波的能量及干涉
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第4节 波的能量
波动是振动状态的传播过程，也是能量的传播过程
一、 波的能量密度
绳上横波 张力T 质量线密度μ )(cos[),(ω-=c x
t A t x y x m ∆=∆μ， ])(sin[ϕωω+--=∂∂=c x
t A t y
V
])([sin 21)(212122222ϕωω+-∆=∂∂∆=∆=c x
t A m t y m mV E k 伸长量x l ∆-∆=]1)(1[)()(222-∂∂+∆=∆-∆+∆x y
x x y x
小振幅条件下，x y
∂∂（波形曲线切线斜率）及其平方很小
+∂∂+=∂∂+22/12)(211])(1[x y
x y
x l ∆-∆≈x x y
∆∂∂2)(21
，T T T =≈21
≈∆-∆=T x l E P )(xT x y
∆∂∂2
)(21
])(sin[ϕωω
+-=∂∂c x
t A c x y
，2c T μ=
])([sin 212222
2ϕωωμ+-∆=c x
t A c x c E P
=])([sin 21
222ϕωω+-∆c x
t A m
=E k E +P E =])([sin 222ϕωω+-∆c x
t A m
结论：（1）k E 、P E 都是时间的周期函数，且k E =P E
（2）E 是时间的周期函数
平衡位置→最大位移处，能量↓
最大位移处→平衡位置，能量↑
（3）能量的传播速度也是c
无限大各向同性均匀媒质也成立
V m ∆=∆ρ =E k E +P E =])([sin 222ϕωωρ+-∆c x
t A V 能量密度：V E w ∆==])([sin 222ϕωρω+-c x
t A
平均能量密度2202
11A wdt T w T ρω==⎰ 二、 能流密度（波的强度）：
单位时间内通过与波的传播方向
c 相垂直的单位面积的平均能量
c A c w I
2221
ρω==
I c A
c w I 222
1ρω==，2A I ∝ 三、 平面和球面谐波的振幅 1、 平面谐波 S I S I 21=
cS A cS A 2222122
121ρωρω= 21A A =
])(c o s [),(ϕω+-=c
x t A t x y ， 1 2 2、 球面谐波
2211S I S I =
222222121242
1421r c A r c A πρωπρω=2211r A r A =，2
112r r A A =，r A 1∝，I ∝])(cos[)(),(ϕωξ+-=c
r t r A t r m r 10=，0A ，r r A A )(0=，r
A r A 0)(= ])(cos[),(0ϕωξ+-=c
r t r A t r 1r ，1A ，r r A r A )(11=，r r A r A 11)(=，])(c o s [),(11ϕωξ+-=c
r t r r A t r 第5节 惠更斯原理
一、 惠更斯原理（1690年）
“媒质中波动传到的各点都可以看作发射
子波的波源，在其后任意时刻这些子波的
包络面（公切面）就是新的波阵面”
例
t 1r t t ∆+ t c ∆
t c r r ∆+=12
二、 波的绕射（衍射）
当波在传播过程中遇到障碍物时，
其传播方向会发生变化，并且能 够绕过障碍物的边缘继续向前传
播：波的绕射
波的传播方向 波的强度
第6节 波的干涉
一、 波的独立传播原理和迭加原理
当几列波在媒质中相遇时，每一列波的振幅、频率、波长、 振动方向及传播方向不因其它波的存在而受影响，或者说 每一列波都保持其独立的传播特性——波的独立传播原理 当几列波在媒质中相遇时，媒质质点的振动位移等于每列波 单独引起位移的矢量和——波的迭加原理
二、 波的干涉
1、 波的干涉现象，p157
如果两列波在相遇区域迭加的结果使得某些点上振动始终加强 某些点上振动始终减弱，形成稳定的干涉花样：波的干涉现象
2、 相干条件
同振向、同频率、位相差恒定——相干条件
相干波，相干波源
3、 定量分析
P )c o s (11010ϕω+=t A y )c o s (22020ϕω+=t A y 1S
])(c o s [11
11ϕω+-=c r t A y
])(c o s [22
22ϕω+-=c r t A y 2S 21y y y +==])(cos[111ϕω+-c r t A +])(cos[22
2ϕω+-c r
t A
ϕ∆++=c o s 2212
221A A A A A
ϕ∆++=c o s 22121I I I I I ，（2A I ∝）
-+-=∆])([22ϕωϕc r t ])([11
ϕω+-c r
t
=)(1212r r c ---ωϕϕ=)(21212r r ---λπ
ϕϕ
=∆ϕ)(21212r r ---λπ
ϕϕ：两列波在P 点的位相差
δ=-12r r ：波程差
=∆ϕπk 2±， 2,1,0=k ，
21A A A +=最大，21212I I I I I ++=最强，干涉加强
=∆ϕπ)12(+±k ， 2,1,0=k ，
21A A A -=最小，21212I I I I I -+=最弱，干涉相消 其它点上
21A A -<<A 21A A +，21212I I I I -+<<I 21212I I I I ++
如果21ϕϕ=，=∆ϕ)(212r r --λ
π 干涉加强条件=∆ϕπλ
πk r r 2)(212±=-- λδk r r ±=-=12， 2,1,0=k
干涉相消条件=∆ϕπλ
π)12()(212+±=--k r r λλδ)2
1(2)12(12+±=+±=-=k k r r ， 2,1,0=k 4、 （1）干涉加强或相消是指合振幅或波的强度最大或最小 而不是指合位移最大或最小
（2）位相差恒定要求两个波源在观察时间内持续振动
（3）ϕ∆由两部分组成
（4）干涉后，波的能量重新分布
例：A ，B 两个相干波源，等振幅 x P 20-x
同频率=ν100Hz ，初相差π
相距20m ，波速s m c /200= A 20m B
求：A ，B 连线上因干涉而静止的点
解：=∆ϕ)(21212r r ---λ
πϕϕ =)20(2x x c
---πνπ=)220(x --ππ =∆ϕπ)12(+k =)220(x --ππ，πk 2=)220(x --π
x k +-=10，k x +=10，10,2,1,0±±±= k
20,,1,0 =x m
例：声波干涉仪 E
C 每移动8cm ，声音减弱一次 x 求：声波的频率
（空气中声速s m c /340=） C 解：21ϕϕ= λλ)2
1(2)12(12+=+=-k k r r （1λ)2
11(212++=-+k r x r （2） A νλc x ==2，Hz x c 212508
.023402=⨯==ν。
