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2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（附解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：集合，，．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.函数的定义域为A. B.C. D. ，【答案】C【解析】解：要使函数有意义则解得且函数的定义域为故选：C．根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．本题考查函数定义域的求解，属基础题，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．3.运行如图所示的程序，若输出y的值为2，则可输入实数x值的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：模拟程序运行，可得程序的功能是求的值，故时，，解得：舍去；时，，解得：舍，或，综上，可得可输入x的个数为1．故选：B．模拟程序运行，可得程序的功能是求的值，分类讨论即可得可输入x的个数．本题的考点是函数零点几何意义和用导函数来画出函数的图象，考查了数学结合思想和计算能力，属于基础题．4.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设20个数分别为，，，，求出的平均数为，实际平均数，求出的平均数与实际平均数的差：．故选：B．求出的平均数与实际平均数的差：，由此能求出结果．本题考查求出的平均数与实际平均数的差的求法，考查平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知函数，那么的值为A. 9B.C.D.【答案】B【解析】解：，，而，．．故选：B．首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．正确理解分段函数在定义域的不同区间的解析式不同是解题的关键．6.某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，其余为后勤服务人员，现用分层抽样方法从中抽取一容量为20的样本，则抽取后勤服务人员A. 3人B. 4人C. 7人D. 12人【答案】A【解析】解：根据分层抽样原理知，应抽取后勤服务人员的人数为：．故选：A．根据分层抽样原理求出应抽取的后勤服务人数．本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．7.已知函数，若对任意实数，且都有成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，满足对任意实数，且都有成立，则函数为减函数，又由，则有，解可得，即a的取值范围为；故选：A．根据题意，分析可得函数为减函数，结合函数的解析式可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性的判定以及应用，涉及分段函数的应用，关键是掌握函数单调性的定义．8.函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断，a可能的取值是A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】解：函数为偶函数，图象关于原点对称，排除，又指数型函数的函数值都为正值，排除，故函数的图象只能是，当时，函数为减函数，则，得，故只有4满足故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质先确定对应的图象，然后结合指数函数的图象特点确定底数的大小即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数值的符号确定对应的图象是解决本题的关键．9.一直以来，由于长江污染加剧以及滥捕滥捞，长江刀鱼产量逐年下降为了了解刀鱼数量，进行有效保护，某科研机构从长江中捕捉a条刀鱼，标记后放回，过了一段时间，再从同地点捕捉b条，发现其中有c条带有标记，据此估计长江中刀鱼的数量为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，得：，解得．故选：D．设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，列出方程能求出结果．本题考查长江中刀鱼的数量的估计，考查随机抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知偶函数在区间上是单调递增函数，若，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：偶函数在区间上是单调递增函数，则在上为减函数，若，则，即，求得，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性可得，由此求得实数m的取值范围．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．11.如图程序框图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】解：因为要求时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．通过要求时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“”，进而通过偶数的特征确定．本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．12.已知函数，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：当时，方程可化为，解得：或，又，所以当时，此时方程有一个实数根，当时，方程可化为，由题意有此方程必有两不等实数根，设，由二次方程区间根问题有：，解得：或，综合可得：实数a的取值范围为：，故选：C．含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题先通过讨论：当时，当时去绝对值符号，再结合区间根问题求解二次方程的根的个数即可．本题考查了含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题及区间根问题，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，那么______．【答案】3【解析】解：由得，，即，故答案为：3由，求出，直接代入即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数解析式直接转化是解决本题的关键．14.《少年中国说》是清朝末年梁启超所作的散文，写于戊戌变法失败后的1900年，文中极力歌颂少年的朝气蓬勃，其中“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强，少年独立则国独立”等优秀文句激励一代又一代国人强身健体、积极竞技年，甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表：则参加运动会的最佳人选应为______．【答案】丙【解析】解：从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定，故最佳人选应该是丙．故答案为：丙．从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定．本题考查最佳人选的判断，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.某汽车4S店销售甲品牌A型汽车，在2019年元旦期间，进行了降价促销活动，根据以往数据统计，该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：已知A型汽车的销售量y与价格x符合线性回归方程：，若A型汽车价格降到19万元，预测它的销售量大约是______辆【答案】42【解析】解：由图表可得，，．代入线性回归方程，得．，当时，．预测它的销售量大约是42辆．故答案为：42．由已知求得，代入线性回归方程求得b，得到线性回归方程，取求得y值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．16.已知函数有唯一零点，则______．【答案】【解析】解：与的图象均关于直线对称，的图象关于直线对称，的唯一零点必为，，，．故答案为：．判断函数与的图象的对称性，结合函数的对称性进行判断即可．本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件判断函数的对称性是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，．Ⅰ当时，求；Ⅱ若，求实数k的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，，则，分Ⅱ，则分当时，，解得；分当时，由得，即，解得分综上，分【解析】Ⅰ直接根据并集的定义即可求出由，得，由此能求出实数k的取值范围．本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.计算下列各式的值：；．【答案】解：原式；原式．【解析】进行分数指数幂的运算即可；进行对数的运算即可．考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的运算性质．19.已知是奇函数．求a的值并判断的单调性，无需证明；若对任意，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】解：是奇函数，定义域为R，，解得，验证：，，即为奇函数，，在R上为增函数，对任意，不等式恒成立，，在R上为增函数，，，即对任意，恒成立，令，，，，对于，当时取最大值，最大值为3，，，故实数k的取值范围为．【解析】由奇函数的性质可得，在判断函数的单调性；利用的奇偶性和单调性，将不等式转化为：在上恒成立，然后转化为最值，最后构造函数求出最大值即可．本题考查了奇偶函数定义、函数的单调性、恒成立问题转化为最值、二次函数求最值属中档题．20.张先生和妻子李女士二人准备将家庭财产100万元全部投资兴办甲、乙两家微型企业，计划给每家微型企业投资50万元，张先生和妻子李女士分别担任甲、乙微型企业的法人根据该地区以往的大数据统计，在10000家微型企业中，若干年后，盈利的有5000家，盈利的有2x家，持平的有2x家，亏损的有x家．求x的值，并用样本估计总体的原理计算：若干年后甲微型企业至少盈利的可能性用百分数示；张先生加强了对企业的管理，预计若干年后甲企业一定会盈利，李女士由于操持家务，预计若干年后盈利情况与该地区以往的大数据统计吻合求若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值婚姻期间财产各占一半．【答案】解：，，用样本估计总体计算得：若干年后甲微型企业至少盈利的可能性为：．由题意得若干年后，两人家庭财产的总数量为：万元．由于婚姻期间家庭财产为共同财产，若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值婚姻期间财产各占一半为：万元．【解析】由，求出，用样本估计总体，能求出若干年后甲微型企业至少盈利的可能性．由题意求出若干年后，两人家庭财产的总数量，由此能求出若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值．本题考查实数值、至少盈利的可能性、期望值的求法，考查用样本特征估计总体特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.当今的学校教育非常关注学生身体健康成长，某地安顺小学的教育行政主管部门为了了解小学生的体能情况，抽取该校二年级的部分学生进行两分钟跳绳次数测试，测试成绩分成，，，四个部分，并画出频率分布直方图如图所示，图中从左到右前三个小组的频率分别为，，，且第一小组从左向右数的人数为5人．求第四小组的频率；求参加两分钟跳绳测试的学生人数；若两分钟跳绳次数不低于100次的学生体能为达标，试估计该校二年级学生体能的达标率用百分数表示【答案】解：第四小组的频率为：．设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则，解得，参加两分钟跳绳测试的学生人数为50人．由题意及频率分布直方图知：样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为：，估计该校二年级学生体能的达标率为．【解析】由频率分布直方图能求出第四小组的频率．设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则，由此能求出参加两分钟跳绳测试的学生人数．由题意及频率分布直方图知样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为，由此能估计该校二年级学生体能的达标率．本题考查频率、频数、达标率的求法，考查频率分布直图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.已知函数，其最小值为．求的表达式；当时，是否存在，使关于t的不等式有且仅有一个正整数解，若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：函数的对称轴为，当时，区间为增区间，可得；当，可得；当时，区间为减区间，可得．则；当时，即，可得，令，，可得在递减，在递增，在的图象如右图：，，由图可得，即，关于t的不等式有且仅有一个正整数解2，所以k的范围是【解析】求得的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，结合单调性可得最小值；由题意可得，令，求得单调性，画出图象，可得整数解2，即可得到所求范围．本题考查二次函数的最值求法，注意运用对称轴和区间的关系，考查不等式有解的条件，注意运用参数分离和对勾函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
