(完整版)初一数学实数运算与分数指数幂.

初中数学备课组教师：班级：学生：日期：上课时间：学生情况：主课题：分数指数幂、实数的运算教学目标：1、学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系；2、会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较；3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点—一对应；4、理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。

教学重点：1、理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义；2、了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值；3、理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。

教学难点：1、探索同一数轴上两点的距离；2、了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。

考点及考试要求：基本内容分数指数幂、实数的运算知识精要 一、分数指数幂1、整数指数幂运算性质 根式运算性质 (1)a m ·a n =a m +n (m ,n ∈Z )(2)(a m )n =a m ·n (m ,n ∈Z )nn a ＝⎩⎨⎧为偶数为奇数n a n a |,|;,(3)(a ·b )n =a n ·b n (n ∈Z ) 2、分数指数幂)0(1 )0(>=≥=-a aaa a anmnmnm nm（其中m 、n 为整数，1>n ）上面规定中的nma 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数。

3、有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂。

有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么 （ⅰ）q p q p a a a +=⋅，qp qpa a a -=÷（ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(二、实数的运算 1）用数轴的点表示实数1、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

立方根概念：1、如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,用"3a 〞表示,3a 读作"三次根号a 〞,其中的a 叫做被开方数,"3〞叫做根指数.2、求一个数a 的立方根的运算叫做立开方.注意：正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,零的立方等于零,所以正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,零的立方根是零.任意一个实数都有立方根,而且只有一个立方根.例：1、求下列各数的立方根（1）28- 〔2〕0.064〔3〕17427- 〔4〕216 2、求出下列各式的值<1> <3> 3、若33731++x x 和互为相反数,求x 的值.练习：错误!错误!错误!n 次方根概念:1、如果一个数的n 次方〔n 是大于1的整数〕等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时,这个数为奇数方根；当n 为偶数时,这个数为a 的偶数方根.2、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方,a 叫做被开放数,n 叫做根指数.3、实数a 的奇数方根有且只有一个,用"n a 〞表示.其中被开方数a 是任意一个实数,根指数n 是大于1的奇数.正数a 的偶数方根有两个,它们互为相反数,正n 次方跟用"n a 〞表示,负n 次方用"—n a 〞表示.其中被开方数a >0,根指数n 是正偶数〔当n =2时,在±n a 中省略n 〕.负数的偶数方根不存在.零的n 次方根等于零,表示为00=n ."n a 〞读做"n 次根号a 〞. 例1：6641=()886-= 例2：当意义取何值时，下列各式有x 用数轴上的点表示实数1、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,而且这样的点是唯一的,它是这个实数在数轴上所有对应的点.反过来,数轴上的每一个点也都是可以用唯一的一个实数来表示.〔即数轴上点和实数是一一对应的.〕2、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.实数a 的绝对值记作a .绝对值相等,符号相反的两个数叫做互为相反数.零的相反数是零.非零实数a 的相反数是 a -.3、负数小于零；零小于正数.两个负数,绝对值大的数较小.从数轴上看,右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.例：1、数轴上原点左边的点表示数,原点右边的点表示数,点表示0.2、比5小的正整数有；比—5大的负整数有.3、—π的相反数是；的相反数是0;若2x >,则2____x -=.4、用">〞、"<〞填空： 〔1〕65-与； 〔2〕65与；〔3〕65--与； 〔4〕10-与π； 5、如图,已知数轴上的四点A 、B 、C 、D 所对应的实数依次是2、32-、212、5-,O 为原点,求〔1〕线段OA 、OB 、OC 、OD 的长度.〔2〕求线段BC 的长度.BA C D O拓展：已知数轴上的四点A 、B 、C 、D 所对应的实数依次是2、243-、22、2-,求线段AB 、BC 、CD 、AC 的长度. 实数的运算运算方法：设a >0,b >0,可知ab b a b a =•=•222)()()(.根据平方根的意义,得00(≥≥=••=b a ab b a b a ab ，或.〕 同理)0,0(>≥==b a b a ba b a b a 或. 近似数1、近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似数程度的要求,叫做精确度.2、保留几个有效数字,从左边第一个不是零的数字起,往右到末位数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字.例1 判断下列各数,哪些是准确数,哪些是近似数：<1>初一<2>班有43名学生,数学期末考试的平均成绩是82.5分；<2>某歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万二千人参加；<3>通过计算,直径为10cm 的圆的周长是31.4cm ；<4>检查一双没洗过的手,发现带有各种细菌80000万个；<5>1999年我国国民经济增长7.8％．例2 下列由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？<1>38200 <2>0.040 <3>20.05000 <4>4×104例3 下列由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位？各有几个有效数字？<1>70万 <2>9.03万 <3>1.8亿 <4>6.40×105例4 用四舍五入法,按括号里的要求对下列各数取近似值．<1>1.5982<精确到0.01> <2>0.03049<保留两个有效数字><3>3.3074<精确到个位> <4>81.661<保留三个有效数字>例5 用四舍五入法,按括号里的要求对下列各数取近似值,并说出它的精确度<或有效数字>．<1>26074<精确到千位><2>7049<保留2个有效数字><3>26074000000<精确到亿位> <4>704.9<保留3个有效数字>例6 指出下列各问题中的准确数和近似数,以与近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？<1>某厂1998年的产值约为1500万元,约是1978年的12倍；<2>某校初一<2>班有学生52人,平均身高约为1.57米,平均体重约为50.5千克；<3>我国人口约12亿人；<4>一次数学测验,初一<1>班平均分约为88.6分,初一<2>班约为89.0分．练习：1.若x 2=4,则x 3=______．2．_____,的立方根是_____．3_____,绝对值是______．4．比较大小：－7______－．5那么x=_____,y=_____．6．若a,小数部分是b,则a －b=______．7．实数a,b,c 在数轴上的对应点如图所示,化简a+│a+b││b －c│=____．8. 已知3y =,则x y =____9. 若 2163610x -= 则x=____10. 若 38(3)27x --= 则x=____三、计算题11.计算：27124148÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+＝_________．12.=．13.14.计算化简)10112-⎛⎫- ⎪⎝⎭15.计算16.计算：101(1)52-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭17.计算：11 分数指数幂1.正数的正分数指数幂的意义n m n ma a = <a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1> 要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外,我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定： <1>n mn ma a 1=- <a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1>；<2>0的正分数指数幂等于0；<3>0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时,整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质:说明：若a ＞0,P 是一个无理数,则pa 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用. 例题：求值：4332132)8116(,)41(,100,8--- 例：.)();3()6)(2(88341656131212132n m b a b a b a -÷-化简。

