天津市2016届高三“五校”联考数学(理)试题

2016届天津市“五校”联考数学(理科)试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡涂黑。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人答题卡收回. 祝各位考试考试顺利！一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U R =，集合2{|230},{|24}A x x x B x x =-->=<<，则集合()U C B A =A ．B ．(,2)(2,3)-∞C ．[)2,3D ．[)(,1)4,-∞-+∞2.右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是A ．12 B.23 C.34D. 453.下列叙述正确的个数是①若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题； ②若命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≤； 则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>；③在ABC ∆中“060A ∠= ”是“1cos 2A =”的充要条件； ④若向量,a b满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角。

A ．1 B. 2 C. 3 D. 4第2题图4．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A． B．C ．2D ．45．已知ABC ∆3AC ABC π=∠=，则ABC ∆的周长等于A．3+B．C．2 D6．已知点),(y x P 的坐标满足条件12220x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩记2y x +的最大值为a ，22)3(++y x 的最小值为b ，则b a +＝A ．4B ．5C ．347+D ．348+7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．10098.已知函数()()()20ln 0x e x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则下列关于函数()11y f f kx =++⎡⎤⎣⎦（0k ≠）的零点个数的判断正确的是A ．当0k >时，有3个零点；当0k <时，有4个零点B ．当0k >时，有4个零点；当0k <时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分,） 9.复数ii-1的共轭复数为____________ 10.已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示,则该几何体的体积为____________11．若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围正视图1 122 22侧视图是____________12. 已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是 ____________13．在矩形ABCD 中，已知2AB AD =，点E 是BC 的 中点，点F 在CD 上，若AB AF ⋅AE BF ⋅ 的值是 .14．若实数c b a ,,满足111111,122222a b a b b c a c ++++=++=，则 c 的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

2015-2016学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1＜x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．A、（1，2]B．[﹣1，2] C．（1，3]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．13．“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）A．0 B．1 C．9 D．184．设x∈R，则“x＜1”是“x|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC 的长为（）A．5 B．4 C．D．36．若双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=﹣20x 的焦点重合，则双曲线的方程为（）（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．已知定义在R上的函数f（x）=x2+|x﹣m|（m为实数）是偶函数，记a=f（log e），b=f（log3π），c=f（e m）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．已知定义域为R的奇函数f（x）的周期为4，且x∈（0，2）时f（x）=ln（x2﹣x+b），若函数f（x）在区间[﹣2，2]上恰有5个零点，则实数b应满足的条件是（）A．﹣1＜b≤1 B．﹣1＜b＜1或b= C．＜b D．＜b≤1或b=二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共30分。

9．若复数是纯虚数，则实数a的值为______．10．在（x﹣）8的展开式中，的系数为______．11．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为______．12．曲线y=x2和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为______．13．如图，在△ABC中，∠B=，∠BAC的平分线交BC于点D，AD=，AC=，则△ABC的面积为______．14．如图，已知l1，l2，l3，…l n为平面内相邻两直线距离为1的一组平行线，点O到l1的距离为2，A，B是l1的上的不同两点，点P1，P2，P3，…P n分别在直线l1，l2，l3，…l n上．若=x n+y n（n∈N*），则x1+x2+…+x5+y1+y2+…+y5的值为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B =+ 如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =,其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3,4}A =,{|32,}B y y x x A ==-∈,则A B =( )A .{1}B .{4}C .{1,3}D .{1,4}2.设变量x ,y 满足约束条件20,2360,3290,x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤则目标函数25z x y =+的最小值为( )A .