144.0064 0.000000
X1 0.000000 0.9291667
X2 14.50000 0.000000
X3 0.000000 0.7147436E-01
X4 72.08333 0.000000
Y1 0.000000 0.8333333E-01
Y2 14.40962 0.000000
数据分析:通过以上数据发现在不解雇保姆的情况下目标函数值为478.5107，在可以解雇保姆的情况下目标函数值为465.1218，说明公司在可以解雇保姆的情况下可以取得更好的利益。
3.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A,B)。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A,B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3%，1%，2%，1%，进货价格分别为6，16，10，15(千元/t)；产品A，B的含硫量分别不能超过2.5%，1.5%，售价分别为9，15（千元/t）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50t；产品A，B的市场需求量分别为100t、200t.问应如何安排生产？
6 0.000000 -0.9291667
7 0.000000 0.8333333E-01
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.8333333E-01
对上面结果取整数,所以公司在四个季度应招聘保姆数量分别为0、15、0、72人。前三季末度应解雇保姆人数分别为0、15、0人，第四季度解雇保姆人数对本年的赢利不产生影响。
接下来用LINGO软件进行求解
min=S1+S2+S3+S4;
65*S1>=6000+5*x1;
65*S2>=7500+5*x2;
65*S3>=5500+5*x3;
65*S4>=9000+5*x4;
S1=120+x1;
S2=0.85*S1+x2;
S3=0.85*S2+x3;
S4=0.85*S3+x4;
A、B含硫量的限制如下
（0.03L1＋0.01M１＋0.02N1＋0.01P1 L1+M1+N1+P1） 0.025
（0.03L２＋0.01M2＋0.02N２＋0.01P２ （L2+M2+N2+P2） 0.015
为满足市场供应量有下式
L1+M1+N1+P1＝100
L2+M2+N2+P2＝200
L1、L2、M1、M2、N1、N2、P1、P2 0，P1+P2 50
对于以上两种情况我们可以对缠绕时的角度变化做一个细致的分析当角度α比较小时会出现下面的情况
这时A和B不重合我们缠绕圆柱体时会出现图例一中的第一种情况，纸条最终不能完全覆盖住圆柱体。于是我们调整角度α，发现当A和B重合于M时纸条才能完全覆盖住圆柱体。
因此可以考虑到当纸条宽度和圆柱体的直径固定时只有当α为一个特定的角度时才能使纸条完全覆盖住圆柱体。
min=S1+S2+S3+S4;
65*S1>=6000+5*X1;
65*S2>=7500+5*X2;
65*S3>=5500+5*X3;
65*S4>=9000+5*X4;
S1=120+X1;
S2=0.85*S1+X2-Y1;
S3=0.85*S2+X3-Y2;
S4=0.85*S3+X4-Y3;
Global optimal solution found.
1.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重不裁剪，问布条与管道轴线的夹角a应多大,若知道管道长度需多长布条？
问题分析:这是一个实际问题，我们可以自制一个纸条代替布条做一个实验。找一根长度固定圆柱体比如粗细比较均匀的笔筒把纸条缠在上面。我们发现在不使纸条发生褶皱的情况下纸条要么能完全覆盖住笔筒，要么不能完全覆盖笔筒。即如图所示两种情况
Global optimal solution found.