广西省崇左市2019年数学高一上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．若[0,]x π∈，则函数()cos f x x x =-的单调递增区间为（ )A.5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3轾犏犏臌C.50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知在ABC △中，()sin sin cos cos sin A B A B C +=+⋅，则ABC △的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形3．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，则β=（ ） A ．6πB ．512π C ．4π D ．3π4．直线l 绕它与x 轴的交点顺时针旋转3π30y +-=，则直线l 的方程是（ ）A.10x -= 30y --=C.10x +-=10y --=5．函数sin()(0,||,)2y A x x ωϕωϕπ=+><∈R 的部分图象如图所示，则函数表达式为A.4sin()84y x ππ=-- B.4sin()84y x ππ=-C.4sin()84y x ππ=+D.4sin()84y x ππ=-+6．在ABC △中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=A.2B.2-C.12D.12-7．已知数列为等差数列,若,且其前项和有最大值,则使得的最大值为A ．11B ．19C ．20D ．21 8．若将函数cos 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z x ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈9．已知两个不同的平面αβ，和两条不重合的直线m n ，，有下列四个命题： ①若//,m n m α⊥，则n α⊥； ②若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥； ③若,,m m n n αβ⊥⊂∥，则αβ⊥； ④若,m n ααβ⋂=，则m n . 其中真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A.0795B.0780C.0810D.081511．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则（ ） A ．p 1＜p 2＜p 3 B ．p 2＜p 1＜p 3 C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 212．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则A ．-2B ．2C ．-98D ．98二、填空题13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，则84S S 的值是__________. 14．如图，一热气球在海拔60m 的高度飞行，在空中A 处测得前下方河流两侧河岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，则河流的宽度BC 等于_____m ．15．函数19()(19)f x log x =-的值域为____________ 16．如图中，已知点在上，，则的长为 ．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -. （Ⅰ)求AB 的坐标及||AB uu u r； （Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求角B 的大小；（2）若3a =，点D 在AC 边上，且BD AC ⊥，BD =c 边的长.19．已知函数()()41412xf x log x =+-． （1）求证：()()444114xxlog x log -+-=+（2）若函数()y f x =的图象与直线1y 2x a =+没有交点，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()[]122421,0,log 3f x xx h x m x +=+⋅-∈，则是否存在实数m ，使得()h x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．20．已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：cv ，Q ＝0．5v ＋a ，Q ＝klog a v ＋b ．（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少？并求出最少航行费用． 21．已知数列{}n a 前n 项和为n S ， 12a =-，且满足1112n n S a n +=++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()3log 1n n b a =-+，设数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，求证： 34n T <．22．数列{}n a 的前n 项和n S 满足.（1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）若数列{}n b 为等差数列，且，求数列的前n 项n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题13．1014．1) 15．(],1-∞ 16．三、解答题17．（Ⅰ)(2,1)AB =-，||5AB =；（Ⅱ)3t =18．（1）23B π=；（2）5c =. 19．（1）略；（2）0a ≤；（3）1m =-20．（1）选择函数模型32Q av bv cv =++，函数解析式为320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤；（2）以1百公里/小时航行时可使AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.21．（Ⅰ）31nn a =-+（Ⅱ）详略22．(1)见证明；(2)。
广西崇左市2019-2020年度高一上学期期末数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高一下·北京期中) 已知平面向量，．若∥ ，则（）．A .B . -2C .D . 22. （2分）(2017·渝中模拟) 不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．已知f（x）=cos（[x]﹣x），给出下列结论：①f（x）是偶函数；②f（x）是周期函数，且最小值周期为π；③f（x）的单调递减区间为[k，k+1）（k∈Z）；④f（x）的值域为[cos1，1）．其中正确的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）函数（其中A＞0，)的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度4. （2分）化简的结果是（）A . 1B . sinαC . ﹣tanαD . tanα5. （2分）为四边形所在平面上一点，，则为（）A . 四边形对角线交点B . 的中点C . 的中点D . 边上一点6. （2分） (2020高二下·宁波期中) 给出下列命题：①“ ”是“方程”有实根”的充要条件；②若“ ”为真，则“ ”为真；③若函数值域为，则；④命题“若，则”为真命题.其中正确的是（）A . ① ③B . ① ④C . ② ④D . ③ ④7. （2分）的图象与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点为和，那么该函数图象的所有对称轴中，距离y轴最近的一条对称轴是（）A . x=﹣1B .C . x=1D .8. （2分） (2016高一上·绍兴期中) 若函数y=f（x）为奇函数，则它的图象必经过点（）A . （0，0）B . （﹣a，﹣f（a））C . （a，f（﹣a））D . （﹣a，﹣f（﹣a））9. （2分） (2016高一下·赣州期中) 函数f（x）=2sin2（2x+ ）﹣sin（4x+ ）图象的一个对称中心可以为（）A . （﹣，0）B . （﹣，0）C . （﹣，1）D . （﹣，1）10. （2分） (2019高一上·嘉兴期末) 如图，在中，，，若，则（）A .B .C . 3D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）已知，tanα=2，则 =________．12. （1分）已知函数，则f（1）﹣f（3）=________13. （1分）函数y=sin2x﹣cos2x的单调递减区间是________．14. （1分）计算：1﹣2sin222.5°的结果等于________15. （1分） (2016高一上·南充期中) 若2a=5b=10，则 =________．三、解答题 (共4题；共35分)16. （10分） (2019高一上·大荔月考) 已知全集U=R, , .（1）求 ;（2）求 , .17. （10分）已知△ABC的面积为S，且．（1）求tanA的值；（2）若B= ，求△ABC的面积S．18. （10分） (2017高一上·定州期末) 设函数，其中向量 .（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.19. （5分） (2016高一上·温州期末) 已知二次函数f（x）=x2﹣2x+3（Ⅰ）若函数的最小值为3，求实数m的值；（Ⅱ）若对任意互不相同的x1 ，x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共35分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、。