初中数学备课组教师：班级：学生：日期：上课时间：学生情况：主课题：分数指数幂、实数的运算教学目标：1、学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系；2、会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较；3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点—一对应；4、理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。

教学重点：1、理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义；2、了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值；3、理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。

教学难点：1、探索同一数轴上两点的距离；2、了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。

考点及考试要求：基本内容 分数指数幂、实数的运算知识精要 一、分数指数幂1、整数指数幂运算性质 根式运算性质 (1)a m ·a n =a m +n (m ,n ∈Z )(2)(a m )n =a m ·n (m ,n ∈Z )nn a ＝⎩⎨⎧为偶数为奇数n a n a |,|;,(3)(a ·b )n =a n ·b n (n ∈Z ) 2、分数指数幂)0(1 )0(>=≥=-a aaa a anmnmnm nm（其中m 、n 为整数，1>n ）上面规定中的nma 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数。

3、有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂。

有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么（ⅰ）q p q p a a a +=⋅，qp q p a a a -=÷ （ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(二、实数的运算 1）用数轴的点表示实数1、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

例题解析【例1】一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______．【难度】★【答案】3； 1.732；四；1、7、3、2．【解析】3 1.732≈，所以有效数字是四位，有效数字是1、7、3、2．【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.【例2】写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?1)2000；2）4.523亿；3）5⨯；4）0.00125．7.3310【难度】★【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；3)有效数字：7、3、3，精确到千位；4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．【例3】用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________；（2）12.975(精确到百分位) ≈_________；（3）548203(精确到千位) ≈_________；（4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________．【难度】★【答案】（1）0.00844；（2）12.98；（3）5⨯．⨯；（4）65.366105.4810【解析】（1）0.00844；（2）12.98；（3）5⨯．5.48105.36610⨯；（4）6【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．π=，按四舍五入法取近似值．【例4】已知 3.1415926（1）π≈__________（保留五个有效数字）；（2）π≈_________（保留三个有效数字）；（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．【难度】★★【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【解析】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．【例5】 用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别? 【难度】★★【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位. 【总结】本题主要考查了精确度的概念．【例6】 下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字? （1）3.201； （2）0.0010； （3）2.35亿； （4）107.6010⨯．【难度】★★【答案】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字； （3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字． 【解析】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字； （3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字． 【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【例7】 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米． 【难度】★★ 【答案】4310⨯．【解析】45060030000310⨯==⨯．【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．【例8】 把下列方根化为幂的形式：（1； （2） （3；（4）（5；（6．【难度】★【答案】（1）132； （2）1310-； （3）145； （4）137； （5）13a -； （6）12()a -．【解析】（1132=； （2）1310-；（3）218455===； （4）137=；（513a ==-； （612()a -．【总结】本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算． 【例9】 把下列分数指数幂化为方根形式： （1）131()27-；（2）238()27；（3）121()16-；（4）1132(64)．【难度】★【答案】（1） （2 （3）； （4【解析】（1）13127⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）23827⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）12116⎛⎫-= ⎪⎝⎭（4）111362(64)64==【总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换．【例10】 化简：（1）111362a a a ÷⋅； （2）8【难度】★【答案】（1）13a ； （2）71338x y ． 【解析】（1）11111113623632a a a aa -+÷==；（2）121111117144233333366338888xy xy x y x y x y x y ===．【总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【例11】 计算下列各值： （1（2）201713(4aa+．【难度】★★【答案】（1）565； （2）1-． 【解析】（1151362555⨯=；（2）因为3030a a -≥-≥，，所以3a =， 所以3a =或3-， 因为30a -≠，所以3a =-． 故当3a =-时，原式()2017133143⎛⎫⨯- ⎪==- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．【总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算．【例12】 计算下列各值：（1）1225232---+ （2）11222[(23)(2]-++． 【难度】★★【答案】（1）12-； （2）16． 【解析】（1）1225232---4923=---+12=-；（2）()()2112222-⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=16=． 【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用公式进行．【例13】 计算： （1；（2）1112444111()()()242a a a -⋅++；（3）1521216636333(2)(4)x y x y x y ÷-⨯． 【难度】★★【答案】（1）a ； （2）144116a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）166x y -．【解析】（111113342341211121212aa aaa a aaa++===；（2）1114442111242a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114442241114416a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）231521166363324x y x y x y ⎛⎫⎛⎫÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1225111633663666x y x y -+-+=-=-．【例14】4249a b==，，求1222ba -的值．【难度】★★★ ． 