—4B .6C .10D .173.在ABC △中,若AB =3BC ,=120C ∠︒,则AC =( )A .1B .2C .3D .44.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A .2B .4C .6D .85.设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“0q <”是“对任意的正整数n ,2120n n a a -+<”的( )A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件6.已知双曲线222=1(0)4x y b b ->,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )A .22443=1y x - B .22344=1y x -C .2244=1y x - D .2224=11x y - 7.已知ABC △是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得2DE EF =,则AF BC 的值为( )A .58-B .18C .14D .1188.已知函数2(4,0,()log (1)1,0),33a x a x f x x x a x ⎧+<⎪⎨+++⎪-⎩≥（0a >,且1a ≠）在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|2f x x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 ( )A .20,3⎛⎤⎥⎝⎦ B .23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ D .123,334⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第4页（共21页）数学试卷第5页（共21页）数学试卷第6页（共21页）第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知,a b ∈R ,i 是虚数单位,若(1i)(1i)b a +-=,则ab的值为 .10.281()x x-的展开式中7x 的系数为 （用数字作答）.11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示（单位:m ）,则该四棱锥的体积为 3m .12.如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,22BE AE ==,BD ED =,则线段CE 的长为 .13.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a满足|1|(2)()a f f ->,则a 的取值范围是 . 14.设抛物线22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数,0p >）的焦点为F ,准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B .设7,02C p （）,AF 与BC 相交于点E .若||2||CF AF =,且ACE △的面积为,则p 的值为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（Ⅰ）求)(f x 的定义域与最小正周期;（Ⅱ）讨论)(f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.16.（本小题满分13分）某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率; （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图,正方形ABCD 中心为O ,四边形OBEF 为矩形,平面OBEF ⊥平面ABCD ,点G 为AB 的中点,2AB BE ==. （Ⅰ）求证:EG ∥平面ADF ;（Ⅱ）求二面角O EF C --的正弦值.（Ⅲ）设H 为线段AF 上的点,且23AH HF =,求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,公差为d ,对任意的n ∈*N ,n b 是n a 和1n a +的等比中项.（Ⅰ）设221n n n c b b +=-,n ∈*N ,求证:数列{}n c 是等差数列;（Ⅱ）设1a d =,()2211nkn k k T b ==-∑,n ∈*N ,求证:21112nk kT d =<∑.19.（本小题满分14分）设椭圆的2221(3x y a a +=>的右焦点为F ,右顶点为A .已知113||||||eOF OA FA +=,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上）,垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H ,若BF H F ⊥,且MOA MAO ∠∠≤,求直线l 的斜率的取值范围.20.（本小题满分14分）设函数3()(1)f x x ax b =---,x ∈R 其中,a b ∈R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间;（Ⅱ）若()f x 存在极值点0x ,且10()()f x f x =,其中10x x ≠,求证:1023x x +=; （Ⅲ）设0a >,函数()|()|g x f x =,求证:()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14.A B{1,4}=中元素代入y3x=故选B．2AC BCcosC，2x bx2b=，，∴双曲线的方程为DD E AB D E2EF=，AF BC(AD DF)(AC AB)=+-221313311AB DE(AC AB)AB AC(AC AB)AC AB AC AB24442⎫⎛⎫+-=+-=--⎪ ⎪⎭⎝⎭，11111144228--=，故选B．3)03a log+≥[0,)+∞上，数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）数学试卷第10页（共21页）数学试卷第11页（共21页）数学试卷第12页（共21页）3334⎤⎧⎫⎨⎬⎥⎣⎦⎩⎭，故选CE DE AE EB =， AE EB 1223DE 33⨯==．EF CF 233215.【答案】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为x x k ,k Z 2⎧⎫π≠+π∈⎨⎬．数学试卷 第13页（共21页） 数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）πA B 12⎡=-⎢⎣所以，当πx 4⎡∈-⎢⎣减．16.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有3442P(A)C 3==所以，事件A 发生的概率为1． 