广西崇左市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）点P（x ， y，z）满足 =2，则点P在（）A . 以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B . 以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C . 以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D . 无法确定2. （2分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3 ，则（）A . 9B . 6C . 3D . 23. （2分） (2020高三上·闵行期末) 已知直线的斜率为，则直线的法向量为（）A .B .C .D .4. （2分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则的重心、内心、外心、垂心的轨迹都不可能是（）B . 线段C . 圆弧D . 抛物线的一部分5. （2分）曲线C1:，曲线C2：， EF是曲线C1的任意一条直径，P是曲线C2上任一点，则的最小值为（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分）(2020·温岭模拟) 如图，在直角梯形中，，，，为中点，M，N分别为，的中点，将沿折起，使点D到，M到，在翻折过程中，有下列命题：① 的最小值为；② 平面；③存在某个位置，使；④无论位于何位置，均有 .其中正确命题的个数为（）A .C .D .7. （2分） (2017高二下·温州期中) 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一动点，且满足|PD|+|PB1|=6，则点P的轨迹所形成的图形的面积是（）A . 2πB .C .D .8. （2分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，左、右焦点分别是，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为（）A .B .C .D .9. （2分）已知异面直线a ， b分别在平面α ，β内，且α∩β＝c ，那么直线c一定（）A . 与a ， b都相交B . 只能与a ， b中的一条相交C . 至少与a ， b中的一条相交D . 与a ， b都平行10. （2分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF= ，则下列结论中错误的是（）A . AC⊥BEB . EF∥平面ABCDC . 三棱锥A-BEF的体积为定值D . △AEF的面积与△BEF的面积相等11. （2分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面正方形ABCD内一个动点，Q为棱AA1上的一个动点，若|PQ|=2，则PQ的中点M的轨迹所形成图形的面积是（）A .B .C . 3D . 4π12. （2分）(2018·凉山模拟) 如图，四棱柱中，分别是、的中点，下列结论中，正确的是（）A .B . 平面C . 平面D . 平面二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2017高一下·盐城期中) 圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5的圆心坐标是________．14. （1分） (2016高一上·西安期末) 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是________cm3 ．15. （1分） (2016高一上·西安期末) 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰为，上底面为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________．16. （1分） (2016高一上·西安期末) 已知过点M（﹣3，0）的直线l被圆x2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，那么直线l的方程为________．17. （1分） (2016高一上·西安期末) 已知实数x，y满足（x﹣3）2+（y﹣3）2=8，则x+y的最大值为________．三、解答题 (共7题；共53分)18. （10分）在三棱锥P﹣ABC中，F，M分别是棱PB，AC的中点，E为PC上一动点．（1）若AF∥平面MEB，试确定点E的位置，并证明你的结论．（2）在满足（1）的条件下，求三棱锥C﹣MEB与三棱锥C﹣PAB的体积比．19. （5分）(2019·天津模拟) 如图，在四棱锥中，，，，，，点在线段上，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由．20. （15分）如图，在四棱柱中，侧棱底面且点和分别为和的中点（1）求证：平面（2）求二面角的正弦值（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长21. （5分） (2016高一上·西安期末) 已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．22. （1分） (2016高一上·西安期末) 已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于________．23. （2分） (2016高一上·西安期末) 已知0＜k＜4直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积最小值时k值为（）A . 2B .C .D .24. （15分） (2016高一上·西安期末) 已知以点C（t，）（t∈R且t≠0）为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求证：△AOB的面积为定值．（2）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P 的坐标．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共7题；共53分)18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、24-1、24-2、24-3、。
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．在空间中，有三条不重合的直线a ，b ，c ，两个不重合的平面α，β，下列判断正确的是 A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若b a ⊥，c a ⊥，则b ∥cC ．若a α⊥，a ∥β，则αβ⊥D ．若a α⊂，b β⊂，α∥β，则a ∥b2．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 3．已知边长为1的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 满足12BE EC =u u u r u u u r ，则AE BD ⋅u u u r u u u r的值是（ ）A ．13-B ．12-C ．14-D ．16-4．已知22222a b c +=，则直线ax+by+c=0与圆22x 4y +=的位置关系是( ) A ．相交但不过圆心 B ．相交且过圆心 C ．相切D ．相离5．数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为 A ．(,0]-∞B ．[0,)+∞C ．(,2)-∞D ．[1,)+∞6．已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f 的值是( ) A.4B.8C.10D.127．已知函数()ln f x x =+162x -，则(2)f x 的定义域为（ ）A.(0,1)B.(1,2]C.(0,4]D.(0,2]8．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N C M ⋂=（ ） A ．{}1,3B ．{}1,5C ．{}3,5D ．{}4,59．某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（ ）A ．第一季度B ．第二季度C ．第三季度D ．第四季度10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A.甲地：总体均值为3，中位数为4B.乙地：总体均值为1，总体方差大于0C.丙地：中位数为2，众数为3D.丁地：总体均值为2，总体方差为311．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A ．-10B ．6C ．14D ．1812．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，8二、填空题13．已知(1,0,2)A ，(1,3,1)B -，点M 在Z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点的坐标为__________．14．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b =+的最小值是__________． 15．设O 为ABC ∆内一点，且满足关系式2332OA OB OC AB BC CA ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则::AOB BOC COA S S S ∆∆=V ________.16．如图，P 为ABC ∆内一点，且1135AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，延长BP 交AC 于点E ，若AE AC λ=uu u r uuu r，则实数λ的值为_______.三、解答题17．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{1，2}，B ＝{}03x x ≤≤，集合C 为不等式组10360x x +≥⎧⎨-≤⎩的解集．(1)写出集合A 的所有子集； (2)求B U ð和B C ⋃．18．已知()22()2sin cos 3cos sin f x x x x x =+-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和对称轴方程； （2）若50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域． 19．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)[)90100100110[140150⋯，，，，，，）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[120130，）内的频率，补全这个频率分布直方图，并据此估计本次考试的平均分； （2）用分层抽样的方法，在分数段为[110130，）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120130，）内的概率20．已知5tan()7,cos αβα-=-=其中(0,),(0,)απβπ∈∈. （1）求tan β的值； （2）求αβ+的值.21．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知D 为边BC 的中点，192AD =，2(12sin )(2)cos 2Ca b c A -=-，3b =. （1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆的面积.22．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A A C C D C B D BC13．(0,0,3)-14．9215．2:3:116．310三、解答题17．（1）{}{}{},1,2,1,2∅ ； （2）{}[]B |03,=1,3U x x x B C =⋃-或ð 18．（1）对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，最小正周期T π=；（2）()[1,2]f x ∈- 19．（1）详略（2）3520．（1）13（2）34π 21．（1）3A π=；（2）33ABC S ∆=. 22．（Ⅰ）;（Ⅱ）2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15o 方向，后来船沿南偏东45o 的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15o 方向，则这时船与灯塔的距离是：A.10kmB.20kmC.103kmD.53km2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A.