Objective value: 478.5107
Total solver iterations: 1
Variable Value Reduced Cost
S1 120.0000 0.000000
S2 116.5000 0.000000
S3 99.02500 0.000000
2 1800.000 0.000000
3 0.000000 -0.2982986E-01
4 936.6250 0.000000
5 0.000000 -0.1666667E-01
6 0.000000 -0.8732231
7 0.000000 0.1491493
8 0.000000 -0.9291667
建立模型：设布条宽度为w圆柱体直径为d,现在来找出α与w和d之间的关系。于是将绕在柱体上的那部分展开可得到下图为一个平行四边形。
得到 ,若w布条宽度趋于零可见α趋于 。
若管道长为l将绕在柱体上面的布条展开每一圈都如上图所示那么布条的面的为 ,那么可得纸条的长度为 。
模型应用：对于缠绕布条的问题通过模型会发现不管柱体形状如何只要粗细均匀，我们用如上模型可以把绕在柱体上的每一圈都可展开为相同的一个平行四边形相应的平行四边形的高为柱体的周长 。相应的可计算出布条的长和角度α，只需把原来公式中柱体的直径替换为现有柱体的直径。
2.一家保姆服务公司专门向辅助提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春60题目2新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%保姆自动离职。
（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划？
（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇最多5%保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。
第一问；
模型分析：公司为了利益最大化要在满足每季度保证保姆的需求量的同时保证招的保姆数量尽可能的少，于是我们可以建立一个规划的模型使得保姆数量为目标函数。每个季度会有15%的保姆辞职，公司为了保证需求量还会招进一定数量的保姆。于是我们可以设4个季度开始时保姆数量为S1、S2、S3、S4，公司招在4个季度分别招进来的保姆数量为X1、X2、X3、X4。要使得目标函数S1+S2+S3+S4最小，于是我们可以建立以下模型。
S4 142.9857 0.000000
X1 0.000000 0.8732231
X2 14.50000 0.000000
X3 0.000000 0.9291667
X4 58.81448 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 478.5107 -1.000000
Objective value: 465.1218
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 0
Row Slack or Surplus Dual Price
1 465.1218 -1.000000
2 1800.000 0.000000
3 0.000000 -0.1666667E-01
4 0.000000 -0.1429487E-01
5 0.000000 -0.1666667E-01
模型建立：
目标函数：S1+S2+S3+S4
65S1 5X1
65S2 5X2
65S3 5X3
65S4 5X4
S1=120+ X1-Y1、S2= 0.85S1+ X2-Y2、S3= 0.85S2+ X3-Y3、S4= 0.85S3+ X4-Y4；
S1、S2、S3、S4、X1、X2、X3、X4、Y1、Y2、Y3、Y4 0
模型分析：此问题可以让公司的利润作为目标函数建立一个规划模型，使得在A、B两种产品含硫量不超标且满足不超过市场需求量的情况下公司的利润最大。可以设甲、乙、丙、丁四种原料用于生产A,B质量分别为L1、L2、M1、M2、N1、N2、P1、P2
模型建立：
目标函数：9（L1+M1+N1+P1）+15（L2+M2+N2+P2）-(6（L1+L2）+16（M1+M2）+10（N1+N2）+15（P1+P2）)化简得３L1＋９L2－７M1－M2－N1－５N2－６P1
模型建立：
目标函数：S1+S2+S3+S4
三个季度要在保姆（包括新招进公司的保姆）工作65天的情况下要达到规定的工作量所以有：65S1 5X1
65S2 5X2
65S3 5X3
65S4 5X4
且：S1=120+X1、S2=0.85S1+X2、S3=0.85S2+X3、S4=0.85S3+X4；
S1、S2、S3、S4、X1、X2、X3、X4
9 0.000000 0.8333333E-01
对上面结果取整数，所以四个季度公司应招聘保姆的数量分别为0、15、0、59人。
第二问
模型分析：若公司在每季度结束后允许解雇保姆，那么只需要在上述模型中减去每个季度公司解雇保姆的数量，使公司能完成每个季度需求量的情况下所招保姆最少。可设每个季度公司解雇的保姆数量为Y1、Y2、Y3、Y4。
S4 144.0064 0.000000
X1 0.000000 0.9291667
X2 14.50000 0.000000
X3 0.000000 0.7147436E-01
X4 72.08333 0.000000
Y1 0.000000 0.8333333E-01
Y2 14.40962 0.000000
数据分析:通过以上数据发现在不解雇保姆的情况下目标函数值为478.5107，在可以解雇保姆的情况下目标函数值为465.1218，说明公司在可以解雇保姆的情况下可以取得更好的利益。