工活动次数之和的所有结果，即可求解概率．则P(A)．（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3分别求出P(X 0)=，P(X 1)=，P(X 2)=，P(X 3)=的值，由此能求出X 的分布列和EX ．【考点】离散型随机变量的期望与方差，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列．17.【答案】解：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以AD ，BA ，OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直D(1,1,0)，E(1,1,2)--，F(0,0,2)，G(1,0,0)-．（Ⅰ）AD (2,0,0)=，AF (1,1,2)=-设n (x,y,z)=11n AD 0n AF 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，2x 0y 2z =-+=．不妨设z =，可得1n (0,2,1)=，又EG (0,1,=，可得1EG n 0=，ADF ∥平面．（Ⅱ）易证，OA (1,1=-依题意，EF (1,1,0)=，CF (1,1,2)=-设n (x,y,z)=22n EF 0n CF 0⎧=⎪⎨=⎪⎩， y 0y 2z 0=+=．不妨设x =，可得2n (1,1=-22OA n 6OA,n 3OA n ==-，于是3sin OA,n =所以，二面角O EF C --的正弦值为5A F (1=-22A H A F ⎛==- 2BH ,55⎛= ⎪⎝⎭22BH n 7cos BH,n 21BH n ==-和平面CEF 所成角的正弦值为（Ⅰ）通过证明1EG n 0=，又因为直线求出平面OEF 的法向量，利用向量的夹角公式，（Ⅲ）求出24BH ,⎛⎫= ，利用向量的夹角公式求出直线18.【答案】解：（Ⅰ）由题意得b a a =，222n 2n n(a a )a )2d2d n(n 1)2+++==+2111n 1⎛⎫-< ⎪+⎝⎭建立方程关系，19.【答案】解：（Ⅰ）设F(c,0)，由OF OA FA +=，即c a a(a c)+=-，数学试卷第16页（共21页）数学试卷第17页（共21页）数学试卷第18页（共21页），有FH (1,=-，9BF ⎛-= ，得BF HF 0=，H 12ky 04k 3=+，解得16,4⎤⎡+∞⎥⎢⎝⎦⎣⎭利用根与系数的关系求得，得11H BF HF (1x ,y )(1,y )0=---=，整理得到，得到0x 1≥，转化为关于k 的不等式求得20.【答案】解：（Ⅰ）由f (x)(x 1)ax b =---，可得f '(x)3(x 1)a =--．下面分两种情数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

2016-2017学年天津市五校高三（上）期末联考试卷（理科数学）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，4} B．{0，1，4} C．{0，2} D．{0，1，2，4}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣3 C．0 D．13．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）已知△ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则AB=（）A．B．C．D．35．（5分）设{an }是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为单调递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3=0平行，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．7．（5分）在△ABC中，D在AB上，AD：DB=1：2，E为AC中点，CD、BE相交于点P，连结AP．设=x+y（x，y∈R），则x，y的值分别为（）A．B．C．D．8．（5分）已知f（x）=（x2﹣3）e x（其中x∈R，e是自然对数的底数），当t1＞0时，关于x的方程[f（x）﹣t1][f（x）﹣t2]=0恰好有5个实数根，则实数t2的取值范围是（）A．（﹣2e，0） B．（﹣2e，0] C．[﹣2e，6e﹣3] D．（﹣2e，6e﹣3）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1﹣2i）（2+ai）=b﹣2i，则a+b的值为．10．（5分）在的展开式中，x﹣3的系数为．（用数字作答）11．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为．13．（5分）在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），若C1恰好经过C2的焦点，则a的值为．14．（5分）已知，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值．16．（13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手．从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=BC=2，E在BC上，且BE=AB=1，侧棱PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（2）若△PAB为等腰直角三角形．（i）求直线PE与平面PAC所成角的正弦值；（ii）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．18．（13分）已知数列{an }的前n项和，数列{bn}的前n项和为Bn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{cn }的前n项和Cn；（3）证明：．19．（14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x=m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值．20．（14分）已知函数，函数f（x）的图象记为曲线C．（1）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求c的取值范围；（2）若函数y=f（x）﹣m有两个零点α，β（α≠β），且x=α为f（x）的极值点，求2α+β的值；（3）设曲线C在动点A（x0，f（x））处的切线l1与C交于另一点B，在点B处的切线为l2，两切线的斜率分别为k1，k2，是否存在实数c，使得为定值？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年天津市五校高三（上）期末联考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）x，x∈A}，则A∪B=（）1．