(),1-∞B.12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C.13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D.14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．2B ．3C 33+ D ．13+4．在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =u u u r u u u r，则AD =u u u rA ．14AB u u u r +34AC u u u r B ．34AB u u u r +14AC u u u r C ．13AB u u u r +23AC u u u r D ．23AB u u ur +13AC u u u r5．已知向量()=sin ,cos a x x r , 向量(3b =r ,则a b +rr 的最大值为( )A ．1B 3C ．9D ．36．实数a ，b 定义运算“⊗”；,,b a b a b a a b≥⎧⊗=⎨<⎩，设2()(1)(5)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k =+至少有两个零点，则k 的取值范围是 A ．[]-3,1B ．(]-3,1C ．[)-3,1D ．-3,1（）7．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则开始输入的x 值为A.34B.1516C.78D.31328．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值 D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数 9．下图是函数的图象的一部分，则该解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．B ．C ．D ．11．将函数()3sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移()0m m >个单位后得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 12．实数时图像连续不断的函数定义域中的三个数，且满足，，，则函数在区间上的零点个数为（ ）A ．2B ．奇数C ．偶数D ．至少是2二、填空题13．已知圆1C ：()()221325x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于点()2,1对称，则圆2C 的方程为__________．14．已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________. 15．设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 2＝2a 1，且S n ＝2n na +1（n≥2），则数列{a n }的通项公式为_______． 三、解答题17．已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上，半径为2，且被直线3440x y --=截得的弦长为23. （1）求圆C 的方程；（2）设P 是直线50x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，证明：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.18．已知数列{}n a 的前n 项的和n S ，且满足231nn S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(43)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项的和n T .19．如图，已知等腰直角三角形ABC 的斜边AB 所在直线方程为25y x =-，其中A 点在B 点上方，直角顶点C 的坐标为(1,2)．（1）求AB 边上的高线CH 所在直线的方程； （2）求等腰直角三角形ABC 的外接圆的标准方程； （3）分别求两直角边AC ，BC 所在直线的方程．20．如图所示,在平面直角坐标系中,角α与β(0βαπ<<<)的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于P Q 、两点,点P 的横坐标为45-．（I ）求2sin 2cos 21cos ααα++；（Ⅱ）若3OP OQ ⋅=u u u r u u u r ,求sin β．21．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400]（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.（1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数、中位数、平均数；（2）若该种植园中还未摘下的芒果大约有10000个，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体.来收购芒果的某经销商提出如下两种收购方案：A ：所有芒果以10元/千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的芒果以3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 22．已知函数()12sin .26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()1求()f x 的最小正周期及其单调递增区间；()2若[],x ππ∈-，求()f x 的值域．【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C C C D A B B D A B D13．()()225125x y -++= 14．34-15．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．1(1)2(1)(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩三、解答题17．(1) 圆C ：22(3)4x y -+=. (2)证明略；(3,0)，(1,4)--.18．（1）13-=n n a （2）(41)312n n n T +⨯-=19．（1）略；（2）略 20．(Ⅰ) 1741-(Ⅱ) 3361521．（1）众数，中位数，平均数分别为275;268.75；257.5；（2）B 方案 22．（1）4T π=，424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）3,2⎡⎤⎣⎦2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知10a -<< ，则三个数3a 、13a 、3a 由小到大的顺序是（ ） A.1333a a a << B.1333a a a << C.1333a a a << D.1333a a a <<2．若函数有零点，则实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.3．若ππsin()2sin()44αα-=+，则πtan(2)4α-=( ) A.7-B.17-C.7D.174．已知m ，n 是两条不同的直线，，，αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若////m n m α，，则//n αC ．若n αβ=I ，//m α，//m β，则//m nD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 5．已知角的终边过点，则（ ） A.B.C.D.6．已知函数()22log f x x x =-+，则()f x 的零点所在区间为( ) A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,47．已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()12x f x g x +=+，则()1(g = )A ．32B ．2C ．52D ．4 8．平行四边形ABCD 中，若点,M N 满足BM MC =u u u u r u u u u r ，2DN NC =u u u r u u u r，设MN AB AD λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ-=（ ）A ．56B ．56-C ．16D ．16-9．圆()()()222212:11414C x y C x y +-=++-=与圆：的公切线的条数为 ( ) A ．4B ．3C ．2D ．110．已知函数2(43)3,0,()(1)1,0,a x a x a x f x log x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A.13[,]34B.1334⎛⎤⎥⎝⎦， C.103⎛⎤ ⎥⎝⎦， D.30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知()2,1a =r ，()1,1b =-r ，则a r 在b r 方向上的投影为（ ）A.2B.22C.55 12．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位 二、填空题13．已知0a >且1a ≠，函数()()226,0,0a x a x xf x a x -+-≤⎧⎪=>⎨⎪⎩，满足对任意实数1x ，()212x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦成立，则实数a 的取值范围为______．14．圆锥AO 底面圆半径为1，母线AB 长为6，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆锥一周转到B 点，则这条绳子最短时长度为_____________15．如图，已知ABC △ 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2AM MPMC PB== ，若02,3,120AB AC BAC ==∠=u u u v u u u v ，则AP BC ⋅u u u v u u u v的值为__________．16．已知圆222:(3)(4)C x y r -+-=上有两个点到直线340x y +=的距离为3，则半径r 的取值范围是________ 三、解答题17．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋142,a 4a Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？18．如图，在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，角α，β的终边与单位圆分别交525,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、722,1010B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭两点．(1)求()cos αβ-的值；(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求2αβ-的值．19．已知，且，（1）求，的值； （2），求的值。