【解析】()112222242b a b a -=÷==【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质.【例15】 已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.【难度】★★★【答案】（1； （2） 【解析】（1）13x x -+=， 21112225x x x x --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，又11220x x-+>，1122x x-∴+（2）()3311122221x xx x x x ---⎛⎫+=++-= ⎪⎝⎭【总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值．【例16】 若11112333342133a a a a ---=⨯⨯++，求的值． 【难度】★★★【答案】198．【解析】()111133334214212a =⨯⨯=⨯⨯=，1231111933332488a a a ---∴++=⨯+⨯+=．【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算．【例17】化简：a b c【难度】★★★ 【答案】0或1．【解析】当0x =时，原式0=； 当0x ≠时，b c c a a bb ca c a bxx----++()()()()()()b ca c ab a bc a a b b c b c c a xxx+++------=⋅⋅2222220()()()1b c c a a b a b b c c a xx -+-+----===．【总结】本题主要考查了含根式的化简，注意要分类讨论．【例18】 已知122a =，132b =，123c=，133d =，试用a bc d 、、、的代数式表示下列各数值． （1； （2； （3 （4【难度】★★★【答案】（1）20a ； （2）10d； （3）23b ；（4） 【解析】（11220220a =⨯=； （213131010d=⨯=；（312112333334323223b =⨯=⨯=⨯⨯=；（411114222232(3)22c c =⨯=⨯==． 【总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题．【例19】 已知：210(0)x x xx xa a a a a a --+=>-，求的值． 【难度】★★★【答案】119．【解析】222112121021010x x x x a a a a --+=++=++=（）， 又0x x a a -+>， x x a a -∴+=， 222181 21021010x x x x a a a a ---=+-=+-=（），又0xxa a -->， x xa a -∴-=， 119x x x x a a a a --+∴==-．【总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用．【例20】 材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n a aa 个记为n a ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若n a b =（0a >且 1a ≠，0b >），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）；（1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______；（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又 满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? log log a a M N +=______；（且1a ≠，M ＞0，N ＞0）． 【难度】★★★【答案】（1）2，4，6； （2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=；（3）log ()a MN ． 【解析】（1）2log 42=，2log 16=4，2log 646=；（2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=； （3）log log log ()a a a M N MN +=．【总结】本题考查学生对新概念的理解及运用．【例21】 的整数部分为a ，小数部分为b ，则a b =_________．【难度】★【答案】9-【解析】253<<，2a ∴=，5b =-22)9a b ∴==-． 【总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用．【例22】 计算：（1）1230.1)3(2)-⎡⨯---+⎣；（2）20152014；（3）3．【难度】★★【答案】（1）19； （2 （3）【解析】（1）1233(2)-⎡⨯---⎣）221410982(6)1339=-÷-⨯++=-÷-⨯=（）（-）；（2）2015201420152014=()201476=-（3）3=⎤⎤-⎦⎦22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()235=-+=．【总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算．【例23】 计-．【难度】★★【答案】2=-==【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简．【例24】 计算：（1）11032238[1(0.2]4271000π--+--⨯-（2112133211127883---⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）7208-； （2）32．【解析】（1）原式2111111()3125125167⎡⎤=+--⨯-÷⎢⎥⎣⎦11723721201688=⨯-⨯=-=-；（2）原式()9382296922=----=+-=． 【总结】本题主要考查了实数的混合运算．【例25】 设：73121(3)(3)(1)8433M =÷-⨯-÷-，42211(2)(2)5(0.25326N =-÷+⨯--试比较113M 与1N -的大小． 【难度】★★【答案】1113M N >-．【解析】∵73121(3(3(1)8433M =÷-⨯-÷-15151051541031843381535=-÷⨯÷=-⨯⨯⨯=-， 42211(2)(2)5()0.25326N =-÷+⨯--42211(2)(2)5()0.2532664111116()9264=-÷+⨯--=÷+⨯--91114124=-- 1312=， ∴11=1313M -，131111212N -=-=-， ∴1113M N >-．【总结】本题主要考查了有理数的综合运算及大小比较．【例26】 已知实数x 、y 满足1142(3)(5)0x y x y -+++-=，求51238x y -+的值． 【难度】★★ 【答案】5．【解析】14(3)0x y -+≥，12(5)0x y +-≥， 3050x y x y -+=⎧∴⎨+-=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩， 51238325x y -∴+=+=．【总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用．【例27】 已知实数a 、b 、x 、y 满足21y a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值． 【难度】★★★ 【答案】17．【解析】21y x a +-=-，21y a ∴=-，231x y b -=--，2222311x a b a b ∴-=---=--，223+0x a b ∴-=，0a ∴=，0b =，3x =， 1y ∴=，40222+217x y a b ++∴+==．【总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用．【例28】 先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +==()a b >，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=即227+=2=（12；（3． 【难度】★★★【答案】（1； （2）3； （3）．【解析】（113m =，42n =，6713+=，6742⨯=，即2213+==（211m =，24n =，3811+=，3824⨯=，即2211+==3；（3=59m =，864n =，322759+=，3227864⨯=，即2259+=== 【总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值．【例29】 已知111333421a =++，求12333a a a ---++的值． 【难度】★★★【答案】1．【解析】设132b =，则3211111b a b b b b -=++==--， 11a b -∴=-， 11b a -∴=+，3131231=33+1b a a a a ----∴=+++（），12333211a a a ---∴++=-=．【总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用．一、填空题：【习题1】 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）A ．12()(0)x x x -=-> B ．1263(0)y y y =< C ．33441()(0)xx x-=>D ．133(0)xx x -=-≠【难度】★ 【答案】C【解析】12(0)x x x -=->，故选项A 错误； 1263(0)y y y =-<，故选项B 错误；133xx-=，故选项D 错误．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化．【习题2】 下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字? （1）2015；（2）0.6180；（3）7.20万；（4）55.1010⨯．