（5分）（2016秋•天津期末）已知集合A={1，4}，B={y|y=log2A．{1，4} B．{0，1，4} C．{0，2} D．{0，1，2，4}【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={1，4}，x，x∈A}={0，2}，B={y|y=log2∴A∪B={0，1，2，4}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2．（5分）（2016秋•天津期末）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣3 C．0 D．1【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（，），由z=x﹣2y得：y=x﹣z，平移直线y=x，结合图象直线过A（，）时，z最小，z的最小值是：﹣，故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．3．（5分）（2016秋•天津期末）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=﹣1时不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=6，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环次数不多或由规律时，常采用模拟运行程序的方法来解决，属于基础题．4．（5分）（2016秋•天津期末）已知△ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则AB=（）A．B．C．D．3【分析】根据题意和三角形的面积公式求出sinC的值，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角C，再分别利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理验证是否符合条件．【解答】解：由题意得，钝角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则×sinC=，解得sinC=，由0＜C＜π得，C=或，当C=时，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC=1+4﹣2×1×=3，AB=，则A是最大角，cosA=0，则A是直角，这与三角形是钝角三角形矛盾，所以C=，则AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC=1+4+2×1×=7，则AB=，故选：B．【点评】本题考查余弦定理及其变形，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围，考查化简、计算能力．5．（5分）（2016秋•蓟县期末）设{an }是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为单调递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{an}不是递增数列，充分性不成立．若an=﹣1•（）n﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．（5分）（2016秋•天津期末）已知双曲线的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3=0平行，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【分析】利用焦点的渐近线的距离为2，双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3=0平行，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的焦点的渐近线的距离为2，可得b=2；双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3=0平行，可得，解得a=4．所求双曲线方程为：．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．7．（5分）（2016秋•天津期末）在△ABC中，D在AB上，AD：DB=1：2，E为AC中点，CD、BE 相交于点P，连结AP．设=x+y（x，y∈R），则x，y的值分别为（）A．B．C．D．【分析】由D、P、C三点共线，则存在实数λ使得=λ+（1﹣λ），以及E、P、B三点共线，同理存在实数μ使得=+μ，根据平面向量基本定理即可得，解得λ或μ，再根据平面向量基本定理即可求出x，y的值．【解答】解：由D、P、C三点共线，则存在实数λ使得=λ=λ（﹣），∴﹣==λ（﹣），∴=λ+（1﹣λ），∵AD：DB=1：2，∵=，∴=λ+（1﹣λ），由E为AC中点，由E、P、B三点共线，同理存在实数μ使得=+μ，∴，解得∴=+，∵=x+y（x，y∈R），∴x=，y=，故选：C【点评】本题考查共线向量基本定理，以及向量的减法，以及平面向量基本定理，属于中档题8．（5分）（2016秋•天津期末）已知f（x）=（x2﹣3）e x（其中x∈R，e是自然对数的底数），当t1＞0时，关于x的方程[f（x）﹣t1][f（x）﹣t2]=0恰好有5个实数根，则实数t2的取值范围是（）A．（﹣2e，0） B．（﹣2e，0] C．[﹣2e，6e﹣3] D．（﹣2e，6e﹣3）【分析】求出f（x）的导数，单调区间和极值，画出f（x）的大致图象，讨论t1的范围，确定t2的范围，通过图象即可得到所求范围．【解答】解：f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x2+2x﹣3）e x=（x﹣1）（x+3）e x，当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得f（x）的极小值为f（1）=﹣2e，极大值为f（﹣3）=6e﹣3，作出y=f（x）的图象，如图：当t1＞0时，关于x的方程[f（x）﹣t1][f（x）﹣t2]=0恰好有5个实数根，即为f（x）=t1或f（x）=t2恰好有5个实数根，若t1＞6e﹣3，f（x）=t1只有一个实根，不合题意；若0＜t1＜6e﹣3，f（x）=t1有三个实根，只要﹣2e＜t2≤0，满足题意；若t1=6e﹣3，f（x）=t1有两个实根，只要0＜t2＜6e﹣3，满足题意；综上可得，t2的范围是（﹣2e，6e﹣3）．故选：D．【点评】本题考查函数和方程的转化思想，考查数形结合思想方法运用，以及导数的运用：求单调区间和极值，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2016秋•天津期末）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1﹣2i）（2+ai）=b﹣2i，则a+b的值为8 ．