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|3x＞3}，B＝{x|2x＜4}，则A∩B＝（）A．（1，3）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（1，2）2．下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x+3 B．f（x）＝22xC．D．3．已知过点A（m，﹣1）和B（2，m）的直线与直线x﹣y﹣1＝0平行，则m的值为（）A．B．C．1 D．﹣14．已知圆锥的高为，底面半径为，则此圆锥的侧面展开图的面积是（）A．B．4πC．D．2π5．已知直线y＝kx+2被圆x2+y2＝4截得的弦长为，则k＝（）A．±1 B．C．D．6．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，8），则的值为（）A．﹣2 B．C．D．﹣27．已知直线l1：2x+y+n＝0，l2：4x+my﹣4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则m+n＝（）A．﹣3或3 B．﹣2或4 C．﹣1或5 D．﹣2或28．函数f（x）＝4x+lnx﹣15的零点x0∈（k，k+1），k∈Z，则整数k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．过直线l外两点作与l平行的平面，则这样的平面（）A．不存在B．只能作一个C．能作无数个D．以上都有可能10．若函数f（x）＝log2x（a＞0且a≠1）在区间[a，2a2]上的最大值比最小值多2，则a ＝（）A．2或B．3或C．4或D．2或11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD为正方形，且PA＝2AB＝4，M为PC上一动点，若PC⊥DM，则MB的长度为（）A．B．C．D．12．若函数f（x）＝log a x﹣x+a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，e）D．（e，+∞）二、填空题13．若圆的一条直径的两个端点是A（﹣1，0），B（3，0），则圆的标准方程为．14．已知函数，若f（f（0））＝2a，则实数a＝．15．已知奇函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足的x 的取值范围是．16．已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为2，则正四棱锥O﹣ABCD的外接球的表面积为．三、解答题17．根据下列各条件写出直线方程，并化为一般式．（1）斜率是，经过点（2，0）；（2）经过点（1，1），与直线x+y﹣1＝0垂直；（3）在x轴和y轴上的截距分别为﹣2和2．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝4．（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；（2）求三棱锥E﹣PBC的体积．19．已知函数f（x）＝4x+a•2x（a为常数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若a＞0，试证明函数f（x）在R上是增函数；（3）若函数f（x）的最小值为﹣1，求实数a的值．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点．（1）当Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？，（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求点C到平面BD1Q的距离．21．已知函数f（x）＝log5（3ax+b），其中a，b为常数，且f（40）＝3，f（0）＝1．（1）求实数a，b的值；（2）若对于任意x∈[﹣1，+∞），不等式5x＞m﹣f（x）恒成立，求实数m的取值范围．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，3），点B（8，0），C、D分别为线段OA、OB上的动点，且满足AC＝BD．（1）若|BD|＝3，求点C的坐标；（2）设点C的坐标为（﹣4m，3m）（0＜m≤1），求△OCD的外接圆的一般方程，并求△OCD的外接圆所过定点的坐标．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x|3x＞3}，B＝{x|2x＜4}，则A∩B＝（）A．（1，3）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（1，2）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|3x＞3}＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．故选：D．2．下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x+3 B．f（x）＝22xC．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；对于B，f（x）＝22x＝4x，在区间（0，+∞）上是增函数，符合题意；对于C，f（x）＝，在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于D，f（x）＝，为反比例函数，在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意；故选：B．3．已知过点A（m，﹣1）和B（2，m）的直线与直线x﹣y﹣1＝0平行，则m的值为（）A．B．C．1 D．﹣1【分析】利用斜率计算公式即可得出．解：因为直线x﹣y﹣1＝0的斜率为1，所以k AB＝＝1，解得m＝．故选：A．4．已知圆锥的高为，底面半径为，则此圆锥的侧面展开图的面积是（）A．B．4πC．D．2π【分析】求出母线长l，根据扇形面积公式求出即可．解：设圆锥的母线为l，因为圆锥的高为，底面半径为，所以l＝．此圆锥的侧面展开图是扇形，故圆锥的展开图的面积是，故选：C．5．已知直线y＝kx+2被圆x2+y2＝4截得的弦长为，则k＝（）A．±1 B．C．D．【分析】由已知可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解．解：∵圆x2+y2＝4的半径为2，直线y＝kx+2被圆x2+y2＝4截得的弦长为，∴圆x2+y2＝4的圆心到直线距离为1，有，解得k＝．故选：D．6．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，8），则的值为（）A．﹣2 B．C．D．﹣2【分析】先利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，再利用对数的运算性质求解．解：设f（x）＝xα，∴f（2）＝2α＝8，∴α＝3，∴f（x）＝x3，∴．故选：B．7．已知直线l1：2x+y+n＝0，l2：4x+my﹣4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则m+n＝（）A．﹣3或3 B．﹣2或4 C．﹣1或5 D．﹣2或2【分析】由2m﹣4＝0，解得m．利用平行线之间的距离公式即可得出．解：由2m﹣4＝0，解得m＝2．满足l1∥l2．l2的方程为2x+y﹣2＝0，有＝，则|n+2|＝3，解得n＝1或﹣5，故m+n＝±3．故选：A．8．函数f（x）＝4x+lnx﹣15的零点x0∈（k，k+1），k∈Z，则整数k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由f（3）f（4）＜0，结合零点存在性定理即可得出结论．解：函数f（x）在定义域上单调递增，其图象为一条不间断的曲线，且f（3）＝ln3﹣3＜0，f（4）＝ln4+1＞0，故k＝3．故选：C．9．过直线l外两点作与l平行的平面，则这样的平面（）A．不存在B．只能作一个C．能作无数个D．以上都有可能【分析】过直线l外两点作与l平行的平面，根据两点所在的直线与已知直线的位置关系即可得出结论．解：过直线l外两点作与l平行的平面，如果两点所在的直线与已知直线相交，则这样的平面不存在；如果两点所在的直线与已知直线平行，则这样的平面有无数个；如果两点所在的直线与已知直线异面，则这样的平面只有一个．因此只有D正确．故选：D．10．若函数f（x）＝log2x（a＞0且a≠1）在区间[a，2a2]上的最大值比最小值多2，则a ＝（）A．2或B．3或C．4或D．2或【分析】先由2a2﹣a＝a（2a﹣1）＞0，有a且a≠1，再对a分情况讨论，利用指数函数的单调性即可解题．解：由2a2﹣a＝a（2a﹣1）＞0，有a且a≠1，①当a＞1 时，，得a＝2，②当时，，得a＝，故a＝2 或，故选：A．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD为正方形，且PA＝2AB＝4，M为PC上一动点，若PC⊥DM，则MB的长度为（）A．B．C．D．【分析】平面直线与平面的垂直关系，结合等面积法求解MB即可．解：由BD⊥平面PAC，有BD⊥PC，又PC⊥DM，故PC⊥平面BDM，可得MB⊥PC，又由BC＝2，BP＝＝2，PC＝＝2，MB＝＝．故选：B．12．若函数f（x）＝log a x﹣x+a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，e）D．（e，+∞）【分析】只需函数y＝log a x与y＝x﹣a图象的交点个数为2，分a＞1及0＜a＜1即可作出结论．解：令f（x）＝0，有log a x＝x﹣a，①当a＞1时，函数y＝log a x单增，函数y＝x﹣a相当于函数y＝x向下至少移动了1个单位，故函数y＝log a x与y＝x﹣a的图象有两个交点；②当0＜a＜1时，函数y＝log a x与y＝x﹣a的图象显然仅有一个交点，综上，a＞1．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若圆的一条直径的两个端点是A（﹣1，0），B（3，0），则圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4 ．【分析】利用已知条件求出圆的方程．解：圆的一条直径的两个端点是A（﹣1，0），B（3，0），所以圆心（1，0），半径r＝2，所以圆的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4．故答案为：（x﹣2）2+y2＝4．14．已知函数，若f（f（0））＝2a，则实数a＝ 2 ．【分析】因为，所以当x＝0时，f（0）＝30+2＝3，f（f（0））＝f（3）＝32﹣3a+1＝10﹣3a，因为f（f（0））＝2a，所以10﹣3a＝2a，解得a＝2．解：f（0）＝30+2＝3，f（f（0））＝f（3）＝32﹣3a+1＝10﹣3a＝2a，解得a＝2，故答案为：2．15．已知奇函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足的x 的取值范围是．【分析】利用函数的奇偶性及单调性，问题可转化为解不等式．解：由f（0）＝0，故，有，得．故答案为：．16．已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为2，则正四棱锥O﹣ABCD的外接球的表面积为9π．【分析】连接AB，CD相交于点E，连OE，因为正四棱锥O﹣ABCD，所以OE⊥平面ABCD，所以V，所以OE＝1，设正四棱锥O﹣ABCD的外接球的半径为R，所以R2＝AE2+（R﹣OE）2，∴R2＝2+（R﹣1）2，解得R＝，从而求出外接球的表面积．解：连接AB，CD相交于点E，连OE，如图所示：，∵正四棱锥O﹣ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∵V，∴OE＝1，设正四棱锥O﹣ABCD的外接球的半径为R，∴R2＝AE2+（R﹣OE）2，∴R2＝2+（R﹣1）2，解得R＝，外接球的表面积为S＝4，故答案为：9π．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．根据下列各条件写出直线方程，并化为一般式．（1）斜率是，经过点（2，0）；（2）经过点（1，1），与直线x+y﹣1＝0垂直；（3）在x轴和y轴上的截距分别为﹣2和2．【分析】（1）利用点斜式写出直线方程，化为一般方程即可；（2）由垂直关系求出斜率，再求出直线方程；（3）利用截距式写出直线方程，再化为一般方程．解：（1）由题意知，所求直线方程为y＝﹣（x﹣2），化为一般方程是x+2y﹣2＝0；（2）所求直线方程的斜率为k＝1，则所求的直线方程为y﹣1＝1•（x﹣1），化为一般方程是x﹣y＝0；（3）所求直线方程为+＝1，化为一般方程是：x﹣y+2＝0．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝4．（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；（2）求三棱锥E﹣PBC的体积．