【难度】★【答案】（1）精确到个位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有四个有效数字；（3）精确到百位，有三个有效数字； （4）精确到千位，有三个有效数字．【解析】（1）精确到个位，有四个有效数字为2、0、1、5；（2）精确到万分位，有四个有效数字为6、1、8、0； （3）精确到百位，有三个有效数字为7、2、0； （4）精确到千位，有三个有效数字为5、1、0．【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【习题3】 把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：()432，3-，()754，536， 322-，343，324-，237．【难度】★随堂检测【答案】432；123--；754；356．【解析】4432=；1212133-=-=-；7754=；356；3232122-==；343=3232144-==；237=【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．【习题4】 比较大小： （1）与；（22+【难度】★★【答案】（1 （22>【解析】（1）22- 8=-0=，（2）22(2+- 1110=+-10=>， 2>+ 【总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小．【习题5】 把下列方根化为幂的形式． （1（2（3）a ．【难度】★★【答案】（1）582； （2）5766a b ； （3）111144a b ． 【解析】（1582==；（25766a b ===； （3）311111124444aaaa ab a b ==⋅=．【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．【习题6】 计算：62+53+（1）2334(9)；（2）113339⨯；（3）1442(35)÷；（4）11632(32)-⨯；（5）833324(25)⨯；（6）7511266323(2)x y x y÷．【难度】★★【答案】（1）3；（2）3；（3）925；（4）98；（5）400；（6）116634x y．【解析】（1）231342(9)93==；（2）1112333339333⨯=⨯=；（3）1442229 (35)3525÷=÷=；（4）11623329 (32)328--⨯=⨯=；（5）83342324(25)251625400⨯=⨯=⨯=；（6）751752111266366366233(2)344x y x y x y xy x y ÷=÷=．【总结】本题主要考查了分数指数幂的运算，注意法则的准确运用．【习题7】利用幂的性质运算：（1）111222133()(()5525-⨯⨯；（2；（3）．【难度】★★【答案】（1）15；（2）4；（3）18．【解析】（1）1111122222111222 1331331 ()()()552555525---⨯⨯=⨯⨯=；（2213236222224 =⨯÷==；（3）1211333362332239218⨯⨯⨯⨯=⨯=．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．【习题8】计算：（1（2）111111332222113113⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）20142015⋅； （4）)11-+【难度】★★【答案】（1）763； （2）2； （3 （4）1【解析】（1763=；（2）11111113332222113113(113)2⎛⎫⎛⎫-⋅+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）201420152014(32)⋅=-=（4）)11-+-11=【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．【习题9】 =，其中0ab ≠ 【难度】★★★【答案】57．【解析】(a a +=， 12a b ∴=，120a b ∴=， 0∴=，=或=-， 16a b ∴=，165451647b b b b b b -+==++．【总结】本题考查了根式的化简求值问题，注意整体代入思想的运用．【习题10】化简求值：（1）已知：15a a -+=，求22a a -+；1122a a-+；1122a a --；（2）已知：223a a -+=，求88a a -+． 【难度】★★★【答案】（1）23，； （2）18． 【解析】（1）1222()225a a a a --+=++=，2223a a -∴+=；15a a -+= 0a ∴>， 11220a a-∴+>，112122()27a a a a --+=++=， 1122a a -∴+=； 112122()23a a a a ---=+-=， 1122a a-∴-=（2）222(22)2229a a a a --+=++=， 22227a a -∴+=，332288(2)(2)(22)(212)a a a a a a a a ----+=+=+-+，883618a a -∴+=⨯=．【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算法则及其应用，综合性较强，注意对解题方法的归纳总结．【作业1】 若2a =a 的小数部分是b ，则a b ⋅的值是（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．2【难度】★ 【答案】B ．【解析】425<+，42b a ∴=-=，2)1a b ∴⋅==． 【总结】本题主要考查了无理数的整数部分与小数部分的综合运用．【作业2】 下列语句中正确的是() A ．500万有7个有效数字B ．0.031用科学记数法表示为33.110-⨯C ．台风造成了7000间房屋倒塌，7000是近似数D ．3.14159精确到0.001的近似数为3.141 【难度】★ 【答案】C ．【解析】500万有三个有效数字，故选项A 错误；0.031用科学记数法表示为23.110-⨯，故选项B 错误； 3.14159精确到0.001的近似数为3.142，故选项D 错误．【总结】本题考查了科学记数法和有效数字的应用．【作业3】 按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：（1）0.76589（精确到千分位）；（2）289.91（精确到个位）； （3）320541（保留三个有效数字）；（4）41.42310⨯（精确到千位）．【难度】★【答案】（1）0.766； （2）290； （3）53.2110⨯； （4）41.410⨯． 【解析】（1）0.765890.766≈； （2）289.91290≈；（3）5320541 3.2110≈⨯； （4）441.42310 1.410⨯≈⨯．【总结】本题主要考查的是近似数和有效数字以及科学记数法的综合运用．【作业4】 计算： （1；（2（3．【难度】★★【答案】（1）565； （2）542； （3）【解析】（1151362555⨯=； （2315424222⨯=； （311136223323⨯÷=⨯= 【总结】本题主要考查了无理数的乘除运算．【作业5】 计算： （1 （2．【难度】★★【答案】（1）7125；（2）132．【解析】（1111111732342412 55555+-⋅÷==；（25151112262632222222+-+=⋅÷⋅==．【总结】本题主要考查了根式的乘除运算．【作业6】计算：（1）129()25-；（2）111344(882-⨯；（3）11123227()([(]64----+；（4）11222[(23)(2]-++．【难度】★★【答案】（1）365；（2）11-；（3）43-+（4）16．【解析】（1）129()253351655=++=；（2）111344(882--⨯31442(28)225=--⨯÷65=--11=-；（3）11123227()([(]64----+4433=-++=-+；（4）11222[(2(23)]-+211221(23)(2=⎡⎤++⎢⎥⎣⎦16==．【总结】本题主要考查了根式及有理数指数幂的混合运算．【作业7】计算：（1；（2．0)a>【难度】★★★【答案】（1）35x-；（2）1724a．【解析】（135x-===；（21724a =．【总结】本题主要考查了根式的运算及有理数指数幂的化简．【作业8】设的整数部分为，小数部分为，求的立方根．【难度】★★★【答案】2-．【解析】122<<，1a∴=，1b，22168161)81)8ab b∴--=-⨯-⨯=-，2168ab b∴--的立方根是2-．【总结】本题主要考查的是估算无理数的大小、立方根的定义及完全平方公式的综合应用．【作业9】如果223311320x a x bx x⎛⎫⎛⎫-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求232(43)a b b+-的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】223311320x a x bx x⎛⎫⎛⎫-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33130x ax∴-+=，120x bx++=，3313x ax∴+=，2211(1)3x x ax x∴+-+=，即211()()33x x ax x⎡⎤∴++-=⎢⎥⎣⎦，120x bx++=，12x bx∴+=-，22(43)3b b a∴--=，232(43)0a b b∴+-=．【总结】本题主要考查了非负数的性质及立方和公式的综合应用．【作业10】已知21xa，求33x xx xa aa a--++的值．【难度】★★★2a b2816bab--【答案】1．【解析】33x x x xa a a a--++22()(1)x x x x x x a a a a a a ---+-+=+ 221x x a a -=-+，221x a =， 21x a -∴，2211111x x a a -∴-+-=．【总结】本题主要考查指数幂的化简与求值，利用立方和公式是解决本题的关键．【作业11】 若[]x 表示不超过x 的最大整数（如2[]3[2]33π=-=-，等），求++的值． 【难度】★★★ 【答案】2016．【解析】++⋅⋅⋅+22⎡=++⋅⋅⋅+⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦111=++⋅⋅⋅+ 2016=．【总结】本题主要考查了取整计算，正确利用已知条件中的概念及相关性质进行化简．。