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：∵（1﹣2i）（2+ai）=（2+2a）+（a﹣4）i=b﹣2i，∴，解得．则a+b的值为：8．故答案为：8．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的充要条件，是基础题．10．（5分）（2016秋•天津期末）在的展开式中，x﹣3的系数为﹣24 ．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣3，求出r的值，即可求得x﹣3的系数．=•（4x2）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•46﹣r••x12【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1﹣3r，令12﹣3r=﹣3，解得r=5，∴展开式中x﹣3的系数为﹣24．故答案为﹣24．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．（5分）（2016秋•天津期末）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×4=4，底面周长为：2+4+=6+2，故棱柱的表面积S=2×4+4×（6+2）=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．12．（5分）（2016秋•天津期末）在平面直角坐标系xOy中，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为4﹣ln3 ．【分析】由题意，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为+，即可得出结论．【解答】解：由题意，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为+=（3x﹣lnx）+2=4﹣ln3．故答案为4﹣ln3．【点评】本题考查封闭图形的面积的计算，考查定积分知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）（2016秋•天津期末）在直角坐标系xOy 中，已知曲线（t 为参数），曲线（θ为参数，a ＞1），若C 1恰好经过C 2的焦点，则a 的值为 ．【分析】求出曲线C 1的普通方程为x 2﹣y 2=4，曲线C 2的普通方程为=1，a ＞1，由此能求出结果．【解答】解：∵曲线（t 为参数），曲线（θ为参数，a ＞1），∴曲线C 1的普通方程为x 2﹣y 2=4， 曲线C 2的普通方程为=1，a ＞1，∵C 1恰好经过C 2的焦点（，0），∴a 2﹣1=4，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、普通方程的互化及椭圆、双曲线性质的合理运用．14．（5分）（2016秋•天津期末）已知，若方程f （x ）=kx 有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为 （﹣∞，e ） ．【分析】画出分段函数与y=kx 的图象，利用方程f （x ）=kx 有且仅有一个实数解，判断看的范围即可． 【解答】解：，若方程f （x ）=kx 有且仅有一个实数解，就是分段函数与y=kx 的图象只有一个交点，如图：显然k小于OA的斜率时满足题意，y=e x，x≥1，导函数为y′=e x，是增函数，当x=1时函数取得最小值，此时OA的斜率最小，最小值为：e，可得k＜e．故答案为：（﹣∞，e）．【点评】本题考查函数的零点的求法，导数的应用，函数的单调性与导数的关系，考查计算能力．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2016秋•天津期末）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值．【分析】（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求f（x）的最小正周期；（2）当时，2x+∈[，]，利用f（x）的最小值为2，求a的值．【解答】解：（1）函数=，…（4分）∴f（x）的最小正周期为π；（2）当时，2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，∴a=2．【点评】本题考查二倍角、辅助角公式，化简函数，考查函数的性质，属于中档题．16．（13分）（2016秋•天津期末）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手．从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；（Ⅱ）求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．【解答】解：（ I）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A=“恰有1位女棋手”，则，…（4分）所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为．…（5分）（II）随机变量X的所有可能取值为0，2，4．其中，，．…（9分）所以，随机变量X分布列为随机变量X的数学期望．…（13分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．17．（13分）（2016秋•天津期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=BC=2，E在BC上，且BE=AB=1，侧棱PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（2）若△PAB为等腰直角三角形．（i）求直线PE与平面PAC所成角的正弦值；（ii）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【分析】（1）由AB⊥PA，AB⊥AD，建立建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PDE⊥平面PAC．（2）（i）求出平面PAC的一个法向量和，利用向量法能求出直线PE与平面PAC所成角的正弦值．（ii）求出平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，又∵AB⊥AD，故可建立建立如图所示坐标系．由已知D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ），（λ＞0）∴=（2，4，0），=（0，0，λ），=（2，﹣1，0），∴=4﹣4+0=0，．…（3分），∴DE⊥AC，DE⊥AP，∴ED⊥平面PAC，∵ED⊂平面PDE，平面PDE⊥平面PAC．…（4分）解：（2）（i）由（1）得，平面PAC的一个法向量是=（2，﹣1，0），∵△PAB为等腰直角三角形，故PA=2，．设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则===，∴直线PE与平面PAC所成角的正弦值为．