【分析】（1）只需证明BE⊥平面PAB即可得出结论；（2）利用等体积法求解即可．解：（1）如图所示，连接BD，由ABCD是菱形，且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE在平面ABCD内，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又因为BE在平面PBE内，所以平面PBE⊥平面PAB．（2）由BC＝2，有，∴，∴．19．已知函数f（x）＝4x+a•2x（a为常数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若a＞0，试证明函数f（x）在R上是增函数；（3）若函数f（x）的最小值为﹣1，求实数a的值．【分析】（1）由于函数f（x）对任意实数都有意义，所以函数f（x）的定义域为实数集R．（2）根据增函数的定义证明即可．（3）分a≥0和a＜0两种情况分别求f（x）的最小值，求得a的值即可．解：（1）函数f（x）对任意实数都有意义，所以函数f（x）的定义域为实数集R．（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）＝+a•﹣（+a•）；由a＞0得a•2＞a•2，4＞4，有a•2+4＞a﹣2+4．∴f（x2）﹣f （x1）＞0即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在R上是增函数．（3）①当a≥0时，f（x）＞0，不合题意；②当a＜0时，令2x＝t（t＞0），记f（x）＝g（t）＝t2+at＝（t a）2﹣a2（t＞0），当t＝﹣时，g（t）有最小值，故有﹣a2＝﹣1，得a＝﹣2，由上知a＝﹣2．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点．（1）当Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？，（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求点C到平面BD1Q的距离．【分析】（1）当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．证明QB∥PA．BD1∥PO．得到BD1∥平面PAO，QB∥平面PAO，即可证明平面D1BQ∥平面PAO．（2）求出，推出＝，设点C到平面BD1Q的距离为h，利用等体积法求解点C到平面BD1Q的距离．解：（1）当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．证明如下：∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴BD1∥PO．又∵BD1⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，∴BD1∥平面PAO，QB∥平面PAO，又∵QB∩BD1＝B，QB、BD1⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO．（2）∵BC＝2，CQ＝1，∴，∴，又由BQ＝D1Q＝，BD1＝2，有＝＝，设点C到平面BD1Q的距离为h，有，得h＝，故点C到平面BD1Q的距离为．21．已知函数f（x）＝log5（3ax+b），其中a，b为常数，且f（40）＝3，f（0）＝1．（1）求实数a，b的值；（2）若对于任意x∈[﹣1，+∞），不等式5x＞m﹣f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（40）＝3，f（0）＝1即可求得实数a，b的值；（2）依题意，分离参数m，得m＜5x+log5（3x+5），x∈[﹣1，+∞），令g（x）＝5x+log5（3x+5），利用其单调性求得其最大值即可．解：（1）f（0）＝log5b＝1得b＝5，f（40）＝log5（120a+5）＝3，得a＝1，（2）由（1）有f（x）＝log5（3x+5），不等式可化为5x+log5（3x+5）＞m，由函数g（x）＝5x+log5（3x+5）在区间[﹣1，+∞）上单调递增，可得函数g（x）的最小值为g（﹣1）＝+log52，故m＜+log52．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，3），点B（8，0），C、D分别为线段OA、OB上的动点，且满足AC＝BD．（1）若|BD|＝3，求点C的坐标；（2）设点C的坐标为（﹣4m，3m）（0＜m≤1），求△OCD的外接圆的一般方程，并求△OCD的外接圆所过定点的坐标．【分析】（1）当|BD|＝3时，求得|AC|，|OA|，|OC|的值，由直线OA的方程为y＝﹣，设点C的坐标为（﹣4t，3t）（t＞0），可得，解得t，即可得到点C 的坐标；（2）由点C的坐标为（﹣4m，3m）（0＜m≤1），可得|AC|＝，由此求得点D的坐标为（5m+3，0），设点△OCD 的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入点O、C、D的坐标，求得△OCD的外接圆的一般方程为x2+y2﹣（5m+3）x﹣（15m+4）y＝0，再由圆系方程求解．解：（1）当|BD|＝3时，|AC|＝3，|OA|＝，|OC|＝5﹣3＝2，由直线OA的方程为y＝﹣，设点C的坐标为（﹣4t，3t）（t＞0），有，解得t＝，故点C的坐标为（，）；（2）由点C的坐标为（﹣4m，3m）（0＜m≤1），可得|AC|＝，|OD|＝8﹣（5﹣5m）＝5m+3，可得点D的坐标为（5m+3，0），设点△OCD的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入点O、C、D的坐标可得，解得，可得△OCD的外接圆的一般方程为x2+y2﹣（5m+3）x﹣（15m+4）y＝0，可化为（x2+y2﹣3x﹣4y）﹣5m（x+3y）＝0，令，解得或，故△OCD的外接圆所过定点的坐标为（0，0）和（）．。
广西崇左市2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．已知集合{}{}33,24xA x xB x =>=<，则A B =I （ ）A ．()1,3 B ．()0,1 C ．()1,+∞D ．()1,22．下列函数中，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ）A ．()223x x x f =-+B ．()22x f x =C ．()12log f x x =D ．()2f x x=3．已知过点(),1A m -和()2,B m 的直线与直线10x y --=平行，则m 的值为（ ）A ．12 B ．12-C ．1D ．1-4．已知圆锥的高为2，底面半径为2，则此圆锥的侧面展开图的面积是（ ）A ．2πB ．4πC ．22πD ．2π5．已知直线2y kx =+被圆224x y +=截得的弦长为23，则k =（ ） A ．±1B ．33±C ．2±D ．3±6．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则41log 2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2-B ．32-C ．43-D ．2-7．已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且12,l l 之间的距离为355，则m n +=（ ） A ．3-或3 B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或28．函数()4ln 15f x x x =+-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ，则整数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．过直线l 外两点作与l 平行的平面，则这样的平面（ ） A ．不存在 B ．只能作一个C ．能作无数个D ．以上都有可能10．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值多2，则a =（ ）A ．2或312B ．3或13C ．4或12D ．2或1211．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且24PA AB ==，M 为PC 上一动点，若PC DM ⊥，则MB 的长度为（ ）A ．102B ．303C ．52D ．35212．若函数()log a f x x x a =-+（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞二、填空题13．若圆的一条直径的两个端点是()()1,0,3,0AB -，则圆的标准方程为__________________.14．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________.15．已知奇函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，则满足()()13102f x f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥的x 的取值范围是______________.16．已知正四棱锥O ABCD -的体积为43，底面边长为2，则正四棱锥O ABCD -的外接球的表面积为____________. 三、解答题17．根据下列各条件写出直线方程，并化为一般式. （1）斜率是12-，经过点()2,0； （2）经过点()1,1，与直线10x y +-=垂直；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别为2-和2.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BCD ∠=︒，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，4PA =.（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥E PBC -的体积.19．已知函数()42x x f x a =+⋅（a 为常数）.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若0a >，试证明函数()f x 在R 上是增函数；（3）若函数()f x 的最小值为1-，求实数a 的值.20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，设Q 是1CC 上的点.（1）当Q 在什么位置时，平面1D BQ ∥平面PAO ？（2）在（1）的条件下，若2AB =，求点C 到平面1BD Q 的距离.21．已知函数()()5log 3f x ax b =+，其中,a b 为常数，且()()403,01f f ==.（1）求实数,a b 的值； （2）若对于任意[)1,x ∈-+∞，不等式()5x m f x >-恒成立，求实数m 的取值范围.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,3A-，点()8,0B ，C 、D 分别为线段OA 、OB 上的动点，且满足AC BD =.（1）若3BD =，求点C 的坐标；（2）设点C 的坐标为()()4,301m m m -<≤，求OCD V 的外接圆的一般方程，并求OCDV 的外接圆所过定点的坐标.解析广西崇左市2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．已知集合{}{}33,24xA x xB x =>=<，则A B =I （ ）A ．()1,3 B ．()0,1 C ．()1,+∞D ．()1,2【答案】D【解析】先求出集合A 和B ，然后再根据集合交集的运算即可得出答案. 【详解】由题意可得：{}{}1,2A x x B x x =>=<， 所以可得：{}12A B x x ⋂=<<，则答案D 项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用集合描述法对集合的确定，考查了利用指数函数单调性求不等式，考查了集合交集的运算，属于基础题. 2．下列函数中，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ）A ．