四川省成都市2015-2016学年高一“五校”联考数学(理)试题
- 格式：doc
- 大小：523.24 KB
- 文档页数：9
成都市五校联考高2015级第二学期期中试题理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项）1.sin15cos15的值是 （ ）A ．12 BC ．14 D2.已知向量||5,(2,1)a b == 且(0)a b λλ=>，则a 的坐标是（ ）A． B． C ．(-D.(- 3.在等差数列{}n a 中，若2810a a +=，则13579a a a a a ++++的值是（ ） A. 10 B.15 C.20 D.254.三角形的一边长为13，这条边所对应的角为60，另外两边之比为4:3，则这个三角形的面积为（ ）A． B． C ．39 D ．785.已知(22a b =-=则a 在b 方向上的投影是（ ） A ．3- B ．3 C ．65-D ．656．化简：1sin10 的结果是（ ）A ．1 BC ．2D ．47．在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，若c o s c o s b a B a C c -=-，则ABC∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．在等比数列{}n a 中，31815243a a a =，则3911a a 等于（ ）A ．3B ．9C ．27D ．819.在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥于P ，3AP =，则AP AC的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1810．下列给出了四个结论，其中正确结论的个数是（ ）①常数数列一定是等比数列；②在ABC ∆中，若0AB BC >，则ABC ∆是锐角三角形；③若向量,a b 满足||||a b a b +=-，则a b ⊥ ；④若2()sin sin cos f x x x x =+，则函数()f x 的图像关于直线8x π=-对称．A ．1B ．2C ．3D ．411．已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin )2222x x x xa b ==- ，且[,]64x ππ∈-，记3()||2f x a b a b =+-，则()f x 的最小值为（ ）A ． 2B ．178 CD．2 12．如右所示的正数数阵中，第一横行是公差为d 的等差数列，奇数列均是公比为1q 等比数列，偶数列均是公比为2q 等比数列，已知1,11a =，1,47a =，4,118a =，2,41,12,22()a a a =+则下列结论中不正确的是（ ）A ．122,5d q q a ++=B ．2,12,32,52,214412a a a a ++++=C ．111,23,25,221,241a a a a ++++=-D ．1,1(21)2,(21)2ii j i j j a j --⎧-⎪=⎨-⎪⎩为正奇数，j 为正偶数二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a =（3，4），b =（9，12），c =（4，﹣3），若向量2,m a b n a c =-=+，则向量m 与n的夹角为 ．14．数列{}n a 的通项公式为(1)(32),*nn a n n N =--∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，那么，2035S S +的值是 ．15．已知(,0),(,)42ππαβπ∈-∈，45cos(),cos()5413παββ+=--=， 1,11,21,31,2,12,22,32,3,13,23,33,,1,2,3,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a则5cos()4πα+= ．16．已知ABC ∆1，1sin 6ABC S C ∆=，且sin sin A B C +=，则角C 等于 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17（本题满分10分）已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=（1）求()a b c +；（2）若()//a b c λ+，求实数λ的值．18（本题满分12分）已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n . (1)若S k ＝30，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S nn ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值.19（本题满分12分） 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值； (2)已知63(),054f παα=<<，求(2)f α的值． 20（本题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足1122n n S a =-. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设3()log f x x =，()n n n b a f a =，求{}n b 的前n 项和n S .21（本题满分12分）已知向量2,1),(cos ,cos )444x x x m n == ，若()f x m n =(1)求()f x 递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数()f A 的取值范围．22（本题满分12分）已知数列{},{}n n a b 满足：11,(1)(1)nn n n n n b a b b a a ++==-+，且11,a b 是函数2()16163f x x x =-+的零点11()a b <． （1）求112,,a b b ； （2）设11n n c b =-，求证：数列{}n c 是等差数列，并求n b 的通项公式； （3）设1223341n n n S a a a a a a a a +=++++ ，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围．成都市五校联考高2015级第二学期期中试题理科数学(参考答案)一、选择题1．C ；2．B ；3．D ；4．A ；5．A ；6．D ；7．C ；8．B ；9．D ；10．A ；11．C ；12．B ． 二、填空题13． 135°； 14．1665-； 15．-22； 16．60． 三、解答题17解：（1）(3,2)(3,4)(6,2)b c +=-+=…………………………………2分 ()(2,1)(6,2)261210a b c ∴+=-=⨯-⨯= ．…………………………5分（2）()(23,12)a b λλλ+=+--，………………………………………7分∵()//a b c λ+ ，∴4（2+3λ）﹣3（﹣1﹣2λ）=0，解得1118λ=-．…………………………10分 18解 (1)由已知得a 1＝a －1，a 2＝4，a 3＝2a ，又a 1＋a 3＝2a 2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3.……………………………………2分 ∴a 1＝2，公差d ＝a 2－a 1＝2. …………………………………………………3分 由S k ＝ka 1＋k (k －1)2d ， 得2k ＋k (k －1)2×2＝30，即k 2＋k －30＝0，解得k ＝5或k ＝－6(舍去). …………………………5分 ∴a ＝3，k ＝5. ………………………………………………………………6分 (2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n . ……………………8分∴b n ＝S nn＝n ＋1. ∴{b n }是等差数列.