3.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A,B)。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A,B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3%，1%，2%，1%，进货价格分别为6，16，10，15(千元/t)；产品A，B的含硫量分别不能超过2.5%，1.5%，售价分别为9，15（千元/t）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50t；产品A，B的市场需求量分别为100t、200t.问应如何安排生产？
6 0.000000 -0.9291667
7 0.000000 0.8333333E-01
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.8333333E-01
对上面结果取整数,所以公司在四个季度应招聘保姆数量分别为0、15、0、72人。前三季末度应解雇保姆人数分别为0、15、0人，第四季度解雇保姆人数对本年的赢利不产生影响。
接下来用LINGO软件进行求解
min=S1+S2+S3+S4;
65*S1>=6000+5*x1;
65*S2>=7500+5*x2;
65*S3>=5500+5*x3;
65*S4>=9000+5*x4;
S1=120+x1;
S2=0.85*S1+x2;
S3=0.85*S2+x3;
S4=0.85*S3+x4;
A、B含硫量的限制如下
（0.03L1＋0.01M１＋0.02N1＋0.01P1 L1+M1+N1+P1） 0.025
（0.03L２＋0.01M2＋0.02N２＋0.01P２ （L2+M2+N2+P2） 0.015
为满足市场供应量有下式
L1+M1+N1+P1＝100
L2+M2+N2+P2＝200
L1、L2、M1、M2、N1、N2、P1、P2 0，P1+P2 50
对于以上两种情况我们可以对缠绕时的角度变化做一个细致的分析当角度α比较小时会出现下面的情况
这时A和B不重合我们缠绕圆柱体时会出现图例一中的第一种情况，纸条最终不能完全覆盖住圆柱体。于是我们调整角度α，发现当A和B重合于M时纸条才能完全覆盖住圆柱体。
因此可以考虑到当纸条宽度和圆柱体的直径固定时只有当α为一个特定的角度时才能使纸条完全覆盖住圆柱体。
min=S1+S2+S3+S4;
65*S1>=6000+5*X1;
65*S2>=7500+5*X2;
65*S3>=5500+5*X3;
65*S4>=9000+5*X4;
S1=120+X1;
S2=0.85*S1+X2-Y1;
S3=0.85*S2+X3-Y2;
S4=0.85*S3+X4-Y3;
Global optimal solution found.
1.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重不裁剪，问布条与管道轴线的夹角a应多大,若知道管道长度需多长布条？
问题分析:这是一个实际问题，我们可以自制一个纸条代替布条做一个实验。找一根长度固定圆柱体比如粗细比较均匀的笔筒把纸条缠在上面。我们发现在不使纸条发生褶皱的情况下纸条要么能完全覆盖住笔筒，要么不能完全覆盖笔筒。即如图所示两种情况
Global optimal solution found.
Objective value: 478.5107
Total solver iterations: 1
Variable Value Reduced Cost
S1 120.0000 0.000000
S2 116.5000 0.000000
S3 99.02500 0.000000
2 1800.000 0.000000
3 0.000000 -0.2982986E-01
4 936.6250 0.000000
5 0.000000 -0.1666667E-01
6 0.000000 -0.8732231
7 0.000000 0.1491493
8 0.000000 -0.9291667
建立模型：设布条宽度为w圆柱体直径为d,现在来找出α与w和d之间的关系。于是将绕在柱体上的那部分展开可得到下图为一个平行四边形。
得到 ,若w布条宽度趋于零可见α趋于 。
若管道长为l将绕在柱体上面的布条展开每一圈都如上图所示那么布条的面的为 ,那么可得纸条的长度为 。
模型应用：对于缠绕布条的问题通过模型会发现不管柱体形状如何只要粗细均匀，我们用如上模型可以把绕在柱体上的每一圈都可展开为相同的一个平行四边形相应的平行四边形的高为柱体的周长 。相应的可计算出布条的长和角度α，只需把原来公式中柱体的直径替换为现有柱体的直径。
2.一家保姆服务公司专门向辅助提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春60题目2新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%保姆自动离职。
（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划？
（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇最多5%保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。
第一问；
模型分析：公司为了利益最大化要在满足每季度保证保姆的需求量的同时保证招的保姆数量尽可能的少，于是我们可以建立一个规划的模型使得保姆数量为目标函数。每个季度会有15%的保姆辞职，公司为了保证需求量还会招进一定数量的保姆。于是我们可以设4个季度开始时保姆数量为S1、S2、S3、S4，公司招在4个季度分别招进来的保姆数量为X1、X2、X3、X4。要使得目标函数S1+S2+S3+S4最小，于是我们可以建立以下模型。
S4 142.9857 0.000000
X1 0.000000 0.8732231
X2 14.50000 0.000000
X3 0.000000 0.9291667
X4 58.81448 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 478.5107 -1.000000
Objective value: 465.1218
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 0