()223x x x f =-+B ．()22x f x =C ．()12log f x x =D ．()2f x x=【答案】B【解析】利用常见基本函数的图像性质结合给定区间一一判断即可得出答案. 【详解】A 选项由()()222312f x x x x =-+=-+，可得函数在区间[]01，上为减函数，区间[)1+∞，上为增函数，则可得在区间()0∞+，上不是增函数，故A 选项不对； B 选项由()224x x f x ==，因4＞1，则由指数函数的性质可得在区间()0∞+，上为增函数，故B 选项正确； C 选项由()12log f x x =，因112<，则由对数函数的性质可得在区间()0∞+，上为减函数，故C 答案不对；D 选项由()2f x x=，则由反比例函数的性质可得在区间()0∞+，上为减函数，故D 答案不对. 综上可得：B 选项正确.【点睛】本题考查了常见基本函数图像性质的应用，属于基础题. 3．已知过点(),1A m -和()2,B m 的直线与直线10x y --=平行，则m 的值为（ ）A ．12 B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】利用平行线间的斜率关系直接列式计算即可求出m 的值. 【详解】因为直线10x y --=的斜率为1，且与过点A 和点B 的直线平行，所以112AB m k m+==-，解得12m =. 故选：A. 【点睛】本题考查了由直线平行求参数的问题，当利用斜率相等解决直线平行的问题时，一定要保证直线斜率存在，属于容易题. 4．已知圆锥的高为2，底面半径为2，则此圆锥的侧面展开图的面积是（ ）A ．2πB ．4πC ．22πD ．2π【答案】C【解析】由圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式直接列式计算即可得出答案. 【详解】设圆锥的母线为l ，因为圆锥的高为2，底面半径为2，所以222l =+=；由圆锥的侧面展开图是扇形，故圆锥的展开图的面积是1222222ππ⨯⨯=.故选：C. 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图，以及扇形的面积公式，属于基础题.5．已知直线2y kx =+被圆224x y +=截得的弦长为23，则k =（ ）A ．±1B ．33±C ．2±D ．3±【答案】D【解析】由直线和圆相交所得弦的弦长公式222r d -，求出圆心到直线的距离d ，然后再利用点到直线的距离公式即可求出参数k .由题意可得圆的圆心为()00，，半径2r =，则由弦长公式22223r d -=解得1d =，即圆心到直线距离为1，则由2211k =+，得3k =±.故选：D. 【点睛】本题考查了直线和圆相交所得弦的弦长公式的应用以及点到直线的距离公式的应用，考查了计算能力，属于一般难度的题. 6．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则41log 2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2-B ．32-C ．43-D ．2-【答案】B【解析】先由幂函数图象过点(2，8)求出幂函数解析式，然后求解12f ⎛⎫⎪⎝⎭，最后代入即可求解答案. 【详解】由题意设()af x x =，则有()228af ==解得3a =，所以3111f 228⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则444113log log log 8282f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的确定，考查了函数值的求解以及对数值的计算，属于基础题. 7．已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且12,l l 之间的距离为355，则m n +=（ ） A ．3-或3 B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或2【答案】A【解析】先根据两直线平行由系数的关系求出参数m ，然后由平行线间的距离公式求出参数n ，最后由m n +即可求出答案. 【详解】由12//l l 可得214m ⨯=⨯，解得2m =，则直线2l 的方程为220x y +-=，由23555n +=，即23n +=，解得1n =或5n =-，故213m n +=+=或253m n +=-=-，即3m n +=±.【点睛】本题考查了两平行直线间系数的关系，考查了平行直线间距离公式的应用，考查了运算能力，属于一般难度的题. 8．函数()4ln 15f x x x =+-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ，则整数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先判断函数在区间()0∞+，上为增函数，再由特殊函数值()()30,40f f <>即可得出整数k 的值. 【详解】 由函数解析式()4ln 15f x x x =+-易知在区间()0∞+，上为增函数，又因为()3ln330f =-<，()4ln 410f =+>，所以函数零点()03,4x ∈，故可得3k =.故选：C. 【点睛】本题考查了借助于函数单调性判断函数零点位置的问题，属于一般难度的题. 9．过直线l 外两点作与l 平行的平面，则这样的平面（ ） A ．不存在 B ．只能作一个 C ．能作无数个 D ．以上都有可能【答案】D【解析】分类讨论，利用确定平面的条件以及线面的位置关系来判断即可得出答案. 【详解】①当过直线l 外两点的直线1l 与直线l 相交时，满足过直线l 外两点作与l 平行的平面不存在； ②当过直线l 外两点的直线2l 与直线l 异面时，满足过直线l 外两点作与l 平行的平面有且仅有一个；③当过直线l 外两点的直线3l 与直线l 平行时，满足过直线l 外两点作与l 平行的平面有无数个； 故选：D. 【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了直线与平面的位置关系，属于一般难度的题. 10．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值多2，则a =（ ） A ．2或312B ．3或13C ．4或12D ．2或12【答案】A【解析】分别讨论1a >和01a <<，然后利用对数函数的单调性，代入计算即可得出答案.①当1a >时，函数()log a f x x =在定义域内为增函数，则由题意得()2log 2log 2a a a a -=，解得2a =；②当01a <<时，函数()log a f x x =在定义域内为减函数，则由题意得()2log log 22a a a a -=，解得312a =；综上可得：2a =或312.故选：A. 【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于一般难度的题. 11．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且24PA AB ==，M 为PC 上一动点，若PC DM ⊥，则MB 的长度为（ ）A ．102B ．303C ．52D ．352【答案】B【解析】先由题中条件利用线面垂直的判定定理分别证明BD ⊥平面PAC 和PC ⊥平面BDM ，然后由线面垂直的性质判断MB PC ⊥，最后由题中给的数量在△PBC 中列关系式即可得出答案. 【详解】 如图所示：连接AC,由底面ABCD 为正方形得BD AC ⊥，由PA ⊥底面ABCD 得PA BD ⊥，因PA AC A =I 可得BD ⊥平面PAC ，则有BD PC ⊥，又PC DM ⊥，BD DM D ⋂=可得PC ⊥平面BDM ，可得MB PC ⊥，又由2BC =，41625BP =+=，20426PC =+=，可得25230326PB BC MB PC ⨯⨯===.故选：B. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理与性质定理的应用，考查了运算能力，属于一般难度的题. 12．若函数()log a f x x x a =-+（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞【答案】B 【解析】将函数()log a f x x x a =-+（0a >且1a ≠）有两个零点转化为函数log a y x =和函数y x a =-图象有两个交点问题，然后分类讨论1a >和01a <<进行判断即可得出答案.【详解】 当函数()log a f x x x a =-+（0a >且1a ≠）有两个零点，则若()0f x =，log a x x a =-有两个根，则得函数log a y x =和函数y x a =-图象有两个交点，①当1a >时，因为函数log a y x =的图象恒过点(1,0)，而直线y x a =-的图象恒过点()M ,0a ，由于1a >，则点()M ,0a 一定在点(1,0)的右侧，如图所示：由图象可知，当1a >时，函数log a y x =与y x a =-的图象有两个交点，即1a >时函数()log a f x x x a =-+有两个零点；②当01a <<时，函数log a y x =与y x a =-的图象仅有一个交点，如图所示：此时函数()log a f x x x a =-+有且仅有一个零点；综上可得1a >满足题意.故选：B. 【点睛】本题考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，考查了函数零点个数的问题，属于中档题.二、填空题13．若圆的一条直径的两个端点是()()1,0,3,0A B -，则圆的标准方程为__________________.【答案】()2214x y -+=【解析】由中点坐标公式求出圆心，由两点之间距离公式求出半径，然后写出圆的标准方程即可.由题意得圆心为点A 和B 的中点，则坐标为()1,0，半径为()2310AB 222++==，所以圆的标准方程为()2214x y -+=.故答案为：()2214x y -+=. 【点睛】本题考查了中点坐标公式和两点之间距离公式的应用，考查了圆的标准方程的书写，属于基础题.14．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________.【答案】2【解析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值. 【详解】 由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-，所以由()()01032f f a a =-=， 解得2a =.故答案为：2. 【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题. 15．已知奇函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，则满足()()13102f x f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥的x 的取值范围是______________. 【答案】1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】先由题意确定()00f =，然后利用奇函数的性质转化题中不等式为()1312f x f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥，再利用奇函数的单调性得出不等式1312x --≤，解不等式即可得出答案. 【详解】由奇函数在0x =有意义可得()00f =，则不等式()()13102f x f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥可变为()113122f x f f ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，又因奇函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，可得奇函数整个定义域上为减函数，则有1312x --≤，解得16x ≤，即不等式的x 的取值范围为(16⎤-∞⎥⎦，.故答案为：(16⎤-∞⎥⎦，. 【点睛】本题考查了函数基本性质中奇偶性和单调性的应用，属于基础题. 16．已知正四棱锥O ABCD -的体积为43，底面边长为2，则正四棱锥O ABCD -的外接球的表面积为____________. 