6、近似值：对一个近似值，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都称为这 个近似值的有效数字。

例如 1415926.3=π的近似值中，1.3有两个有效数字，用科学记数法表示1220000，将其保留两位有效数字6102.1⨯，它精确到万位61022.1⨯ 单元知识网络：热身练习一、填空题：1、化简223）（-＝__32-_____；－2)25.1(-＝_-1.25___2、4)2(-的 平方根是__2±____；2)3(--的平方根是_31±____；若5333n=，则n= 103 3、在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是 2 4、28⨯=4 ； 28-= 25、16的算术平方根的平方根是 2±6、地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示（保留2个有效数字）约为 8105.1⨯ 千米。

甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=__1____。

8、因为2211121,11112321==，所以76543211234567898= 111111111二、选择题（1）()()2201131313272π-⎛⎫-+-⨯--+ ⎪⎝⎭（2）423423-++参考答案：（1）3 （2）23精解名题例1、计算：（1）342221(2)(1)(12)[()]20.254[13(2)]-⨯---÷-⨯+-⨯- （2）23320)5.1(9216.01221---++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+参考答案：（1）2 （2）3225例2、比较下列每组数的大小：(1)与； (2)与； (3)与； (4)a 与(a≠0)思路点拨： (1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况。

七年级寒假班数学（学生版）最新教案.1. 实数的绝对值、相反数（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a 的绝对值记作a ．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．实数a 的相反数是a -． 2、两个实数的大小比较 两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样． 负数小于零；零小于正数．两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．3、数轴上两点之间的距离在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离为AB a b =-．知识结构知识精讲模块一：用数轴上的点表示实数用数轴上的点表示实数及分数指数幂【例1】填空：（1）2的相反数是________；π-的相反数________；0的的相反数是________．（2）2的绝对值是_______；即∣2∣=______；π-的绝对值是______；即∣π-∣=_____；0的绝对值是________．【例2】不用计算器，比较下列每组数的大小：（1）5与6-；（2）5与6；（3）5-与6-；（4）π-与10-．【例3】比较大小：（1） 1.21-_____ 1.21-；（2）11-_____10-；（3）31-_____21-；（4）211_____35．【例4】在数轴上表示20的点可能是（）【例5】如图，已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是2、23-、122、5-，O为原点，求线段OA、OB、OC、OD的长度．思考：如何求线段BC，AB，AD，BD，AC的长度呢?【例6】下列各组数中，互为相反数的一组是()A．2-与2(2)-B．2-与38-C．2-与12-D．2-与2【例7】填空：32-的相反数是________；绝对值是________；1013-=________；()234ππ-+-=________；若()223x=-，则x=________．例题解析B2A CD O【例8】 如果实数a 、b 在数轴上表示如图所示，那么下列结论中，哪些结论是错误的?①0ab <；②0a b -<；③0a b +<；④a b -<．【例9】 在数轴上点A 所表示的数是3，点B 到点A 的距离是2，请写出点B 所表示的数．【例10】 如图，实数a 在数轴上所对应的点是P ，化简代数式12a a +++．【例11】 用计算器，比较下列各组数的大小：（1）27-与33-； （2）37与215； （3）3310与344；（4）3515-与368-．【例12】 已知24x =，23y =，且x y x y +=--，求x y -的值．【例13】 数轴上表示1、3的对应点分别为点A 、点B ，点B 关于点A 的对称点为点C ．（1）求A ，B 两点之间的距离； （2）求点C 所表示的数是多少? （3）在数轴上描出点A ，B ，C ．ba 0-1-2 P -1 0 11、有理数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)m nmna a a =≥，1(0)m nnmaa a-=>，其中m 、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么 （1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=； （2）()p q pq a a =；（3）()pppab a b =，()pp p a a b b=．【例14】 把下列方根化为幂的形式：（1）36； （2）4317；（3）536；（4）49．【例15】 把下列分数指数幂化为方根形式： （1）2310； （2）233-；（3）431()5；（4）344-．【例16】 计算（口答）：（1）129；（2）12121； （3）12144-； （4）1364；（5）13125；（6）14256-．知识精讲模块二：分数指数幂例题解析【例17】计算下列各值：（1）138()27；（2）131000-；（3）3416-；（4）0.832．【例18】计算下列各值：（1）14(1681)⨯；（2）21331010⨯；（3）1132(64)；（4）112228⨯．【例19】计算（结果表示为含幂的形式）：（1）213255⨯；（2）111362a a a÷⋅；（3）2134(8)-；（4）1336(35)⨯．【例20】把下列各式化成幂的形式：（1）2a（2）3a（3【例21】计算下列各值：（1）11632(23)÷；（2）43232(35)-⨯；（3）113481(0.064)-÷；（4）1427(48)-÷．【例22】利用幂的性质计算（结果表示为含幂的形式）：（1；（2）4；（3（4）4．【例23】 已知3884y x x =-+-+，求2y x 的值．【例24】 计算： （1）121333342222⋅⋅⋅；（2）113291(1)()1664-÷-．【例25】 利用幂的性质计算：（1）631622⨯； （2）65326a a a a⋅⋅；（3）1143338a b ab 2-⋅．【例26】 已知：102a =，4108b=，求22310a b+的值．一、填空题：【习题1】 把下列方根化为幂的形式.（1）432=_____； （2）527=_____； （3）3213=_____； （4）47=_____．【习题2】 把下列方根化为幂的形式． （1）125；（2）52a ；（3）22．随堂检测【习题3】 已知数轴上A 、B 、C 三点表示的数分别是2-，5-，133，求A 与B 、A 与C两点距离．【习题4】 （1）31-=________；32-=________；32π-=________；（2）当a<b 时，a b -=________．【习题5】 如果在数轴上表示a 、b 两个实数的点的位置如图所示，化简：a b a b -++．【习题6】 计算：（1）3225； （2）2327；（3）3236()49；（4）3225()4-．【习题7】 计算（将结果表示为方根的形式）：（1）1132222-⋅⋅； （2）13232555⋅÷；（3）34666⋅÷．【习题8】 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，求333a b cd ++的值.【习题9】 不用计算器，比较下列各组数的大小：（1）10与12； （2）10-与3-； （3）22-与23-； （4）8与32．a 0 b。

基本内容 分数指数幂、实数的运算知识精要一、分数指数幂1、整数指数幂运算性质 根式运算性质 (1)a m ·a n =a m +n (m ,n ∈Z )(2)(a m )n =a m ·n (m ,n ∈Z )nn a ＝⎩⎨⎧为偶数为奇数n a n a |,|;,(3)(a ·b )n =a n ·b n (n ∈Z ) 2、分数指数幂)0(1 )0(>=≥=-a aaa a anmnmnm nm（其中m 、n 为整数，1>n ）上面规定中的nma 和nm a -叫做_____________，a 是底数。

3、有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂。

有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么 （ⅰ）q p q p a a a +=⋅，qp qpa a a -=÷（ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(二、实数的运算 1）用数轴的点表示实数1、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的________。

2、绝对值相等符号相反的两个数叫做___________。

3、实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝 对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大。

4、设a>0,b>0,可知_____________________根据平方根的意义，得 _________________ 同理___________________ 2）实数的运算4、实数运算的顺序是___________________________________________________________________。

5、实数的六种运算关系：加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算。

典型例题：例1：5 - 2的相反数是（ ），绝对值是（ ）；注：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a 的绝对值记作| a |，若a ≥0，则|a|=a ，不要把第二问答案写成|5 - 2|，而应是5 - 2；例2：在数轴上与数2距离为3的点所对应的数是（ ）；例3：若a ＞b ＞0，试比较b a b a 和a bba 的大小（求商法）考点2：实数的运算：实数的运算规则：在实数的范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。

实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减。

同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号的。

实数的运算结果：涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算是进行化简，其结果可能是化简了的一个算式。