…（8分）（ii）设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），=（2，2，0），=（0，﹣2，2），则，令x=1，则=（1，﹣1，﹣1），…（10分）∴cos＜＞==．…（11分）∵二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．…（13分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（13分）（2016秋•蓟县期末）已知数列{an}的前n项和，数列{bn }的前n项和为Bn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{cn }的前n项和Cn；（3）证明：．【分析】（1）当n≥2时，利用an =An﹣An﹣1可得an=2n﹣1，再验证n=1的情况，即可求得数列{an}的通项公式；（2）由题意知：，利用错位相减法即可求得数列{cn }的前n项和Cn；（3）利用基本不等式可得＞，可得Bn =b1+b2+…+bn＞2n；再由bn=，累加可，于是可证明：．【解答】（本小题满分13分）解：（ I）当n≥2时，，，两式相减：an =An﹣An﹣1=2n﹣1；当n=1时，a1=A1=1，也适合an=2n﹣1，故数列{an }的通项公式为an=2n﹣1；．…（3分）（ II）由题意知：，Cn =c1+c2+…+cn，，，两式相减可得：，…（4分）即，，．…（7分）（ III），显然，即bn ＞2，Bn=b1+b2+…+bn＞2n；…（9分）另一方面，，即，，…，，，即：2n ＜B n ＜2n+2．…（13分）【点评】本题考查数列递推式的应用，突出考查错位相减法求和与累加法求和的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题．19．（14分）（2016秋•天津期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为b ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x=m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值． 【分析】（Ⅰ）由已知列出方程，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．（Ⅱ）由题意知A 1（﹣2，0），A 2（2，0），设P （x 0，y 0），求出M 坐标，由点P 在椭圆上，以MP 为直径的圆过点A 2，则，求出x 0≠±2．然后求解m 即可．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，解得．所以椭圆C 的方程为．…（5分）（Ⅱ）由题意知A 1（﹣2，0），A 2（2，0），…（6分） 设P （x 0，y 0），则，得．且由点P 在椭圆上，得．…（8分）若以MP 为直径的圆过点A 2，则，…（9分）所以..…（12分）因为点P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的点，所以x 0≠±2．所以上式可化为，解得m=14．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．20．（14分）（2016秋•天津期末）已知函数，函数f（x）的图象记为曲线C．（1）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求c的取值范围；（2）若函数y=f（x）﹣m有两个零点α，β（α≠β），且x=α为f（x）的极值点，求2α+β的值；（3）设曲线C在动点A（x0，f（x））处的切线l1与C交于另一点B，在点B处的切线为l2，两切线的斜率分别为k1，k2，是否存在实数c，使得为定值？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．【分析】法一：（1）求出函数的导数，根据x=1是函数的最小值点，得到关于c的不等式，解出即可；（2）求出c=﹣α2+2α，根据f（α）=f（β）得：，从而求出α和β的关系；（3）求出函数f（x）的导数，得到x+2x0﹣3=0，即B点的横坐标为3﹣2x所以过点B的曲线的切线斜率，根据k1，k2的值，作商即可．法二：（1）求出函数的导数，分离参数c，根据函数的单调性求出c的范围即可；（2）根据根与关系判断即可；（3）分别求出k1，k2的值，作商即可．【解答】解法一：（1）f'（x）=x2﹣2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2﹣2x+c≥0所以（x2﹣2x+c）min≥0，而x2﹣2x+c在x=1处取得最小值，所以1﹣2+c≥0，c≥1；…（4分）（2）因为x=α为f（x）的极值点，所以，所以c=﹣α2+2α，又因为y=f（x）﹣m有不同的零点α，β，所以f（α）=f（β），即，整理得：，所以2α+β=3．…（9分）（3）满足条件的实数c存在，由f'（x）=x2﹣2x+c，知过A（x0，f（x））点与曲线相切的直线l1为：y=f'（x）（x﹣x）+f（x），且k1=﹣2x+c，将y=f'（x0）（x﹣x）+f（x）与y=f（x）联立即得B点得横坐标，所以f'（x0）（x﹣x）+f（x）=f（x）即：整理得：由已知x≠x0，所以x+2x﹣3=0所以x=3﹣2x0，即B点的横坐标为3﹣2x所以过点B的曲线的切线斜率为：===4k1+3﹣3c因此当且仅当 3﹣3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1即存在实数c=1，使为定值．…（14分）解法二：（1）f'（x）=x2﹣2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2﹣2x+c≥0，所以c≥﹣（x2﹣2x）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，故c≥[﹣（x2﹣2x）]max，即[﹣（x2﹣2x）]max=1，故c的取值范围是[1，+∞）；…（4分）（2）因为x=α为f（x）的极值点，且y=f（x）﹣m有两个零点α，β（α≠β），所以f（x）﹣m=0的三个实数根分别为α，α，β，由根与系数的关系得；…（9分）（3）满足条件的实数c存在，因为f'（x）=x2﹣2x+c，所以过A（x0，f（x））点且与曲线C相切的直线l1为：y=f'（x0）（x﹣x）+f（x），其中．设l1与C交于另一点B（x1，y1），则x，x，x1必为方程f（x）=f′（x）（x﹣x）+f（x）的三个实数根，由f（x）=f′（x0）（x﹣x）+f（x）得，因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以，所以x1=3﹣2x，所以===4k1+3﹣3c．因此当且仅当 3﹣3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1，即存在实数c=1，使为定值．…（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及直线的斜率问题，考查转化思想，是一道综合题．。