【答案】9π【解析】如图所示，先由正四棱锥的体积求出高OE=1，设正四棱锥外接圆的半径为O 1C=R ，在直角三角形O 1EC 中由()222R CE R OE =+-解得32R =，再由求球的表面积公式24S R π=即可求得答案.【详解】 如图所示：连,AB CD 相交于点E ，连OE ，则OE ⊥面ABCD ，由214233O ABCD V OE -=⨯⨯=，得1OE =，设O ABC -的外接球的半径为R ，易知球心O 1在OE 的延长线上，如图所示，则有()222R CE R OE =+-得()2221R R =+-，解得32R =，外接球的表面积为23492S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：9π.【点睛】本题考查了空间几何体外接球问题，考查了球的表面积公式以及棱锥的体积公式的应用，考查了运算能力，属于一般难度的题. 三、解答题17．根据下列各条件写出直线方程，并化为一般式.（1）斜率是12-，经过点()2,0； （2）经过点()1,1，与直线10x y +-=垂直；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别为2-和2. 【答案】（1）()122y x =--，一般式220x y +-=；（2）11y x -=-，一般式0x y -=；（3）122x y+=-，一般式20x y -+= 【解析】(1)利用直线的点斜式方程直接书写，然后再化成一般式即可得出答案；(2)由直线垂直可先求出所求直线的斜率，然后利用点斜式方程再化成一般式方程即可得出答案；(3)利用直线方程的截距式书写直线方程，然后再化成一般式即可得出答案. 【详解】(1)由直线方程的点斜式方程可得()122y x =--，化成一般式为：220x y +-=； (2)由题意所求直线和直线10x y +-=垂直，可得所求直线的斜率为1，则由直线方程的点斜式方程可得11y x -=-，化成一般式为：0x y -=；(3)由直线在x 轴和y 轴上的截距分别为-2和2，则利用直线方程的截距式方程可得122x y+=-，化为一般式为：20x y -+=. 【点睛】本题考查了直线方程表达式的应用以及相互转化，属于基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BCD ∠=︒，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，4PA =.（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥E PBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）233【解析】(1)如图所示，先由题意证明BE AB ⊥，PA BE ⊥，然后由线面垂直的判定定理证明BE ⊥平面PAB ，再利用面面垂直的判定定理证明平面PBE ⊥平面PAB 即可； (2)利用等体积转化E PBC P BCE V V --=，由题意等量关系可求出BEC S V ，易知PA 的长等于三棱锥P-BCE 底面BCE 上的高，则利用棱锥的体积公式即可求出答案. 【详解】解：（1）如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形，且60BCD ∠=︒知BCD ∆是等边三角形.因为E 是CD 的中点，所以BE CD ⊥.又//AB CD ，所以BE AB ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA BE ⊥.又PA AB A =I ，因此BE ⊥平面PAB .又因为BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB . （2）由2BC =，可得133,1,1322BEC BE EC S ===⨯⨯=△由PA ⊥平面ABCD 可得PA 的长等于三棱锥P-BCE 底面BCE 上的高，则131323432323E PBC P BCE V V PA --==⨯⨯=⨯⨯=. 【点睛】本题考查了线面垂直和面面垂直的判定，考查了棱锥体积的求解，考查了运算能力，属于一般难度的题. 19．已知函数()42x x f x a =+⋅（a 为常数）.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若0a >，试证明函数()f x 在R 上是增函数；（3）若函数()f x 的最小值为1-，求实数a 的值.【答案】（1）R ；（2）证明见解析；（3）2- 【解析】(1)由函数解析式可直接求得函数定义域； (2)利用增函数的概念直接证明即可得出答案； (3)分类讨论0a ≥和0a <，利用0a ≥时()0f x >可排除0a ≥，当0a <时，令()20xt t =>利用二次函数最值问题求参数a . 【详解】解：（1）由函数解析式()42x x f x a =+⋅可得函数()f x 对任意实数都有意义，所以函数()f x 的定义域为实数集R .（2）任取12x x <∈R ，则()()()()1212124422xx x x f x f x a -=-+-，因为12x x <，则121244,22x x x x <<，即121244,2002x x x x -<-<，又0a >，所以可得()()121244202x x x x a -+-<，即()()12f x f x <.所以函数()f x 在R 上是增函数.（3）①当0a ≥时，()420x x f x a +⋅>=，则0a ≥不合题意；②当0a <时，令()20xt t =>，记()()()22211024f xg t t at t a a t ⎛⎫==+=+-> ⎪⎝⎭，则当12t a =-，()2min 14g t a =-，故有2114a -=-，得2a =±，由上知2a =-.综上可得当函数()f x 的最小值为1-时实数2a =-.【点睛】本题考查了函数定义域的求解，考查了函数单调性的证明，考查了换元法的应用，考查了二次函数最值的问题，属于一般难度的题.20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，设Q 是1CC 上的点.（1）当Q 在什么位置时，平面1D BQ ∥平面PAO ？（2）在（1）的条件下，若2AB =，求点C 到平面1BD Q 的距离. 【答案】（1）Q 为1CC 的中点；（2）63【解析】(1)利用面面平行的判定条件可确定Q 点的位置；(2)利用等体积转化11D BCQ C D BQ V V --=，列等量关系式即可求得答案. 【详解】解：（1）当Q 为1CC 的中点时，平面1//D BQ 平面PAO . 证明如下：∵Q 为1CC 的中点，P 为1DD 的中点，∴//QB PA . ∵P 、O 分别为1DD 、DB 的中点，∴1//D B PO .又∵1D B ⊄平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，PA ⊂平面PAO ， ∴1//D B 平面PAO ，//QB 平面PAO ，又∵1D B QB B =I ，1D B 、QB ⊂平面1D BQ ，∴平面1D BQ ∥平面PAO . （2）如图所示：连接D 1C ，∵2,1BC CQ ==，∴12112BCQ S =⨯⨯=△， ∴11111221333D BCQ BCQ V S D C -=⨯⨯=⨯⨯=△， 又由(1)知Q 为1CC 的中点，则115,23BQ DQ BD ===，则易求1123262BQD S =⨯⨯=△，设点C 到平面1BQD 的距离为h ，由11D BCQ C D BQ V V --=，即11126333BQD S h h ⨯⨯==△，解得63h =，故点C 到平面1BD Q 的距离为63. 【点睛】本题考查了面面平行的判定定理的应用，考查了利用等体积转化法求距离的问题，属于一般难度的题. 21．已知函数()()5log 3f x ax b =+，其中,a b 为常数，且()()403,01f f ==.（1）求实数,a b 的值； （2）若对于任意[)1,x ∈-+∞，不等式()5x m f x >-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =，5b =；（2）51log 25m <+ 【解析】(1)由题中条件得关系式()()()1205540log 3,0log 1a b b f f +====，求解实数,a b 的值即可； (2)分离参数()55log 35xx m ++>，令函数()()55log 35x g x x =++，利用函数的单调性，求解()min m g x <即可得出答案.【详解】 解：(1)由题意()50log 1f b ==得5b =，()()540log 12053f a =+=得1a =，故实数1a =，5b =； (2)由(1)知1,5a b ==，则有()()5log 35f x x =+，则不等式()5x m f x >-可化为()55log 35x x m ++>，令函数()()55log 35x g x x =++易知在区间[)1,x ∈-+∞上单调递增，可得函数()()5min 11log 25g x g =-=+，故要使不等式()5xm f x >-恒成立则需51log 25m <+.【点睛】本题考查了由函数值确定函数解析式的问题，考查了分离参数利用函数单调性求参数取值范围的问题，属于一般难度的题.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,3A-，点()8,0B ，C 、D 分别为线段OA 、OB 上的动点，且满足AC BD =.（1）若3BD =，求点C 的坐标；（2）设点C 的坐标为()()4,301m m m -<≤，求OCD V 的外接圆的一般方程，并求OCDV 的外接圆所过定点的坐标. 【答案】（1）86,55⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）()()22531540x y m x m y +-+-+=，()0,0和31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)设点()C,x y ，，利用两点之间距离公式和C 点在线段OA 上得出关系式：()()224333440x y y xx ⎧++-=⎪⎪⎪=-⎨⎪-≤≤⎪⎪⎩联立求解即可得出点C 的坐标；(2)由题意求出D 点坐标()53,0m +，设OCD ∆外接圆的一般方程为220xy Dx Ey F ++++=由三点坐标得出关系式()()2205353025430F m m D F m mD mE F =⎧⎪++++=⎨⎪-++=⎩，联立解得圆的方程()()22531540xy m x m y +-+-+=，将圆的方程转化为()()2234530x y x y m x y +---+=，令2234030x y x y x y ⎧+--=⎨+=⎩求解即可得出圆过定点的坐标. 【详解】 解：（1）设点()C,x y ，当3BD =时，3AC =，则()()22433x y ++-=，由C 点在线段OA 上则有34y x =-，且4x 0-≤≤，则联立()()224333440x y y xx ⎧++-=⎪⎪⎪=-⎨⎪-≤≤⎪⎪⎩解得8655x y =-=，,则点C 的坐标为86,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）由点C 的坐标为()()4,301m m m -<≤，可得()()2244335155AC m m m m =-+-=-=-，()85553OD m m =--=+，可得点D 的坐标为()53,0m +，设点OCD ∆的外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点O 、C 、D 的坐标可得()()2205353025430F m m D F m mD mE F =⎧⎪++++=⎨⎪-++=⎩，解得531540D m E m F =--⎧⎪=--⎨⎪=⎩，可得OCD ∆的外接圆的一般方程为()()22531540xy m x m y +-+-+=，可化为()()2234530x y x y m x y +---+=，令2234030x y x y x y ⎧+--=⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故OCD ∆的外接圆所过定点的坐标为()0,0和31,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了两点之间距离公式的应用，考查了满足动点的坐标关系，考查了三角形外接圆的确定，考查了圆过定点的求解问题，属于中档题.。