（无理数计算结果用无理数表示）1、若a ≥0，b ≥0，则ab = a ×b =ab2、若a ≥0，b ＞0，则ba= b a = bab（b ≠0）特别地：a 1 = aa （a ＞0）3、两道小题（注意根号中字母的正负）①（a -）² - 2| -a | - 33a +2a ② aa1-考点3：准确数 + 近似数 + 精确度 + 有效数字1、试一试，计算2、计算考点4:分数指数幂1、a nm=n m a （a ≥0） a 叫底数，nm叫指数 a nm -=（a1）n m= n m a 1）（ =nma1（a ＞0，m 、n 为正整数，n ＞1）2、a p ·a q = a q p + a p ÷ a q = a q - p（a p ）q = a pq（ab ）p= a pb ppba ）（ = p pb a注意：计算的基本原则①把底数化成一致，然后利用公式a p ·a q = a q p + ， a p ÷ a q = a q - p②把指数化成一致，然后利用公式 a pb p=（ab ）p，p p b a = pba ）（化简典型例题：乘方与开方互为逆运算，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算，给运算带来方便3、课堂作业设计。

七 年级 数学 学科 课题 实数的运算与分数指数幂知识梳理一、数轴 1、相反数：1°几何意义：在数轴上表示互为相反数的点，分别位于原点两边，且与原点的距离相等。

2°代数意义：只有符号不同的两个数，互为相反数。

规定：零的相反数是零。

2、绝对值：1°几何意义：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

2°代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

用式子表示为：()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a例1：已知31<<x ，化简下列各式： （1）1133--+--x x x x ； （2）x x -+-31。

3、两点间的距离公式：数轴上，点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点 间的距离AB =∣a －b ∣ 二、实数的大小比较1、在实数范围内有：负数小于零，零小于正数。

2、两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小。

3、从数轴上看，右边的数总比左边的数大。

4、特殊的比较两个实数（同正或同负）大小（1）求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法。

即由b a -大于、等于或小于0可判定a 大于、等于或小于b 。

例2：比较a 与()101<<a a的大小。

（2）求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数的大小的方法。

即由ba大于、等于或小于1，可判定正数a 大于、等于或小于b例3：若0>>b a ，试比较b a b a 与a bba 的大小。

(3)平方法：将两个数平方，再来判定两个数的方法。

例4：比较62+与223+的大小。

（4）求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法。

即对于符号相同的b a ,两数，若b a 11<，则b a >；若ba 11>，则b a <。

近似数的精确度、分数指数幂及运算知识结构模块一近似数的精确度知识精讲知识点：有关概念1．准确数概念：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．2．近似数概念：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）3．精确度概念：近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．☆近似数的精确度通常有两种表示方法：（1）精确到哪一个数位；（2）保留几个有效数字．4．有效数字概念：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．例题解析【例1】一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______．【例2】写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?1)2000；2）4.523亿；3）5⨯；4）0.00125．7.3310【例3】用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________；（2）12.975(精确到百分位) ≈_________；（3）548203(精确到千位) ≈_________；（4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________．π=，按四舍五入法取近似值．【例4】已知 3.1415926（1）π≈__________（保留五个有效数字）；（2）π≈_________（保留三个有效数字）；（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．【例5】【例6】用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别?【例7】下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字?（1）3.201；（2）0.0010；（3）2.35亿；（4）10⨯．7.6010【例8】废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米．1、有理数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)m nmna a a =≥，1(0)m nnmaa a-=>，其中、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么 （1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=； （2）()p q pq a a =；（3）()pppab a b =，()pp p a a b b=．【例8】 把下列方根化为幂的形式：（1）32；（2）310-； （3）28(5)-；（4）37--；（5）3a -；（6）a -．【例9】 把下列分数指数幂化为方根形式：知识精讲模块二：分数指数幂例题解析（1）131()27-；（2）238()27；（3）121()16-；（4）3121)64(．【例10】化简：（1）；（2）8【例11】计算下列各值：（1（2）201713(4aa-+．