………………………………………………9分41(41)14n b n n -∴=-+= ……………………………………………………10分则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝4+8+12+…+4n ＝(4＋4n )n2. ………………………11分 ∴237114122n b b b b n n =++++=+ ………………………………………………12分 19解 (1) ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 …………………2分＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，………………………………4分 ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.…………………………………………6分 （2）由及（1）知3sin()45πα-=…………………………7分由304πα<<，知442πππα-<-<，3cos()45πα∴-=…………8分 (2)2sin(2)2sin[2()]444f πππααα∴=-=-+……………………9分2()cos 2()]44ππαα=-+- ………………………………10分2)cos()2cos ()1]444πππααα=--+--341621)5525=⨯⨯+⨯-=12分 20解 (1)当n ＝1时，a 1＝13，…………………………………………………………1分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，从而有11111()()2222n n n a a a -=---即：113n an a -=．……………………………………………………………………3分 所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，……………………………………4分故13n na =. …………………………………………………………………………6分 (2)由题意得1()3nbn n =-，…………………………………………………………7分 故12n n S b b b =+++ ＝－⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫131＋2×⎝⎛⎭⎫132＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ， 则13S n ＝－⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫132＋2×⎝⎛⎭⎫133＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，……………………………………9分 两式相减可得23S n ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫131＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1…………10分 ＝－12＋12·⎝⎛⎭⎫13n ＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，…………………………………………………………11分 则133131()()44323n n n S n +=-++ · ……………………………………12分21．解 (1)m n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2 x 4＝32sin x2＋1＋cos x22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，1()sin 262x f x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭……………………………………3分由222262x k k πππππ-≤+≤+k Z ∈得： 4244,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈…………………………5分 ∴()f x 的递增区间是42[4,4]()33k k k Z ππππ-+∈．……6分 (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，………………7分 ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C .∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )． ……………………………………8分 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，……9分 ∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. …………………………10分又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数()f A 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭. ………………………………12分22解：由2161630x x -+=解得：1213,44x x ==1113,44a b ∴== …………………………………………………………1分由11,(1)(1)n n n n n n b a b b a a ++==-+得11(2)2n n n n nb b b b b +==--…………2分 将134b =代入得245b = ……………………………………………………3分(2)因为11112n n b b +-=--，所以12111111n n n n b b b b +-==---- ………………4分 即11n n c c +=- 又111143114c b ===--- 故：数列{}n c 是以-4为首项，-1为公差的等差数列． ………………5分 于是4(1)(1)3n c n n =-+-⨯-=-- ……………………………………6分 由11n n c b =-得1121133n n n b c n n +=+=-=++ ……………………………7分 （3）由题意及（2）知：113n n a b n =-=+……………………………………8分 12233411114556(3)(4)11111111()()()()4556673411444(4)n n n S a a a a a a a a n n n n n n n +∴=++++=+++⨯⨯++=-+-+-++-++=-=++ ………………………9分 由22(1)(36)84043(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=<++++恒成立即2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可，…………………………………10分 设2()(1)(36)8f n a n a n =-+-- ①当1a =时，()380f n n =--<恒成立②当1a >时，由二次函数的性质2()(1)(36)80f n a n a n =-+--<不可能恒成立 ③当1a <时，由于3631(1)02(1)21a a a --=--<--所以2()(1)(36)8f n a n a n =-+--在[)1,+∞上单调递减 由2(1)(1)(36)84150f a n a n a =-+--=-<得154a <1a ∴<，4n n aS b <恒成立综上所述：所求a 的取值范围是(,1]-∞．……………………………………12分。