【例12】计算下列各值：（1）1225232---+（2）11222[(23)(2]-++．【例13】计算：（1；（2）1112444111()()()242a a a-⋅++；（3）1521216636333(2)(4)x y x y x y÷-⨯．111362a a a÷【例14】4249a b==，，求1222b a -的值．【例15】 已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.【例16】 若11112333342133a a a a ---=⨯⨯++，求的值．【例17】 化简：a b c【例18】【例19】 已知122a =，132b =，123c =，133d =，试用a b c d 、、、的代数式表示下列各数值．（1； （2； （3 （4【例20】 已知：210(0)x x xx xa a a a a a --+=>-，求的值．【例21】 材料：一般地，个相同的因数a 相乘：n a aa 个记为n a ，记为n a ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若n a b =（0a >且 1a ≠，0b >），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）；（1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______；（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又 满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? log log a a M N +=______；（且1a ≠，M ＞0，N ＞0）．在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：2a a =；(0,0)ab ab a b =≥≥；(0,0)a aa b b b=≥>；2()(0)a a a =≥．【例22】 5的整数部分为a ，小数部分为b ，则a b =_________．【例23】 计算：（1）321232416(80.1)3(2)(2)81-⎡⎤-÷-⨯---+-⎣⎦；（2）20152014(76)(67)+-； （3）()()2356315-++-．【例24】 计算：2x xy yx y x yx y-+----．知识精讲模块三：实数的运算例题解析【例25】 计算：（1）11032238[1(0.2)]4271000π--+--⨯-（2112133211127883---⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例26】 设：73121(3)(3)(1)8433M =÷-⨯-÷-，42211(2)(2)5()0.25326N =-÷+⨯--试比较113M 与1N -的大小．【例27】 已知实数x 、y 满足1142(3)(5)0x y x y -+++-=，求51238x y -+的值．【例28】 已知实数a 、b 、x 、y 满足21y a +=-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值.【例29】 先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +==()a b >，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=即227+=2=（12；（3．【例30】已知111333421a=++，求12333a a a---++的值．【难度】★★★【答案】【解析】一、填空题：【习题1】 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）A ．12()(0)x x x -=-> B ．1263(0)y y y =< C ．33441()(0)x x x-=>D ．133(0)xx x -=-≠【习题2】 下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字? （1）2015；（2）0.6180；（3）7.20万；（4）55.1010⨯．【习题3】 把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：()432，13-，()754，536， 322-，343，324-，237．【习题4】 比较大小： （1）与；（2）322+与26+．【习题5】 把下列方根化为幂的形式． （1）22；（2）()323ab ab；（3）235a ab ab ．【习题6】 计算：（1）2334(9)；（2）113339⨯；（3）1442(35)÷；62+53+随堂检测（4）11632(32)-⨯；（5）833324(25)⨯；（6）7511266323(2)x y x y ÷．【习题7】 利用幂的性质运算：（1）111222133()()()5525-⨯⨯；（2；（3）．【习题8】 计算：（1（2）111111332222113113⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）20142015⋅； （4）)11-+【习题9】 =，其中0ab ≠【习题10】 化简求值：（1）已知：15a a -+=，求22a a -+；1122a a -+；1122a a --；（2）已知：223a a -+=，求88a a -+．【作业1】若2a=a的小数部分是b，则a b⋅的值是（）A．0B．1C．－1D．2【作业2】下列语句中正确的是()A．500万有7个有效数字B．0.031用科学记数法表示为3-⨯3.110C．台风造成了7000间房屋倒塌，7000是近似数D．3.14159精确到0.001的近似数为3.141【作业3】按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：（1）0.76589（精确到千分位）；（2）289.91（精确到个位）；（3）320541（保留三个有效数字）；（4）4⨯（精确到千位）．1.42310【作业4】计算：（1；（2（3．【作业5】计算：（1（2．【作业6】 计算：（1）1029()25- ；（2）111344|882-⨯ （3）11123227()([(]64----+；（4）11222[(23)(2]-++．【作业7】 计算：（1；（20)a >．【作业8】 设2的整数部分为a ，小数部分为b ，求2816b ab --的立方根．【作业9】 如果223311320x a x b x x ⎛⎫⎛⎫-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求232(43)a b b +-的值．【作业10】已知21xa ，求33x xx xa a a a --++的值．【作业11】若[]x表示不超过x的最大整数（如2[]3[2]33π=-=-，等），求++的值．。

实数的分数指数与根式运算
1. 分数指数运算
分数指数运算是实数运算的一种重要形式，可以用来求解实数的幂次运算。

在分数指数运算中，底数为实数，指数为分数。

1.1 分数指数的定义
分数指数的定义如下：
a^(m/n) = n√(a^m)
其中，a为实数，m为整数，n为正整数且不为零。

1.2 分数指数运算的性质
分数指数运算具有以下性质：
- 任意实数a的0次方等于1，即a^0 = 1，其中a≠0。

- 任意实数a的1次方等于a，即a^1 = a。

- 当分数指数的分子与分母互质时，分数指数运算具有分配律，即(a*b)^(m/n) = (a^(m/n)) * (b^(m/n))。

2. 根式运算
根式运算是实数运算中常见的一种形式，可以用来求解实数的根。

2.1 根式的定义
根式的定义如下：
√a = b，其中b是满足b^n = a的实数。

其中，a为非负实数，n为正整数且不为零。

2.2 根式运算的性质
根式运算具有以下性质：
- 同样的数的n次方根是唯一的。

- 根式可以和实数的乘法、除法以及幂次运算进行结合。

总结
实数的分数指数与根式运算是实数运算中常用的形式。

通过掌握分数指数的定义和性质，以及根式的定义和性质，我们可以灵活运用这些运算规则来解决实际问题。

请注意，以上内容为基础的定义和运算性质，并不包括更复杂的变形和应用。

对于更深入的研究和应用，建议参考相关教材和学术文献。

基本内容 分数指数幂、实数的运算知识精要一、分数指数幂1、整数指数幂运算性质 根式运算性质 (1)a m ·a n =a m +n (m ,n ∈Z )(2)(a m )n =a m ·n (m ,n ∈Z )nn a ＝⎩⎨⎧为偶数为奇数n a n a |,|;,(3)(a ·b )n =a n ·b n (n ∈Z ) 2、分数指数幂)0(1 )0(>=≥=-a aaa a anmnmnm nm（其中m 、n 为整数，1>n ）上面规定中的nma 和nm a -叫做_____________，a 是底数。

3、有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂。

有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么（ⅰ）q p q p a a a +=⋅，qp q p a a a -=÷ （ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(二、实数的运算 1）用数轴的点表示实数1、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的________。

2、绝对值相等符号相反的两个数叫做___________。

3、实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝 对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大。

4、设a>0,b>0,可知_____________________根据平方根的意义，得 _________________ 同理___________________2）实数的运算4、实数运算的顺序是___________________________________________________________________。

5、实数的六种运算关系：加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算。